TRƯỜNG THPT CHUYÊN BIÊN HÒA TỈNH HÀ NAM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XIV NĂM 2023 MÔN THI TOÁN LỚP 10 Thời gian làm bài 180 phút Bài 1 (5 điểm) Giải hệ phương trình[.]
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BIÊN HÒA TỈNH HÀ NAM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XIV - NĂM 2023 MƠN THI: TỐN - LỚP 10 Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ GIỚI THIỆU x y 1 x y y x x y x 1 x y 17 Bài (5 điểm) Giải hệ phương trình: (với x, y ) Bài (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H trực tâm Gọi B1 điểm đối xứng B qua AC, C1 điểm đối xứng C qua AB, O1 điểm đối xứng O qua BC Gọi P giao điểm AB1 CH , Q giao điểm AC1 BH , K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB1C1 Chứng minh rằng: a) PQ vng góc với O1 K b) A, K , O1 thẳng hàng Bài (3 điểm) Giả sử a, b số nguyên dương, cho 2a 1; 2b 1; a b số b a a b nguyên tố Chứng minh a b a b không chia hết cho a b Bài (4 điểm) Cho x,y, z số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức xy yz 3zx P x y z Bài (3 điểm) Cho n k số nguyên dương thỏa mãn tính chất: Tồn tập T gồm n điểm mặt phẳng thỏa mãn: i) Khơng có điểm thẳng hàng ii) Cho điểm P T, có k điểm T có khoảng cách với P k 2n Chứng minh: HẾT TRƯỜNG THPT CHUYÊN BIÊN HÒA TỈNH HÀ NAM HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2023 MƠN THI: TỐN - LỚP 10 Bài Nội dung Điểm x y 1 x y y x x y x 1 x y 17 Giải hệ phương trình: Điều kiện : x Phương trình thứ hệ biến đổi thành : x 4 y 1 y x y2 x a b , a, b Sử dụng đánh giá : , ta có : x y 1 y2 x y x 3 x 4 y 1 2 ; ab Cộng vế theo vế đánh giá ta thu : x 4 y2 1 y Bài 5đ x y2 x x y 1 y x Dấu đẳng thức xảy : y 0 y x Thay vào phương trình thứ hai hệ ta thu phương trình : x x x 3 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 1 Xét hàm số f t t t , t Ta chứng minh hàm số f t đồng biến Do từ 1 f x 1 f x x 1 x 1 3 x x 1 x 1 x x 1 x x x 3 0 x 0 y x 1 y 2 x y 0 Bài x, y 0; ; 1;2 ; 3;0 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H trực tâm Gọi B1 điểm đối xứng B qua AC, C1 điểm đối xứng C qua AB, O1 điểm đối xứng O qua BC Gọi P giao điểm AB1 CH , Q giao điểm AC1 BH , K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB1C1 Chứng minh rằng: a) PQ vng góc với O1K b) A, K , O1 thẳng hàng K 5đ B1 C1 A Q P H O B C O1 a) Chứng minh O1 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC 2a (3đ) Chỉ HCA 90 CAB ABH HB1 A , tứ giác AB1CH nội tiếp, P P suy PA.PB1 PH PC , suy P /( K ) P /( O ) P P * Tương tự Q /( K ) Q /( O ) Do PQ trục đẳng phương hai đường trịn (K) (O1 ), dẫn đến PQ vng góc O1K 2b (2đ) 1 b) * Chỉ AC1H ACH AB1H , tứ giác PQB1C1 nội tiếp * Từ PQB1C1 nội tiếp suy AQP C1 B1 A AB C AKC 1 Xét đường trịn (K) có 1 1 AKC1 KAC 90 KAC cân K nên Do tam giác , suy KAC AQP 90 , dẫn đến AK vng góc với PQ * AK KO1 vng góc với PQ nên ba điểm A, K, O1 thẳng hàng Bài 3 Giả sử