(Luận văn) vấn đề ngược của vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa trên mô hình máy đơn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– lu BẾ NHẬT VINH an n va p ie gh tn to d oa nl w VẤN ĐỀ NGƯỢC CỦA VẤN ĐỀ TỐI THIỂU HÓA THỜI GIAN TRỄ TỐI ĐA TRÊN MƠ HÌNH MÁY ĐƠN oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN, THÁNG 5/2018 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– BẾ NHẬT VINH lu an n va p ie gh tn to VẤN ĐỀ NGƯỢC CỦA VẤN ĐỀ TỐI THIỂU HÓA THỜI GIAN TRỄ TỐI ĐA TRÊN MƠ HÌNH MÁY ĐƠN d oa nl w ul nf va an lu Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 oi lm LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS PHẠM HỒNG TRƯỜNG m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN, THÁNG 5/2018 ac th si Mục lục lu an Lời nói đầu n va Danh mục ký hiệu tn to ie gh Kiến thức chuẩn bị p 1.1 Vận trù học nl w 1.2 Vấn đề tối ưu hóa tổ hợp d oa 1.3 Lời giải vấn đề gia cơng mơ hình máy đơn 10 an lu 1.3.1 Trình tự khả thi trình tự tối ưu 10 1.3.2 Trình tự gia cơng khơng trì hỗn trình tự gia cơng trì hỗn va ul nf 11 oi lm 1.4 Vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa công việc với thời gian đến mơ hình máy đơn 1kLmax 12 z at nh 1.5 Vấn đề xếp ngược 14 z 1.6 Vấn đề quy hoạch tuyến tính 17 @ 1.7 Định nghĩa ba loại chuẩn l1 , l2 , l∞ 18 l gm Vấn đề ngược vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa m co công việc với thời gian đến mơ hình máy đơn 20 an Lu 2.1 Sơ lược vấn đề xếp ngược 21 n va ac th si 2.2 Điều kiện cần đủ vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa 24 2.2.1 Điều kiện đủ vấn đề 1kLmax tối ưu 24 2.2.2 Điều kiện cần đủ vấn đề 1kLmax 26 2.3 Điều chỉnh kỳ hạn (Adjustable Due Dates) 28 2.3.1 Bài toán ngược |adjustable dj , π| Lmax 28 2.3.2 Bài toán ngược |adjustable dj , L∗ | Lmax 37 lu 2.4 Điều chỉnh thời gian gia công (Adjustable Processing Times) 40 an 2.4.1 Bài toán ngược |adjustable pj , π| Lmax 41 va n 2.4.2 Bài toán ngược |adjustable pj , L∗ | Lmax 47 49 ie gh tn to Kết luận 51 p Tài liệu tham khảo d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Danh mục ký hiệu lu an n va Công việc thứ j dãy công việc đưa pj Thời gian gia công công việc Tj dj Kỳ hạn công việc Tj Cj P Thời gian hồn thành cơng việc Tj Cj Tổng thời gian hồn thành cơng việc có trọng p ie gh tn to Tj số w j Cj Tổng thời gian hoàn thành cơng việc có trọng oa nl w P số khác d Quy tắc ưu tiên xếp kỳ hạn sớm nf va Vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của oi lm ul 1kLmax an EDD Thời gian trễ tối đa lu Lmax cơng việc mơ hình máy đơn tối ưu z at nh 1|adjustable dj , π|Lmax Bài toán điều chỉnh kỳ hạn dj để dãy công việc π z 1|adjustable dj , L∗ |Lmax Bài toán điều chỉnh kỳ hạn dj để trễ tối đa Lmax ≤ gm @ L∗ công việc