) : T x —> TyY toàn cấu x x Tồn lân cận mở Ư X X, lân cận mở V y Y , lân cận mở w vi phôi lị) :V - + u X w (a) ự>(V) D u, cho R~ m n vồ Hình học vi phẫn (b) Sơ đồ sau giao hoán 4u V = UxW Át, ựXw Tồn đồ địa phương ũ với toa độ x\ , x lân n cận điểm X toa độ địa phương điếm y = ip(x) y\ ,y m lân cận cho y o ự = x , Vi = l,n i { ị Tồn lân cận mở u điểm X lân cận mở V điểm y, ánh xạ trơn :V -> u cho Y ánh xạ liên tục Khi hai mệnh tương dề sau đương: Trên X xây dựng cấu trúc vi phân (duy nhất) đe f ánh xạ quy Với X € X với tập mở ự c R thỏa mãn X € n ip(U) c X , tồn tập mở V R V —• Y Y cho : (a) M U ) c v e n T đồ lị) : Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh (b) ị- fip(ư)) = R n u l m Chứng minh (1) =• (2) hiển nhiên theo định nghĩa ánh xạ c h í n h quy (2) (1): C h ọ n m ộ t p h ủ m {(fa(U )} X cho v i m ọ i a, t n t i m ộ t b ả n đ Va : R - > Va c Y cho a n (a) f(U ) CV ,f:U -> f(U ) đồng phôi, a a a a (b) f7(í/ ) = R nỵ m fl tt • Nhận xét 7.4.9 Cấu trúc vi phân cảm sinh X để/ trở thành ánh xạ quy, tồn tại, 7.4.3 Định lí Godeman Giả sử X đa tạp trơn, R c X X X quan hệ tương đ n g K í h i ệ u X / R t ậ p c c lớp t n g đ n g theo q u a n h ệ R v kí hiệu p : X - » tơpơ thương n h sau: l p h é p chiếu t ự n h i ê n T r a n g bị cho X R Ũ c X/^ mở p-^í/) mở X Nhận xét 7.4.10 Mu írền X có cáu írúc da tạp để phép chiếu p : X ^ X / R đối quy cấu trúc Định nghĩa 7.4.11 cấu trúc đa tạp trơn X/R để phép chiếu p l \ T , X theo quan hệ c h í n h q u y d R ợ c Ọ% l c ấ u trúc đa tạp thương Sự tồn cấu trúc đa tạp thương dựa định lí sau Định lí 7.4.12 (Định lí Godeman đa tạp thương) xin đa tạp tron R c X X X đa tạp chiêu lên thành phần thứ hai pr : R - X đối quy Chúng ta bỏ qua chứng minh định lí phép Hình học vi 7.4.4 loi phân Ví dụ Đ t h ị h m y = sinỢ), < X < Ì đ a t p t r o n g R n h n g hợp n ó với đ o n giới h n / = { ( , ý); - Ì < y < 1} k h n g đ a t p Trong mặt phang E « R xét đường thẳng qua gốc toa độ, 2 n g h i ê n g v i t r ụ c h o n h m ộ t góc vơ t ỉ € R \ Q A n h xuyến T = R / Z m ộ t đ n g cong t r ù m ậ t t r ê n x u y ế n v k h ô n g t h ể thoa m ã n đ i ề u k i ệ n c h í n h q u i Mặt cầu ri S = {(x n ữ x , x ) ; x e R , ỵ ( x ) = l} ì n i i ì í 1=0 xem khơng gian thương nhóm ma trận trực giao SO(n + Ì , R ) theo n h ó m g m c c m a t r ậ n t r ự c giao bảo t o n m ộ t đ i ể m t r ê n m ặ t cầu, đ ẳ n g c ấ u v i SO(n, N h ó m SO(n, R) R ) cho t a m ộ t quan h ệ t n g đ n g đ ó n g ứ n g với t ô p ô m ặ t cầu Cho n ê n m ặ t c ầ u t r t h n h m ộ t đ a t p , biết 7.5 Tôpô đa tạp Một toán thú vị toán phân loại đa tạp C c k ế t q u ả đ ẹ p đ ẽ sau đ â y chứng m i n h : Định lí 7.5.1 Mỗi đa tạp 1-chiều liên thông compắc vi phôi với [0, i[ c R \ vịng trịn s Các đa tạp khơng từ chúng cách vứt bỏ số điểm compắc thu thu cách gắn k mặt Định lí 7.5.2 Mỗi đa tạp 