ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– BẾ NHẬT VINH VẤN ĐỀ NGƯỢC CỦA VẤN ĐỀ TỐI THIỂU HÓA THỜI GIAN TRỄ TỐI ĐA TRÊN MÔ HÌNH MÁY ĐƠN THÁI NGUYÊN, THÁNG 5/2018 Tai ngay!!! Ban co[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– BẾ NHẬT VINH VẤN ĐỀ NGƯỢC CỦA VẤN ĐỀ TỐI THIỂU HĨA THỜI GIAN TRỄ TỐI ĐA TRÊN MƠ HÌNH MÁY ĐƠN THÁI NGUYÊN, THÁNG 5/2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– BẾ NHẬT VINH VẤN ĐỀ NGƯỢC CỦA VẤN ĐỀ TỐI THIỂU HÓA THỜI GIAN TRỄ TỐI ĐA TRÊN MƠ HÌNH MÁY ĐƠN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS PHẠM HỒNG TRƯỜNG THÁI NGUYÊN, THÁNG 5/2018 Mục lục Danh mục ký hiệu Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vận trù học 1.2 Vấn đề tối ưu hóa tổ hợp 1.3 Lời giải vấn đề gia cơng mơ hình máy đơn 10 1.3.1 Trình tự khả thi trình tự tối ưu 10 1.3.2 Trình tự gia cơng khơng trì hỗn trình tự gia cơng trì hoãn 11 1.4 Vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa cơng việc với thời gian đến mơ hình máy đơn 1kLmax 12 1.5 Vấn đề xếp ngược 14 1.6 Vấn đề quy hoạch tuyến tính 17 1.7 Định nghĩa ba loại chuẩn l1 , l2 , l∞ 18 Vấn đề ngược vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa công việc với thời gian đến mơ hình máy đơn 20 2.1 Sơ lược vấn đề xếp ngược 21 2.2 Điều kiện cần đủ vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa 24 2.2.1 Điều kiện đủ vấn đề 1kLmax tối ưu 24 2.2.2 Điều kiện cần đủ vấn đề 1kLmax 26 2.3 Điều chỉnh kỳ hạn (Adjustable Due Dates) 28 2.3.1 Bài toán ngược |adjustable dj , π| Lmax 28 2.3.2 Bài toán ngược |adjustable dj , L∗ | Lmax 37 2.4 Điều chỉnh thời gian gia công (Adjustable Processing Times) 40 2.4.1 Bài toán ngược |adjustable pj , π| Lmax 41 2.4.2 Bài toán ngược |adjustable pj , L∗ | Lmax 47 Kết luận Tài liệu tham khảo 49 51 Danh mục ký hiệu Tj Công việc thứ j dãy công việc đưa pj Thời gian gia công công việc Tj dj Kỳ hạn công việc Tj Cj P Thời gian hoàn thành cơng việc Tj Cj Tổng thời gian hồn thành cơng việc có trọng số P w j Cj Tổng thời gian hồn thành cơng việc có trọng số khác Lmax Thời gian trễ tối đa EDD Quy tắc ưu tiên xếp kỳ hạn sớm 1kLmax Vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của công việc mô hình máy đơn 1|adjustable dj , π|Lmax Bài tốn điều chỉnh kỳ hạn dj để dãy công việc π tối ưu 1|adjustable dj , L∗ |Lmax Bài toán điều chỉnh kỳ hạn dj để trễ tối đa Lmax ≤ L∗ 1|adjustable pj , π|Lmax Bài toán điều chỉnh thời gian gia công pj để dãy công việc π tối ưu 1|adjustable pj , L∗ |Lmax Bài toán điều chỉnh thời gian gia công pj để trễ tối đa Lmax ≤ L∗ Lời nói đầu Từ kỷ XX tối ưu hóa có ứng dụng