Bài 1 mặt nón

CHƯƠNG 2: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU BÀI 1: MẶT NĨN A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM MẶT NĨN TRỊN XOAY Trong mặt phẳng  P  Cho hai đường thẳng Δ  cắt O tạo thành góc  với 0    90 Khi quay mặt phẳng  P  xung quanh Δ đường thẳng  sinh mặt trịn xoay đỉnh O gọi mặt nón trịn xoay (hay đơn giản mặt nón) Khi đó:  Đường thẳng Δ gọi trục mặt nón  Đường thẳng  gọi đường sinh mặt nón  Góc 2 gọi góc đỉnh mặt nón Nhận xét: Nếu M điểm tùy ý mặt nón  N khác với điểm O đường thẳng OM đường sinh mặt nón HÌNH NĨN TRỊN XOAY Cho OIM vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón) Khi đó:  Đường thẳng OI gọi trục, O đỉnh, OI gọi đường cao OM gọi đường sinh hình nón Chú ý: Nếu cắt mặt nón  N  hai mặt phẳng song song  P  Q  với  P  Hình trịn tâm I, bán kính r IM đáy hình qua O vng góc với  phần mặt nón nón  N  giới hạn hai mặt phẳng  P   Q  hình trịn giao tuyến  Q  mặt nón  N  hình nón Trang 679 KHỐI NĨN TRỊN XOAY Phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình ta gọi khối nón trịn xoay hay ngắn gọn khối nón Các khái niệm tương tự hình nón Xét khối nón có hình biểu diễn hình bên ta có nhận xét: Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình nón hay - Nếu mp  P  chứa OI thiết diện mp  P  khối nón ta thường vẽ hình bên khối nón hình tam giác cân O - Nếu mp  P  vng góc với OI (khơng chứa O) thiết diện mp  P  khối nón (nếu có) hình trịn Hình trịn thiết diện có diện tích lớn mp  P  qua I CƠNG THỨC CẦN NHỚ Hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r độ dài đường sinh  có: - Diện tích xung quanh: S xq r - Diện tích đáy (hình trịn): S ht r - Diện tích tồn phần: Stp r  r 1 - Thể tích khối nón: V  Sht h  r h 3 Trang 680 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA MẶT NĨN MẶT NĨN TRỊN XOAY Trong mặt phẳng  P  Cho hai đường thẳng Δ  cắt O tạo thành góc  Khi quay mặt phẳng  P  xung quanh Δ đường thẳng  sinh mặt trịn xoay đỉnh O gọi mặt nón trịn xoay HÌNH NĨN TRỊN XOAY Cho OMI vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay KHỐI NĨN TRỊN XOAY Phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình ta gọi khối nón trịn xoay hay ngắn gọn khối nón CÁC CƠNG THỨC Diện tích xung quanh Diện tích đáy Diện tích tồn phần Thể tích Trang 681 B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, độ dài đường sinh, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện hình nón Phương pháp giải Nắm vững cơng thức diện tích xung Ví dụ: Tính diện tích xung quanh khối nón quanh, diện tích tồn phần, diện tích đáy có thiết diện qua trục tam giác vuông cân Biết sử dụng kết phần kiến thức diện tích 2? quan hệ song song, quan hệ vng góc, A S 2 2 B S 4 hệ thức lượng tam giác… để áp dụng C S 2 D S 4 2 vào tính tốn Hướng dẫn giải Tam giác OAB vng cân diện tích  OA2 2  OA OB 2 AB  22  2 2  h R  AB  2 Suy S xq  2.2 2 2 Chọn A Bài tập Bài tập 1: Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích tồn phần hình nón A 6a B 24a C 3a D 12a Lưu ý: Diện tích tam giác Hướng dẫn giải cạnh x là: S  Chọn C Ta có h  2a a 3,  2a, r a x2 độ dài chiều cao là: x Diện tích tồn phần hình nón