Bài 2 hàm số bậc hai đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng câu hỏi

PHẦN A LÝ THUYẾT I Hàm số bậc hai Hàm số bậc hai hàm số cho biểu thức có dạng y ax  bx  c , a, b, c số a khác Tập xác định hàm số  Ví dụ Trong hàm số sau, hàm số hàm số bậc hai? Với hàm số bậc hai đó, xác định a, b, c hệ số x , hệ số x hệ số tự a) y 8 x  x  b) y 2 x  2021 Giải 2 a) Hàm số y 8 x  x  hàm số bậc hai có hệ số x , hệ số x  , hệ số tự b) Hàm số y 2 x  2021 hàm số bậc hai II Đồ thị hàm số bậc hai    b  ;   Đồ thị hàm số bậc hai y ax  bx  c (a 0) đường parabol có đỉnh điểm với tọa độ  2a 4a  b x  2a trục đối xứng đường thẳng   b   f    2a  Để vẽ đồ thị hàm số Nhận xét: Cho hàm số f ( x) ax  bx  c (a 0) , ta có: 4a y ax  bx  c (a 0) , ta thực bước:    b ;   - Xác định toạ độ đỉnh:  2a 4a  ; b x  2a ; - Vẽ trục đối xứng - Xác định số điểm đặc biệt, chẳng hạn: giao điểm với trục tung (có tọa độ (0; c) ) trục hoành (nếu b x  2a có), điểm đối xứng với điểm có tọa độ (0; c) qua trục đối xứng - Vẽ đường parabol qua điểm xác định ta nhận đồ thị hàm số y ax  bx  c Chú ý: Nếu a  parabol có bề lõm quay lên trên, bậc hai sau: a  parabol có bề lõm quay xuống Ví dụ Vẽ đồ thị hàm số bậc hai y  x  x  Giải Ta có: a 1, b  2, c  3,  ( 2)  4.1.( 3) 16 - Toạ độ đỉnh I (1;  4) - Trục đối xứng x 1 - Giao điểm parabol với trục tung A(0;  3) - Giao điểm parabol với trục hoành B ( 1;0) C (3;0) - Điểm đối xứng vối điểm A(0;  3) qua trục đối xứng x 1 D (2;  3) Vẽ parabol qua điểm xác định trên, ta nhận đồ thị hàm số y x  x  hình Trang Nhận xét: Cho hàm số bậc hai y ax  bx  c (a 0) b     ;   2a  ; đồng biến khoảng - Nếu a  hàm số nghịch biến khoảng  b     ;   2a  ; nghịch biến khoảng - Nếu a  hàm số đồng biến khoảng   b  ;     2a   b  ;     2a  Ta có bảng biến thiên hàm số bậc hai sau: Ví dụ Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số sau: a) y 3x  x  2 b) y  x  x  Giải a) Ta có: a 3  0, b 5,  b  2a 5      ;     ;    ; đồng biến khoảng   Vậy hàm số cho nghịch biến khoảng  b a   0, b 6,   2a b) Ta có: 3  3    ;   ;    ; nghịch biến khoảng   Vậy hàm số cho đồng biến khoảng  III Ứng dụng Các hàm số bậc hai có nhiều ứng dụng việc giải vấn đề thực tiễn Chẳng hạn, ta tìm hiểu ứng dụng thơng qua ví dụ sau: Ví dụ Khi bóng đá lên, đạt đến độ cao rơi xuống Hình minh họa quỹ đạo bóng phần cung parabol mặt phẳng tọa độ Oth , t thời gian (tính giây) kể từ bóng đá lên h độ cao (tính mét) bóng Giả thiết bóng đá từ mặt đất Sau khoảng 2s, bóng lên đến vị trí cao 8m Trang a) Tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t có phần đồ thị trùng với quỹ đạo bóng tình b) Tính độ cao bóng sau đá lên 3s c) Sau giây bóng chạm đất kẻ từ đá lên? Giải h  m t  s h  f  t  at  bt  c  a   a) Gọi hàm số bậc hai biểu thị độ cao theo thời gian Theo giả f   c, f  t  at  bt thiết, bóng đá lên từ mặt đất, nghĩa Sau 2s, bóng lên đến vị trí cao 8m nên  b 2 b  4a a      2a  f   8 4a  2b 8 b 8  Vậy f  t   2t  8t b) Độ cao bóng sau đá lên s là: h  f (3)  3  3 6( m) t   t 4   t  t  h   c) Cách Quả bóng chạm đất (trở lại) độ cao , tức là: Vì sau s bóng chạm đất kể từ đá lên Cách Quỹ đạo chuyển động bóng phần cung parabol có trục đối xứng đường thẳng t 2 Điểm xuất phát điểm bóng chạm đất (trở lại) đối xứng qua đường thẳng t 2 Vì sau s bóng chạm đất kể từ đá lên PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ Câu Cho hàm số y = x - x + , có đồ thị ( P) a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị ( P) b) Nhận xét biến thiên hàm số khoảng c) Tìm tập hợp giá trị x cho y £ ( 0; 3) d) Tìm khoảng tập xác định để đồ thị ( P) nằm hồn tồn phía đường thẳng y = e) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn [- 2;1] Câu Tìm giá trị lớn nhất, bé (nếu có) hàm số sau a) y = x - 3x + 10 Trang b) y =- x - x + Câu Tìm giá trị lớn nhất, bé (nếu có) hàm số sau a) y = x - 3x với £ x £ b) y =- x - x + với £ x £ Câu Câu Tìm Câu giá trị y = ( x - 1)2 - x - + a cho giá trị ù y = f ( x) = x - ax + ( a - 2a + 2) đoạn é ë0; 2ûbằng Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu có) hàm số sau a) y = x( x + 1)( x - 2)( x - 3) b) tất nhỏ hàm số Cho hàm số y =- x + 5x - , có đồ thị ( P) a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị ( P) b) Dựa vào đồ thị trên, tùy theo giá trị m , cho biết số nghiệm phương trình x - 5x + + m = ù xỴ é ë1; 5û c) Tìm m để phương trình x - x + + m = có nghiệm Câu Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x + x - Từ suy đồ thị hàm số sau a) y = x2 + x - y = x +2 x - b) Câu Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x + x - Từ suy đồ thị hàm số sau a) Câu y = x2 + x - b) y = x2 + x - ( P) Cho hàm số y = x - x + có đồ thị a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị ( P) ( x - 4) x - + m = b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình ïì - x + x < y = ïí ïï x - x + x ³ ỵ Câu 10 Vẽ đồ thị hàm số Câu 11 Không vẽ đồ thị Hãy tìm tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng parabol sau Tìm giá trị nhỏ hay lớn hàm số tương ứng y = ( x + 3) - a) b) y =- x2 + x Câu 12 Cho Parabol a) Trang ( P) ( P) ( a ¹ 0) Xét dấu hệ số a biệt thức D : y = ax + bx + c hồn tồn nằm phía trục hồnh b) ( P) hồn tồn nằm phía trục hồnh ( P) cắt trục hoành hai điểm phân biệt có đỉnh nằm phía trục hồnh c) DẠNG XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC y  f  x  ax  bx  c Để xác định hàm số bậc hai (đồng nghĩa với xác định tham số a, b, c ) ta cần dựa vào giả thiết để lập nên phương trình (hệ phương trình) ẩn a, b, c Từ tìm a, b, c Việc lập nên phương trình nêu thường sử dụng đến kết sau: M  x0 ; y0   y0  f  x0  - Đồ thị hàm số qua điểm - Đồ thị hàm số có trục đối xứng x  x0   I  xI ; y I  - Đồ thị hàm số có đỉnh - Trên  , ta có:       b  x0 2a b  xI  2a     yI  4a    b  xI    2a   f  xI   y I      b  f   4a  2a  có giá trị lớn  a  Lúc   b  Min f  x   f   f  x  4a  2a  có giá trị nhỏ  a  Lúc Max f  x   f  x Câu  Xác định parabol y = ax + x - , biết parabol a) Cắt trục hồnh điểm có hồnh độ b) Có trục đối xứng x =- ổ 11ử ữ Iỗ - ;ữ ỗ ữ ỗ ố ứ c) Cú nh d) Đạt cực tiểu x = Câu 2 Xác định parabol y = ax + bx + , biết parabol a) Đi qua hai điểm b) Có đỉnh Câu M ( 1; 5) I ( ; - 2) N ( - ; 8) c) Đi qua điểm A ( 3; - 4) d) Đi qua điểm B ( - 1; 6) có trục đối xứng đỉnh có tung độ - x =- 4 Xác định parabol y = x + bx + c , biết parabol M ( ; 4) a) Có trục đối xứng x = cắt Oy điểm Trang b) Có đỉnh I ( - 1; - 2) c) Đi qua hai điểm A ( ; - 1) B ( ; 0) N ( 1; - 2) d) Có hồnh độ đỉnh - qua điểm Câu Xác định parabol y = ax + c , biết rẳng parabol a) Đi qua hai điểm b) Có đỉnh Câu I ( ; 3) M ( 1;1) B ( ; - 2) , A ( - ; 0) hai giao điểm với Ox Xác định parabol y = ax - x + c , biết parabol M ( - ;1) a) Có hồnh độ đỉnh - qua điểm A ( ; 0) b) Có trục đối xứng đường thẳng x = cắt trục hoành điểm Câu Xác định parabol y = ax + bx + c , biết parabol a) Đi qua ba điểm A ( 1;1) B ( - 1; - 3) O ( ; 0) , , b) Cắt trục Ox hai điểm có hồnh độ - , cắt trục Oy điểm có tung độ - c) Đi qua điểm Câu M ( 4; - 6) , cắt trục Ox hai điểm có hồnh độ Xác định parabol y = ax + bx + c , biết parabol a) Có đỉnh I ( 2; - 1) cắt trục tung điểm có tung độ - b) Cắt trục hoành hai điểm A ( 1; 0) B ( 3; 0) , có đỉnh nằm đường thẳng y =- c) Có đỉnh nằm trục hồnh qua hai điểm M ( ;1) N ( ;1) , M ( - 5; 6) d) Trục đối xứng đường thẳng x = , qua cắt trục tung điểm có tung độ - Câu Xác định parabol y = ax + bx + c , biết parabol A ( ; 6) a) Đạt cực tiểu x = đồ thị hàm số qua điểm B ( ; - 1) b) Đạt cực đại x = đồ thị hàm số qua điểm Câu ( m ¹ 0) Xác định giá trị m trường hợp sau Cho hàm số y = mx - mx - 3m - a) Đồ thị hàm số qua điểm A ( - ; 3) b) Có đỉnh thuộc đường thẳng y = x - Trang c) Hàm số có giá trị nhỏ - 10 Câu 10 Tìm tham số a, b, c cho hàm số y ax  bx  c đạt giá trị nhỏ x 2 đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ y  f  x  4 x  4mx  m2  2m Câu 11 Cho hàm số Tìm tất giá trị tham số m cho Min f  x  3   2; 0 DẠNG SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA PARABOL VỚI ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC Dạng Sự tương giao đồ thị hàm số bậc bậc hai Cho đồ thị  P hàm số y ax  bx  c với a 0 đồ thị d hàm số y kx  m Toạ độ giao điểm hai đồ thị  P d nghiệm hệ phương trình  y ax  bx  c   y kx  m (1) Phương trình hồnh độ giao điểm  P d ax  bx  c kx  m  ax   b  k  x  c  m 0  2 Nhận xét: Số giao điểm của phương trình (2)  P d số nghiệm hệ phương trình (1) số nghiệm  P  không giao Nếu phương trình (2) vơ nghiệm ta nói d  P  tiếp xúc với Lúc ta nói d Nếu phương trình (2) có nghiệm kép ta nói d  P tiếp tuyến  P  cắt Nếu phương trình (2) có nghiệm phân biệt ta nói d Dạng Sự tương giao hai đồ thị hàm số bậc hai Cho hai hàm số parabol  P1  y  f  x y g  x  hàm số bậc hai có đồ thị đường  P2  , tọa độ giao điểm  P1   P2  nghiệm hệ phương trình  y  f  x    y  g  x  (1) Để giải hệ (1) ta cần giải phương trình trình hồnh độ giao điểm  P1  f  x  g  x  (2), phương trình (2) gọi phương  P2  * Nhận xét: i) Số giao điểm (2)  P1   P2  số nghiệm hệ (1) số nghiệm phương trình y  f  x y g  x  ii) hàm số bậc hai nên phương trình (2) có nhiều nghiệm iii) Các toán liên quan đến dạng thường áp dụng đến nội dung định lý Vi et thuận, nhắc lại Trang x x sau Cho phương trình