ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– BẾ NHẬT VINH VẤN ĐỀ NGƯỢC CỦA VẤN ĐỀ TỐI THIỂU HÓA THỜI GIAN TRỄ TỐI ĐA TRÊN MÔ HÌNH MÁY ĐƠN THÁI NGUYÊN, THÁNG 5/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– BẾ NHẬT VINH VẤN ĐỀ NGƯỢC CỦA VẤN ĐỀ TỐI THIỂU HĨA THỜI GIAN TRỄ TỐI ĐA TRÊN MƠ HÌNH MÁY ĐƠN THÁI NGUYÊN, THÁNG 5/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– BẾ NHẬT VINH VẤN ĐỀ NGƯỢC CỦA VẤN ĐỀ TỐI THIỂU HÓA THỜI GIAN TRỄ TỐI ĐA TRÊN MƠ HÌNH MÁY ĐƠN Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS PHẠM HỒNG TRƯỜNG THÁI NGUYÊN, THÁNG 5/2018 Mục lục Danh mục ký hiệu Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vận trù học 1.2 Vấn đề tối ưu hóa tổ hợp 1.3 Lời giải vấn đề gia cơng mơ hình máy đơn 10 1.3.1 Trình tự khả thi trình tự tối ưu 10 1.3.2 Trình tự gia cơng khơng trì hỗn trình tự gia cơng trì hỗn 11 1.4 Vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa cơng việc với thời gian đến mơ hình máy đơn 1kLmax 12 1.5 Vấn đề xếp ngược 14 1.6 Vấn đề quy hoạch tuyến tính 17 1.7 Định nghĩa ba loại chuẩn l1 , l2 , l∞ 18 Vấn đề ngược vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa cơng việc với thời gian đến mơ hình máy đơn 20 2.1 Sơ lược vấn đề xếp ngược 21 2.2 Điều kiện cần đủ vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa 24 2.2.1 Điều kiện đủ vấn đề 1kLmax tối ưu 24 2.2.2 Điều kiện cần đủ vấn đề 1kLmax 26 2.3 Điều chỉnh kỳ hạn (Adjustable Due Dates) 28 2.3.1 Bài toán ngược |adjustable dj , π| Lmax 28 2.3.2 Bài toán ngược |adjustable dj , L∗ | Lmax 37 2.4 Điều chỉnh thời gian gia công (Adjustable Processing Times) 40 2.4.1 Bài toán ngược |adjustable pj , π| Lmax 41 2.4.2 Bài toán ngược |adjustable pj , L∗ | Lmax 47 Kết luận Tài liệu tham khảo 49 51 Danh mục ký hiệu Tj Công việc thứ j dãy công việc đưa pj Thời gian gia công công việc Tj dj Kỳ hạn cơng việc Tj Cj P Thời gian hồn thành cơng việc Tj Cj Tổng thời gian hồn thành cơng việc có trọng số P w j Cj Tổng thời gian hồn thành cơng việc có trọng số khác Lmax Thời gian trễ tối đa EDD Quy tắc ưu tiên xếp kỳ hạn sớm 1kLmax Vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của công việc mơ hình máy đơn 1|adjustable dj , π|Lmax Bài tốn điều chỉnh kỳ hạn dj để dãy công việc π tối ưu 1|adjustable dj , L∗ |Lmax Bài toán điều chỉnh kỳ hạn dj để trễ tối đa Lmax ≤ L∗ 1|adjustable pj , π|Lmax Bài toán điều chỉnh thời gian gia công pj để dãy công việc π tối ưu 1|adjustable pj , L∗ |Lmax Bài tốn điều chỉnh thời gian gia cơng pj để trễ tối đa Lmax ≤ L∗ Lời nói đầu Từ kỷ XX tối ưu hóa có ứng dụng nhiều hiệu lĩnh vực quản trị kinh doanh, chế tạo sản xuất, quy hoạch tài nguyên, công nghệ thông tin, hỗ trợ cho vấn đề định quản lý, mục tiêu nghiên cứu tối ưu hóa tìm giải pháp tốt từ số lượng lớn giải pháp khả thi Trong mơ hình tối ưu hóa truyền thống tất thông số đưa mục tiêu