Nghiệm giải tích và nghiệm xấp xỉ của một bài toán biên đối với phương trình song điều hòa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ HẢI NGHIỆM GIẢI TÍCH VÀ NGHIỆM XẤP XỈ CỦA MỘT BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2014 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ HẢI NGHIỆM GIẢI TÍCH VÀ NGHIỆM XẤP XỈ CỦA MỘT BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA Chun ngành : TỐN ỨNG Mã số : 60 46 01 12 DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Giáo viên hướng dẫn TS LÊ TÙNG SƠN Thái Nguyên - 2014 Mục lục Mở đầu Trên thực tế nhiều tốn khoa học kỹ thuật thơng qua mơ hình hóa tóan học đưa đến việc giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng.Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu phương trình song điều hịa lớp phương trình thu hút quan tâm lớn nhiều nhà học, kỹ sư nhà tốn học Trong vịng thập niên qua nhiều phương pháp hữu hiệu giải phương trình nghiên cứu phát triển Cùng với phát triển mạnh mẽ máy tính điện tử, phương pháp số trở thành công cụ đắc lực để giải tốn kỹ thuật nhiên có khơng tác giả sử dụng phương pháp gần giải tích phương pháp bình phương cực tiểu, phương pháp nghiệm để giải lớp phương trình song điều hịa.Ngồi phương pháp số tác giả sử dụng phương pháp lặp để giải phương trình song điều hịa phương pháp phương pháp đáng lưu ý cần nghiên cứu Nội dung luận văn trình bày kết lý thuyết thực nghiệm tính tốn phương pháp tìm nghiệm cho số tốn biên phương trình song điều hịa nhờ cơng cụ hỗ trợ toán tử biên sơ đồ lặp hai lớp Samarski – Nikolaev Luận văn bao gồm phần mở đầu, chương nội dung,phần kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày hệ thống kiến thức chuẩn bị, kết bổ trợ: số kiến thức không gian Sobolev, tổng quan ngắn toán biên phương trình đạo hàm riêng cấp hai cấp bốn, định tính tốn biên phương trình elliptic cấp hai phương trình kiểu song điều hịa, phương pháp lặp hai lớp giải phương trình tốn tử, hội tụ sơ đồ lặp, thuật toán thu gọn khối lượng tính tốn giải số tốn biên phương trình elliptic cấp hai miền hình chữ nhật Chương 2: Trình bày phương pháp tìm nghiệm giải tích giải tốn biên phương trình song điều hòa gồm đề xuất phương pháp kết nghiên cứu áp dụng phương pháp cho mơ hình tốn tốn Vật lý: mơ tả uốn mỏng với biên bị ngàm đàn hồi Chương 3: Trình bày tóm tắt kết nghiên cứu việc giải lặp tìm nghiệm xấp xỉ cho tốn biên phương trình song điều hòa nhờ việc sủ dụng sơ đồ lặp hai lớp Samarski – Nikolaev Một số thực nghiệm máy tính điện tử Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa hoc – Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Lê Tùng Sơn – Đại học Sư phạm – Đại học Thái Ngun Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình thầy suốt q trình tơi thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa TốnTin trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên quý thầy cô tham gia giảng dạy lớp cao học Tốn khóa (2012-2014) quan tâm giúp đỡ mang đến cho tơi nhiều kiến thức bổ ích suốt thời gian học tập trường Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Cao đẳng công nghệ kinh tế công nghiệp, đồng nghiệp trường Cao đẳng công nghệ kinh tế công nghiệp tạo điều kiện cho tơi học tập hồn thành khóa học Do thời gian có hạn nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong q trình viết luận văn chắn khơng thể tránh khỏi sai sót mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 11 tháng 10 năm 2014 Người thực Trần Thị Hải Chương Các kiến thức chuẩn bị Các kiến thức trình bày chương để sử dụng chương sau tham khảo từ tài liệu [2], [3], [4], [8], [14], [16] 1.1 1.1.1 Không gian Sobolev Không gian W1,p Định nghĩa 1.1 Cho Ω miền giới nội Rn , p ∈ R, ≤ p ≤ +∞, ta định nghĩa   Z   p p L (Ω) = f : Ω → R|f ; |f (x)| dx < +∞   Ω L∞ (Ω) = {f : Ω → R|f ; ∃C ∈ R∗+ : |f (x)| < C, ∀x ∈ Ω}  Lploc (Ω) = f : Ω → R|f ∈ Lp (U ), ∀U : U ⊂ Ω Định lý 1.2 Cho p ∈ R, ≤ p ≤ +∞, Lp (Ω) không gian Banach với chuẩn    p1  R  p |f (x)| dx , p < +∞ kf kLp (Ω) = Ω   inf{C, |f (x)| ≤ C, x ∈ Ω}, p = +∞ Với p = 2, L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vơ hướng Z (f, g) = f (x)g(x)dx Ω Định lý 1.3 Không gian L2 (Ω) tách với ≤ p < +∞, lồi với < p < +∞ Bất đẳng thức Holder Cho ≤ p ≤ +∞, p0 số liên hợp số p, nghĩa 1 = − , < p < +∞, p0 p p0 = 1, p0 = +∞, p0 = +∞, Khi R p = |f (x)g(x)| dx ≤ kf kLp (Ω) kgkLp0 (Ω) , ∀f ∈ Lp (Ω), g ∈ Lp (Ω) Ω Với p = ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwartz Hệ 1.1 Với ≤ p ≤ q ≤ +∞ Lq (Ω) ⊂ Lp (Ω) kf kLp (Ω) ≤ Ckf kLq (Ω) , số C phụ thuộc vào p, q Định lý 1.4 Cho ≤ p ≤ +∞ p0 số liên hợp với p, f ∈ [Lp (Ω)]∗ , tồn g ∈ Lp (Ω) cho Z (f, ϕ)[Lp (Ω)]∗ ,Lp (Ω) = g(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ Lp (Ω), Ω kgkLp0 (Ω) = kf k[Lp (Ω)]∗ 1.1.2 Đạo hàm suy rộng không gian Wm,p (Ω) Cho Ω miền giới nội Rn , (n = 1, 2, ), kí hiệu ∂ α1 +α2 + +αn D = α1 α2 , α = (α1 , α2 , , αn ) ∂x1 ∂x2 ∂xαnn α đa số với thành phần αi số nguyên không âm, |α| = α1 + α2 + + αn , p ≥ 1, f ∈ Lp (U ) với tập mở U ⊂ Ω, U ⊂ Ω C0∞ (Ω) tập hàm f khả vi vô hạn lần Ω cho suppf ⊂ Ω, suppf giá trị hàm f Cho u, ω ∈ L1loc (Ω) ω gọi đạo hàm suy rộng u bậc α Z Z |α| uDα ϕdx = (−1) ωϕdx, ϕ ∈ C ∞ (Ω) Ω α Ω Kí hiệu ω = D u Định nghĩa 1.5 Không gian Sobolev Wm,p (Ω), m số nguyên dương, xác định Wm,p (Ω) = {u| u ∈ Lp (Ω), Dα u ∈ Lp (Ω), ∀α, |α| ≤ m} , với m = 0, đặt W0,p (Ω) = Lp (Ω), với p = 2, kí hiệu Wm,2 (Ω) = H m (Ω) Định lý 1.6 Không gian Wm,p (Ω) không gian Banach tương ứng với chuẩn   p1 X kf kWm,p (Ω) =  kDα f kpLp (Ω)  , ≤ p < +∞ |α|≤m Không gian H m (Ω) không gian Hilbert với tích vơ hướng X (f, g)H m (Ω) = (Dα f, Dα g)L2 (Ω) , ∀f, g ∈ H m (Ω) |α|≤m Định lý 1.7 Định lý Nhúng (The Sobolev imbedding Theorem) Cho Ω miền giới nội Rn có biên hkhả vi lớp i C Khi 2n a) Nếu n ≥ H (Ω) ⊂ Lq (Ω), q ∈ 1, n−2 , b) Nếu n = H (Ω) ⊂ Lq (Ω), q ≥ 1, n c) H m (Ω) ⊂ C [m− −ε] (Ω), ε > 0, tốn tử nhúng a), b), c) compact Hệ 2.1 Với m1 > m > 0, ta có H m1 (Ω) ⊂ H m (Ω) ⊂ L2 (Ω) = H (Ω) Định lý 1.8 Định lý tính trù mật Cho ≤ p < +∞, D (Rn ) tập hàm có giá compact Rn D (Rn ) trù mật W1,p (Rn ), ∂Ω liên tục Lipschitz D(Ω) trù mật W1,p (Ω) Định lý 1.9 Định lý thác triển Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz, tồn tốn tử thác triển tuyến tính liên tục P từ H (Ω) vào H (Rn ) thỏa mãn i) Pu = u Ω, ii) kPu kL2 (Rn ) ≤ CkukL2 (Ω) iii) kPu kH (Rn ) ≤ CkukH (Ω) 1.1.3 Không gian H s (Ω), s ∈ R Trong mục này, ta đưa định nghĩa không gian H s (Ω) với s không nguyên Xét không gian với τk thỏa mãn lim τk = 0, k→∞ ∞ P τk = ∞, hội tụ nghiệm gốc k=1 phương trình (1.14), với xấp xỉ ban đầu u0 Nếu phương trình (1.14) giải sơ đồ lặp dừng (1.17), đặt zk = yk − u sai số nghiệm nghiệm xấp xỉ, phương trình zk có dạng B zk+1 − zk + Azk = 0, k = 0, 1, , τ (1.16) z0 = y0 − u Giả sử B tự liên hợp tồn B −1 , ta có định lý, Định lý 1.23 Nếu A toán tử dương, tự liên hợp (A = A∗ > 0, f ∈ H) 1 B > τ A, (Bx, x) > τ (Ax, x), ∀x ∈ H, x 6= (1.17) 2 điều kiện đủ cho hội tụ sơ đồ lặp (1.17) không gian HA với tốc độ hội tụ cấp số nhân, với đánh giá kzk+1 kA ≤ ρkzk kA , k = 0, 1, , ρ < 1, 1  2τ δ∗ δ HA khơng gian lượng, ρ = − kBk2 công bội
∗ cấp số nhân, δ = λk (A), δ∗ = λk B0 − τ A2 , B0 = B+B phần k đối xứng toán tử B Chú ý 1.24 Điều kiện (1.21) B cố định xem quy tắc lựa chọn giá trị τ để sơ đồ lặp hội tụ Nếu B = I , điều kiện đảm bảo tất giá trị riêng phụ thuộc vào mối quan hệ
λk − 12 τ A = − 21 τ λk (A) > − 12 τ kAk > Như vậy, phép lặp hội tụ với τ thỏa mãn < τ < kAk 1.3.3 Sơ đồ lặp với tập tham số Chebyshev Trong sơ đồ lặp (1.16), lựa chọn tập tham số τ1 , τ2 , , τn tập tham số tối ưu Chebyshev việc cực tiểu hóa tổng số phép lặp n = n(ε) Giả sử A = A∗ > 0, gọi γ1 , γ2 giá trị riêng nhỏ lớn A, γ1 > 15 Với t0 = − Kí hiệu γ2 + γ1 2k − ; tk = cos π, k = 1, 2, , n γ2 − γ1 n √ γ1 1−ξ 1− ξ √ , τ0 = ξ = , ρ0 = , ρ1 = , γ2 1+ξ γ1 + γ2 1+ ξ Khi đó, tập tham số tối ưu {τk } Chebyshev tính cơng thức τk = τ0 , k = 1, 2, , n, + ρ0 tk (1.18) làm cực tiểu đại lượng qn = |Tn1(t0 )| (việc cực tiểu tổng số phép lặp n = n(ε) đưa việc cực tiểu qn nhờ tốn min-max), Tn (t) = cos(n ar