nhiều hiệu lĩnh vực quản trị kinh doanh, chế tạo sản xuất, quy hoạch tài nguyên, công nghệ thông tin, hỗ trợ cho vấn đề định quản lý, mục tiêu nghiên cứu tối ưu hóa tìm giải pháp tốt từ số lượng lớn giải pháp khả thi Trong mơ hình tối ưu hóa truyền thống tất thông số đưa mục tiêu tìm giải pháp tối ưu đáp ứng ràng buộc cụ thể, tối ưu hóa ngược xác định trước giải pháp với giá trị số thơng số khơng cho xác mục tiêu tìm giá trị xác thông số để giải pháp đưa ban đầu tối ưu, tối ưu hóa ngược giúp cải thiện hệ thống có sẵn Trong năm gần đây, vấn đề tối ưu hóa ngược trở thành chủ đề nghiên cứu nhiều hơn, tầm quan trọng ứng dụng tối ưu hóa ngược ngày gia tăng Luận văn trình bày tốn ngược tốn tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa công việc với thời gian đến mơ hình máy đơn Vấn đề trình tự gia công công việc vấn đề tốn tối ưu hóa tổ hợp Với vấn đề tối ưu hóa trình tự gia cơng thuận dãy công việc đưa với thông số cho trước (ví dụ thời gian gia cơng hay kỳ hạn công việc) ta cần xếp lại trình tự cơng việc để cho độ trễ tối đa nhỏ Tuy nhiên trình tự cơng việc ấn định mục tiêu tối ưu hóa ngược ta cần điều chỉnh thông số cho trước để cho trình tự cho tối ưu để đạt độ trễ tối đa thỏa mãn thời hạn cho trước Chính việc nghiên cứu tốn ngược tốn tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa công việc với thời gian đến mơ hình máy đơn cần thiết Giải toán nhằm để đáp ứng kỳ hạn giao hàng cho khách hàng, khách hàng có dãy cơng việc ấn định trước cho độ trễ tối đa sản xuất nhỏ Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Phạm Hồng Trường Tơi xin tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc thầy, người trực tiếp hướng dẫn tơi tận tình việc học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin tồn thể thầy ngồi trường giảng dạy giúp trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập nghiên cứu thân Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2018 Tác giả luận văn Bế Nhật Vinh Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vận trù học Vận trù học (Operations Research-OR) hình thành từ việc lập kế hoạch nhà quân chiến tranh giới thứ II Mục tiêu Vận trù học lúc sử dụng cho hiệu nguồn lực quân cách sử dụng kỹ thuật định lượng Kết ứng dụng thực Patrick Blackett Trong chiến thứ nhất, ông thành lập nhóm gọi Circus giúp giảm số lượng pháo phịng khơng với tầm xa cần thiết để bắn hạ máy bay đối phương từ mức trung bình 20000 đầu đạn trận đầu chiến xuống 4000 đầu đạn vào năm 1941 Trong thập kỷ sau chiến tranh, kỹ thuật bắt đầu áp dụng rộng rãi cho vấn đề kinh doanh, công nghiệp xã hội Từ Vận trù học mở rộng sử dụng rộng rãi ngành cơng nghiệp từ hóa dầu đến hãng hàng khơng, hậu cần phủ, tập trung vào việc phát triển mơ hình tốn học sử dụng để phân tích tối ưu hóa hệ thống phức tạp trở thành lĩnh vực học tập nghiên cứu Vận trù học với mục đích nghiên cứu phân bổ nguồn lực tối ưu, vận trù học cung cấp sở hợp lý cho việc định cách tìm hiểu cấu trúc tình phức tạp, dự đốn hành vi hệ thống cải thiện hiệu suất hệ thống Phần lớn công việc thực tế thực cách sử dụng kỹ thuật phân tích số để phát triển vận dụng mô hình tốn học hệ thống tổ chức bao gồm người, máy móc hoạt động Vai trò vận trù học hai lĩnh vực công lĩnh vực tư nhân gia tăng nhanh chóng Vận trù học giải nhiều vấn đề khác giao thông vận tải, lập kế hoạch kiểm kê, kế hoạch sản xuất, hoạt động truyền thông, hoạt động máy tính, quản lý tài sản, quản lý rủi ro, quản lý doanh thu nhiều lĩnh vực khác Trong lĩnh vực công, nghiên cứu vận trù học tập trung vào sách lượng, quốc phịng, chăm sóc sức khoẻ, quy hoạch tài nguyên nước, thiết kế vận hành hệ thống khẩn cấp đô thị thực thi pháp luật Nghiên cứu vận trù học, khoa học quản lý phân loại thành ba lĩnh vực sau: Một nghiên cứu sở tảng ba lĩnh vực tốn học (Xác suất, tối ưu hóa, lý thuyết hệ động lực) Hai nghiên cứu mơ hình việc thiết lập mơ hình, phân tích chúng mặt tốn học, mã hóa chúng lên máy tính, giải chúng cơng cụ phần mềm, đánh giá hiệu thu từ liệu máy tính Mức chủ yếu nhờ máy tính định hướng xác suất kinh tế lượng thứ ba nghiên cứu ứng dụng vận trù học, giống ngành kĩ thuật kinh tế, sử dụng mơ hình thu để áp dụng cho vấn đề thực tế Trong vận trù học, nhà nghiên cứu yêu cầu phải mô hình hóa vấn đề thực tế cách áp dụng kỹ thuật toán học, thống kê, ứng dụng máy tính sau tìm giải pháp tối ưu cho mơ hình bị hạn chế thời gian, nguồn lực lao động, nguồn lực vật liệu quy tắc kinh doanh với mục tiêu cụ thể Các lý thuyết mới, mơ hình tốn học phát minh vận trù học để mơ tả phân tích hành vi, đặc điểm, thay đổi vấn đề thực tế, để giúp người định tốt để phát triển quản lý quy trình doanh nghiệp với lợi nhuận tối đa Mơ hình tối ưu mơ tả sau max ( min) f (x) s.t Điều kiện ràng buộc Các giải pháp đáp ứng yêu cầu nêu thường gọi giải pháp khả thi Tối ưu hóa tìm giải pháp tối ưu số giải pháp khả thi 1.2 Vấn đề tối ưu hóa tổ hợp Tối ưu hố tổ hợp nhánh tối ưu hóa tốn học xuất toán học rời rạc, vận trù học, lý thuyết thuật tốn lý thuyết tính tốn phức tạp Mục tiêu nghiên cứu tối ưu hóa tổ hợp tìm giải pháp tốt từ số lượng lớn giải pháp khả thi Trong nhiều vấn đề, chẳng hạn phân công tối ưu, khung ngắn nhất, vận chuyển toán người