tìm giải pháp tối ưu đáp ứng ràng buộc cụ thể, tối ưu hóa ngược xác định trước giải pháp với giá trị số thông số không cho xác mục tiêu tìm giá trị xác thơng số để giải pháp đưa ban đầu tối ưu, tối ưu hóa ngược giúp cải thiện hệ thống có sẵn Trong năm gần đây, vấn đề tối ưu hóa ngược trở thành chủ đề nghiên cứu nhiều hơn, tầm quan trọng ứng dụng tối ưu hóa ngược ngày gia tăng Luận văn trình bày tốn ngược tốn tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa công việc với thời gian đến mơ hình máy đơn Vấn đề trình tự gia công công việc vấn đề tốn tối ưu hóa tổ hợp Với vấn đề tối ưu hóa trình tự gia cơng thuận dãy công việc đưa với thơng số cho trước (ví dụ thời gian gia công hay kỳ hạn công việc) ta cần xếp lại trình tự cơng việc để cho độ trễ tối đa nhỏ Tuy nhiên trình tự cơng việc ấn định mục tiêu tối ưu hóa ngược ta cần điều chỉnh thông số cho trước để cho trình tự cho tối ưu để đạt độ trễ tối đa thỏa mãn thời hạn cho trước Chính việc nghiên cứu tốn ngược tốn tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa công việc với thời gian đến mơ hình máy đơn cần thiết Giải toán nhằm để đáp ứng kỳ hạn giao hàng cho khách hàng, khách hàng có dãy cơng việc ấn định trước cho độ trễ tối đa sản xuất nhỏ Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Phạm Hồng Trường Tơi xin tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc thầy, người trực tiếp hướng dẫn tơi tận tình việc học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin tồn thể thầy ngồi trường giảng dạy giúp tơi trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập nghiên cứu thân Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2018 Tác giả luận văn Bế Nhật Vinh Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vận trù học Vận trù học (Operations Research-OR) hình thành từ việc lập kế hoạch nhà quân chiến tranh giới thứ II Mục tiêu Vận trù học lúc sử dụng cho hiệu nguồn lực quân cách sử dụng kỹ thuật định lượng Kết ứng dụng thực Patrick Blackett Trong chiến thứ nhất, ông thành lập nhóm gọi Circus giúp giảm số lượng pháo phịng khơng với tầm xa cần thiết để bắn hạ máy bay đối phương từ mức trung bình 20000 đầu đạn trận đầu chiến xuống 4000 đầu đạn vào năm 1941 Trong thập kỷ sau chiến tranh, kỹ thuật bắt đầu áp dụng rộng rãi cho vấn đề kinh doanh, cơng nghiệp xã hội Từ Vận trù học mở rộng sử dụng rộng rãi ngành cơng nghiệp từ hóa dầu đến hãng hàng khơng, hậu cần phủ, tập trung vào việc phát triển mơ hình tốn học sử dụng để phân tích tối ưu hóa hệ thống phức tạp trở thành lĩnh vực học tập nghiên cứu Vận trù học với mục đích nghiên cứu phân bổ nguồn lực tối ưu, vận trù học cung cấp sở hợp lý cho việc định cách tìm hiểu cấu trúc tình phức tạp, dự đốn hành vi hệ thống cải thiện hiệu suất hệ thống Phần lớn công việc thực tế thực cách sử dụng kỹ thuật phân tích số để phát triển vận dụng mơ hình tốn học hệ thống tổ chức bao gồm người, máy móc hoạt động Vai trị vận trù học hai lĩnh vực công lĩnh vực tư nhân gia tăng nhanh chóng Vận trù học giải nhiều vấn đề khác giao thông vận tải, lập kế hoạch kiểm kê, kế hoạch sản xuất, hoạt động truyền thơng, hoạt động máy tính, quản lý tài sản, quản lý rủi ro, quản lý doanh thu nhiều lĩnh vực khác Trong lĩnh vực công, nghiên cứu vận trù học tập trung vào sách lượng, quốc phịng, chăm sóc sức khoẻ, quy hoạch tài nguyên nước, thiết kế vận hành hệ thống khẩn cấp đô thị thực thi pháp luật Nghiên cứu vận trù học, khoa học quản lý phân loại thành ba lĩnh vực sau: Một nghiên cứu sở tảng ba lĩnh vực toán học (Xác suất, tối ưu hóa, lý thuyết hệ động lực) Hai nghiên cứu mơ hình việc thiết lập mơ hình, phân tích chúng mặt tốn học, mã hóa chúng lên máy tính, giải chúng cơng cụ phần mềm, đánh giá hiệu thu từ liệu máy tính Mức chủ yếu nhờ máy tính định hướng xác suất kinh tế lượng thứ ba nghiên cứu ứng dụng vận trù học, giống ngành kĩ thuật kinh tế, sử dụng mơ hình thu để áp dụng cho vấn đề thực tế Trong vận trù học, nhà nghiên cứu yêu cầu phải mơ hình hóa vấn đề thực tế cách áp dụng kỹ thuật toán học, thống kê, ứng dụng máy tính sau tìm giải pháp tối ưu cho mơ hình bị hạn chế thời gian, nguồn lực lao động, nguồn lực vật liệu quy tắc kinh doanh với mục tiêu cụ thể Các lý thuyết mới, mơ hình tốn học phát minh vận trù học để mơ tả phân tích hành vi, đặc điểm, thay đổi vấn đề thực tế, để giúp người định tốt để phát triển quản lý quy trình doanh nghiệp với lợi nhuận tối đa Mơ hình tối ưu mơ tả sau max ( min) f (x) s.t Điều kiện ràng buộc Các giải pháp đáp ứng yêu cầu nêu thường gọi giải pháp khả thi Tối ưu hóa tìm giải pháp tối ưu số giải pháp khả thi 1.2 Vấn đề tối ưu hóa tổ hợp Tối ưu hố tổ hợp nhánh tối ưu hóa tốn học xuất toán học rời rạc, vận trù học, lý thuyết thuật tốn lý thuyết tính tốn phức tạp Mục tiêu nghiên cứu tối ưu hóa tổ hợp tìm giải pháp tốt từ số lượng lớn giải pháp khả thi Trong nhiều vấn đề, chẳng hạn phân công tối ưu, khung ngắn nhất, vận chuyển toán người giao hàng, giải pháp rời rạc việc tìm kiếm tồn diện khơng khả thi So với ngành tốn học ứng dụng khác, tối ưu hóa tổ hợp tương đối trẻ Xem xét lịch sử loạt nghiên cứu độc lập diễn riêng biệt Chỉ năm 1950, công cụ đại số tuyến tính số nguyên trở nên thống có sẵn lĩnh vực tối ưu tổ hợp bắt đầu thu hút ý mối quan hệ chúng đặt Thật vậy, tối ưu hóa tuyến tính tạo thành lề lịch sử tối ưu hóa tổ hợp Quan niệm ban đầu Kantorovich Koopmans thúc đẩy ứng dụng tổ hợp, đặc biệt vận chuyển chuyển tải Sau xây dựng quy hoạch tuyến tính tốn tổng qt, phát triển vào năm 1947 Dantzig phương pháp đơn cơng cụ, Dantzig cố gắng giải tất tốn tối ưu hóa tổ hợp với phương pháp quy hoạch tuyến tính thường thành cơng Tối ưu hóa tổ hợp liên quan đến mơ hình phương pháp để tối ưu hóa lựa chọn rời