2-chiều compắc khơng biên liên thông vi phôi với mặt 102 Dỗ Ngọc Diệp, Nông trụ, xoắn mặt số vòng gắn l Mỏbius, khoét đi2k + ỉ lỗ thủng từ cách bỏ số Các đa tạp không điểm Quốc Chinh vào mặt cầu compắc thu s Một vấn đề tốn học đương thời: Có hay khơng cách l m t n g t ự cho c c đ a t p 3-chiều B ằ n g c c h l m t n g t ự n h t r ê n với h ì n h c ầ u h ì n h t r ụ , n g i t a c ũ n g t h u đ ợ c đ ủ n h i ề u đ a t p chiều N h n g r ấ t tiếc lý t h u y ế t t ô p ô c c đ a t p 3-chiều l lý t h u y ế t c ò n x a m i t i m ộ t p h â n l o i t n g t ự n h t r ê n 7.6 Bài tập củng cố lý thuyết Hãy viết tên chữ IN HOA KHƠNG CHAN k h n g d ấ u C ó n h ữ n g c h ữ n o đ a t p , đ a t p đ ó n g , đ a t p có b i ê n Mặt nón c : Eli(^) - ZU(y ) = Rr>+* không đ a t p Vì sao? j Chứng minh hình hộp đóng khơng đa tạp R n Chứng minh tích Tchikhonov đa tạp trơn nói chung k h ô n g đ a t p t r n Khơng gian {(x\ *«);£ e R, *v xi ; Vi í j} đa t p , t ì m số chiều n ó T ì m k h n g gian t i ế p x ú c v i n ó t i điểm Tìm khơng gian tiếp xúc với mặt cầu điểm khônogian t i ế p x ú c v i M õ b i u s t i m ộ t đ i ể m Chứng minh mặt trụ rt-1 E M = Ì i=l R n m ộ t đ a t p H ã y t ì m p h â n t h t i ế p x ú c Hình học vi 7.7 S 103 phân lược v ề h ì n h h ọ c R i e m a n n tổng quát Hình học Riemann xem lý thuyết đa tạp mà k h ô n g gian t i ế p x ú c có m ộ t metric Euclide, tức m ộ t d n g song t u y ế n t í n h đ ố i x ứ n g x c đ ị n h d n g t r ê n k h ô n g gian t i ế p x ú c Với cấu t r ú c n h vậy, n g i ta n g h i ê n cứu c c b i t o n t n g t ự n h lí t h u y ế t đ n g v lý t h u y ế t m ặ t t r ê n B i t o n t ì m c c m ặ t tích p h â n có k h ô n g gian t i ế p x ú c cho t r c việc n g h i ê n c ứ u h ệ v i p h â n t ổ n g q u t B i t o n c c m ặ t cực t i ể u theo p h i ế m h m t h ể tích m ộ t t r o n g b i t o n t h ú vị t r o n g t r n g hợp nhiều chiều Bài t o n p h â n l o i đ a t p Riemann b i t o n r ấ t k h ó Ví d ụ đ n g i ả n n ó chứa n h i ề u b i t o n h ó c b ú a n h b i t o n Poincare : Đ a t p đ n liên đ n g l u â n với m ặ t c ầ u có p h ả i đ n g phôi với m ặ t cầu hay k h ô n g Đ a t p Riemann t h n g d ù n g l m k h ô n g gian r n g b u ộ c chuyển động M ô h ì n h chuyển đ ộ n g c c c h ấ t đ i ế m x e m n h mơ h ì n h đường cong t r ê n đ a t p Riemann M h ì n h g ầ n đ â y n h ấ t chuyển đ ộ n g có đ ố i x ứ n g t r o n g lý t h u y ế t sợi d â y ( s t r i n g theory) có m h ì n h c c m ặ t hai chiều t r ê n đ a t p R i e m a n n n chiều 7.8 S lược t ổ n g v ề h ì n h h ọ c s y m p l e c t i c q u t Nếu không gian tiếp xúc ta cho tích vơ hướng phản xứng k h ô n g suy b i ế n , ta có đ ố i t ợ n g m i đ a t p symplectic H ì n h học c c đ a t p symplectic n g h i ê n cứu k h n h i ề u lí ứng d ụ n g n ó cho h ì n h thức l u ậ n H a m i l t o n cho c c h ệ học H ì n h học