π tối ưu m co l 1|adjustable pj , π|Lmax Bài toán điều chỉnh thời gian gia công pj để dãy đa Lmax ≤ L∗ an Lu 1|adjustable pj , L∗ |Lmax Bài tốn điều chỉnh thời gian gia cơng pj để trễ tối n va ac th si Lời nói đầu lu Từ kỷ XX tối ưu hóa có ứng dụng nhiều hiệu lĩnh vực an n va quản trị kinh doanh, chế tạo sản xuất, quy hoạch tài nguyên, công nghệ thông tn to tin, hỗ trợ cho vấn đề định quản lý, mục tiêu nghiên cứu tối ưu hóa tìm giải pháp tốt từ số lượng lớn giải pháp khả thi Trong mơ hình gh p ie tối ưu hóa truyền thống tất thông số đưa mục tiêu tìm w giải pháp tối ưu đáp ứng ràng buộc cụ thể, tối ưu hóa ngược xác oa nl định trước giải pháp với giá trị số thông số khơng cho xác mục tiêu tìm giá trị xác thơng số để giải pháp d nf va thống có sẵn an lu đưa ban đầu tối ưu, tối ưu hóa ngược giúp cải thiện hệ oi lm ul Trong năm gần đây, vấn đề tối ưu hóa ngược trở thành chủ đề nghiên cứu nhiều hơn, tầm quan trọng ứng dụng tối ưu hóa ngược z at nh ngày gia tăng Luận văn trình bày tốn ngược tốn tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa công việc với thời gian đến z mơ hình máy đơn @ gm Vấn đề trình tự gia cơng cơng việc vấn đề tốn tối ưu hóa m co l tổ hợp Với vấn đề tối ưu hóa trình tự gia cơng thuận dãy cơng việc đưa với thơng số cho trước (ví dụ thời gian gia công hay kỳ an Lu hạn công việc) ta cần xếp lại trình tự cơng việc để cho độ trễ tối đa nhỏ Tuy nhiên trình tự cơng việc ấn định mục n va ac th si tiêu tối ưu hóa ngược ta cần điều chỉnh thông số cho trước để cho trình tự cho tối ưu để đạt độ trễ tối đa thỏa mãn thời hạn cho trước Chính việc nghiên cứu tốn ngược tốn tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa công việc với thời gian đến mơ hình máy đơn cần thiết Giải toán nhằm để đáp ứng kỳ hạn giao hàng cho khách hàng, khách hàng có dãy cơng việc ấn định trước lu cho độ trễ tối đa sản xuất nhỏ an Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái va n Nguyên hướng dẫn TS Phạm Hồng Trường Tơi xin tỏ lịng kính trọng tn to biết ơn sâu sắc thầy, người trực tiếp hướng dẫn tơi tận tình ie gh việc học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn p Xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái nl w Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin tồn thể thầy ngồi oa trường giảng dạy giúp tơi trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc d học tập nghiên cứu thân lu va an Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln động viên, giúp Xin chân thành cảm ơn! oi lm thành luận văn ul nf đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn z at nh Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2018 z Tác giả luận văn m co l gm @ an Lu Bế Nhật Vinh n va ac th si Chương lu Kiến thức chuẩn bị an n va Vận trù học gh