rạc Nó bắt nguồn từ lý thuyết quy hoạch tuyến tính, có liên kết chặt chẽ với tốn học rời rạc, lý thuyết xác suất, lý thuyết khoa học máy tính, lý thuyết tính độ phức tạp tính tốn Một số vấn đề lĩnh vực nghiên cứu tương đối tốt chấp nhận giải pháp để tối ưu hóa thời gian đa thức Nhiều tốn khác NP–hard Có ba cách để giải tốt tốn tối ưu hóa tổ hợp Cách thứ sử dụng phương pháp liệt kê đảm bảo để tạo giải pháp tối ưu Cách thứ hai áp dụng thuật toán xấp xỉ chạy thời gian đa thức Cách thứ ba sử dụng số kỹ thuật tìm kiếm kinh nghiệm, mà khơng có đảm bảo trước chất lượng giải pháp thời gian chạy Nhiều vấn đề định sống thực tế xây dựng vấn đề tối ưu hố tổ hợp có quan tâm lớn ngày tăng lý thuyết thực tiễn Một số vấn đề toán người giao hàng, việc lên kế hoạch mua sắm, tham quan, vấn đề bác sĩ người đưa thư Tương tự vậy, phân công công việc, vận tải, kết nối hình thành vấn đề nhiều nhà tốn học xem xét Nói chung, tốn tối ưu tổ hợp thường có quy mơ lớn khó giải Do đó, nghiên cứu phức tạp mặt tính tốn thiết kế thuật toán để phát triển thủ tục giải hiệu trọng tâm nhà nghiên cứu việc tối ưu hóa tổ hợp Một vấn đề tối ưu tổ hợp P = (S, f ) sau • Các miền biến D1 , D2 , , Dn , • Các ràng buộc biến, • Một hàm mục tiêu f tối thiểu hóa (hoặc tối đa hóa), f : D1 × D2 × × Dn −→ R+ 10 Tập hợp tất giải pháp khả thi S = {s ∈ D1 × D2 × × Dn | s thỏa mãn ràng buộc} S thường gọi khơng gian tìm kiếm (hoặc tập hợp giải pháp), phần tử S xem giải pháp khả thi Để giải Bài tốn tối ưu tổ hợp có nghĩa tìm giải pháp s∗ ∈ S với giá trị hàm tối thiểu hóa (hoặc tối đa hóa); nghĩa là, f (s∗ ) ≤ f (s), ∀ s∗ ∈ S (hoặc f (s∗ ) ≥ f (s), ∀ s∗ ∈ S, s∗ gọi Giải pháp tối ưu (S, f ) để cho tập S ∗ ⊆ S tập hợp giải pháp tối ưu 1.3 Lời giải vấn đề gia công mơ hình máy đơn (Xem [1]) 1.3.1 Trình tự khả thi trình tự tối ưu Vấn đề trình tự gia cơng tốn tối ưu hóa tổ hợp Các nhiệm vụ, số lượng máy cần xử lý vấn đề trình tự gia cơng hữu hạn lời giải tối ưu đại phận vấn đề trình tự tìm từ hữu hạn giải pháp khả thi vấn đề trình tự ban đầu, làm cho hàm mục tiêu đạt giá trị tối ưu Trong vấn đề trình tự gia cơng, ta gọi giải pháp khả thi trình tự khả thi, giải pháp tốt ưu gọi trình tự tối ưu Trong vấn đề trình tự gia cơng, trình tự khả thi dãy thứ tự mà dựa vào xếp tất nhiệm vụ gia công máy xử lý Ví dụ 1.1 Cho vấn đề trình tự gia cơng 1k P wj Cj đó, n = 6, p = (12, 4, 7, 11, 6, 5), ω = (4, 2, 5, 5, 6, 3) Một trình tự gia cơng tập cơng việc trình tự khả thi, [T5 , T3 , T6 , T2 , T4 , T1 ] tối ưu Ví dụ 1.2 Cho vấn đề trình tự gia cơng F2 ||Cmax n = 11 Hình 1.1: Trình tự tối ưu ví dụ 1.2 4 10 P = 10 Một trình tự gia cơng tập cơng việc trình tự khả thi, [J5 , J1 , J4 , J3 , J2 ] trình tự tối ưu Hình 1.2: Sơ đồ Grant Charts 1.3.2 Trình tự gia cơng khơng trì hỗn trình tự gia cơng trì hỗn Trong trình giải vấn đề trình tự gia cơng, có loại