Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 27 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
27
Dung lượng
3,01 MB
Nội dung
Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 PHẦN I – ĐỀ BÀI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TĨM TẮT Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: n ( a b) n Cnk a n k b k k 0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n k n k k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n) k n k 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cn Cn n k1 k k 5) Cn Cn 1 , Cn Cn Cn 1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu cơng thức đặc biệt Chẳng hạn: n n n n n (1+x)n = Cn x Cn x Cn Cn Cn Cn 2 n n n n n n (x–1)n = Cn x Cn x ( 1) Cn Cn Cn ( 1) Cn 0 Từ khai triển ta có kết sau n n * Cn Cn Cn 2 n n * Cn Cn Cn ( 1) Cn 0 B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp: ax p n n bx q Cnk ax p k 0 n k q k n bx C a k n n k b k x np pk qk k 0 Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np pk qk m m np Từ tìm k p q k n k k Vậy hệ số số hạng chứa x m là: Cn a b với giá trị k tìm Nếu k khơng ngun k n khai triển khơng chứa x m , hệ số phải tìm Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x m khai triển m n P x a bx p cx q viết dạng a0 a1 x a2 n x n Ta làm sau: n n k p q k n k p q * Viết P x a bx cx Cn a bx cx ; k 0 k * Viết số hạng tổng quát khai triển số hạng dạng bx p cx q thành đa thức theo luỹ thừa x * Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số x m Chú ý: Để xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Ta làm sau: Trang Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 * Tính hệ số ak theo k n ; * Giải bất phương trình ak ak với ẩn số k ; * Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình Câu 1: Trong khai triển 2a b , hệ số số hạng thứ bằng: A 80 B 80 C 10 D 10 n 6 Câu 2: Trong khai triển nhị thức a , n Có tất 17 số hạng Vậy n bằng: A 17 B 11 C 10 D 12 10 Câu 3: Trong khai triển x y , hệ số số hạng là: 4 A C10 4 B C10 5 C C10 5 D C10 Câu 4: Trong khai triển x y , hệ số số hạng chứa x y là: A 22400 B 40000 C 8960 D 4000 Câu 5: Trong khai triển x , hệ số x , x là: x A 60 B 80 C 160 D 240 1 Câu 6: Trong khai triển a , số hạng thứ là: b 4 A 35.a b B 35.a b C 35.a b D 35.a b Câu 7: Trong khai triển 2a 1 , tổng ba số hạng đầu là: A 2a 6a 15a C 64a 192a 480a Câu 8: Trong khai triển x A 16 x y15 y B 2a 15a 30a D 64a 192a 240a y 16 , tổng hai số hạng cuối là: C 16 xy15 y B 16 x y15 y D 16 xy15 y Câu 9: Trong khai triển 8a b , hệ số số hạng chứa a 9b3 là: A 80a b B 64a9 b3 C 1280a b3 D 60a b Câu 10: Trong khai triển x , số hạng không chứa x là: x A 4308 B 86016 C 84 D 43008 10 Câu 11: Trong khai triển x 1 , hệ số số hạng chứa x8 là: A 11520 B 45 C 256 Câu 12: Trong khai triển a 2b , hệ số số hạng chứa a b là: A 1120 B 560 C 140 Câu 13: Trong khai triển 3x y , số hạng chứa x y là: A 2835 x y B 2835x y C 945x y D 11520 D 70 D 945 x y Câu 14: Trong khai triển 0,2 + 0,8 , số hạng thứ tư là: A 0, 0064 B 0, 4096 C 0, 0512 Câu 15: Hệ số x y khai triển x y là: A 20 B 800 C 36 Trang D 0, 2048 D 400 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Câu 16: Số hạng khai triển 3x y là: 2 A C4 x y B x 2y 