h Stp r   r .a.2a  .a 3a Ở toán x 2a Bài tập 2: Cho hình nón có đường sinh đường kính đáy, diện tích đáy hình nón 9 Độ dài đường cao hình nón A 3 B C D Trang 682 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi r , , h bán kính đường trịn đáy, đường sinh, chiều cao hình nón cho r 9  r 3 Theo giả thiết ta có  nên   6  2r Lại có h  2  r h  36  3 Bài tập 3: Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng có cạnh góc vng Mặt phẳng    qua đỉnh S hình nón cắt đường trịn đáy M, N Tính diện tích tam giác SMN, biết góc    đáy hình nón 60 A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Gọi O tâm đường tròn đáy, H trung điểm MN Ta có MN giao tuyến đường tròn đáy Lưu ý: Tam giác SMN tam giác cân S SM SN 1 mặt phẳng    , lại có OH  MN , SH  MN  Do góc    đáy hình nón SHO 60 Vì thiết diện qua trục hình nón tam giác vng có cạnh góc vng  SO  Xét SOH vuông O có sin 60  SO SO  SH   SH sin 60  6 Khi MN 2 SN  SH 2        2 1 Vậy diện tích tam giác SMN S SMN  SH MN   2 3 Bài tập 4: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SAB  Trang 683 a   SAO 30 , SAB 60 Độ dài đường sinh hình nón theo a A a B a C 2a D a Hướng dẫn giải Chọn A Gọi I trung điểm AB, dựng OH  SI Ta có OH  a Lưu ý:  Do SAB 60 nên tam giác SAB  Ta có: OH  SI (1) Suy SA SB  AB  AB  OI  AB   SOI    AB  SI Mặt khác  SAO 30  SO SA.sin 30  SA OA SA.cos 30   AB  OH (2) Từ (1) (2) suy ra: SA OH   SAB  , Xét tam giác SOI ta có 1 1 1       2 2 OH OS OI OS OA  AI    SA    SA     2    d  O;  SAB   OH 1   SA  2   Có thể đặt SA  x a   SA OH  a OH SA Bài tập 5: Cho hình nón đỉnh S, đáy đường trịn tâm O bán kính 2a độ dài đường sinh a Mặt phẳng  P  qua đỉnh S cắt hình   nón theo thiết diện tam giác có chu vi  a Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng  P  A d  a B d  a C d  a D d  a Hướng dẫn giải Chọn D Do: Giả sử thiết diện tam giác SAB, ta có   OH   SA  SB  AB 2  a  1   OH OE OS OS OE OS  OE   a  a  AB 2  a Trang 684  AB 2a Gọi E trung điểm AB, ta có AB  SE , mặt khác AB  SO nên AB   SOE  Kẻ OH  SE H, ( H  SE ) Ta thấy OH  AB OH   SOE   OH   SAB  Vậy khoảng cách từ S đến  P  OH (hay d  O;  P   OH ) EB  AB a, OB R 2a, OE  OB  EB  4a  a a SO  SB  OB  5a  4a a , OH  OS OE OS  OE Vậy d   a.a a  3a  a a Bài tập 6: Cho hình nón trịn xoay nằm hai mặt phẳng song song  P  Q  hình vẽ Kẻ đường cao SO hình nón gọi I trung điểm SO Lấy M   P  , N   Q  , MN a qua I cắt mặt nón E F đồng thời tạo với SO góc  Biết góc đường cao đường sinh hình nón 45 Độ dài đoạn EF B EF  A EF 2a C EF  a tan 2 a tan 2 D EF  2a tan 2 Hướng dẫn giải Chọn B Lưu ý: S SFI  SSEI SSFE (*) S SFI  SF SI sin 45 S SEI  SE.SI sin 45 S SFE  SF SE.sin 90 a a Xét tam giác NIO có OI  NI cos   cos , NO NI sin   sin  2 Xét tam giác SEF vng S có Thay vào (*) ta SI  SE.SF SE  SF    SEF ESM  SME 45  90   135   Trang 685  tan   SF SE.tan SEF SE.tan  135    SE tan    Vì SI độ dài đường phân giác góc FSE nên SI  SE tan  135    SE.SF a  cos   SE  SF  tan  135      tan   a   cos  tan    a sin    SE    tan    tan   2 tan   Do EF  SE SE a sin  a    tan 2  cos SEF cos  135      tan     cos   sin   Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60 