trình tự khả thi quan trọng định nghĩa Định nghĩa 1.1 Đối với trình tự khả thi, có cơng việc chuẩn bị trước, máy xử lý khơng có thời gian nghỉ q trình gia cơng, loại trình tự gia cơng gọi trình tự gia cơng khơng trì hỗn Nếu ngược lại, gọi trình tự gia cơng trì hỗn Trình tự gia cơng khơng trì hỗn tương đương với việc khơng để máy xử lý có thời gian nghỉ q trình gia cơng Đối với đa số vấn đề trình tự gia 12 cơng, bao gồm tất trình tự gia cơng trì hỗn, trình tự tối ưu trình tự khơng trì hỗn, nhiên có vài vấn đề trình tự gia cơng trì hỗn mà trình tự tối ưu trình tự trì hỗn Ví dụ 1.3 Trình tự gia cơng 1|rj | P wj Cj , n = 2, p = (10, 5), r = (0, 1), w = (1, 5) Vấn đề có hai trình tự khả thi là: Hình 1.3: Trình tự khả thi ví dụ 1.3 1.4 Vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa công việc với thời gian đến mơ hình máy đơn 1kLmax Một số ký hiệu tốn 1kLmax : Tj cơng việc thứ j dãy công việc đưa ra, pj thời gian gia công công việc Tj , dj Cj = thời gian hoàn thành hạn định công việc Tj , j P ps thời gian hồn thành thành cơng cơng việc Tj , s=1 Thời gian trễ tối đa (maximum latenes) Lmax = max{Lj } 13 đó, Lj = Cj − dj thời gian trễ công việc Tj Bài tốn 1.1 Tìm thời gian trễ tối đa công việc thứ tự từ công việc T1 −→ T2 −→ T3 −→ T4 −→ T5 −→ T6 với kiện cho theo bảng 1.1 Công việc Tj T1 T2 T3 T4 T5 T6 Thời gian gia công tương ứng (pj ) Kỳ hạn hoàn thành tương ứng (dj ) 10 11 12 Bảng 1.1 Hình 1.4: Trình tự thực cơng việc toán 1.1 Ta được: C1 = 3; C2 = 4; C3 = 8; C4 = 8; C5 = 12; C6 = 14 Khi thời gian trễ công việc Tj là: L1 = 1; L2 = −6; L3 = 2; L4 = 5; L5 = 1; L6 = Vậy trễ tối đa Lmax = Mặt khác, thay đổi thứ tự cơng việc hồn thành T1 −→ T3 −→ T4 −→ T2 −→ T5 −→ T6 Ta được: 14 Hình 1.5: Trình tự thực cơng việc tốn 1.1 theo thứ tự Khi đó, thời gian trễ công việc Tj L1 = 1; L3 = 1; L4 = 4; L2 = −1; L5 = 1; L6 = Vậy trễ tối đa Lmax = Như thấy rằng, thay đổi thứ tự thực cơng việc, thời gian trễ tối đa (có thể) khác Vậy vấn đề đặt là, thực gia công tập hợp cơng việc với thời gian hồn thành hạn định cơng việc định sẵn, thứ tự thực cơng việc nên xếp để thời gian trễ tối đa nhỏ Bài toán 1kLmax tương đối đơn giản, giải cách xếp nhiệm vụ theo quy tắc ưu tiên kỳ hạn sớm (Earliest Due Date first viết tắt EDD) ta thu trình tự tối ưu Theo quy tắc này, cơng việc xếp theo trình tự không giảm dj 1.5 Vấn đề xếp ngược Lý thuyết vật lý cho phép đưa dự đốn, đưa mơ tả đầy đủ hệ thống vật lý dự đoán kết số phép đo Khi việc dự đốn kết đo gọi mơ hình hóa vấn đề thuận Một vấn đề ngược lại ta chuyển đổi phép đo, quan sát thành thông tin vật thể hệ thống vật lý mà quan tâm Trong vấn đề thuận có giải pháp vấn đề ngược khơng Ví dụ, xem xét phép đo trọng lượng hành tinh: cho phân bố khối lượng 15 bên hành tinh, xác định giá trị lực hấp dẫn xung quanh hành tinh, không gian tương đồng bên ngồi hành