cos t), |t| ≤ 1, n  n i p p h 2 Tn (t) = t+ t −1 + t− t −1 , Trong trường hợp |t| > qn = mãn điều kiện qn = hay 2ρn1 1+ρ2n 2ρn1 1+ρ2n |t| > ≤ ε, số n = n(ε) chọn thoả ≤ ε Bất đẳng thức ρn1 ≤ 2ε , n≥ ln(2ε) ln ρ11 (1.19) Ta có bất đẳng thức (1.23) trường hợp r γ2 n0 (ε) = ln , γ1 ε tức n ≥ n0 (ε) 1.4 Phương pháp sai phân giải phương trình elliptic cấp hai Xét toán −∆u(x) = f (x), x ∈ Ω, (1.20) Bu(x) = g(x), x ∈ ∂Ω, (1.21) 16 ∂u Ω hình chữ nhật có độ dài cạnh L1 , L2 Bu = u Bu = ∂n , n véctơ pháp tuyến biên ∂Ω , điều kiện biên cạnh Ω thỏa mãn cạnh phải có điều kiện Bu = u để đảm bảo tốn (1.24), (1.25) có nghiệm Phương pháp số áp dụng phần để giải gần toán (1.24), (1.25) phương pháp sai phân nhằm rời rạc hóa tốn mức vi phân toán sai phân lưới điểm  Phủ Ω lưới Ωkh = xij = (ik, jh) |i = O, M ;j = O, N ; Với k = L2 L1 M , h = N , đó: Nếu (1.24), (1.25) tốn Dirichlet ln đưa hệ phương trình véctơ điểm dạng ( −Yj−1 + CYi − Yj+1 = Fj ; ≤ j ≤ N − Y0 = F0 , YN = FN Yj , Yj véctơ nghiệm nằm đường thẳng song song với trục Ox Nếu (1.24), (1.25) tốn Neumann đưa hệ phương trình véctơ điểm dạng   CY0 − 2Yj = F0  −Yj−1 + CYi + Yj+1 = Fj ; ≤ j ≤ N − 1,   −2YN −1 + CYN = FN , C ma trận ba đường chéo trội, véctơ Fj xác định từ phương pháp cực tiểu phiếm hàm tương ứng Các hệ hệ phương trình đại số tuyến tính, để giải chúng, phần đề cập đến phương pháp thu gọn khối lượng tính tốn Samarski-Nikolaev đề xuất [16] với độ phức tạp tính tốn O(M N logN ) 1.4.1 Phương pháp thu gọn toán biên thứ Xét hệ phương trình véctơ điểm ( −Yj−1 + CYi − Yj+1 = Fj ; ≤ j ≤ N − Y0 = F0 , YN = FN (1.22) Yj véctơ nghiệm, Fj véctơ vế phải, F0 , FN véctơ điều kiện biên 17 (0) Giả sử N = 2n , n > 0, kí hiệu C = C (0) , Fj = Fj , j = 1, 2, , N − 1, từ (1.22) ta có ( −Yj−1 + C (0) Yi − Yj+1 = Fj ; ≤ j ≤ N − (1.23) Y0 = F0 , YN = FN Thực trình khử với bước nhảy j theo bội 2, phương trình liên tiếp (1.23) có dạng  (0)  −Yj−2 + C (0) Yj−1 − Yj = Fj−1 ,  (0) (1.24) −Yj−1 + C (0) Yj − Yj+1 = Fj ; j = 2, 4, , N − 2,   (0) −Yj + C (0) Yj+1 − Yj+2 = Fj+1 , Bằng cách nhân thêm phương trình (1.24) với C (0) , ta nhận ( (1) −Yj−2 + C (0) Yj − Yj+2 = Fj , j = 2, 4, , N − 2, (1.25) Y0 = F0 , YN = FN , h i2 (1) (0) (0) (0) (1) (0) C = C − 2E, Fj = Fj−1 + C (0) Fj + Fj+1 , j = 2, 4, , N −
Hệ (1.29) có N2 − phương trình số chẵn Yj , giải (1.25) nghiệm Yj với số lẻ tìm từ phương trình (0) C (0) Yj = Fj + Yj−1 + Yj+1 ; j = 3, 5, , N − Tiếp tục làm qua m bước, ta thu hệ Yj ứng với số chia hết cho 2m  (m) (m)   −Yj−2m + C Yj − Yj+2m = Fj , (1.26) j = 2m , 2.2m , 3.2m , , N − 2m ,   Y0 = F0 , YN = FN , phương trình (k−1) C (k−1) Yj = Fj + Yj−2k−1 + Yj+2k−1 , j = 2k+1 , 3.2k+1 , 5.2k+1 , , N − 2k+1 18 (1.27) với k = m, m − 1, , để giải ẩn cịn lại, h i2 (k−1) (k−1) (k) (k−1) (k) (k−1) + Fj+2k−1 (1.28) C = C − 2E; Fj = Fj−2k−1 + C (k−1) Fj j = 2k , 2.2k , 3.2k , , N − 2k ; k = 1, 2, , từ (1.26)-(1.28) suy (n − 1) phép khử dẫn đến Y2n−1 = Y N , ẩn cịn lại xác định từ phương trình  (k) (k−1)  Yj = Fj + Yj−2k−1 + Yj+2k−1 ,  C j = 2k−1 , 3.2k−1 , 5.3k−1 , , N − 2k−1 ,   k = n, n − 1, , 1, Y0 = F0 , YN = FN (k) Việc tính véctơ Fj kết qua công thức (k) Fj = k−1 Y (k) thay việc tính véctơ pj (k) C (m) pj , m=0 k−1 Y (0) liên (0) C (m) = E, pj = Fj m=0 Từ phương trình trên, qua biến đổi ta nhận k−1 Y (k) C (m) pj =2 m=0 k−1 Y C (m) h i (k−1) (k−1) (k−1) (k+1) pj−2k−1 + C pj + pj+2k−1 , m=0 hay (k−1) (k−1) 2C (k−1) pj (k−1) Kí hiệu Sj thức C (k−1) (k−1) (k) = 2pj − pj (k−1) Sj = (k+1) = pj−2k−1 + C (k−1) pj (k−1) pj−2k−1 + (k−1) , pj (k−1) (k) pj+2k−1 , pj (k−1) + pj+2k−1 tìm từ cơng   (k−1) (k−1) = 0.5 pj + Sj (1.29) (0) j = 2k , 2.2k , 3.2k , , N − 2k−1 , k = 1, 2, , n − 1, pj = Fj Qua biến đổi, ta thu (k−1) Sj = k−1 Y −1 αm,k Cm.k−1  (k−1) pj−2k−1 + (k−1) pj+2k−1  , m=0 (k) pj = 0.5  (k−1) pj + (k−1) Sj  , (0) pj = Fj , j = 2k , 2.2k , 3.2k , , N − 2k−1 , k = 1, 2, , n − 1, (0) pj = F j , (1.30) 19 k−1 Yj = X h
i (k−1) Cm,k−1 − pj + αm,k−1 Yj−2k−1 + Yj+2k−1 (1.31) m=1 j = 2k−1 , 2.2k , 3.2k , , N − 2k−1 , k = n, n − 1, , 1, (2m − 1) πE, 2k (−1)m+1 (2m − 1)π αm,k−1 = sin (1.32) 2k−1 2k Từ công thức (1.29)-(1.32), ta biểu diễn thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn giải tốn biên thứ qua hai q trình sau, gọi Thuật tốn thứ Q trình xi: Xác định véctơ liên kết (0) Bước Cho trước pj = Fj , j = 1, 2, , N − Bước Cho trước k = 1, 2, , N − 1, j = 2k , 2.2k , , N − 2k , (k−1) (k−1) Xác định véctơ ϕ = pj−2k−1 + qj+2k−1 với m = 1, 2, , 2k−1 Giải phương trình Cm,k−1 υm = αm,k−1 , từ xác định   (0) (k−1) + υ1 + υ2 + + υ2k−1 pj = 0.5 pj Cm,k−1 = C − cos Quá trình ngược: Xác định véctơ nghiệm Bước Xác định giá trị ban đầu Y0 = F0 , YN = FN Bước Với k = n, (n − 1), , 1, j = 2k−1 , 3.2k−1 , 5.2k−1 , , N − (k−1) 2k−1 , xác định véctơ ϕ = Yj−2k−1 + Yj+2k−1 , ϕ = pj với m = 1, 2, , 2k−1 , giải phương trình Cm,k−1 υm = ψ + αm,k−1 ϕ Khi Yj = υ1 + υ2 + + υ2k−1 1.4.2 Phương trình thu gọn tốn biên thứ hai Xét phương trình véctơ ba điểm    CY0 − 2Y1 = F0 , −Yj−1 + CYj − Yj−1 = Fj , ≤ j ≤ N − 1,   −2Y N −1 + CYN = FN , 20 (1.33) Yj véctơ nghiệm, Fj véctơ vế phải, F0 , FN véctơ điều kiện biên (0) Giả sử N = 2n , n > 0, kí hiệu C (0) = C, Fj = Fj , j = 1, 2, , N − phương pháp khử liên tiếp làm tương tự mục 1.4.1, sau (n − 1) phép khử dẫn đến phương trình (n) (n) C (n) Y0 = 2YN = F0 , 2Y0 + C (n) YN = FN , (k−1) C (k−1) Yj = Fj + Yj−2k−1 + Yj+2k−1 , j = 2k−1 , 3.2k−1 , 5.2k−1 , , N − 2k−1 , k = m, n − 1, , 1, (k) = C (k−1) F0 (k) = Fj−2(k−1) + C (k−1) Yj + 2Fj+2(k−1) , j = 2k , 2.2k , 3.2k , , N − 2k , h i2 (k−1) (k−1) (k) (k−1) (k−1) − 2E = 2FN −2(k−1) + C + FN C = C F0 F1 (k) FN (k−1) (k−1) + 2F2(k−1) , (k−1) (k−1) (k) (k) (k) Việc tính véctơ Fj thay việc tính véctơ pj , qj kết thông qua công thức (k) Fj (k) (k) = C (k) pj + qj , j = 2k , 2.2k , 3.2k , , N − 2k , (k) (k) k = 0, 1, , n, pj , qj (k−1) = qj (k−1) pj = pj (k−1) (k) + Sj tính từ cơng thức (k−1) C (k−1) Sj (k) liên (k−1) (k−1) + pj−2(k−1) + pj+2(k−1) , (k) (k−1) (k−1) , qj = 2pj + pj−2(k−1) + pj+2(k−1) , (0) (1.34) (0) j = 2k , 2.2k , 3.2k , , N − 2k , k = 1, 2, , n − 1, qj = Fj , pj = Khi j = 0, N, véctơ liên kết xác định từ phương trình đệ quy (k−1) C (k−1) S0 (k) (k−1) p = p0 (k−1) + S0 (k) (k−1) = q0 (k−1) + 2p2(k−1) (k) , q0 = 2p0 + 2q2k−1 , k = 1, 2, , n, (0) (0) q0 = F0 , p0 = 0, (k−1) C (k−1) S0 (k) (k−1) pN = pN (k−1) + SN (k−1) = qN (k) (k) (k−1) + 2pN −2(k−1) , , qN = 2pN + 2qN −2k−1 , k = 1, 2, , n, 21 (1.35) (0) (0) qN = FN , pN = Các véctơ nghiệm Yj , j = 1, 2, , N − xác định từ phương trình (k−1) (k−1) C (k−1) tj = qj + Yj − 2k−1 + Yj + 2k−1 (k−1) Yj = pj (k−1) + tj , (1.36) j = 2(k−1) , 3.2(k−1) , 5.2(k−1) , , N − 2(k−) , k = n, n − 1, , 1, Y0 , YN xác định từ phương trình (n) (n) B (n) t(n) = qN + 2p0 , (n) (1.37) (n) YN = pN + t(n) , Y0 = p0 + t(n) , B (n) = C (n) − 2E Trong phương trình trên, ma trận xác định sau k−1 Cm,k−1 2Y (2m − 1)π (k−1) = C − cos E, C = Cm,k−1 , 2k m=1 Cm,k−1 n Y mπ (n) = C − cos k−1 E, B = C m,k−1 m=1 Từ cơng thức (1.34)-(1.37) ta biểu diễn thuật tốn thứ hai thu gọn khối lượng tính tốn giải tốn biên thứ hai qua hai q trình sau Q trình xi: Xác định véctơ liên kết (0) (0) Bước Cho trước qj = Fj , pj = 0, j = 0, 2, , N Bước Với k = 1, 2, , n − 1, j = 2, 2.2k , , N − 2k , xác định véctơ (k−1) (k−1) (k−1) (0) + pj−2(k−1) + pj+2(k−1) , υj = q j (m) với m = 1, 2, , 2k−1 , giải phương trình Cm,k−1 υj xác định (k) (k−1) pj = pj k−1 + υj2 (k) (k) (k) (k−1) (m−1) = υj từ (k−1) , qj = 2pj + qj−2(k−1) + qj+2(k−1) (k) Bước Xác định p0 , pN Với k = 1, 2, , n − 1, xác định véctơ (0) (k−1) υ0 = q (k−1) (k) (0) (k−1) + 2p2(k−1) , υN = 2pj + qN (k−1) + 2pN −2(k−1) , sau với m = 1, , 2k−1 , giải hệ phương trình (m) Cm,k−1 υ0 (m−1) = υN (m) (m−1) , Cm,k−1 υN = υN 22 , từ đó, xác định (k) (k−1) p0 = p0 (k) (k−1) pN = pN (k−1) + υ0 (k−1) + υN (k) (k) (k−1) , q0 = 2p0 + q2(k−1) , (k) (k) (k−1) , qN = 2pN + qN −2(k−1) Quá trình ngược: Xác định véctơ nghiệm Bước Xác định Y0 , YN (0) (n) (n) Xác định véctơ υN = qN + 2p0 , sau đó, với ∗ ∗ ∗ = 1, 2, , n (m−1) (n) (n) (n) (n) từ pN = pN + υN = p0 + υN giải hệ C m,N,υ(m) = υN N Bước Xác định Yj , j = 1, 2, , N − Với k = n, n − 1, , 1, j = 2k−1 , 3.2k−1 , 5.2k−1 , , N − 2k−1 , xác định véctơ (0) (k−1) tj = qj + Yj−2k−1 + Yj+2k−1 (0) (m−1) với m = 1, 2, , 2k−1 , giải phương trình Cm,k−1 tj = tj (k−1) pj (k−1) tj , Yj = + Nhận xét - Do tính chất ma trận Cm,k−1 , C m,k−1 nên việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính hai thuật tốn nói thực thuật tốn đệ quy đưa giải hệ phương trình phương pháp truy đuổi ba đường chéo Khối lượng tính toán thuật toán Samarski - Nikolaev chứng minh [16] O(M N logN ) - Ở thuật toán thứ hai, biết Y0 YN khơng cần phải xác (k) (k) (k) (k) định p0 , q0 pN , qN Nội dung chương trình bày số kiến thức số kiến thức số lớp hàm không gian Sobolev, tổng quan ngắn tốn biên phương trình đạo riêng cấp hai cấp bốn, định tính tốn biên phương trình elliptic cấp hai, phương pháp lặp lớp Samarski-Nikolaev, hội tụ sơ đồ lặp, tập tham số tối ưu Chebyshev, áp dụng thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn Samarski-Nikolaev giải số tốn biên phương trình elliptic cấp miền hình chữ nhật Đó kiến thức, kết quan trọng làm sở cho việc nghiên cứu kết trình bày chương chương luận văn 23 Chương Nghiệm giải tích tốn biên phương trình song điều hịa Áp dụng kỹ thuật kết Đặng Quang Á [15]-[8], [9]-[13], chúng tơi đưa tốn xét phương trình tốn tử biên xác định khơng gian L2 (Γ) Khi nghiệm giải tích tốn gốc biểu diễn qua dãy hàm riêng toán tử sở trực chuẩn không gian L2 (Γ) Áp dụng phương pháp đề xuất cho mơ hình tốn tốn Cơ học: Bài tốn mơ tả uốn mỏng với biên bị ngàm đàn hồi, sau phân rã toán dãy toán cấp thiết lập phương trình tốn tử cho nó, nghiệm giải tích cảu tốn biên ban đầu tìm thấy trường hợp mỏng hình trịn 2.1 Lược đồ chung Xét tốn biên phương trình song điều hịa ( ∆2 u(x) = f (x), x ∈ Ω Bj u(x) = gj (x), x ∈ ∂Ω = Γ, j = 0, 1, (2.1) Ω miền giới nội Rn có biên Γ đủ trơn, ∆ tốn tử Laplace, Bj tốn tử biên có cấp khơng vượt cấp 3, f (x), gj (x) hàm cho trước 24 Giả sử toán (2.1) giải được, tức nghiệm u(x) tồn đủ trơn Sử dụng phép đặt ∆u(x) = υ(x) kí hiệu, υ(x)|Γ = υ0 (x) Xét trường hợp tốn (2.1) đưa dãy toán biên phương trình Poisson sau ( ∆υ(x) = f (x), x ∈ Ω, (2.2) υ(x) = υ0 (x), x ∈ Γ, ( ∆u(x) = υ(x), x ∈ Ω, (2.3) B0 u(x) = g0 (x), x ∈ Γ, (2.2) toán Dirichlet, (2.3) toán Dirichlet B0 có cấp 0, tốn Neumann B0 có cấp 1, υ0 (x) hàm biên chưa biết Để tìm υ0 (x), sử dụng điều kiện biên lại (2.1), ta thiết lập cho υ0 (x) phương trình tốn tử biên dạng Sυ0 = F, (2.4) S tốn tử biên xác định tập hàm trơn không gian L2 (Γ), F xác định qua kiện vế phải (2.1) Tiến hành nghiên cứu tính chất tốn tử F như: đối xứng, dương, xác định dương, hồn tồn