bậc hai ax  bx  c 0 có hai nghiệm , ta ln có b c x1  x2  x1 x2  a a Dạng Điểm cố định đồ thị hàm số f  x ; m  0 m P  P  Cho họ hàm số ( tham số) có đồ thị m Để tìm điểm cố định mà m ln qua với giá trị m , ta thực bước sau: M  x0 ; y0  P  Bước 1: Giả sử điểm điểm cố định mà m qua f  x ; m  0 Tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình Bước 2: Chuyển phương trình phương trình ẩn m dạng Am  B 0 (hoặc Am  Bm  C 0 ) Phương trình nghiệm với m  A 0   A 0  B 0  C 0 x ; y  M  x0 ; y  Khi ta có  B 0  Tìm 0 Bước 3: Kết luận Câu Tìm tọa độ giao điểm cặp đồ thị hàm số sau y = x2 - 5x + a) y = x - 2 b) y = x + x - y =- x + x + Câu 2 Cho parabol y =- x + x - đường thẳng d : y =- x + m Tìm giá trị m để ( P) hai điểm phân biệt A , B tìm tọa độ trung điểm AB a) d cắt ( P) có điểm chung Tìm tọa độ điểm chung b) d ( P) c) d không cắt ( P) có giao điểm nằm đường thẳng y =- d) d Câu ( P) : y = x - 4x + đường thẳng d : y = mx + Tìm giá trị m để P ( ) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB a) d Cho parabol ( P) hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x13 + x23 = b) d cắt Câu Chứng minh với m , đồ thị hàm số sau ln cắt trục hồnh hai điểm phân biệt đỉnh I đồ thị chạy đường thẳng cố định m2 y = x - mx + - a) b) Câu Câu Trang y = x - 2mx + m - y = mx + ( m - 2) x - 3m + Chứng minh với m , đồ thị hàm số qua hai điểm cố định Chứng minh parabol sau tiếp xúc với đường thẳng cố định a) y = x - ( m - 1) x + m - b) y = mx - ( m - 1) x + m - ( m ¹ 0) Câu Chứng minh đường thẳng sau tiếp xúc vơi parabol cố định ( m ¹ 0) a) y = mx - m + 4m + ổ 1ữ ỗ mạ ữ ç ÷ y = ( m - 2) x - m - ỗ ứ ố b) DẠNG MỘT SỐ CÂU HỎI THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ BẬC HAI Dạng 1: Các tốn thực tế mà mơ hình thực tiễn chưa chuyển mơ hình tốn học Các bước làm sau: Bước 1: Dựa vào giả thiết yếu tố đề bài, ta xây dựng mơ hình tốn học cho vấn đề xét, tức diễn tả “dạng ngơn ngữ tốn học” cho mơ hình mơ thực tiễn Căn vào yếu tố ta chọn biến số, tìm điều kiện tồn tại, đơn vị Bước 2: Dựa vào mối liên hệ ràng buộc biến số với giả thiết đề kiến thức liên quan đến thực tế, ta thiết lập hàm số bậc hai Chuyển yêu cầu đặt toán thực tiễn thành yêu cầu toán hàm số bậc hai Bước 3: Dùng tính chất hàm số bậc hai để giải tốn hình thành bước Lưu ý kiểm tra điều kiện, kết thu có phù hợp với toán thực tế cho chưa Dạng 2: Các tốn thực tế mơ hình hóa hàm số bậc hai Thực bước dạng Câu Một bóng ném vào khơng trung có chiều cao tính từ lúc bắt đầu ném cho h  t   t  2t   t 0  cơng thức (tính mét), t thời gian tính giây a Tính chiều cao lớn bóng đạt b Hãy tính xem sau bóng rơi xuống mặt đất? Câu Độ cao bóng golf tính theo thời gian xác định hàm bậc hai Với thông số cho bảng sau, xác định độ cao bóng đạt thời điểm giây? Câu Một miếng nhơm có bề ngang 32 cm uốn cong tạo thành máng dẫn nước chia nhôm thành phần gấp bên lại theo góc vng hình vẽ Hỏi x để tạo máng có có diện tích mặt ngang S lớn nước qua nhiều nhất? Lời giải Gọi S  x diện tích mặt ngang ứng với bề ngang x (cm) phần gấp hai bên, ta có: S  x   x  32  x  , với  