tinh có phân bố khối lượng khác môi trường trọng lực Do đó, vấn đề ngược lại suy phân bố khối lượng từ quan sát môi trường trọng lực có nhiều giải pháp Vì vấn đề ngược ta cần phải xem xét, kiểm tra cẩn thận xác thơng số mơ hình Tối ưu hóa ngược liên quan đến việc xác định thay đổi tối thiểu thông số vấn đề, phép giải pháp định trở nên tối ưu Khi giải toán tối ưu, thường giả sử thơng số chi phí, lực, vv biết ta quan tâm đến giải pháp tối ưu Tuy nhiên, thực tế xảy nhiều trường hợp mà biết ước lượng cho tham số Ngồi ra, biết giải pháp định tối ưu từ quan sát từ thí nghiệm cụ thể Ý tưởng tối ưu ngược tìm giá trị tham số làm cho giải pháp đưa tối ưu lượng thay đổi tham số so với ước lượng ban đầu tốt Các vấn đề xếp thuận đề cập đến cách xếp dãy công việc với mục tiêu tối thiểu hóa vài thơng số cơng việc (ví dụ thời gian hồn thành) Tuy nhiên, vấn đề xếp ngược lại giả định trình tự cơng việc đưa trước mục tiêu xác định thay đổi tối thiểu thông số cơng việc (ví dụ thời gian xử lý) cho dãy trình tự đưa trở thành tối ưu hàm mục tiêu chọn trước Vấn đề xếp thuận hữu ích cho việc thiết kế hệ thống mới, vấn đề xếp ngược lại có ý nghĩa quan trọng để cải thiện hiệu hệ thống tồn Trong năm gần đây, vấn đề tối ưu hóa ngược trở thành chủ đề nghiên cứu nhiều Các nghiên cứu vấn đề tìm thấy số ví dụ sau: Các vấn đề lập trình tự ngược ứng dụng vận chuyển 16 Các vấn đề ngược lập trình đơn máy để giảm thiểu tổng số thời gian hồn thành cơng việc Một số kết vấn đề phân loại ngược Vào năm 2005 C Koulamas nghiên cứu đưa kết việc lập trình tự ngược với thơng số cơng việc kiểm sốt Ơng nghiên cứu vấn đề lập trình tự ngược tổng số thời gian hồn thành có trọng số máy đơn vấn đề lập trình tự ngược tổng số thời gian hoàn thành vấn đề máy đơn Tuy nhiên, nghiên cứu ơng khơng xem xét đến việc giá trị kết tiêu chí lập trình tự cao giá trị tiêu chí lập trình tự ban điều không mong muốn Chen khắc phục điểm yếu kết Koulamas (2005), họ sử dụng cơng cụ lập trình tốn học để nghiên cứu vấn đề ngược lập trình máy đơn để giảm thiểu tổng trọng số Thời gian hoàn thành, 1k P wj Cj giải pháp tối ưu tương ứng thu theo chuẩn l1 , l2 , l∞ Hơn nữa, vấn đề đảo tổng thời gian hoàn thành P vấn đề máy đơn 1k Cj giải pháp tối ưu liên quan nghiên cứu Brucker Shakhlevich [7] nghiên cứu lập kế hoạch ngược với vấn đề khách quan tối đa Trong toán lập kế hoạch này, họ nghiên cứu đối số ngược tốn lập trình mơ hình máy đơn 1kLmax trường hợp điều chỉnh ngày tháng thời gian xử lý loại tiêu chuẩn: l1 , l2 , l∞ Hai vấn đề họ dường NP-khó; cho vấn đề, họ tạo cơng thức lập trình tốn học họ phát triển thuật toán giải pháp hiệu Các kết tóm tắt bảng 1.2 17 Điều chỉnh kì hạn dj Bài tốn ngược với trình tự cho trước π O(n log n) O(n log n) ∗ Bài toán ngược với giá trị L cho trước Chuẩn l1 , l2 Điều chỉnh thời gian gia công pj O(n2 log n) Chuẩn l1 , l2 