liên tục Trong q trình đó, ta tìm sở trực chuẩn không gian L2 (Γ) gồm dãy hàm riêng tốn tử S υ0 (x) tìm dạng chuỗi, sau đó, thay υ0 (x) vào (2.2), giải liên tiếp tốn (2.2), (2.3), ta tìm cơng thức biểu diễn nghiệm giải tích u(x)) tốn gốc (2.1) 2.2 Nghiệm giải tích tốn biên phương trình song điều hịa Xét tốn biên phương trình song điều hịa ∆2 u(x) = f (x), x ∈ Ω (2.5) u = 0, x ∈ Γ, ∂u µ∆u + q −1 = 0, x ∈ Γ, ∂n (2.6) 25 (2.7) Ω miền giới nội R2 có biên Γ đủ trơn, ∆ tốn tử Laplace, µ tham số không âm, q −1 hàm số dương, n véctơ pháp tuyến biên µ Bài tốn mơ hình tốn học mơ tả uốn mỏng với biên bị ngàm đàn hồi Giả sử toán (2.5)-(2.7), nghiệm u(x) tồn đủ trơn Đầu tiên tốn đưa phương trình tốn tử biên, sau nghiệm phương trình tìm dạng chuỗi biểu diễn qua sở hàm riêng tốn tử biên theo phương pháp trình bày (2.1) 2.2.1 Phương trình tốn tử biên tốn gốc Đặt ∆u = υ kí hiệu υ|Γ = υ0 , tốn (2.5)-(2.7) đưa dãy toán sau ( ∆υ = f (x), x ∈ Ω, (2.8) υ = υ0 , x∈Γ ( ∆u = υ(x), x ∈ Ω, (2.9) u = 0, x∈Γ (2.8) (2.9) hai toán biên phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet, nên theo lý thuyết tổng quan toán biên phương trình elliptic cấp hai [14], f ∈ H s− (Ω), υ0 ∈ H s (Γ), s ≥ (2.8) có nghiệm υ ∈ H s+ (Ω) (2.9) có nghiệm u ∈ H s+ (Ω) Trong (2.8), υ0 ẩn hàm chưa biết phải xác định cho thỏa mãn điều kiện: thay υ0 vào toán (2.8), giải liên tiếp toán (2.8), (2.9), ta nghiệm u toán (2.5)-(2.7) Để tìm υ0 , trước hết chúng tơi sử dụng điều kiện (2.7) để thiết lập phương trình tốn tử cho Gọi υ, u nghiệm toán (2.8), (2.9), đặt υ = υ1 + υ2 thay vào (2.8), u = u1 + u2 thay vào (2.9), từ toán (2.8), (2.9) ta nhận dãy bốn toán biên cấp hai ( ∆υ1 = f (x), x ∈ Ω, (2.10) υ1 = 0, x∈Γ ( ∆u1 = υ1 (x), x ∈ Ω, (2.11) u1 = 0, x∈Γ 26 ( ( ∆υ2 = 0, x ∈ Ω, υ2 = υ0 , x ∈ Γ (2.12) ∆u2 = υ2 (x), x ∈ Ω, u2 = 0, x∈Γ (2.13) (2.10) tốn Dirichlet phương trình Poisson nên có nghiệm υ1 Thay υ1 vào (2.11), tốn (2.10), tốn (2.11) có nghiệm u1 , tức u1 hoàn toàn xác định sau giải liên tiếp hai toán (2.10), (2.11), υ2 , u2 thỏa mãn tốn (2.12), (2.13) Do đó, việc tìm υ0 cho hai tốn (2.8), (2.9) đưa tìm υ0 cho hai toán đơn giản (2.12) (2.13) Để tìm υ0 , tơi đưa vào tốn tử B xác định công thức ∂u |Γ , ∂n Bυ0 = (2.14) υ, u nghiệm tìm từ tốn ( ∆υ = 0, x ∈ Ω, v = υ0 , x ∈ Γ ( ∆u = υ(x), x ∈ Ω, u = 0, x∈Γ (2.15) (2.16) Toán tử B xác định không gian H s (Γ), với s ≥ 0, sau thác triển liên tục lên tồn không gian L2 (Γ) Từ (2.15), (2.16), đối chiếu với (2.12), (2.13) từ cơng thức (2.14) xác định tốn tử B , ta có phương trình υ0 u2 Bυ0 = ∂u2 |Γ ∂n (2.17) Từ phương trình (2.17) từ hàm u1 tìm được, ta thiết lập phương trình tốn tử cho việc tìm υ0 biên Γ Thật vậy, u = u1 + u2 , nên   ∂u