symplectic d ù n g l m k h ô n g gian pha cho c c h ệ học chuyển đ ộ n g T r ê n t h ự c t ế m ỗ i chuyển đ ộ n g đ ợ c đặc t r n g bằng' hai đ i lượng: vị t r í x u n g lượng ( k h ố i lượng n h â n v i t ố c 104 Đ ỗ Ngọc Diệp, Nông độ) Giữa biến vị trí q = x biến xung lượng Pj = có i i c c h ệ t h ứ c k h ô n g x c đ ị n h theo m o ó c Poisson {Pi,q } = j Đó hệ thức xác định cấu trúc symplectic phân thớ đối tiếp xúc Quốc Chinh T i [1] l i ệ u t h a m k h ả o H C a r t a n , Phép tính vi phân Dạng vi phân ( B ả n dịch t i ế n g V i ệ t ) , N X B Đ H k T H O N , 1981 [2] Nguyễn Thúc Hào, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 1968 [3] Đồn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 1989 [4] M Spivak, Giải tích đa tạp (Bản dịch tiếng Việt), NXB Đ i học v T r u n g học C h u y ê n nghiệp, 105 1985 C h ỉ m ụ c n h ó m tuyến tính tổng q u t l i n h x Weingarten 46 t h a m số hoa t n g t h í c h 26 đ ộ cong c h í n h 47 đ n g cong t h a m số hoa 26 phương chinh 47 đ i ể m c h í n h quy, 26 đ ộ cong Gauss 47 cung c h í n h quy 26 đ ộ cong t r u n g b ì n h 47 đ n g cong c h í n h quy 26 điểm rịn 48 t h a m số hoa địa p h n g 27 điểm dẹt 48 đ n g cong d ì m 27 điểm cầu 48 đ ộ d i cung 28 đ i ể m elliptic 48 đ n g t r ắ c địa t h a m số hoa t ự n h i ê n 28 29 đ i ể m hyperbolic 48 véctơ p h p tuyến đ i ế m parabolic 48 31 độ tong d n g b ả n ì 48 véctơ p h p tuyến d n g b ả n l i 48 31 véctơ t r ù n g p h p tuyến ký hiệu Christoffel 51 31 đạo h m thuận biến B = V ỵ A 31 theo t r n g v é c t 5 31 t e n s đ ộ cong R i e m a n n 31 56 t e n s Ricci 57 31 c c d n g liên k ế t 58 32 p h n g t r ì n h b ả n 43 59 phương trình cấu t r ú c 43 59 phương trình đối xứng 43 59 p h n g t r ì n h Gauss 44 59 p h n g t r ì n h Peterson-Kodazi59 đ ộ cong p h p dang 62 pháp tuyến t r o n g 45 đ ộ cong p h p dang 44 44 106 Hình học vi 107 phẫn độ cong c h í n h 63 đ a t p k h ả v i ( t r n ) G4 n h x k h ả v i ( t r n ) p h n g t i ệ m cận 65 đạo n h 93 đường t i ệ m cận 65 k h ô n g gian đ ố i t i ế p x ú c 96 đường đ ộ cong 65 phân thớ đối tiếp x ú c 97 đường trắc địa 65 1-dạng v i p h â n t r n 97 1-dạng v i p h â n 66 n h x qui 98 2-dạng v i p h â n 67 đ a t p 98 tích vơ hướng 76 n h x đ ố i chín i qui hay sỏ trực chuẩn 76 mặt cầu hình cầu đ ó n g 78 đ a t p t h n g 78 t ô p ô t h n g hình cầu mở 78 hình hộp đ ó n g 78 hình hộp mở 78 hình hộp đóng-mở 78 phép biến h ì n h 79 nhóm biến đ ổ i 79 ánh x k h ả v i 80 đạo n h 80 đạo h m riêng 80 đạo n h theo hướng 81 ma t r ậ n Jacobi 81 vi p h â n t o n p h ầ n 82 ánh xạ ẩn 85 t í n h chất b ó 87 bó cấu t r ú c 87 đa t p 87 bó cấu t r ú c 87 cơng thức Meusnier đ toa đ ộ địa p h n g 8 đ toa đ ộ địa p h n g 91 hệ toa đ ộ địa p h n g 91 đ đ t n g t h í c h 92 tập đồ k h ả v i (trơn) 92 cấu t r ú c t r n 92 ngập 92 93 phép 99 99 100