Giáo trình hình học vi phân phần 1 đỗ ngọc diệp, nông quốc chinh

/\ _ Ạ V V B ộ GIAO DỤC V A ĐAO TẠO ĐAI H Ọ C THÁI ĐÔ NGỌC G I Á O H Ì N H NGUYÊN DIỆP - N Ơ N G QC CHINH T R Ì N H H Ó C V I Hà NỘI NHÀ XUẤT BẢN ĐAI HỌC QUỐC GI P H Â N B Ộ GIÁO DỤC VÀ Đ À O TẠO ĐẠI H Ọ C THÁI NGUYÊN Đ Ỗ NGỌC DIỆP - NƠNG QUỐC CHINH G H Ì N H I Á H O Ọ T C R V Ì I N H P H Â N H À XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Q u ố c GIA HÀ N Ộ I N SÁCH ĐƯỢC XUẤT BẢN BỞI s ự TÀI TRỢ CỦA D ự ÁN GIÁO DỤC ĐẠI HỌC M ụ c l ụ c Giới thiệu Ì Đường mặt bậc hai 1.1 Siêu phang afìn 1.1.1 T h u ậ t k h Gauss-Jordan g i ả i h ệ p h n g t r ì n h tuyến tính 1.2 1.3 1.4 1.5 1.1.2 Đ a t p t u y ế n t í n h p h n g p h p toa đ ộ 1.1.3 C c p h é p b i ế n đ ổ i t r o n g h ì n h học l i Đ n g bậc hai v i p h n g t r ì n h tắc 12 1.2.1 Ellipse 12 1.2.2 Hyperbola 12 1.2.3 Parabola 13 Đ a p h n g t r ì n h đ n g bậc hai t r o n g m ặ t p h a n g d n g c h í n h tắc 13 P h â n l o i s i ê u m ặ t bậc t r o n g k h ô n g g i a n c h i ề u 14 Đ a p h n g t r ì n h m ặ t bậc hai t ổ n g q u t v ề d n g tắc 1.6 19 P h â n l o i d i h ì n h c c đ n g bậc hai t r o n g mặt phang Euclid 1.7 1.8 1.9 lo 21 P h â n l o i d i h ì n h c c m ặ t bậc hai t r o n g k h ô n g g i a n Euclid chiều 21 P h n g p h p t o a đ ộ cong 22 1.8.1 C c đ n g bậc t h a m số hoa 23 1.8.2 C c m ặ t bậc hai t h a m số hoa 23 B i t ậ p c ủ n g cố lý t h u y ế t 24 Đ ỗ Ngọc L ý t h u y ế t đ n g cong R 2.1 Diệp, Nông Quốc Chinh 25 n C u n g t h a m số h o a v c u n g quy 25 2.2 Đ ộ d i đ n g cong t r o n g R " Đ n g t r ắ c đ ị a 27 2.3 M ụ c t i ê u t r ự c c h u ẩ n M ụ c t i ê u F r é n e t Đ ộ cong Đ ộ xoắn 30 2.4 Đ ị n h lí c b ả n 33 2.5 B i t ậ p củng cố lý t h u y ế t 36 Đại số tensơ, đại số ngoài, tensơ đối xứng 37 3.1 T í c h tensơ c c k h ô n g gian véctơ 37 3.2 Tích ngồi tích tensơ đ ố i xứng 39 3.3 Đ i số t e n s 40 3.4 Đ i số n g o i 41 Lý thuyết mặt cong R 43 4.1 M ả n h t h a m số h o a c h í n h q u y v m ặ t t h a m số h o a 43 4.2 M ụ c t i ê u D a r b o u x đ n g cong t r ê n m ặ t d ì m 44 4.3 D n g t o n p h n g b ả n 45 4.4 Đ o h m Weingarten k ý hiệu Christoffel 50 4.5 Đạo h m thuận biến 4.6 Đ ộ cong R i e m a n n 4.7 C c đ ị n h lí c b ả n c ủ a lí t h u y ế t 53 55 mặt dìm 58 Đường cong mặt cong 61 5.1 Đ n g cong t r ê n m ặ t 61 5.2 Đ ộ cong p h p d n g v đ ộ cong t r ắ c đ ị a c ủ a đ n g cong t r ê n m ặ t 62 5.3 P h n g c h í n h v đ ộ c o n g Gauss 64 5.4 M ộ t số t í n h c h ấ t đ ặ c t r n g c ủ a đ n g t r ê n m ặ t c o n g 65 5.5 Đ ị n h lí Gauss - B o n n e t 66 5.6 B i t ậ p củng cố lý t h u y ế t 71 Hình học vi phẫn Định lý ánh xạ ngược Định lý ánh xạẩn 73 6.1 Đ ị n h n g h ĩ a đ o n h v c c t í n h c h ấ t b ả n 73 6.2 Đạo h m