2 2 C 6C4 x y 2 D 36C4 x y 11 Câu 17: Trong khai triển x y , hệ số số hạng chứa x8 y A C11 B C11 C C11 D C11 Câu 18: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: f ( x ) (1 x)10 A 15360 B 15360 C 15363 D 15363 Câu 19: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: h( x) x(2 x) A 489889 B 489887 C 489888 D 489888 Câu 20: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: g ( x) (1 x) (1 x) (2 x)9 A 29 B 30 C 31 D 32 10 Câu 21: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: f ( x ) (3 x) A 103680 B 1301323 C 131393 D 1031831 Câu 22: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: h( x) x(1 x ) A 4608 B 4608 C 4618 D 4618 10 Câu 23: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x ) (3x 1) A 17010 B 21303 C 20123 D 21313 2 Câu 24: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x ) x x A 1312317 B 76424 C 427700 D 700000 12 x Câu 25: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x) x 2 297 29 27 97 A B C D 512 51 52 12 10 Câu 26: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x ) (1 x x ) A 37845 B 14131 C 324234 D 131239 8 Câu 27: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x ) 8(1 x ) 9(1 x)9 10(1 10 x)10 8 8 A 8.C8 C9 10.C10 10 8 8 B C8 C9 C10 10 8 8 C C8 9.C9 10.C10 10 8 8 D 8.C8 9.C9 10.C10 10 Câu 28: Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức sau: g ( x) 8(1 x)8 9(1 x)9 10(1 x)10 A 22094 B 139131 C 130282 D 21031 Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 y10 khai triển x xy A 2080 B 3003 15 là: D 3200 C 2800 18 Câu 30: Số hạng không chứa x khai triển x là: x 10 A C18 B C18 C C18 D C18 12 Câu 31: Khai triển x , hệ số đứng trước x là: A 330 B – 33 C –72 Câu 32: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: f ( x ) ( x A 59136 B 213012 12 ) x C 12373 Câu 33: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: g ( x) ( Trang D –792 (x 0) D 139412 x x )17 ( x 0) Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 A 24310 B 213012 C 12373 D 139412 n Câu 34: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn x biết x n 1 n Cn 4 Cn3 7 n 3 A 495 B 313 C 1303 D 13129 n 1 Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triển biểu thức x x với n số x nguyên dương thoả mãn Cn3 2n An21 ( Cnk , Ank tương ứng số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k n phần tử) A 98 B 98 C 96 D 96 40 Câu 36: Trong khai triển f x x , tìm hệ số x31 x A 9880 B 1313 C 14940 D 1147 18 1 Câu 37: Hãy tìm khai triển nhị thức x số hạng độc lập x x A 9880 B 1313 C 14940 12 x 3 Câu 38: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển 3 x 55 13 621 A B C 113 Câu 39: Tính hệ số x 25 y10 khai triển x xy D 48620 D 1412 3123 15 A 300123 B 121148 C 3003 D 1303 20 Câu 40: Cho đa thức P x x x 20 x có dạng khai triển P x a0 a1 x a2 x a20 x 20 Hãy tính hệ số a15 A 400995 B 130414 Câu 41: Tìm số hạng khai triển 33 A 4536 B 4184 20 Câu 42: Xét khai triển f ( x) (2 x ) x Viết số hạng thứ k khai triển k 20 k 20 k A Tk 1 C20 x k 20 k 20 k x C Tk 1 C20 2 Số hạng khai triển không chứa x 10 10 10 A C20 B A20 C 511313 D 412674 số nguyên C 414 12 D 1313 k 20 k 20 k B Tk 1 C10 x k 20 k 20 k D Tk 1 C20 x 10 C C20 10 10 D C20 Câu 43: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x ) (3 x x 1)10 A 8089 B 8085 C 1303 D 11312 2n Câu 44: Tìm hệ số x khai triển thành đa thức (2 3x) , biết n số nguyên dương thỏa n 1 mãn : C2 n 1 C2 n 1 C2 n 1 C2 n 1 1024 A 2099529 B 2099520 C 2099529 D 2099520 Trang Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Câu 45: Tìm hệ số x9 khai triển f ( x) (1 x)9 (1 x)10 (1 x)14 A 8089 B 8085 C 3003 D 11312 10 Câu 46: Tìm hệ số x khai triển đa thức của: x x x x A 3320 B 2130 C 3210 D 1313 8 Câu 47: Tìm hệ số cuả x khai triển đa thức f ( x ) 1 x x A 213 B 230 Câu 48: Đa thức P x x x C 238 10 D 214 a0 a1 x a20 x Tìm a15 20 10 5 A a15 C10 C10 C10 C9 C10 C8 10 5 6 7 B a15 C10 C10 C10 C9 C10 C8 10 5 6 7 C a15 C10 C10 C10 C9 C10 C8 10 5 6 7 D a15 C10 C10 C10 C9 C10 C8 3.2 Câu 49: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau ( x n ) , biết Cnn Cnn 78 với x x 0 A 112640 B 112640 C 112643 D 112643 n Câu 50: Với n số nguyên dương, gọi a3n hệ số x khai triển thành đa thức n n ( x 1) ( x 2) Tìm n để a3n 26n A n=5 B n=4 C n=3 D n=2 n 7 26 Câu 51: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton x , biết x n 20 C2 n 1 C2n 1 C2 n 1 2 A 210 B 213 C 414 D 213 n n Câu 52: Cho n * (1 x) a0 a1 x an x Biết tồn số nguyên k ( k n ) a a a cho k k k 1 Tính n ? 24 A 10 B 11 C 20 D 22 10 Câu 53: Trong khai triển ( x) thành đa thức 3 10 a0 a1 x a2 x a9 x a10 x , tìm hệ số ak lớn ( k 10 ) 210 210 210 210 B C D a 3003 a 3003 a 3003 315 315 315 315 n n Câu 54: Giả sử (1 x) a0 a1 x a2 x an x , biết a0 a1 an 729 Tìm n số lớn số a0 , a1 , , an A a10 3003 A n=6, max ak a4 240 B n=6, max ak a6 240 C n=4, max ak a4 240 D n=4, max ak a6 240 n n Câu 55: Cho khai triển (1 x) a0 a1 x an x , n * Tìm số lớn số a a a0 , a1 , , an , biết hệ số a0 , a1 , , an thỏa mãn hệ thức: a0 nn 4096 2 A 126720 B 213013 C 130272 D 130127 Trang Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 n DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG k n a C b k k k 0 Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton ( a b) n Cn0 a n a n 1bCn1 a n 2b 2Cn2 b nCnn Ta chọn giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức Một số kết ta thường hay sử dụng: k n k * Cn Cn n n * Cn Cn Cn 2 n * k ( 1) C k n 0 k 0 n n k 0 k 0 2k 2k * C2 n C2 n n * C k n 2n k C2 n k 0 a k (1 a) n k 0 Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k ) biến đổi số hạng có hệ số khơng chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn n Câu 1: Tổng T Cn Cn Cn Cn Cn bằng: A T 2n B T 2n – C T n D T 4n Câu 2: Tính giá trị tổng S C6 C6 C6 bằng: A 64 B 48 C 72 D 100 5 Câu 3: Khai triển x y thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S C5 C5 C5 A 32 B 64 C D 12 n n Câu 4: Tìm số nguyên dương n cho: Cn 2Cn 4Cn Cn 243 A B 11 C 12 D 5 Câu 5: Khai triển x y thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S C5 C5 C5 A 32 C B 64 Câu 6: Khai triển x x x a0 a1 x a2 x a15 x15 a) Hãy tính hệ số a10 4 A a10 C5 C5 C5 C5 4 B a10 C5 C5 C5 C5 C5 C5 4 C a10 C5 C5 C5 C5 C5 C5 4 D a10 C5 C5 C5 C5 C5 C5 b) Tính tổng T a0 a1 a15 S a0 a1 a2 a15 A 131 B 147614 C Câu 7: Khai triển x x a) Hãy tính hệ số a4 A a4 C10 2 10 a0 a1 x a2 x a20 x 4 B a4 2 C10 20 b) Tính tổng S a1 2a2 4a3 a20 Trang D 12 D 20 C a4 C10C10 