Tính diện tích xung quanh S xq hình nón đỉnh S, có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A S xq  a B S xq  a 10 C S xq  a D S xq  a Hướng dẫn giải Chọn D Gọi O tâm tam giác ABC, SO   ABC  Hình nón đỉnh S, có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có đường sinh SA, bán kính đường trịn đáy OA Gọi H trung điểm BC  60  SBC  ;  ABC   SHO Tam giác ABC O tâm tam giác nên 1 a a ; OH  AH   3 a OA  AH  3 Tam giác SOH vuông O có  SHO 60 nên SO OH tan 60  a a 3 Trang 686 Tam giác SOA vuông O nên SA  SO  OA2  a 3a a 21   Diện tích xung quanh hình nón S xq r  .OA.SA  a a 21 a  6 Dạng 2: Tính thể tích khối nón, tốn cực trị Phương pháp Ví dụ: Cho hình nón có góc đỉnh 60 , diện tích xung quanh 6a Thể tích V khối nón cho A V  3a C V 3a B V  a D V a Hướng dẫn giải Nhìn vào cơng thức tính thể tích khối nón Chọn C 1 Vn  Sht h  r h 3 ta thấy cần xác định chiều cao diện tích đáy (bán kính đáy) khối nón Đối với tốn cực trị ta thường tính tốn đưa đại lượng cần tìm cực trị phụ thuộc 2 Thể tích V  R h  .OA SO 3 vào biến sau dùng đánh giá (sử dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số…) Ta có ASB 60  ASO 30 để tìm kết  tan 30  OA   SO OA SO Lại có S xq R .OA.SA OA OA2  SO 6a  OA OA2  3OA2 6a  2OA2 6a  OA a  SO 3a  V  .3a 3a 3a Bài tập Bài tập 1: Cho tam giác ABC có ABC 45 , ACB 30 , AB  Trang 687 Quay tam giác ABC xung quanh cạnh BC ta khối tròn xoay tích V A V  C V      B V      D V      24     Hướng dẫn giải Lưu ý: V tổng Chọn B thể tích hai khối AB AC BC   Ta có sin 30 sin 45 sin105 nón: Khối nón có chiều  AC 1    5    BC  sin  12 cao BH đường sinh AB Gọi H chân đường cao kẻ từ đỉnh A AC khối nón có chiều cao CH đường sinh Ta có AH BC  AB AC.sin105  AH  Suy thể tích khối trịn xoay cần tìm   1   V  AH BH  AH CH  AH BC  3 24 Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hình nón  N  có đỉnh A đường trịn đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Thể tích V khối nón  N  A V   3a 27 B V  6a 27 C V   6a D V   6a 27 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi O tâm tam giác BCD Ta có AO h, OC r a a  r  3 Suy a 3 2a h  a  r  a       2 Trang 688 a a  6a  Vậy thể tích khối nón V  r h   3 27 Bài tập 3: Cho hình nón  N  có góc đỉnh 60 Mặt phẳng qua trục  N  cắt  N  theo thiết diện tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp Thể tích khối nón  N  A V 3 3 C V 3 B V 4 3 D V 6 Hướng dẫn giải Chọn C Tam giác SAB có SA SB ASB 60 Tâm đường tròn ngoại tiếp SAB trọng tâm tam giác Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB r  SO 2  SO 3 Mà SO SA.sin 60  SA  SO  2 sin 60 Vậy bán kính đường trịn khối nón R  Vậy thể tích khối nón V    3 AB   2 3 Bài tập 4: Cho hình tứ diện ABCD có AD   ABC  , ABC tam giác vuông B Biết BC a, AB a 3, AD 3a Quay tam giác ABC ABD (bao gồm điểm bên hai tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta hai khối trịn xoay Thể tích phần chung hai khối trịn xoay bằng: A 3a 16 B 3a C 3a 16 D 3a 16 Hướng dẫn giải Chọn A Trang 689 Khi quay tam giác ABD quanh AB ta khối nón đỉnh B có đường cao BA, đáy đường trịn bán kính AE 3 cm Gọi I  AC  BE , IH  AB , H Phần chung khối nón quay tam giác ABC tam giác ABD quanh AB khối nón đỉnh A đỉnh B có đáy đường trịn bán kính IH Ta có IBC đồng dạng với IEA  Mặt khác IH // BC  IC BC    IA 3IC IA AE AH IH AI 3 3a     IH  BC  AB BC AC 4 Gọi V1 ; V2 thể tích khối nón đỉnh A B có đáy hình trịn tâm H 1 V1  IH AH ; V2  IH BH 3   9a 3a 3  V V1  V2  V  IH AB  V  a  V   3 16 16 Bài tập 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC Hình nón có đỉnh S có đường trịn đáy đường trịn nội tiếp tam giác ABC gọi hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC, hình nón có đỉnh S có đường trịn đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC gọi hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tỉ số thể tích hình nón nội tiếp hình nón ngoại tiếp hình chóp cho A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Hai hình nón có chiều cao nên tỉ số thể tích tỉ số diện tích mặt đáy Vì tam giác ABC nên bán kính đường tròn ngoại tiếp Trang 690 đường cao tam giác, bán kính đường trịn nội tiếp 3 đường cao tam giác Suy r V S     R V2 S Bài tập 6: Cho đồng hồ cát gồm hình nón chung đỉnh ghép lại, đường sinh hình nón tạo với đáy góc 60 hình bên Biết chiều cao đồng hồ 30cm tổng thể tích đồng hồ 1000  cm  Hỏi cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống dưới, tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần bao nhiêu? A 3 B C 27 D 64 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi bán kính hình nón lớn nón nhỏ x, y  x  y  Suy chiều cao hình nón lớn nón nhỏ x 3, y  x  y 30  Theo giả thiết, ta có  2  x x  y y 1000 3  x  y 10 20 10   x , y 3 3  x  y 1000 3  y Do hai hình nón đồng dạng nên tỉ số cần tính     x Bài tập 7: Trong tất hình nón có độ dài đường sinh  Hình nón tích lớn Trang 691 A 3 B 23 C 3 27 D 23 27 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi h   h   chiều cao hình nón, suy bán kính r  2  h Suy thể tích khối nón 1 V  r h    2 h  h3   f  h  3 3 Xét hàm f  h   h  h  0;   h  f  h  2  3h 0      h   khong thoa man   Lập bảng biến thiên ta    23 Ta thấy max f  h   f    3 3 Vậy Vmax   23 Dấu “=” xảy  h  27 Bài tập 8: Trong hình nón có diện tích tồn phần S Hình nón tích lớn ( r ,  bán kính đáy đường sinh hình nón) A  3r B  2 2r C  r D  2r Hướng dẫn giải Chọn A Ta có S r   r    Lưu ý: điều kiện S  r r biến khảo sát hàm Thể tích Trang 692 2  S  r  1 V  r h  r 2  r  r 3 2 r  r2  S  Sr  2r  Lập bảng biến thiên cho hàm f  r  Sr  2r  0;   , ta thấy hàm số đạt giá trị lớn r  S   3r 4 Bài tập 9: Cho hình nón đỉnh S có đáy đường tròn tâm O Thiết diện qua trục hình nón tam giác cân với cạnh đáy a có diện tích a Gọi A, B hai điểm đường trịn  O  Thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn A a3 B a3 C a3 12 D a3 12 Hướng dẫn giải Chọn C 1 Tam giác cân SCD, có S SCD  CD.SO  a  a.SO  SO 2a 2 Khối chóp S.OAB có chiều cao SO 2a khơng đổi nên để thể tích lớn diện tích tam giác OAB lớn 1 Mà S OAB  OA.OB.sin AOB  r sin AOB (với r bán kính đường 2 trịn mặt đáy hình nón) Do để S OAB lớn sin AOB 1 Khi a3 Vmax  12 Bài tập 10: Cho hình nón  N1  có đỉnh S, chiều cao h Một hình nón  N2  có đỉnh tâm đáy  N1  có đáy thiết diện song song