Đang tải... (xem toàn văn)
SỞ GD & ĐT TÂY NINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG LÊ KHA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XIV NĂM 2023 – THÁI NGUYÊN MÔN THI TOÁN KHỐI 10 (Thời gian 180’ không kể thờ[.]
SỞ GD & ĐT TÂY NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LẦN THỨ XIV - NĂM 2023 – THÁI NGUN HỒNG LÊ KHA MƠN THI: TỐN KHỐI 10 (Thời gian: 180’ không kể thời gian giao đề) (Đề gồm câu trang) PHẦN ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Bài Nội dung trình bày Bài 1: Tìm tất hàm số f : cho f ( f (n)) f (n) 3n 12, n * Thay n 0 ta được: f ( f (0)) f (0) 12 f (0) 6 Lần lượt thử giá trị thỏa mãn Từ đó: f (0) 3 f (0) 0,1, 2,3, 4,5, 6 ta thấy có f (0) 3 f (3) f ( f (0)) 12 f (0) 6 Ta cm f (3n) 3n quy nạp Thật vậy, giả sử với n k , k 1, n , tức f (3k ) 3k Ta cần cm với n k f (3(k 1)) f (3k 3) f ( f (3k )) 9k 12 f (3k ) 9k 12 2(3k 3) 3k 3( k 1) Vậy: f (3n) 3n 3, n (1) Điểm 4đ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 * Bây giờ, thay n 1 ta có: f ( f (1)) f (1) 15 , từ f (1) 7 f (1) 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7 Lần lượt thử giá trị ta thấy có f (1) 4 thỏa mãn 0,25 - Tính thêm f (4) f ( f (1)) 3 12 f (1) 7 Ta cm f (3n 1) 3n phép quy nạp Thật vậy, giả sử với n k , k 1, n , tức f (3k 1) 3k 0,25 0,25 0,25 Ta cần cm với n k f (3(k 1) 1) f (3k 4) f ( f (3k 1)) 9k 12 f (3k 1) 9k 12 2(3k 4) 3k 3(k 1) Vậy: f (3n 1) 3n 4, n (2) 0,25 * Bây giờ, thay n 2 ta có: f ( f (2)) f (2) 18 , từ f (2) 9 f (2) 0,1, 2, 3, 4,5, 6, 7,8,9 Lần lượt thử giá trị ta thấy có f (2) 5 thỏa mãn 0,25 - Tính thêm f (5) f ( f (2)) 18 f (2) 8 Ta cm f (3n 2) 3n phép quy nạp Thật vậy, giả sử với n k , k 1, n , tức f (3k 2) 3k 0,25 0,25 Ta cần cm với n k 0,25 f (3(k 1) 2) f (3k 5) f ( f (3k 2)) 9k 12 f (3k 2) 9k 12 2(3k 5) 3k 3( k 1) Vậy: f (3n 2) 3n 5, n (3) Từ (1), (2), (3), ta có f (n) n 3, n Thử lại ta thấy thỏa mãn Vậy: f (n) n 3, n 0,25 * Thay n 0 ta được: f ( f (0)) f (0) 12 f (0) 6 f (0) 0,1, 2,3, 4,5, 6 Lần lượt thử giá trị ta thấy có f (0) 3 thỏa mãn Cho x, y số thực không âm thỏa mãn điều kiện: xy 1 Tìm giá trị nhỏ 0,25 0,25 0,25 biểu thức: xy S 2 9x y xy 1 S 3x 2y 1 1 0,5 3x 2y 2a 3b ;b x ; y 3 Đặt xy 1 ab 1 0,5 Khi 0,5 a ab 1 S 2 1 a 1 b , với ab 1 Ta chứng minh 1 , ab 1 2 ab 1 a 1 b Thật vậy, biến đổi bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức sau: 0,5 ab 1 a b 0 , với 0,5 ab 1 Đẳng thức xảy ab 1 a b 0 ab ab S ab ab ab Khi đó, Áp dụng BĐT AM – GM ta có: 2 1 ab S 3 ab ab Smin ab 1 Vậy 3 O Cho tam giác ABC nhọn không cân, nội tiếp có trực tâm H Gọi D, E , F điểm đối xứng O qua BC , CA, AB Gọi H a điểm đối xứng H qua BC , A’ điểm đối xứng A qua O Oa tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Chứng minh H a D Oa A’ cắt O 0,5 0,5 0,5 Gọi S giao điểm H a D Ta cần chứng minh S Oa A O Xét tam giác BOD BOOa có: BOD chung B 1800 BOD OBD OO a 0.5 0.5 BOD Oa OB g g Nên OB Oa O OD.Oa O OB R OD OB Mà OD AH (tính chất trực tâm) 2 Nên AH OaO R OA 0.5 0.5 0.5 AH OA Ta có OA ' OOa AH / / OD HAO DOA ' (đồng vị) 'O AHO ∽OA ' Oa c.g c AHO OA a OHH a HH a D OA ' S Khi đó, HODH a hình thang cân nên Từ (1), (2) suy OA ' S OA ' Oa OHH a OHA 180 Vậy, S Oa A ' 0.5 1 2 0.5 0.5 Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình 2022 x 2023 y (1) y Xét x 1 2023 2023 y 1 0,5 Xét x đó, phương trình có nghiệm nguyên dương y 2022 x 1 mod 2023 Suy x lẻ 0,5 0,5 Đặt x 2m 1, m * 2023 y 1 mod Nếu y lẻ 2022 x 20222 k 1 2022.20222 k 6.36t 1 mod Trong Suy (1) vô nghiệm Nếu y chẵn, đặt y 2m, m * 2022 x 20232 m 2023m 2023m Khi đó, (1) trở thành 2023m 2022a a, b *, a b m b 2023 2022 2022b 2022a 2 2022a 2022b a 2 0,5 0,5 0,5 0,5 , vơ lí vế trái lớn x, y 1,1 Vậy phương trình (1) có nghiệm ngun Cho số nguyên n 2 Hãy tìm số hốn vị ( a1 , a2 , , an ) (1, 2, , n) i 1, 2, , n 1 cho tồn số thoả mãn 1 Gọi S n số hoán vị thoả mãn điều kiện toán an n số hốn vị có dạng ( a1 , a2 , , an , n) Sn n an n số hoán vị có dạng ( a1 , a2 , , an , n, an ) Cn i n số hoán vị ( a1 , a2 , , an ) thoả mãn Cn với i 1; n 0.5 0.5 0.5 0.5 n Do ta có: 0,5 S n S n Cni 11 i 1 0.5 S n n Từ đó: S n S n 2n S n Sn 2n S n Sn 2n 0.5 S3 S2 22 0.5 S n S2 22 23 2n (n 2) 2n n S 2n n 2 (do S2 1 ) 2n n Sn 22 0.5 GV làm đề: Họ tên Chữ ký Số điện thoại Huỳnh Quốc Hào (bài 1,5) 0949504379 Trịnh Văn Bé Ba (bài 2,4) 0983617167 Hoàng Anh (bài 3) 0985828047