4 D a4 C10 C10 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 A S 1710 B S 1510 C S 17 20 1 1 ( 1) n n Cn Câu 8: Tính tổng sau: S Cn Cn Cn Cn 2( n 1) A B C 2(n 1) n n n n Câu 9: Tính tổng sau: S Cn 2Cn 3Cn nCn A n.4n B C 1 1 Cnn Câu 10: Tính tổng sau: S1 Cn Cn Cn n 1 n 1 n 1 1 1 2n 1 A B C 1 n 1 n 1 n 1 n Câu 11: Tính tổng sau: S Cn 2Cn nCn A 2n.2 n B n.2n 1 C 2n.2 n 1 D S 710 D (n 1) D 4n D 2n 1 1 n 1 D n.2n n Câu 12: Tính tổng sau: S3 2.1.Cn 3.2Cn 4.3Cn n(n 1)Cn A n(n 1)2n B n(n 2)2n Câu 13: Tính tổng S Cn0 C n(n 1)2n D n(n 1)2n 2 32 1 3n 1 n Cn Cn n 1 4n 1 2n 1 n 1 n 1 2n 1 C S 1 n 1 4n 1 2n 1 1 n 1 4n 1 2n 1 D S 1 n 1 A S B S 22 1 2n 1 n Cn Cn n 1 3n 1 2n 1 3n n 1 3n 1 2n 3n 1 2n 1 A S B S C S D S n 1 n 1 n 1 n 1 2 n n 1 Câu 15: Tìm số nguyên dương n cho : C2 n 1 2.2C2 n 1 3.2 C2 n 1 (2n 1)2 C2 n 1 2005 A n 1001 B n 1002 C n 1114 D n 102 n n 1 n n n 0 Câu 16: Tính tổng 1.3 Cn 2.3 Cn n.3 Cn Câu 14: Tính tổng S Cn0 A n.8n B (n 1).8n C (n 1).8n n Câu 17: Tính tổng S 2.1Cn 3.2Cn 4.3Cn n(n 1)Cn A n(n 1)2n B n(n 1)2n 2 2 Câu 18: Tính tổng Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n A C2 n n B C2 n C n(n 1)2n D (n 1)2n n C 2C2 n n D C2 n n n n n n n Câu 19: Tính tổng sau: S1 5 Cn 3.Cn Cn Cn A 28n B 8n C 8n 2 2010 2010 Câu 20: S C2011 C2011 C2011 32011 3211 B 2 Câu 21: Tính tổng S3 Cn1 2Cn2 nCnn A A 4n.2 n Trang B n.2n D n.8n C 32011 12 C 3n.2n D 8n D 32011 D 2n.2 n Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT Công thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: n ( a b) n Cnk a n k b k k 0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n k n k k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n) k n k 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cn Cn n k1 k k 5) Cn Cn 1 , Cn Cn Cn 1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu cơng thức đặc biệt Chẳng hạn: n n n n n (1+x)n = Cn x Cn x Cn Cn Cn Cn 2 n n n n n n (x–1)n = Cn x Cn x ( 1) Cn Cn Cn ( 1) Cn 0 Từ khai triển ta có kết sau n n * Cn Cn Cn 2 n n * Cn Cn Cn ( 1) Cn 0 B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp: n n ax p bx q Cnk ax p k 0 n k k n bxq Cnk a n k bk xnp pk qk k 0 Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np pk qk m m np Từ tìm k p q k n k k Vậy hệ số số hạng chứa x m là: Cn a b với giá trị k tìm Nếu k khơng ngun k n khai triển không chứa x m , hệ số phải tìm Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x m khai triển m n P x a bx p cx q viết dạng a0 a1 x a2 n x n Ta làm sau: n n k p q k n k p q * Viết P x a bx cx Cn a bx cx ; k 0 k * Viết số hạng tổng quát khai triển số hạng dạng bx p cx q thành đa thức theo luỹ thừa x * Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số x m Trang Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Chú ý: Để xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Ta làm sau: * Tính hệ số ak theo k n ; * Giải bất phương trình ak ak với ẩn số k ; * Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình Câu 1: Trong khai triển 2a b , hệ số số hạng thứ bằng: A 80 B 80 C 10 Hướng dẫn giải: Chọn B 5 Ta có: 2a b C50 2a C51 2a b C52 2a b D 10 Do hệ số số hạng thứ C5 80 n 6 Câu 2: Trong khai triển nhị thức a , n Có tất 17 số hạng Vậy n bằng: A 