riêng vi p h â n 80 6.3 Đ ị n h lí h m ( n h x ) n g ợ c 83 6.4 Đ ị n h lí h m ( n h x ) ẩ n 85 6.5 B ó h m trơn 86 6.6 B i t ậ p c ủ n g cố l ý t h u y ế t 89 Đa tạp khả vi 91 7.1 Đ ị n h nghĩa V í d ụ 91 7.2 A n h x t r n đ a t p 93 7.3 P h â n thớ tiếp xúc, đối tiếp xúc 94 7.4 7.3.1 K h ô n g gian tiếp xúc P h â n t h t i ế p x ú c 7.3.2 K h ô n g gian đ ố i tiếp xúc P h â n t h đ ố i t i ế p x ú c 94 96 Đ a t p Đ a t p t h n g 97 7.4.1 Đ i ề u kiện d ì m điều kiện ngập 97 7.4.2 C ấ u t r ú c v i p h â n c ả m sinh 99 7.4.3 Đ ị n h lí G o d e m a n 100 7.4.4 Ví dụ loi 7.5 Tôpô đ a tạp loi 7.6 B i t ậ p c ủ n g cố lý t h u y ế t 102 7.7 S lược v ề h ì n h h ọ c R i e m a n n tổng quát 7.8 103 Sơ lược v ề h ì n h h ọ c s y m p l e c t i c tổng quát 103 G i i t h i ệ u t r n g t h n g , h ì n h học dạy học theo quan đ i ể m h ì n h h ọ c E u c l i d C c vật thể hình phang v mảnh cầu Quan hệ so sánh đ ợ c t h ự c h i ệ n b i c c phép xem phép dời học đ ợ c c ấ u t h n h t c c dời hình; v ậ t t h ể h ì n h hai vật n ế u c h ú n g c ó t h ể đ ợ c chồng thể hình khít học lên mảnh học qua hình Đ i số t u y ế n t í n h v h ì n h h ọ c g i ả i t í c h x é t c c v ậ t t h ể h ì n h h ọ c đ ợ c c ấ u t h n h t c c mảnh phang v c c mảnh C c q u a n h ệ so s n h đ ợ c x é t n h c c phép afin bậc tổng biến đổi tuyến tính C c đ n g bậc hai đ a dạng tắc, m ặ t quát bậc h a i t r o n g k h ô n g g i a n - c h i ề u đ ợ c đ a v ề 17 d n g c h í n h t ắ c T r o n g h ì n h h ọ c đ i số b ằ n g p h n g p h p p h â n l o i c ó t h ể n g h i ê n c ứ u c c đ n g v m ặ t h o ặ c s i ê u m ặ t b ậ c hay, t ổ n g q u t h n , b ậ c b ấ t k ì P h é p b i ế n đ ổ i cho p h é p l c c phép biến đổi đa thức song hữu tỉ Quan c ủ a hình tham điểm nói p h t triển m ộ t ngữ cảnh học vi phân m vật t h ể cấu tạo t số hoa b ằ n g c c toa độ địa phương, mảnh m nói chung h m toa đ ộ địa p h n g c c h m t r n b ấ t kì C c p h é p b i ế n đ ổ i c c phép vi phôi D o v ậ t t h ể h ì n h học h ì n h học v i p h â n đ a d n g h n , n h i ề u chiều h n theo m ộ t nghĩa n h ấ t đ ị n h " t r n h n " v ậ t t h ể h ì n h học m ô n h ì n h học t r ê n Phương pháp nghiên cứu c ủ a h ì n h h ọ c v i p h â n t n g đ ố i đ a d n g T r c h ế t h ì n h h ọ c v i p h â n sử d ụ n g c c p h é p t í n h v i p h â n v tích p h â n k h ô n g gian Euclid R n để xây dựng p h é p tính Đỗ Ngọc Diệp, Nơng Quốc vi p h â n tích p h â n t n g ứng t r ê n v ậ t t h ể h ì n h học Chinh Đồng t h i n ó c ũ n g v ậ n d ụ n g c c p h n g p h p t ô p ô , t ô p ô đ i số, p h n g p h p t ổ hợp, p h n g t r ì n h v i p h â n t h n g p h n g t r ì n h h m riêng, đạo đ ể t ì m c c t í n h chất c c đ ố i t ợ n g h ì n h học G i o t r ì n h n y biên soạn k h u ô n k h ổ c h n g t r ì