giao hàng, giải pháp rời rạc việc tìm kiếm tồn diện khơng khả thi So với ngành tốn học ứng dụng khác, tối ưu hóa tổ hợp tương đối trẻ Xem xét lịch sử loạt nghiên cứu độc lập diễn riêng biệt Chỉ năm 1950, công cụ đại số tuyến tính số nguyên trở nên thống có sẵn lĩnh vực tối ưu tổ hợp bắt đầu thu hút ý mối quan hệ chúng đặt Thật vậy, tối ưu hóa tuyến tính tạo thành lề lịch sử tối ưu hóa tổ hợp Quan niệm ban đầu Kantorovich Koopmans thúc đẩy ứng dụng tổ hợp, đặc biệt vận chuyển chuyển tải Sau xây dựng quy hoạch tuyến tính tốn tổng qt, phát triển vào năm 1947 Dantzig phương pháp đơn cơng cụ, Dantzig cố gắng giải tất tốn tối ưu hóa tổ hợp với phương pháp quy hoạch tuyến tính thường thành cơng Tối ưu hóa tổ hợp liên quan đến mơ hình phương pháp để tối ưu hóa dbu − du ≤ dbu − du Bây ta xét điều chỉnh kỳ hạn công việc h Nếu h ∈ U lập luận với cơng việc h, cịn khơng kỳ hạn cơng việc h giảm từ dbk ≤ dk đến (2.10) bb (2.14) dh = Ch − L0 = Ch − Lh = dh ≥ dh cho b du ≤ dbh ≤ dbh ≤ dh Do điều kiện (2.6) thỏa mãn Cuối ta chứng minh tính chất (iv) Do tính chất (i), cơng việc k chủ chốt b với kỳ hạn db db cho (2.1) thỏa mãn Ta cần điều kiện (2.2) thỏa b mãn với db công việc j đứng trước k Vì điều cần đủ để hoán vị π tối ưu thỏa mãn với công việc chủ chốt k kỳ hạn db nên dbj ≤ dbk 33 Nếu j ∈ / U kỳ hạn khơng tăng, cho: bb bb dj ≤ dk b b Nếu j = u ∈ U điều kiện (2.2) bị vi phạm Cu < Ck dbj > dbk Nghĩa b b Cu dbu < Ck − dbk = L0 Mâu thuẫn với (2.12) Vậy Bổ đề 2.1 chứng minh b ta Theo Bổ đề 2.1, thứ tự để tìm kỳ hạn điều chỉnh tối ưu d, giới hạn phạm vi xem xét thành lớp trình tự với cơng việc chủ chốt cố định h, h định nghĩa công việc chủ chốt kỳ hạn ban đầu d Nếu điều kiện (2.1) − (2.2) Định lý 2.3 thỏa mãn với dãy thứ tự công việc π với công việc chủ chốt h với thời gian ban đầu d, khơng phải điều chỉnh; trình tự cơng việc tối ưu độ lệch kdb − dk Mặt khác, ta xét giá trị khác b dh ∈ dh , dh định nghĩa kỳ hạn điều chỉnh dbj với tất cơng việc cịn lại j ∈ N \ {h} phụ thuộc vào dbh Trong thứ tự để đạt công thức điều chỉnh thời hạn, ta chia đoạn dh , dh thành đoạn nhỏ cho đoạn nhỏ có tập công việc đối tượng để điều chỉnh Xét đoạn con, ta biểu diễn phân tích tham số đoạn dh , dh Trong đoạn con, ta tìm kỳ hạn tối ưu dbk kỳ hạn tương ứng dbj với j ∈ N \ {h} đảm bảo điều kiện cần đủ Định lý (2.3) thỏa mãn độ lệch kdb− dk nhỏ Kết tốn tìm việc xét kết tất đoạn chọn kết có độ lệch kdb − dk nhỏ Đoạn dh , dh chia giá trị khác tập {Ch − L1 , Ch − L2 , Ch − Ln } ∪ {d1 , d2 , dn } 34 thuộc đoạn Dãy thứ tự giá trị dh = tk1 < tk2 < < tkz = dh (2.15) Nhận