a, b số nguyên dương, cho 2a 1; 2b 1; a b số b a a b nguyên tố Chứng minh a b a b không chia hết cho a b Có 2a 1; 2b nguyên tố nên a 1, b a b mà a b nguyên tố, a b số lẻ, ( a b) a b a b bb (a b) a Giả sử chẵn, b lẻ Vì b lẻ nên (1) +) Nếu a a bb (a b) Từ (1), (2) suy Nếu Nếu (2) ( a b a a )(a b) a a (a b a 1)(a b) a b (1 a a b )(a b) a b a a (a b) a(a b) a b (a b) a(a b) Từ (*) có , a b (*) ( a b) ngun tố, vơ lý a a b a b nguyên tố, vơ lý a a b a|b a| 1 mod (a b) Gọi h ord a b (a ) h | | b a | h | 2a h | (a b) h | a b h | 2b Mà (2a 1), (2b 1) Do số nguyên tố nên h 1 a 1 mod ( a b) (a 1)( a b), +) Tương tự, vô lý a a b a b b a (a b) mà ( a b bb )( a b) (b a bb )(a b) b a (1 bb a )(a b) Nếu Nếu bb (b a b 1)(a b) a b nếu a b (**) b a (a b) b(a b) bb (a b) b(a b) a b nguyên tố, vô lý b a b ( a b) ngun tố, vơ lý b a b Từ (**) có Gọi |a b| 1 mod ( a b) (b|a b| 1)(a b) b k ord a b (b) k | (| a b |) k | 2a k | a b ( a b) k | 2b Mà Do 2a 1; 2b b 1(a b), b 1 mod (a b) số ngun tố k 1 vơ lý b a b a a bb ; a b b a Bài 4đ 2a 1; 2b Vậy không chia hết cho Cho x,y, z số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức xy yz 3zx P x y z Ta có y y x z z x + +3 x+ y +z x+ y +z x+ y +z x+ y +z x + y +z x + y +z x y z a ,b ,c , a, b, c x y z x y z x y z Đặt ta có a b c 1 Ta cần tìm giá trị lớn biểu thức P 2ab 4bc 3ca với a b c 1 Ta chọn số m,n,p dương cho P = 2ab + 4bc +3ca = ma ( b +c) + nb ( c + a) + pc ( a +b) Û ( m + n) ab +( n + p) bc +( p + m) ca = 2ab + 4bc +3ca Û ïìï m + n = ïï ïí n + p = Û ïï ïï p + m = ïỵ Khi ìï ïï m = ïï ïï ïï í n= ïï ïï ïï p = ïï ïỵ 1 P = a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b) 2 = a (1- a) + b(1- b) + c (1- c) 2 é 2ù ỉ 1÷ ỉ 1ư ờổ ỳ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỳ ỗ ç = - êêççça - ÷ + b + c ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữỳ ỗ ỗ ờỗố ứữ 2÷ ø÷ è ø è ú =98 £ 98 ë û é 2 2ù êỉ ư÷ ửữ ửữ ữ ổ ữ ổ ữỳ ỗ ỗ ờỗ ỗ ỗ ỗ a b c ữ ữ ữỳ ç ç ç ê ÷ ÷ ÷ú êèç ứữ + ốỗ ứữ + ốỗ ứữ ỳ 1 úú êê ê úú ờ ỳ ỷ ổ ỗ ỗ aỗ ỗ è +b - +c - ư÷ ÷ ÷ ÷ 2 ø÷ = 24 æ 1ử 23 ữ 2ỗỗỗ1+ + ữ ữ ữ ỗ ÷ è 5ø Đẳng thức xảy ìï a +b + c =1 ïï ïïí ổ ổ 1ử ổ ữ ỗb ỗc ữ ữ ùù ỗ ỗ a - 1ữ ữ: ỗ ữ: ỗ ç ç ç ÷ ÷ ïï ç ç ç ÷ ÷ 2 øè øè ïỵ è 1ư 1 Þ a = 3b - 1= 5c - ÷ ÷ ÷=1: : ÷ ÷ 2ø Cho n k số nguyên dương thỏa mãn tính chất: Tồn tập T gồm n điểm mặt phẳng thỏa mãn: iii) Khơng có điểm thẳng hàng iv) Cho điểm P T, có k điểm T có khoảng cách với P k 2n Chứng minh: P1, P2 ,, Pn Xét tập A = T = tập B = l ij |1 i j n với lij đường Bài trung trực đoạn PiPj Ta có B Cn2 n n 1 P , l | P l i jk i jk Xét tập S = Ta đếm số phần tử S Cách 1: Với đường trung trực ljk có tối đa điểm Pi nằm nên S 2Cn2 n n 1 Cách 2: Với điểm Pi có k điểm khác cách Pi nên Pi nằm đường trung trực k điểm đó, mà có n điểm Pi nên S nCk2 Vậy ta có: nk k 1 nk k 1 n n 1 k k 2n 0 8n 7 k n 2n 2 Học sinh có cách giải khác lập luận chặt chẽ điểm tối đa HẾT