Kiến thức, kĩ năng • Mô tả các bước chứng minh tính đúng đắn của một mệnh đề toán học bằng phương pháp quy nạp toán học. • Chứng minh tính đúng đắn của một mệnh đề toán học bằng phương pháp quy nạp toán học. • Vận dụng phương pháp quy nạp để giải quyết một số vấn đề thực tiễn.
16 HÀM SỐ BẬC ❶ Giáo viên Soạn 1: Đồn Cơng Hồng FB: Đồn Cơng Hồng ❷ Giáo viên Soạn 2: Huỳnh Châu Phú FB: Huỳnh Châu Phú THUÂT NGŨ - Hàm số bậc hai - Bảng giá trị - Parabol - Đinh - Trục đối xứng KIỀN THỨC, Kĩ NĂNG - Nhận biết hàm số bậc hai - Thiết lập bảng giá trị hàm số bậc hai - Vẽ parabol (parabola) đồ thị hàm số bậc hai - Nhận biết yếu tố đường parabol đình, trục đối xứng - Nhận biết giải thích tính chất hàm số bậc hai thông qua đồ thị - Vận dụng kiến thức hàm số bậc hai đồ thị vào giải tốn thực tiển Bác Việt có lưới hình chữ nhật dài 20 m Bác muốn dùng lưới rào chắn ba mặt áp bên bờ tường khu vườn nhà thành mảnh đất hình chữ nhật để trồng rau Hỏi hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường bao xa để mảnh đất rào chắn bác có diện tích lớn nhất? KHÁl NIỆM HÀM SỐ BẬC HAI HĐ1: Xét tốn rào vườn tình mở đầu Gọi mét khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường Hãy tính theo : a) Độ dài cạnh mảnh đất b) Diện tích mảnh đất rào chắn Lời giải Ở ta tính S ( x) x 20 x Đây hàm số cho công thức gọi hàm số bậc hai biến số x Tổng quát, ta có Hàm số bậc hai hàm số cho công thức y ax bx c, x biến số, a, b, c số a 0 Tập xác định hàm số bậc hai Hàm số hàm số bậc hai? A y x x B y x2 C y x 1 y 3 x x D Nhận xét Hàm số y ax ( a 0) học lớp trường hợp đặc biệt hàm số bậc hai với b c 0 Ví dụ Xét hàm số bậc hai y x 20 x Thay dấu "?" số thích hợp đề hồn thành bảng giá trị sau hàm số x ? ? ? Bảng giá trị hàm số y x 20 x số điểm y ? ? ? 10 ? 48 32 10 Giải Thay giá trị x vào công thức hàm số, ta được: x y 0 32 48 50 Luyện tập Cho hàm số y ( x 1)(2 x) a) Hàm số cho có phải hàm số bậc hai khơng? Nếu có, xác định hệ số a, b, c b) Thay dấu "?" số thích hợp để hồn thành bảng giá trị sau hàm số cho x y -2 ? -1 ? ? ? Lời giải 2 a) Ta có: y ( x 1)(2 x) x x Vậy hàm số cho hàm số bậc hai với hệ số a 3; b 5; c b) x y x x -2 -24 -1 -10 -2 Vận dụng Một viên bi rơi tự từ độ cao 19,6 m xuống mặt đất Độ cao h (mét) so với mặt đất viên bi rơi phụ thuộc vào thời gian t (giây) theo công thức: h 19, 4,9t ; h, t 0 a) Hỏi sau giây kể từ rơi viên bi chạm đất? b) Tìm tập xác định tập giá trị hàm số h ĐỖ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI Ở lớp , ta biết dạng đồ thị hàm số y ax ( a 0) ( H 6.9) Trong mục ta tìm hiểu đồ thị hàm số bậc hai y ax bx c(a 0) Hoạt động Xét hàm số y S ( x) x 20 x (0 x 10) a) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , biểu diễn toạ độ điểm bảng giá trị hàm số lập Vỉ dụ Nối điểm vẽ lại ta dạng đồ thị hàm số y x 20 x khoảng (0;10) Hình 2 6.10 Dạng đồ thị hàm số y x 20 x có giống với đồ thị hàm số y x hay không? b) Quan sát dạng đồ thị hàm số y x 20 x Hình 6.10, tìm toạ độ điểm cao đồ thị c) Thực phép biến đổi y x 20 x x 10 x x 5 x 25 50 2( x 5) 50 Hãy cho biết giá trị lớn diện tích mảnh đất rào chắn Từ suy lời giải toán phần mở đầu Hoạt động Tương tự HĐ2, ta có dạng đồ thị số hàm số