17 B 11 C 10 D 12 Hướng dẫn giải: Chọn C n 6 Trong khai triển a , n có tất n số hạng Do n 17 n 10 10 Câu 3: Trong khai triển x y , hệ số số hạng là: 4 4 B C10 A C10 Hướng dẫn giải: Chọn D 5 C C10 5 D C10 10 Trong khai triển x y có tất 11 số hạng nên số hạng số hạng thứ 5 Vậy hệ số số hạng C10 Câu 4: Trong khai triển x y , hệ số số hạng chứa x y là: A 22400 B 40000 C 8960 D 4000 Hướng dẫn giải: Chọn A k k 8 k k k k 8 k k k k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 ( 1) C8 (2 x) (5 y) ( 1) C8 x y Yêu cầu toán xảy k 3 Khi hệ số số hạng chứa x y là: 22400 Câu 5: Trong khai triển x , hệ số x , x là: x A 60 B 80 C 160 Hướng dẫn giải: Chọn C D 240 Số hạng tổng quát khai triển T C k x 6 k 2k x k k 1 Yêu cầu toán xảy k k 3 k 3 3 Khi hệ số x là: C6 160 1 Câu 6: Trong khai triển a , số hạng thứ là: b 4 A 35.a b B 35.a b Trang C 35.a b D 35.a b Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn A k 14 k k b Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C7 a 4 4 Vậy số hạng thứ T5 C7 a b 35.a b Câu 7: Trong khai triển 2a 1 , tổng ba số hạng đầu là: A 2a 6a 15a C 64a 192a 480a Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: 2a 1 C60 26 a C61.25 a C62 a B 2a 15a 30a D 64a 192a 240a Vậy tổng số hạng đầu 64a 192a 240a Câu 8: Trong khai triển x A 16 x y15 y Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: x y 16 y 16 , tổng hai số hạng cuối là: C 16 xy15 y B 16 x y15 y 15 C160 x16 C161 x15 y C16 x y 15 C1616 y D 16 xy15 y 16 Câu 9: Trong khai triển 8a b , hệ số số hạng chứa a 9b3 là: A 80a b B 64a9 b3 C 1280a b3 Hướng dẫn giải: Chọn C k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 1 C6k 86 k a12 k 2 k b k D 60a b Yêu cầu tốn xảy k 3 Khi hệ số số hạng chứa a 9b3 là: 1280a b3 Câu 10: Trong khai triển x , số hạng không chứa x là: x A 4308 B 86016 C 84 Hướng dẫn giải: Chọn D k 9 k k k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C9 x x Yêu cầu toán xảy k 2k 0 k 3 3 Khi số hạng khơng chứa x là: C9 43008 D 43008 10 Câu 11: Trong khai triển x 1 , hệ số số hạng chứa x8 là: A 11520 B 45 C 256 Hướng dẫn giải: Chọn D k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C10k 210 k x10 k 1 Yêu cầu toán xảy 10 k 8 k 2 Khi hệ số số hạng chứa x8 là: C10 11520 D 11520 Câu 12: Trong khai triển a 2b , hệ số số hạng chứa a b là: A 1120 B 560 C 140 Hướng dẫn giải: Trang 10 D 70 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 7 Vậy hệ số chứa x8 là: C9 ( 2) 4608 Câu 23: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x ) (3x 1)10 A 17010 B 21303 C 20123 Hướng dẫn giải: Chọn A D 21313 10 k k 2k 4 Ta có: f ( x ) C10 x , số hạng chứa x8 ứng với k 4 nên hệ số x8 là: C10 17010 k 0 2 Câu 24: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x ) x x A 1312317 B 76424 C 427700 Hướng dẫn giải: Chọn D D 700000 k 8 k k 4k Ta có: f ( x ) C8 ( 5) x , số hạng chứa x8 ứng với k 4 nên hệ số x8 là: k 0 4 C ( 5) 700000 x Câu 25: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) x 2 297 29 27 A B C 512 51 52 Hướng dẫn giải: Chọn A 12 D 97 12 12 k 12 k k k 12 Ta có: f ( x ) C12 x , số hạng chứa x8 ứng với k 10 nên hệ số x8 là: k 0 297 512 Câu 26: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x ) (1 x x )10 A 37845 