n h cho s i n h v i ê n c c n ă m c u ố i đ i h ọ c C c t c g i ả đ ã d y c h n g t r ì n h n y cho c c l p c ủ a Đ i h ọ c H u ế , Đ i h ọ c T h i n g u y ê n , Đ i h ọ c Q u y N h n T h ự c t ế g i ả n g d y đ ã g ợ i ý cho c c t c g i ả c h ọ n l ọ c c c n ộ i d u n g n y , cho v a p h ả i , k h ô n g q u n h i ề u v c ũ n g k h ô n g nghèo nàn G i o t r ì n h g m c ó chương sau: v i ệ c n h ì n l i lý t h u y ế t đ n g v m ặ t b ậ c Chương Ì dành cho Ì v M ụ c đ í c h c h n g n y l t o r a m ộ t k h i đ i ể m h ì n h h ọ c cho v i ệ c h ọ c t i ế p t ụ c C h n g đ ợ c d n h cho v i ệ c n g h i ê n c ứ u c c đ n g c o n g t r o n g k h ô n g g i a n E u c l i d n - c h i ề ụ C h n g đ ợ c d n h cho v i ệ c x â y d ự n g l i k h i n i ệ m v ề t e n s v đ i số t e n s C h n g l c h n g t r ọ n g t â m , d n h cho l ý t h u y ế t m ặ t cong t r o n g k h ô n g g i a n E u c l i d R Trong chương t r ì n h b y p h é p t o n v i p h â n nhiều chiều cho c c n h x t r n , đ n g t h i n h ấ n m n h c c đ ị n h lí n h x ẩ n v đ ị n h lí n h x n g ợ c H a i đ ị n h lí n y đ ó n g v a i t r ò t r u n g t â m t r o n g việc n g h i ê n cứu đ a t p t r o n g R n xác định h ệ p h n g t r ì n h h m Trong chương c h ú n g tơi t r ì n h b y lý thuyết tổng q u t đ a t p k h ả vi Đ ó đ ố i tượng t r u n g t â m h ì n h học v i p h â n C u ố i m ỗ i c h n g c ó m ộ t số tập bổ sung cho phần lí thuyết C c b i t ậ p l u y ệ n t ậ p b ả n , c ầ n đ ợ c g i ả n g v i ê n c h ọ n t c c nguồn khác G i o t r ì n h biên soạn l ầ n đ ầ u k h ô n g t r n h k h ỏ i t h i ế u sót C h ú n g tơi mong n h ậ n nhiều ý k i ế n đ ó n g góp cho v i ệ c b i ê n s o n , n ộ i d u n g v h ì n h t h ứ c c ủ a g i o t r ì n h Các tác giả C h n Đ n g g Ì v m ặ t b ậ c h a i T r o n g c h n g n y c h ú n g t a h ệ t h ố n g hoa l i n h ữ n g k h i n i ệ m v k ế t q u ả n g h i ê n c ứ u đ n g v m ặ t t r o n g Đ i số t u y ế n t í n h v H ì n h h ọ c g i ả i t í c h d i m ộ t c c h n h ì n t h ố n g n h ấ t l t h a m số hoa v t o a đ ộ hoa C c h n h ì n t h ố n g n h ấ t n y cho m ộ t h ì n h d u n g sơ b ộ v ề p h n g p h p n g h i ê n c ứ u c ủ a h ì n h h ọ c v i p h â n cổ đ i ể n 1.1 Siêu phang afĩn Trong Đại số tuyến tính, siêu phang afĩn đóng vai trị bản, c c m - p h ẳ n g đ ợ c x e m n h giao c ủ a h ệ c c s i ê u p h a n g a f ì n T r o n g h ì n h h ọ c a f i n , s i ê u m ặ t a f i n l đ ố i t ợ n g b ả n C c giao c ủ a c c s i ê u m ặ t b ậ c cho t a c c đ ố i t n g k i ể u c c n h t c ắ t c ầ u , n h t c ắ t e l l i p s o i d , V.V 1.1.1 Thuật khử Gauss-Jordan giải hệ phương trình t u y ế n tính Để giải hệ phương trình tuyến tính ta sử dụng thuật khử G a u s s - J o r d a n l t h ự c h i ệ n c c p h é p b i ế n đ ổ i sơ c ấ p t r ê