bậc hai sau Từ đồ thị hàm số trên, hoàn thành bảng sau Hàm số Hệ số a Bề lõm đồ thị (quay lên/quay xuống) y x2 x Quay lên y x x ? ? Tính chất đồ thị Tọa độ điểm cao nhất/điểm thấp ( 1;1) ? Tổng quát, ta viết hàm số bậc hai y ax bx c (a 0) dạng b b2 b2 b y ax bx c a x x c a x , 2a a 4a 2a 4a với b 4ac Trục đối xứng x ? b I ; Ta thấy điểm 2a 4a thuộc đồ thị hàm số bậc hai điểm đặc biệt, đóng vai trị điểm O(0; 0) đồ thị hàm số y ax Cụ thể: b y a x 2a 4a 4a với x Như điểm / điểm thấp đồ thị - Nếu a b y a x 2a 4a 4a với x Như điểm / điểm cao đồ thị - Nếu a P parabol y ax Nếu ta "dịch chuyền" theo vectơ OI ta thu đồ thị ( P ) hàm số y ax bx c có dạng Hình 6.11 Gọi P0 Nhận xét Đồ thị hàm số bậc hai y ax bx c parabol b I ; - Đồ thị hàm số y ax bx c (a 0) đường parabol có đỉnh điểm 2a 4a , có trục đối b x 2a Parabol quay bề lõm lên a , xuống a xứng đường thẳng 2 - Để vẽ đường parabol y ax bx c ta tiến hành theo bước sau: b I ; Xác định toạ độ đỉnh 2a 4a ; Vẽ trục đối xứng x b 2a ; Xác định toạ độ giao điểm parabol với trục tung, trục hồnh (nếu có) vài điểm đặc biệt parabol; Vẽ parabol Ví dụ 2 a) Vẽ parabol y x x b) Từ đồ thị, tìm khoảng đồng biến, nghịch biến giá trị lớn hàm số y x x Giải a) Ta có a nên parabol quay bề lõm xuống 9 I ; Đỉnh 2 Trục đối xứng x Giao điểm đồ thị với trục Oy A(0; 4) Parabol cắt trục hồnh hai điểm có hồnh độ nghiệm phương trình x x 0 , tức x 1 x (H.6.12) Để vẽ đồ thị xác hơn, ta lấy thêm điểm đối xứng với A qua trục đối xứng B ( 1; 4) x b) Từ đồ thị ta thấy: 1 ; , nghịch biến - Hàm số y x x đồng biến - Giá trị lớn hàm số y ; ; x , 2 Luyện tập Vẽ parabol y 3 x 10 x Từ tìm khoảng đồng biến, nghịch biến giá trị nhỏ hàm số y 3 x 10 x 2 Nhận xét Từ đồ thị hàm số y ax bx c (a 0) , ta suy tính chất hàm số y ax bx c (a 0) Với a Hàm số nghịch biến khoảng b ; 2a ; Với a b ; 2a ; Hàm số đồng biến khoảng Hàm số nghịch biến khoảng b ; ; Hàm số đồng biến khoảng 2a 4a giá trị nhỏ hàm số b ; 2a : 4a giá trị lớn hàm số Vận dụng Bạn Nam đứng chân cầu vượt ba tầng nút giao ngã ba Huế, thuộc thành phố Đà Năng để ngắm cầu vượt (H.6.13) Biết trụ tháp cầu có dạng đường parabol, khoảng cách hai chân trụ tháp khoảng 27 m , chiều cao trụ tháp tính từ điểm mặt đất cách chân trụ tháp 2, 26 m 20 m Hãy giúp bạn Nam ước lượng độ cao đỉnh trụ tháp cầu (so với mặt đất) Hướng dẫn Chọn hệ trục toạ độ Oxy cho chân trụ tháp đặt gốc toạ độ, chân lại đặt tia Ox Khi trụ tháp phần đồ thị hàm số dạng y ax bx BÀI TẬP 6.7 Vẽ đường parabol sau: a) y x 3x ; b) y x x ; c) y x x ; d) y x x 6.8 Từ parabol vẽ Bài tập 6.7, cho biết khoảng đồng biến khoảng nghịch biến hàm số bậc hai tương ứng 6.9 Xác định parabol y ax bx , trường hợp sau: a) Đi qua hai điểm A(1;0) B (2; 4) ; b) Đi qua điểm A(1;0) có trục đối xứng x 1 ; c) Có đỉnh I (1; 2) ; d) Đi qua điểm A( 1; 6) có tung độ đỉnh 0, 25 6.10 Xác định parabol y ax bx c , biết parabol qua điểm A(8;0) có đỉnh I (6; 12) 6.11 Gọi ( P ) đồ thị hàm số bậc hai y ax bx c Hãy xác định dấu hệ số a biệt thức , trường hợp sau: a) ( P) nằm hồn tồn phía trục hồnh; b) ( P) nằm hồn tồn phía trục hồnh; c) ( P) cắt trục hoành hai điểm phân biệt có đỉnh nằm phía trục hồnh; d) ( P) tiếp xúc