B 14131 C 324234 Hướng dẫn giải: Chọn A C1210 32.2 10 10 10 k 0 k 0 j 0 D 131239 k k 10 k k k j 10 k 20 k j Ta có: f ( x ) C10 (2 x ) (1 x) C10Ck x 0 j k 10 Số hạng chứa x8 ứng với cặp (k , j ) thỏa: j 2k 12 Nên hệ số x là: C106 C60 24 C107 C72 23 C108 C84 22 C109 C96 C1010C108 37845 Câu 27: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x ) 8(1 x )8 9(1 x)9 10(1 10 x)10 8 8 8 8 A 8.C8 C9 10.C10 10 B C8 C9 C10 10 8 8 C C8 9.C9 10.C10 10 Hướng dẫn giải: Chọn D 8 k k 8 k Ta có: (1 x ) C8 x k 0 (1 x)9 C9k 99 k x9 k k 0 Trang 13 8 8 D 8.C8 9.C9 10.C10 10 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 10 (1 10 x)10 C10k 1010 k x10 k k 0 8 8 Nên hệ số chứa x8 là: 8.C8 9.C9 10.C10 10 Câu 28: Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức sau: g ( x) 8(1 x)8 9(1 x)9 10(1 x)10 A 22094 B 139131 C 130282 D 21031 Hướng dẫn giải: Chọn A n n k k k k k Ta có: ax Cn a x nên ta suy hệ số x k khai triển (1 ax) n Cn a Do đó: i 0 Hệ số x khai triển (1 x )8 : C8 8 Hệ số x8 khai triển (1 x)9 : C9 8 Hệ số x8 khai triển (1 3x)10 : C10 8 8 Vậy hệ số chứa x8 khai triển g ( x) thành đa thức là: 8C8 9.2 C9 10.3 C10 22094 Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 y10 khai triển x xy 15 là: D 3200 A 2080 B 3003 C 2800 Hướng dẫn giải: Chọn B k 45 k x k y k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C15 x Yêu cầu toán xảy k 10 Vậy hệ số đứng trước x 25 y10 khai triển x xy 15 10 là: C15 3003 18 Câu 30: Số hạng không chứa x khai triển x là: x 10 A C18 B C18 C C18 Hướng dẫn giải: Chọn A k 54 k x k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C18 x Yêu cầu toán xảy 54 3k 3k 0 k 9 Khi số hạng không chứa là: C18 D C18 12 Câu 31: Khai triển x , hệ số đứng trước x là: A 330 B – 33 C –72 Hướng dẫn giải: Chọn D k Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 C12k 1 x k Yêu cầu toán xảy k 7 Khi hệ số số hạng chứa x là: C12 792 Câu 32: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: f ( x) ( x A 59136 Hướng dẫn giải: Chọn A B 213012 12 12 k 12 k 1 k Ta có: f ( x) ( x 2.x ) C12 x ( x ) k 0 Trang 14 C 12373 D –792 12 ) x (x 0) D 139412 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 12 k 12 C ( 2) k x12 k k 0 Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12 2k 0 k 6 số hạng không chứa x là: C126 26 59136 Câu 33: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: g ( x) ( A 24310 B 213012 Hướng dẫn giải: Chọn A 3 x ; x x Vì nên ta có x 17 k x x )17 C 12373 ( x 0) D 139412 k 17 k 136 17 2 3 f ( x ) C x x C17k x 12 k 0 k 0 Hệ số không chứa x ứng với giá trị k thỏa: 17 k 136 0 k 8 Vậy hệ số không chứa x là: C17 24310 17 k 17 n Câu 34: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn x biết x n 1 n Cn 4 Cn3 7 n 3 A 495 B 313 C 1303 D 13129 Hướng dẫn giải: Chọn A n 1 n n n 1 n Ta có: Cn 4 Cn 3 7 n 3 Cn 3 Cn 3 Cn 3 7 n 3 Cnn31 7 n 3 n n 3 7 2! n 7.2! 14 n 12 n n 3 12 k 60 11k 12 12 k C12k x Khi đó: x C12k x x x k 0 k 0 60 11k 8 k 4 Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa: 12! 495 Do hệ số số hạng chứa x8 là: C12 4! 