tn to 1.1 Vận trù học (Operations Research-OR) hình thành từ việc lập kế hoạch ie p nhà quân chiến tranh giới thứ II Mục tiêu Vận trù học nl w lúc sử dụng cho hiệu nguồn lực quân cách sử dụng d oa kỹ thuật định lượng Kết ứng dụng thực Patrick an lu Blackett Trong chiến thứ nhất, ơng thành lập nhóm gọi Circus giúp giảm số lượng pháo phịng khơng với tầm xa cần thiết để bắn hạ va ul nf máy bay đối phương từ mức trung bình 20000 đầu đạn trận đầu oi lm chiến xuống 4000 đầu đạn vào năm 1941 Trong thập kỷ sau chiến tranh, kỹ thuật bắt đầu áp dụng rộng rãi cho vấn đề z at nh kinh doanh, cơng nghiệp xã hội Từ Vận trù học mở rộng sử dụng z rộng rãi ngành cơng nghiệp từ hóa dầu đến hãng hàng khơng, hậu @ cần phủ, tập trung vào việc phát triển mơ hình tốn học gm m co vực học tập nghiên cứu l sử dụng để phân tích tối ưu hóa hệ thống phức tạp trở thành lĩnh an Lu Vận trù học với mục đích nghiên cứu phân bổ nguồn lực tối ưu, vận trù học cung cấp sở hợp lý cho việc định cách tìm hiểu cấu trúc n va ac th si tình phức tạp, dự đoán hành vi hệ thống cải thiện hiệu suất hệ thống Phần lớn công việc thực tế thực cách sử dụng kỹ thuật phân tích số để phát triển vận dụng mơ hình tốn học hệ thống tổ chức bao gồm người, máy móc hoạt động Vai trị vận trù học hai lĩnh vực công lĩnh vực tư nhân gia tăng nhanh chóng Vận trù học giải nhiều vấn đề khác giao thông vận tải, lập kế hoạch lu kiểm kê, kế hoạch sản xuất, hoạt động truyền thơng, hoạt động máy tính, quản lý an tài sản, quản lý rủi ro, quản lý doanh thu nhiều lĩnh vực khác Trong lĩnh vực va n công, nghiên cứu vận trù học tập trung vào sách lượng, tn to quốc phịng, chăm sóc sức khoẻ, quy hoạch tài nguyên nước, thiết kế vận hành ie gh hệ thống khẩn cấp đô thị thực thi pháp luật p Nghiên cứu vận trù học, khoa học quản lý phân loại thành ba lĩnh nl w vực sau: Một nghiên cứu sở tảng ba lĩnh vực tốn oa học (Xác suất, tối ưu hóa, lý thuyết hệ động lực) Hai nghiên cứu mơ hình d việc thiết lập mơ hình, phân tích chúng mặt tốn học, mã hóa chúng lên lu va an máy tính, giải chúng cơng cụ phần mềm, đánh giá hiệu thu từ ul nf liệu máy tính Mức chủ yếu nhờ máy tính định hướng xác oi lm suất kinh tế lượng thứ ba nghiên cứu ứng dụng vận trù học, giống ngành kĩ thuật kinh tế, sử dụng mơ hình thu để áp dụng z at nh cho vấn đề thực tế Trong vận trù học, nhà nghiên cứu u cầu phải mơ hình hóa vấn z gm @ đề thực tế cách áp dụng kỹ thuật toán học, thống kê, ứng dụng máy tính sau tìm giải pháp tối ưu cho mơ hình bị hạn chế thời gian, nguồn l m co lực lao động, nguồn lực vật liệu quy tắc kinh doanh với mục tiêu cụ thể Các lý thuyết mới, mơ hình tốn học phát minh vận trù học an Lu để mô tả phân tích hành vi, đặc điểm, thay đổi vấn đề thực tế, để n va ac th si giúp người định tốt để phát