với trục hồnh nằm phía trục hồnh 6.12 Hai bạn An Bình trao đổi với An nói: Tớ đọc tài liệu thấy nói cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng parabol, khoảng cách hai chân cổng m chiều cao cổng tính từ điểm mặt đất cách chân cổng 0,5 m 2,93 m Từ tór tính chiểu cao cổng parabol 12 m Sau hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu kiện bạn nói, chiều cao cổng parabol mà bạn tính khơng xác Dựa vào thơng tin mà An đọc được, em tính chiều cao cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết bạn An tính có xác khơng nhé! 6.13 Bác Hùng dùng 40 m lưới thép gai rào thành mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào theo chiều rộng x (mét) b) Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn mà bác Hùng rào 6.14 Quỹ đạo vật ném lên từ gốc O (được chọn điểm ném) mặt phẳng toạ độ Oxy 3 y x x 1000 parabol có phương trình , x (mét) khoảng cách theo phương ngang mặt đất từ vị trí vật đến gốc 0, y (mét) độ cao vật so với mặt đất (H.6.15) a) Tìm độ cao cực đại vật q trình bay b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau bay vật đến gốc O Khoảng cách gọi tầm xa quỹ đạo Em có biết: Một số mơ hình toán học sử dụng hàm số bậc hai Hàm số bậc hai sử dụng nhiều mơ hình thực tế Dưới ta xét số mơ hình đơn giản thường gặp - Phương trình chuyển động vật chuyển động thẳng biến đổi y x0 v0t at , x0 toạ độ ban đầu vật, v0 vận tốc ban đầu vật a gia tốc vật (a dấu với vo vật chuyển động nhanh dần ngược dấu với v0 vật chuyển động chậm dần đều) Như toạ độ x(t ) vật hàm số bậc hai thời gian t Nói riêng, bỏ qua sức cản khơng khí, ném vật lên theo phương thẳng đứng chuyển động vật chịu ảnh hưởng trọng lực vật có gia tốc gia tốc trọng trường Khi độ cao (so với mặt đất) vật thời điểm t cho phương trình y (t ) y0 v0t gt y0 (mét) độ cao ban đầu vật ném lên, v0 ( m / s) vận tốc ban đầu vật g gia g 9,8 m / s tốc trọng trường Đặc biệt, bỏ qua sức cản khơng khí, vật rơi tự từ độ cao y0 (mét) so với mặt đất độ cao y (mét) thời điểm t (giây) cho cơng thức y (t ) gt 2 - Phương trình chuyển đơng vật ném xiên Một vật ném từ độ cao h (mét) so với mặt đất, với vận tốc ban đầu v0 ( m / s) hợp với phương ngang góc Khi quỹ đạo chuyển động vật tuân theo phương trình y g x x tan h 2v cos x (mét) khoảng cách vật bay theo phương ngang tính từ mặt đất điểm ném, y (mét) độ cao so với mặt đất vật trình bay, g gia tốc trọng trường Như quỹ đạo chuyển động vật ném xiên parabol Tương tự, đường bóng cầu thủ đá lên không trung, quỹ đạo viên đạn pháo bắn khỏi nòng pháo, tia lửa hàn, hạt nước bắn lên từ đài phun nước, có dạng đường parabol (H.6.16) - Doanh thu bán hàng Trong kinh tế, doanh thu bán hàng số tiền nhận bán mặt hàng Doanh thu R đơn giá x mặt hàng (tức giá bán sản phẩm) nhân với số lượng n sản phẩm bán được, tức R x n Định luật nhu cầu khẳng định x n có mối liên hệ với nhau: Khi tăng giảm Phương trình liên hệ x n gọi phương trình nhu cầu Nếu phương trình nhu cầu liên hệ bậc nhất, tức n a bx (a, b số dương) doanh thu bán hàng hàm số bậc hai đơn giá R( x) xn x (a bx) ax bx Khi người ta thường quan tâm đến việc tìm giá bán x để doanh thu đạt cực đại, tìm giá bán x để doanh thu vưọt mức 10