12 ! n 1 Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triển biểu thức x x với n số x nguyên dương thoả mãn Cn3 2n An21 ( Cnk , Ank tương ứng số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k n phần tử) A 98 B 98 C 96 D 96 Hướng dẫn giải: Chọn A n 3 Ta có: Cn 2n An 1 n n 1 n 2n n 1 n n 3 n 8 n 9n 0 Trang 15 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 Theo nhị thức Newton ta có: 8 1 1 1 x x x x x x C8 x C8 x x 1 C82 x C83 x C84 x C88 x x x x Số hạng khơng phụ thuộc vào x chỉ có hai biểu thức C83 x C84 1 x x Trong có hai số hạng không phụ thuộc vào x là: C8 C3 C8 C4 Do số hạng không phụ thuộc vào x là: C8 C3 C8 C4 98 40 Câu 36: Trong khai triển f x x , tìm hệ số x31 x A 9880 B 1313 C 14940 Hướng dẫn giải: Chọn A D 1147 18 1 Câu 37: Hãy tìm khai triển nhị thức x số hạng độc lập x x A 9880 B 1313 C 14940 Hướng dẫn giải: Chọn D C189 48620 x 3 Câu 38: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển 3 x 55 13 621 A B C 113 Hướng dẫn giải: Chọn A 55 ( 3)4 C124 D 48620 12 Câu 39: Tính hệ số x 25 y10 khai triển x xy A 300123 Hướng dẫn giải: Chọn C C1510 3003 B 121148 1412 3123 15 C 3003 D Câu 40: Cho đa thức P x x x 20 x 20 D 1303 có dạng khai triển P x a0 a1 x a2 x a20 x 20 Hãy tính hệ số a15 A 400995 Hướng dẫn giải: Chọn A B 130414 C 511313 20 a15 kCk15 400995 k 15 Câu 41: Tìm số hạng khai triển Trang 16 33 số nguyên D 412674 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 A 4536 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có 33 B 4184 k C k C 414 12 D 1313 9 k k 0 Số hạng số nguyên ứng với giá trị k thỏa: k 2m 9 k 3n k 0, k 6 k 0, ,9 Các số hạng số nguyên: C90 2 8 C96 3 3 20 Câu 42: Xét khai triển f ( x) (2 x ) x Viết số hạng thứ k khai triển k 20 k 20 k A Tk 1 C20 x k 20 k 20 k B Tk 1 C10 x k 20 k 20 k x C Tk 1 C20 k 20 k 20 k D Tk 1 C20 x Số hạng khai triển không chứa x 10 10 10 10 A C20 B A20 C C20 Hướng dẫn giải: k 20 k C20k 220 k x 20 k Ta có: Tk 1 C20 (2 x) k x Số hạng không chứa x ứng với k: 20 2k 0 k 10 10 10 Số hạng không chứa x: C20 Câu 43: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x ) (3 x x 1)10 A 8089 B 8085 C 1303 Hướng dẫn giải: Chọn B 10 10 f x x 3x C10k x 3x 10 10 D C20 D 11312 k k 0 10 k 10 k k 0 i 0 k 0 i 0 C10k Cki (2 x) k i (3 x )i C10k Cki 2k i.3i x k i với i k 10 Do k i 4 với trường hợp i 0, k 4 i 1, k 3 i k 2 4 2 Vậy hệ số chứa x : C10 C4 C10 C3 C10 C2 8085 Câu 44: Tìm hệ số x khai triển thành đa thức (2 3x) n , biết n số nguyên dương thỏa n 1 mãn : C2 n 1 C2 n 1 C2 n 1 C2n 1 1024 A 2099529 B 2099520 C 2099529 D 2099520 Hướng dẫn giải: Chọn B n 1 k n 1 C2 n 1 2 n k 0 C22ni 11 22 n 1024 n 5 Ta có: n n i 0 C 2i 1 C 2i n 1 n 1 i 0 i 0 Trang 17 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 10 2n k 10 k k k Suy (2 x) C10 ( 3) x k 0 10 Hệ số x C ( 3) 2099520 Câu 45: Tìm hệ số x khai triển f ( x ) (1 x )9 (1 x)10 (1 x )14 A 8089 B 8085 C 3003 D 11312 Hướng dẫn giải: Chọn C 9 9 9 Hệ số x : C9 C10 C11 C12 C13 C14 3003 Câu 46: Tìm hệ số x khai triển đa thức của: x x x 3x A 3320 B 2130 C 3210 Hướng dẫn giải: Chọn A 10 Đặt f ( x) x x x x 10 k k k i Ta có : f ( x ) x C5 x x C10 3x k 0 k 10 D 1313 i i 0 10 C5k x k 1 C10i 3i.x i 2 k 0 i 0 Vậy hệ số x khai triển đa thức f ( x) ứng với k 4 i 3 là: C54 C103 33 3320 Câu 47: Tìm hệ số cuả x8 khai triển đa thức f ( x ) x x A 213 B 230 C 238 Hướng dẫn giải: Chọn C Cách x x C80 C81 x x