với đáy  N  hình vẽ Trang 693 Khối nón  N  tích lớn chiều cao x A h B h C 2h D h Hướng dẫn giải Chọn B Xét mặt cắt qua trục hình nón kí hiệu hình vẽ Với O, I tâm đáy hình nón  N1  ,  N  ; R, r bán kính hai đường trịn đáy  N1  ,  N  Ta có R  h  x SI r h x r     r SO R h R h Thể tích khối nón  N  V N2  1 R  h  x R 2  r x   x  x  h  x  2 3 h 3h Xét hàm f  x   x  h  x  x  2hx  h x  0; h  Ta có  x h f  x  3x  4hx  h ; f  x  0    x h  2 Lập bảng biến thiên ta có h Vậy f  x  đạt giá trị lớn khoảng  0; h  x  Bài tập 11: Xét hình nón có đường sinh với độ dài 10cm Chiều cao hình nón tích lớn Trang 694 A cm B 10 cm C cm D 10 cm Hướng dẫn giải Chọn D Xét hình nón có chiều cao x cm bán kính đáy y cm (x, y dương) Ta có x  y 102  y 100  x , ta có điều kiện x, y   0;10  Thể tích khối nón 1 V  r h    100  x  x 3 Xét hàm số f  x   100  x  x 100 x  x , x   0;10  ; 10 f  x  100  3x ; f  x  0  x  Bảng biến thiên 10 Ta thấy V lớn f  x  lớn x  cm 2 Bài tập 12: Giả sử đồ thị hàm số y  m  1 x  2mx  m  có điểm cực trị A, B, C mà x A  xB  xC Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta khối tròn xoay Giá trị m để thể tích khối trịn xoay lớn thuộc khoảng khoảng đây? A  4;6  B  2;  C   2;0  D  0;  Hướng dẫn giải Chọn B Trang 695 y 4  m2  1 x  4mx 4 x   m  1 x  m   x 0 y 0  x   m  1 x  m  0    x  m  m    m  2 Với m  đồ thị hàm số có điểm cực trị (với x A  xB  xC )  A     m m2 ;   m  1 ; B  0; m  1 ; 2 m  m     m m2 C  ;   m   2  m  m   Quay ABC quanh AC khối trịn xoay tích 2  m2  m V 2 r h  BI IC       3  m   m 1 Xét hàm f  m   Ta có f  m   m9 m  1 m8   m   m2 1 m9 m  1 ; f  m  0  m 3  m   Ta có bảng biến thiên Vậy thể tích cần tìm lớn m 3 Bài tập 13: Cho tam giác ABC vng A, có AB 6 cm, AC 3 cm Gọi M điểm di động cạnh BC cho MH vng góc với AB H Cho tam giác AHM quay quanh cạnh AH tạo nên hình nón, thể tích lớn hình nón tạo thành Trang 696 A  B 4 C 8 D 4 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt AH x  cm  ,  x  Khi BH 6  x  cm  Xét tam giác BHM vng H   Ta có tan HBM HM BH    HM BH tan HBM   x  tan HBM AC  tan ABC    Mà tan HBM AB Do HM   x  Thể tích khối nón tạo thành tam giác AHM quay quanh cạnh AH   2 V  AH .HM  x   x    x  12 x  36 x  (1) 3 12 Xét hàm số f  x  x  12 x  36 x với  x  , ta có  x 2 f  x  3x  24 x  36; f  x  0  x  24 x  36 0    x 6 Bảng biến thiên hàm số f  x  x  12 x  36 x với  x  Từ (1) bảng biến thiên ta tích lớn khối nón tạo thành  8 V  32  12 Bài tập 14: Cho hình lập phương ABCD ABC D tích Gọi  N hình nón có tâm đường trịn đáy trùng với tâm hình vng ABCD, đồng thời Trang 697 điểm A, B, C , D nằm đường sinh hình nón hình vẽ Thể tích khối nón  N  có giá trị nhỏ A 2 B 3 C 9 9 16 D Hướng dẫn giải Chọn C Xét phần mặt cắt qua trục hình nón qua mặt phẳng  AAC C  , kí hiệu hình vẽ Với I, H tâm hình vng ABCD, ABC D đỉnh A nằm đường sinh EF hình nón Hình lập phương tích nên AA HI 1, AH  Đặt EH  x  x   Khi đó, ta có EH AH x 2  x       FI    r EI FI x  FI  x  Thể tích khối nón  N  V N  1  x    r EI      x  Xét hàm số f  x   x  1  x2   x  1  x  1  x2  0;   Ta có f  x   x    x 1  x3 Lập bảng biến thiên Ta f  x    0; 27 9 x 2 Suy V N   Trang 698