l∞ O(n ) l∞ l1 , l2 O(n log n) l1 , l2 l∞ O(n log n + cn) l∞ O(n ) O(n ) Bảng 1.2: Độ phức tạp toán ngược toán 1kLmax loại chuẩn l1 , l2 , l∞ 1.6 Vấn đề quy hoạch tuyến tính Quy hoạch tuyến tính trường hợp đặc biệt lý thuyết tối ưu hóa giải tốn tối ưu (như chi phí tối đa tối thiểu) Các vấn đề quy hoạch tuyến tính gồm hàm mục tiêu tuyến tính (gồm số lượng biến định) tối thiểu hóa tối đa hóa theo số ràng buộc tuyến tính định Các ràng buộc tuyến tính hàm phương trình bất phương trình tuyến tính biến sử dụng hàm mục tiêu Quy hoạch tuyến tính liên quan chặt chẽ đến đại số tuyến tính; khác biệt đáng ý quy hoạch tuyến tính với điều kiện ràng buộc thường bất phương trình tuyến tính Quy hoạch tuyến tính phương pháp thành công nghiên cứu tối ưu tổ hợp Trong thực tế, nhiều vấn đề thực tế mơ tả vấn đề quy hoạch tuyến tính Quy hoạch tuyến tính sử dụng nhiều kinh tế quản lý công ty Mặc dù vấn đề quản lý đại thay đổi, hầu hết công ty muốn tối đa hóa lợi nhuận giảm thiểu chi phí với nguồn lực hạn chế Vì vậy, nhiều vấn đề thực tế thể vấn đề quy hoạch tuyến tính để đạt lợi nhuận tối đa quy hoạch, sản xuất, vận chuyển, công nghệ, Thật vậy, ý tưởng từ quy hoạch tuyến tính đưa nhiều khái 18 niệm trọng tâm lý thuyết tối ưu hóa, tính hai mặt, phân hoạch, tầm quan trọng tính lồi khái qt hóa Một số trường hợp đặc biệt quy hoạch tuyến tính, chẳng hạn vấn đề mạng lưới vấn đề đa giao thức coi quan trọng đủ để tạo nhiều nghiên cứu thuật toán chuyên dụng cho giải pháp ứng dụng thực tế 1.7 Định nghĩa ba loại chuẩn l1 , l2 , l∞ Một hàm f : Rn −→ R với domf = Rn gọi chuẩn nếu: • f khơng âm: f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ Rn , • f đồng nhất: f (tx) = |t|f (x), ∀ x ∈ Rn , t ∈ R, • f thỏa mãn bất đẳng thức tham giác: f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀ x, y ∈ Rn Ta sử dụng ký hiệu f (x) = |x|, có nghĩa thấy chuẩn suy rộng giá trị tuyệt đối R Khi ta xác định chuẩn cụ thể, ta sử dụng ký hiệu |x|symb , số phép ghi nhớ để định nghĩa có ý nghĩa Cho p ≥ số thực Trên không gian Euclide n chiều, khái niệm trực quan độ dài vector x = (x1 , x2 , , xn ) thu cách: Đối với p ≥ 1, chuẩn p x ∈ Rn định nghĩa là: ! p1 n X p |xi | kxkp = i=1 Có thể chứng minh tính chất sau chuẩn Euclidean thực tế ... 18 Vấn đề ngược vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa công việc với thời gian đến mơ hình máy đơn 20 2.1 Sơ lược vấn đề xếp ngược 21 2.2 Điều kiện cần đủ vấn đề tối thiểu. .. trình tự cho tối ưu để đạt độ trễ tối đa thỏa mãn thời hạn cho trước Chính việc nghiên cứu toán ngược toán tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa công việc với thời gian đến mô hình máy đơn cần thiết...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– BẾ NHẬT VINH VẤN ĐỀ NGƯỢC CỦA VẤN ĐỀ TỐI THIỂU HĨA THỜI GIAN TRỄ TỐI ĐA TRÊN MƠ HÌNH MÁY ĐƠN Chuyên ngành: Toán ứng dụng