C82 x x C83 x x 8 D 214 C84 x8 x C85 x10 x C88 x16 x Trong khai triển ta thấy bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn Do x8 chỉ có số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: C8 C3 , C8 C4 Vậy hệ số cuả x8 khai triển đa thức x x là: a8 C83 C32 C84 C40 238 Cách 2: Ta có: 8 n n n 0 k 0 k x x C8n x n x C8n Cnk 1 x n k n 0 với k n 8 Số hạng chứa x8 ứng với 2n k 8 k 8 2n số chẵn Thử trực tiếp ta k 0; n 4 k 2, n 3 Vậy hệ số x8 C8 C3 C8 C4 238 10 Câu 48: Đa thức P x x x a0 a1 x a20 x 20 Tìm a15 10 5 A a15 C10 C10 C10 C9 C10 C8 10 5 6 7 B a15 C10 C10 C10 C9 C10 C8 10 5 6 7 C a15 C10 C10 C10 C9 C10 C8 Trang 18 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 10 5 6 7 D a15 C10 C10 C10 C9 C10 C8 3.2 Hướng dẫn giải: Chọn D 10 10 k Ta có: P x x x C10 x x k k 0 10 k 10 k k 0 i 0 k 0 i 0 C10k Cki (3x )k i (2 x )i C10k Cki 3k i.2i x k i với i k 10 Do k i 15 với trường hợp k 10, i 5 k 9, i 6 k 8, i 7 10 5 6 7 Vậy a15 C10 C10 C10 C9 C10 C8 3.2 Câu 49: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau ( x x 0 A 112640 Hướng dẫn giải: Chọn A B 112640 n n Ta có: Cn Cn 78 n ) , biết Cnn Cnn 78 với x C 112643 D 112643 n! n! 78 ( n 1)!1! ( n 2)!2! n(n 1) 78 n n 156 0 n 12 12 12 2 Khi đó: f ( x ) x C12k ( 2) k x 36 k x k 0 x Số hạng không chứa ứng với k : 36 4k 0 k 9 9 Số hạng không chứa x là: ( 2) C12 112640 n Câu 50: Với n số nguyên dương, gọi a3n hệ số x 3n khai triển thành đa thức ( x 1) n ( x 2) n Tìm n để a3n 26n A n=5 B n=4 C n=3 D n=2 Hướng dẫn giải: Chọn A Cách 1:Ta có : x n 1 Cn0 x n Cn1 x n Cn2 x n Cnn x 2 n Cn0 x n 2Cn1 x n 22 Cn2 x n 2n Cnn Dễ dàng kiểm tra n 1 , n 2 không thoả mãn điều kiện tốn Với n 3 dựa vào khai triển ta chỉ phân tích x n x n x n x n x n Do hệ số x 3n khai triển thành đa thức x 1 n x 2 n 3 1 : a3n 2 Cn Cn 2.Cn Cn Suy a3n 26n 2n 2n 3n 26n n Vậy n 5 giá trị cần tìm Cách 2: Ta có: x 1 Trang 19 n n x x3n x n 2 1 x n n 5 Tổ hợp- xác suất – ĐS GT 11 n i k n n n 2 x C Cnk x3n Cni x 2i Cnk 2k x k x k 0 x i 0 k 0 i 0 x Trong khai triển trên, luỹ thừa 3n 2i k 2i k 3 Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện i 0, k 3 i 1, k 1 (vì i, k nguyên) 3n i n Hệ số x 3n khai triển thành đa thức x 1 n x 2 n 3 1 Là : a3n Cn Cn Cn Cn Do a3n 26n 2n 2n 3n 26n n n 5 Vậy n 5 giá trị cần tìm n Câu 51: Tìm hệ số số hạng chứa x 26 khai triển nhị thức Newton x , biết x n 20 C2 n 1 C2n 1 C2 n 1 2 A 210 B 213 C 414 D 213 Hướng dẫn giải: Chọn A k n 1 k Do C2 n 1 C2 n 1 k 0,1, 2, , 2n C20n 1 C21n 1 C2nn 1 C2nn11 C2nn21 C22nn11 2 n 1 n 1 Mặt khác: C2 n 1 C2 n1 C2 n 1 2 2(C20n 1 C21n1 C22n 1 C2nn1 ) 22 n1 C21n 1 C22n 1 C2nn 1 22 n C20n 1 22 n 22 n 220 n 10 10 10 10 10 k 11k 40 Khi đó: x x x C10k ( x )10 k x k C10 x k 0 x k 0 26 Hệ số chứa x ứng với giá trị k : 11k 40 26 k 6 Vậy hệ số chứa x 26 là: C10 210 n n Câu 52: Cho n * (1 x) a0 a1 x an x Biết tồn số nguyên k ( k n ) a a a cho k k k 1 Tính n ? 24 A 10 B 11 C 20 D 22 Hướng dẫn giải: Chọn A n! n! 1 (k 1)!(n k 1)! (n k )!k ! k Ta có: ak Cn , suy hệ n! n! 1 (n k )!k ! 24 (n k 1)!( k 1)! 9k 2( n k 1) 24(k 1) 9(n k ) 2n 11k n 10, k 2 9n 33k 24 10 Câu 53: Trong khai triển ( x) thành đa thức 3 10 a0 a1 x a2 x a9 x a10 x , tìm hệ số ak lớn ( k 10 ) Trang 20