x  16 Diện tích mặt ngang lớn hàm số S  x đạt giá trị lớn  0;16  Trang S  x   x  32 x   x    128 128, x   0;16  Ta có:  max S  x  S   128 Vậy x 8 cm diện tích mặt ngang lớn Câu Hai chuồn chuồn bay hai quĩ đạo khác nhau, xuất phát thời điểm Một bay quỹ đạo đường thẳng từ điểm A  0;100  O  0;0  đến điểm với vận tốc m/s Con lại bay quĩ đạo đường thẳng từ B  60;80  O  0;0  đến điểm với vận tốc 10 m/s Hỏi trình bay khoảng cách ngắn hai đạt bao nhiêu? Câu Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng Phú Thọ với giá bán 50000 đồng Với giá bán ngày cửa hàng bán 40 Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính cửa hàng giảm 1000 đồng số bưởi bán tăng thêm 10 Xác định giá bán để hàng thu lợi nhuận cao nhất, biết giá nhập ban đầu cho 30000 đồng PHẦN C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ Câu Câu Câu Câu Câu Câu Trang 10 Hàm số y ax  bx  c , ( a  0) đồng biến khoảng sau đậy? b      b      ;  ;     ;       ;   2a  4a    A  B  2a C  4a D  Cho hàm số y  x  x  Khẳng định sau sai?   ;1 hàm số đồng biến A Trên khoảng  2;  đồng biến khoảng   ;  B Hàm số nghịch biến khoảng  3;  hàm số nghịch biến C Trên khoảng  4;  đồng biến khoảng   ;  D Hàm số nghịch biến khoảng Hàm số y 4 x  x có biến thiên khoảng (2;+) A tăng B giảm C vừa tăng vừa giảm D không tăng không giảm Hàm số y x  x  11 đồng biến khoảng khoảng sau đây? A ( 2; ) B ( ; ) C (2; ) D ( ;2) Khoảng đồng biến hàm số y  x  x    ;     ;  A B   2;    2;  C D Khoảng nghịch biến hàm số y  x  x  A Hình B Hình C Hình D Hình Câu 51 Hàm số sau có đồ thị hình bên? y 5 4 3 2 1 x 1 2 3 A y  x  3x  B y  x  x  C y  x  x  D y  x  x   P  Tìm mệnh đề sai Câu 52 Cho hàm số y  x  x  có đồ thị  P  có đỉnh I  1;3 B y 4, x   0;3 A max y 7, x   0;3  P  có trục đối xứng x 1 C D Câu 53 Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x  x  A  B C D 13 Câu 54 Giá trị nhỏ hàm số y x  x  đạt A x  B x  C x 0 D x 1 Câu 55 Giá trị nhỏ hàm số y 2 x  x  A  B   21 C  25 D Câu 56 Khẳng định đúng? 25 A Hàm số y  3x  x  có giá trị lớn 12 Trang 19 25 y  x  x  B Hàm số có giá trị nhỏ 12 25 y  x  x  C Hàm số có giá trị lớn 25 y  x  x  D Hàm số có giá trị nhỏ  2; 2 Câu 57 Giá trị nhỏ hàm số y 5 x  x  đoạn  là: A 17 B 25 C 16 D 1;3 Câu 58 Giá trị lớn hàm số y  3x  x  đoạn   là: A B C D  20 y Câu 59 Giá trị lớn hàm số 11 11 A B x  x  bằng: C 11 D 11  1; 4 Câu 60 Tổng giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y x  x  miền  A  B C D y x  x Câu 61 Giá trị nhỏ hàm số là: A B C  y x  x  Câu 62 Giá trị nhỏ hàm số là: A  B C D  D  x  x  x 2 y  x  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ  x  12 Câu 63 Cho hàm số x    1; 4 hàm số Tính M  m A  14 B  13 C  D  Câu 64 Tìm giá trị thực tham số m 0 để hàm số y mx  2mx  3m  có giá trị nhỏ  10  A m 1 B m 2 C m  D m   1; 2 Câu 65 Hàm số y  x  x  m  đạt giá trị lớn đoạn  m thuộc 7;8    ;5  5;   9;11 A B  C D Câu 66 Giá trị nhỏ hàm số y  x  2mx  giá trị tham số m A m 4 B m 4 C m 2 D m  2 Câu 67 Giá trị tham số m để hàm số y  x  2mx  m  3m  có giá trị nhỏ  10  thuộc khoảng khoảng sau đây? Trang 20