thấy, với công việc h, hai giá trị Ch − Lh dh trùng nhau, cho z ≤ n + h − Giả sử kỳ hạn điều chỉnh dbh thuộc vào đoạn tkg , tkg+1 , ≤ g ≤ z − Xét điều kiện (2.1) Định lý 2.3 với công việc j thuộc N \ {h} giá trị Ch − Lj thỏa mãn điều kiện sau: Ch − Lj ≤ tkg ≤ dbh (2.16) Ch − Lj ≤ tkg+1 ≤ dbh (2.17) Các công việc mà h ∈ N \ {h} mà thỏa mãn điều kiện (2.16) vi phạm điều kiện (2.1) Định lý 2.3 với thuộc tkg , tkg+1 công việc không thỏa mãn (2.17) không thỏa mãn điều kiện (2.1) Bây ta xét điều kiện (2.2) Định lý 2.3 với công việc j thuộc {1, 2, , h − 1}, giá trị dj thỏa mãn điều kiện sau: dj ≤ tkg ≤ dbh (2.18) dj ≤ tkg+1 ≤ dbh (2.19) Các công việc thỏa mãn (2.18) không vi phạm điều kiện (2.2) Định lý 2.3 công việc thỏa mãn (2.19) vi phạm điều kiện (2.2) với dbh ∈ tkg , tkg+1 Do ta định nghĩa tập cơng việc có kỳ hạn điều chỉnh theo thứ tự để đạt điều kiện cần đủ Định lý 2.3 thứ tự mục tiêu π với công việc chủ chốt h dbh ∈ tkg , tkg+1 : 35 - công việc vi phạm (2.1), Ug = u | u ∈ N \ {h} Ch − Lu ≤ tkg - công việc vi phạm (2.2) Vg = v | v ∈ {1, , h − 1} dv ≥ tkg+1 Rõ ràng kỳ hạn công việc Ug tăng, kỳ hạn công việc Vg lại giảm Nhận thấy Ug ∩ Vg = ∅, với v ∈ Vg Cv < Ch dv ≥ tkg+1 ≥ tkg Do Lv = Cv − dc < Ch − tkg Và điều kiện (2.16) với tính chất đặc trưng Ug không đảm bảo Các tập Ug Vg xác định đoạn tkg , tkg+1 khác hẳn so với tập Ug+1 Vg+1 , định nghĩa đoạn tkg+1 , tkg+2 Đặc biệt, với hai đoạn liên tiếp Ug ⊆ Ug+1 Vg ⊇ Vg+1 Ta bắt đầu với kỳ hạn điều chỉnh dbh thuộc vào đoạn [tk1 , tk2 ] tiếp tục với đoạn tiếp theo, tkg , tkg+1 , g = 2, 3, , z, xét đoạn Với đoạn tkg , tkg+1 ta ký hiệu kỳ hạn điều chỉnh công việc từ Ug Vg dbu = du + xu , u ∈ Ug , dbv = dv − yv , v ∈ Vg Và xác định hàm F dbh , x, y , s.t tkg ≤ dbh ≤ tkg+1 , Cu − (du + xu ) ≤ Ch − dbh , u ∈ Ug , dv − yv ≤ dbh , v ∈ Vg , ≤ xu ≤ du − du , u ∈ Ug , ≤ yv ≤ dv − dv , v ∈ Vg , (2.20) 36 hàm mục tiêu F có dạng : P P b βv yv , f or l1,α,β norm, αu xu + α d − d h h h + v∈V u∈U g g 2 P P F dbh , x, y = αh dbh − dh + αu x2u + βv yv2 , f or l2,α,β norm, u∈U v∈V g g max αh dbh − dh , max αu xu , max βv yv , f or l∞,α,β norm u∈Ug v∈Vg Đánh giá điều chỉnh nhỏ điều kiện (2.1) (2.2) coi đẳng thức kỳ hạn điều chỉnh Cu − (du + xu ) = Ch − dbh , u ∈ Ug , dv − yv = dbh , v ∈ Vg Việc tìm biểu thức xu yv từ điều kiện thay chúng vào (2.20), ta có toán biến dbh : F dbh s.t max tkg , {Auh } , max {dv } ≤ dbh ≤ tkg+1 , Auh , {dv } u∈Ug v∈Vg u∈Ug v∈Vg (2.21) Trong đó: P P b b b β − d + d f or l1,α,β , α d − d + α d − A + h v , u h uh v h h h v∈V u∈U g g 2 2 2 P P b b b b αu dh − Auh + βv −dh + dv , f or l2,α,β , F dh = αh dh − dh + u∈Ug v∈Vg max αh dbh − dh , max αu dbh − Auh , max βv −dbh + dv , f or l∞,α,β u∈Ug v∈Vg Và số Auh Auh xác định với u ∈ Ug sau: Auh = du − Cu + Ch , Auh = du − Cu + Ch 37 Sự buộc tốn (2.21) khơng khả thi với vế trái nhiều vế phải Trong trường hợp khơng có giá trị điều chỉnh dbh ∈ tkg , tkg+1 tồn cho hoán vị π tối ưu Nếu điều xảy với đoạn tkg , tkg+1 , b = 1, 2, , z−1, tốn ngược |adjustable dj , π| Lmax khơng có câu trả lời Ví dụ, kỳ hạn tất công việc ấn định, chẳng hạn dj = dj , j ∈ N, hốn vị cho π khơng tối ưu, khơng có điều chỉnh hợp lý khơng có kết cho tốn ngược Với ước tính thời gian phức tạp thuật toán thực sau, vấn đề với dbh ∈ tkg , tkg+1 , tập U1 V1 xây dựng thời gian O(n) Hàm mục tiêu F dbh điều kiện ràng buộc thu thời gian O(n) Xét chuyển tiếp từ toán với dbh ∈ tkg−1 , tkg đến tốn với cơng việc dbh ∈ tkg , tkg+1 , ≤ g ≤ z − Mỗi công việc thêm vào tập U cơng việc dư từ tập V ta tìm thời gian O(1) cơng thức (2.21) giải thời gian O(1) với chuẩn Lặp lại q trình đó, ta tìm kỳ hạn điều chỉnh tối ưu dbh thời gian O(n), z ≤ n + h − Thực với dãy thứ tự (2.15) tìm thời gian O(n log n), thời gian hoàn thành toàn phần việc giải toán ngược O(n log n) với chuẩn 2.3.2 Bài toán ngược |adjustable dj , L∗ | Lmax Giả sử cho trước giá trị thời gian trễ L∗ , mục tiêu tìm kỳ hạn điều chỉnh b b b dj , dj ∈ dj , dj cho d − d nhỏ Lmax ≤ L∗ Vì giá trị nhỏ Lmax đảm bảo dãy công việc thứ tự kỳ hạn sớm (EDD), ta giới hạn phạm vi tìm kiếm lớp trình tự thỏa mãn EDD 38 Ta bắt đầu với trình tự EDD với kỳ hạn gốc Nếu trình tự thỏa mãn Lmax ≤ L∗ khơng khơng cần điều chỉnh Mặt khác, kỳ hạn số cơng việc tăng đặt H = {hi } tập công việc chủ chốt, L = Lmax Nếu L > L∗ , tăng kỳ hạn công việc từ tập H Rõ ràng kỳ hạn tăng thêm tất cơng việc từ H: dbj = dj + x, x ≥ 0, j ∈ H, biên độ kỳ hạn nhận sau: n o b x ≤ dj − dj j∈H Trước tiên ta đưa vấn đề làm mà nút thắt tháo gỡ kỳ hạn sớm số cơng việc có thời hạn Nếu số khơng có cơng việc chủ chốt, thứ tự chúng không quan trọng Mặt khác, có cơng việc cuối số có kỳ hạn chủ chốt có điều chỉnh mong muốn, phụ thuộc loại chuẩn, độ lệch db − d tính công thức sau: P αh x f or l1,α,β norm, h∈H P b d − d = αh x2 f or l2,α,β norm, h∈H max {αh } × x f or l∞,α,β norm h∈H Trong lớp kế hoạch kỳ hạn sớm nhất, giá trị db − d nhỏ với chuẩn dãy cơng việc có kỳ hạn nằm dãy thứ tự không tăng αj Ta giới thiệu ký hiệu thứ tự Sắp thứ tự σ gọi thứ tự cơng việc xếp theo thứ tự không tăng của αj Sự điều chỉnh kỳ hạn công việc chủ chốt vi phạm thứ tự kỳ hạn sớm công việc chủ chốt xuất Trong trình tự trì