n m a trận c ủ a h ệ p h n g t r ì n h đ ã cho C h ú n g t ô i cho r ằ n g h ọ c v i ê n đ ã b i ế t kĩ v ấ n đ ề liên quan 46 Dỗ Ngọc Đ ị n h n g h ĩ a Ánh Diệp, Nông Quốc Chinh xạ hp '• TpS • TpS, cho cơng thức Ệ I • MO = -Dịũ e T 5, p đxCỢc gọi ánh xạ Weingarten Khi p thay đoi, ta kí hiệu ánh xạ h Các tính chất ánh xạ Weingarten: Mệnh đề 4.3.2 Với điểm p E s, hp ánh xạ tuyến tính đối xứng từ TpS vào nó, tức (M0.*?) = fcM»7))C h ứ n g m i n h T h ậ t v ậ y , v i m ọ i h ệ t h a m s ố h o a ( u , v) I—> f ( u , v) € s , ta có Chúng ta nhận xét cần chứng minh mệnh đề cho trường v é c t sở Ệ = F (u,v) u v f f = f (u,v) v V i trường véctơ d ễ t h ấ y l p(^u) = -Đ?>n = -Q {n ° r)(u, v) h tương t ự h p ( K ) = -Dpn = ỡ —^-(Ũor){%v) M ặ t khác, c h ú n g ta thấy (nor(u,v)y ) = 0, u nên ta có d d ( ị - n o r ( i í , v), f ) + (n o r(u, v), ^ - f ^ ) = v Hình học Cho nên vi 47 phẫn ( M O ^ ) = ( ý ĩ o r Q^v)- > Tương tự ta có d Vì đạo hàm riêng cấp đối xứng Ỡ'U dudv dvdu dv v uỉ nên • Định nghĩa 4.3.3 Mỗi giá trị riêng hp gọi độ cong p mặt gọi phương độ cong Gauss s Mỗi riêng p s Định s Một gọi độ cong véctơ trung hp xác định thức tự đồng cấu hp gọi nửa giá trị vết hp, tức bình phương p ịtrace(hp) s Nhận xét 4.3.4 Từ tính chất tự đồng cấu tuyến tính đối xứng suy xảy trường hợp sau đây: Ánh xạ Weingarten có hai giá trị riêng thực phân biệt Gọi ki Ỷ ^2 hai giá trị riêng Khi p hồn vng tồn xác định, đường ellipse (hp(Ệ), sở trực chuẩn Độ cong hai phương góc với £ ) Hai phương Gauss Kịp) = k k v Độ cong trung bình H(p) = ị(k l + k ) hai trục ểị, ẽ*2 lập thành 48 Đ Ngọc Anh xạ VVeingarten Khi ẽ*i, ế K(p) có giá trị riêng phương sở trực = -k(p) phương chuẩn Diệp, gồm trung Quốc Chinh thực kép, k = ki = Mỗi véctơ < Độ cong Nông sở trực chuẩn Độ cong Gauss riêng bình k H(p) = kịp) Định nghĩa 4.3.5 Những điểm p gọi điểm rốn mặt s (a) Nếu k = ki = k = điểm, p gọi điểm dẹt (b) Nếu k = kị = k ^ điểm p gọi điểm cầu Nói chung, điểm p s gọi điểm elliptic, hyperbolic, hay parabolic thuộc dô cong Gauss ăm, dương hay Nên dơ cung Do đinh Nhận xét 4.3.6 Khi dổi định hướng s cách xét -ũ thay cho n ánh trung bình nghĩa độ cong xạ Weingarten hp dược đổi dấu độ cong Gauss có nghĩa Gauss thay khơng cá cho mặt -hp đổi dấu không Định nghĩa 4.3.7 Dạng song tuyến tính Ip •• TpS X T s - R, p (í TỊ) -> (l rĩ) dược gọi dạng ì p mặt s dạng song tuyến tính IIp : T s X T s - R, p p gọi dạng lĩ p s đinh hướng Hình học vi 49 phẫn T r o n g t h a m số hoa đ ị a p h n g ( u , v) E Ư H r ( u , t i ) € c h ú n g t a x é t c c h m số E(u,v) = I(CK) L{u,v) =ỈIự S ) u u F(u, v) = Iự , K) M(u v) = IIự , K) u u G(u, v) = ĩ ự K) Niu, v v) = ĩ ỉ ự v ì K) c c h ệ số c ủ a m a t r ậ n G r a m - S c h m i d t c ủ a c c d n g đ ó N ế u c c v é c t t i ế p x ú c