triển quản lý quy trình doanh nghiệp với lợi nhuận tối đa Mơ hình tối ưu mơ tả sau max ( min) f (x) s.t Điều kiện ràng buộc Các giải pháp đáp ứng yêu cầu nêu thường gọi giải pháp khả thi Tối ưu hóa tìm giải pháp tối ưu số giải pháp khả thi lu an 1.2 Vấn đề tối ưu hóa tổ hợp n va tn to Tối ưu hoá tổ hợp nhánh tối ưu hóa tốn học xuất toán học rời rạc, vận trù học, lý thuyết thuật tốn lý thuyết tính tốn phức tạp gh p ie Mục tiêu nghiên cứu tối ưu hóa tổ hợp tìm giải pháp tốt từ số w lượng lớn giải pháp khả thi Trong nhiều vấn đề, chẳng hạn phân công tối oa nl ưu, khung ngắn nhất, vận chuyển toán người giao hàng, giải pháp d rời rạc việc tìm kiếm tồn diện khơng khả thi lu an So với ngành tốn học ứng dụng khác, tối ưu hóa tổ hợp tương đối trẻ nf va Xem xét lịch sử loạt nghiên cứu độc lập diễn riêng biệt Chỉ oi lm ul năm 1950, cơng cụ đại số tuyến tính số ngun trở nên thống có sẵn lĩnh vực tối ưu tổ hợp bắt đầu thu hút ý mối quan hệ z at nh chúng đặt Thật vậy, tối ưu hóa tuyến tính tạo thành lề lịch sử tối ưu hóa tổ hợp Quan niệm ban đầu Kantorovich Koopmans z @ thúc đẩy ứng dụng tổ hợp, đặc biệt vận chuyển chuyển tải Sau l gm xây dựng quy hoạch tuyến tính tốn tổng qt, phát triển vào năm 1947 Dantzig phương pháp đơn cơng cụ, Dantzig m co cố gắng giải tất toán tối ưu hóa tổ hợp với phương pháp quy an Lu hoạch tuyến tính thường thành cơng Tối ưu hóa tổ hợp liên quan đến mơ hình phương pháp để tối ưu hóa n va ac th si dbu − du ≤ dbu − du w oa nl Bây ta xét điều chỉnh kỳ hạn cơng việc h d Nếu h ∈ U lập luận với cơng việc h, cịn khơng kỳ hạn lu va an cơng việc h giảm từ dbk ≤ dk đến cho oi lm ul nf (2.10) bb (2.14) dh = Ch − L0 = Ch − Lh = dh ≥ dh z at nh b du ≤ dbh ≤ dbh ≤ dh z Do điều kiện (2.6) thỏa mãn gm @ m co l Cuối ta chứng minh tính chất (iv) Do tính chất (i), cơng việc k chủ chốt b với kỳ hạn db db cho (2.1) thỏa mãn Ta cần điều kiện (2.2) thỏa b mãn với db cơng việc j đứng trước k Vì điều cần đủ để hoán vị π an Lu tối ưu thỏa mãn với công việc chủ chốt k kỳ hạn db nên dbj ≤ dbk n va ac th si 33 Nếu j ∈ / U kỳ hạn khơng tăng, cho: bb bb dj ≤ dk b b Nếu j = u ∈ U điều kiện (2.2) bị vi phạm Cu < Ck dbj > dbk Nghĩa b b Cu dbu < Ck − dbk = L0 Mâu thuẫn với (2.12) lu an Vậy Bổ đề 2.1 chứng minh  va n b ta Theo Bổ đề 2.1, thứ tự để tìm kỳ hạn điều chỉnh tối ưu d, gh tn to giới hạn phạm vi xem xét thành lớp trình tự với cơng việc chủ chốt cố định h, h định nghĩa công việc chủ chốt kỳ hạn ban đầu d ie p Nếu điều kiện (2.1) − (2.2) Định lý 2.3 thỏa mãn với dãy thứ tự nl w công việc π với công việc chủ chốt h với thời gian ban đầu d, khơng phải điều d oa chỉnh; trình tự cơng việc tối ưu độ lệch kdb − dk Mặt   khác, ta xét giá trị khác b dh ∈ dh , dh định nghĩa kỳ hạn điều chỉnh dbj an lu va với tất công việc lại j ∈ N \ {h} phụ thuộc vào dbh oi lm ul nf Trong thứ tự để đạt công thức điều chỉnh thời hạn, ta chia đoạn   dh , dh thành đoạn nhỏ cho đoạn nhỏ có tập công việc z at nh đối tượng để điều chỉnh Xét đoạn con, ta biểu diễn phân tích tham số   đoạn dh , dh Trong đoạn con, ta tìm kỳ hạn tối ưu dbk kỳ hạn tương z ứng dbj với j ∈ N \ {h} đảm bảo điều kiện cần đủ Định lý (2.3) thỏa @ gm mãn độ lệch kdb− dk nhỏ Kết tốn tìm việc xét m co l kết tất đoạn chọn kết có độ lệch kdb − dk nhỏ an Lu   Đoạn dh , dh chia giá trị khác tập n va {Ch − L1 , Ch − L2 , Ch − Ln } ∪ {d1 , d2 , dn } ac th si 34 thuộc đoạn Dãy thứ tự giá trị dh = tk1 < tk2 < < tkz = dh (2.15) Nhận thấy, với công việc h, hai giá trị Ch − Lh dh trùng nhau, cho z ≤ n + h −   Giả sử kỳ hạn điều chỉnh dbh thuộc vào đoạn tkg , tkg+1 , ≤ g ≤ z − Xét điều kiện (2.1) Định lý 2.3 với công việc j thuộc N \ {h} giá trị lu an Ch − Lj thỏa mãn điều kiện sau: n va (2.16) Ch − Lj ≤ tkg+1 ≤ dbh (2.17) tn to Ch − Lj ≤ tkg ≤ dbh p ie gh oa nl w Các công việc mà h ∈ N \ {h} mà thỏa mãn điều kiện (2.16) vi phạm điều kiện   (2.1) Định lý 2.3 với thuộc tkg , tkg+1 công việc không thỏa d mãn (2.17) không thỏa mãn điều kiện (2.1) lu va an Bây ta xét điều kiện (2.2) Định lý 2.3 với công việc j thuộc oi lm ul nf {1, 2, , h − 1}, giá trị dj thỏa mãn điều kiện sau: dj ≤ tkg ≤ dbh z at nh (2.18) dj ≤ tkg+1 ≤ dbh (2.19) z @ l gm Các công việc thỏa mãn (2.18) không vi phạm điều kiện (2.2) Định lý 2.3   công việc thỏa mãn (2.19) vi phạm điều kiện (2.2) với dbh ∈ tkg , tkg+1 m co Do ta định nghĩa tập cơng việc có kỳ hạn điều chỉnh an Lu theo thứ tự để đạt điều kiện cần đủ Định lý 2.3 thứ tự mục   tiêu π với công việc chủ chốt h dbh ∈ tkg , tkg+1 : n va ac th si 35  - công việc vi phạm (2.1), Ug = u | u ∈ N \ {h} Ch − Lu ≤ tkg  - công việc vi phạm (2.2) Vg = v | v ∈ {1, , h − 1} dv ≥ tkg+1 Rõ ràng kỳ hạn cơng việc Ug tăng, kỳ hạn công việc Vg lại giảm Nhận thấy Ug ∩ Vg = ∅, với v ∈ Vg Cv < Ch dv ≥ tkg+1 ≥ tkg Do lu Lv = Cv − dc < Ch − tkg an n va gh tn to Và điều kiện (2.16) với tính chất đặc trưng Ug khơng đảm bảo   Các tập Ug Vg xác định đoạn tkg , tkg+1 khác hẳn so   với tập Ug+1 Vg+1 , định nghĩa đoạn tkg+1 , tkg+2 p ie Đặc biệt, với hai đoạn liên tiếp Ug ⊆ Ug+1 Vg ⊇ Vg+1 d oa nl w Ta bắt đầu với kỳ hạn điều chỉnh dbh thuộc vào đoạn [tk1 , tk2 ] tiếp   tục với đoạn tiếp theo, tkg , tkg+1 , g = 2, 3, , z, xét đoạn Với   đoạn tkg , tkg+1 ta ký hiệu kỳ hạn điều chỉnh công việc từ Ug Vg an lu dbv = dv − yv , v ∈ Vg Và xác định hàm oi lm ul nf va dbu = du + xu , u ∈ Ug , z at nh   F dbh , x, y , z s.t tkg ≤ dbh ≤ tkg+1 , @ v ∈ Vg , an Lu ≤ yv ≤ dv − dv , u ∈ Ug , m co ≤ xu ≤ du − du , (2.20) v ∈ Vg , l dv − yv ≤ dbh , gm Cu − (du + xu ) ≤ Ch − dbh , u ∈ Ug , n va ac th si 36 hàm mục tiêu F có dạng :    P P   b βv yv , f or l1,α,β norm, αu xu + α d − d  h h h +   v∈V u∈U  g g      2 P P F dbh , x, y = αh dbh − dh + αu x2u + βv yv2 , f or l2,α,β norm,  u∈U v∈V  g g          max αh dbh − dh , max αu xu , max βv yv , f or l∞,α,β norm u∈Ug v∈Vg Đánh giá điều chỉnh nhỏ điều kiện (2.1) (2.2) lu an coi đẳng thức kỳ hạn điều chỉnh va n Cu − (du + xu ) = Ch − dbh , u ∈ Ug , to v ∈ Vg ie gh tn dv − yv = dbh , p Việc tìm biểu thức xu yv từ điều kiện thay chúng vào d oa nl w (2.20), ta có tốn biến dbh :   F dbh      s.t max tkg , {Auh } , max {dv } ≤ dbh ≤ tkg+1 , Auh , {dv } v∈Vg u∈Ug v∈Vg va an lu u∈Ug oi lm Trong đó: ul nf (2.21) z at nh        P P  b b b  β − d + d f or l1,α,β , α d − d + α d − A + h v , u h uh v h h h    v∈V u∈U g g 2  2  2      P P b b b b αu dh − Auh + βv −dh + dv , f or l2,α,β , F dh = αh dh − dh +  u∈Ug v∈Vg              max αh dbh − dh , max αu dbh − Auh , max βv −dbh + dv , f or l∞,α,β z v∈Vg gm @ u∈Ug Auh = du − Cu + Ch , an Lu Auh = du − Cu + Ch m co l Và số Auh Auh xác định với u ∈ Ug sau: n va ac th si 37 Sự buộc tốn (2.21) khơng khả thi với vế trái nhiều vế   phải Trong trường hợp khơng có giá trị điều chỉnh dbh ∈ tkg , tkg+1 tồn cho   hốn vị π tối ưu Nếu điều xảy với đoạn tkg , tkg+1 , b = 1, 2, , z−1, tốn ngược |adjustable dj , π| Lmax khơng có câu trả lời Ví dụ, kỳ hạn tất cơng việc ấn định, chẳng hạn dj = dj , j ∈ N, hoán vị cho π khơng tối ưu, khơng có điều chỉnh hợp lý khơng có kết lu cho toán ngược an n va tn to Với ước tính thời gian phức tạp thuật tốn thực sau,   vấn đề với dbh ∈ tkg , tkg+1 , tập U1 V1 xây dựng thời   gian O(n) Hàm mục tiêu F dbh điều kiện ràng buộc thu ie gh thời gian O(n) p   Xét chuyển tiếp từ toán với dbh ∈ tkg−1 , tkg đến tốn với cơng việc   dbh ∈ tkg , tkg+1 , ≤ g ≤ z − Mỗi công việc thêm vào tập U công nl w oa việc dư từ tập V ta tìm thời gian O(1) công thức (2.21) d giải thời gian O(1) với chuẩn Lặp lại q trình đó, ta có lu va an thể tìm kỳ hạn điều chỉnh tối ưu dbh thời gian O(n), z ≤ n + h − Thực ul nf với dãy thứ tự (2.15) tìm thời gian O(n log n), thời gian hoàn oi lm thành toàn phần việc giải toán ngược O(n log n) với chuẩn z at nh 2.3.2 Bài toán ngược |adjustable dj , L∗ | Lmax z l gm @ Giả sử cho trước giá trị thời gian trễ L∗ , mục tiêu tìm kỳ hạn điều chỉnh   b b b dj , dj ∈ dj , dj cho d − d nhỏ Lmax ≤ L∗ m co Vì giá trị nhỏ Lmax đảm bảo dãy công việc thứ tự kỳ hạn sớm (EDD), ta giới hạn phạm vi tìm kiếm lớp an Lu trình tự thỏa mãn EDD n va ac th si 38 Ta bắt đầu với trình tự EDD với kỳ hạn gốc Nếu trình tự thỏa mãn Lmax ≤ L∗ khơng khơng cần điều chỉnh Mặt khác, kỳ hạn số cơng việc tăng đặt H = {hi } tập công việc chủ chốt, L = Lmax Nếu L > L∗ , tăng kỳ hạn công việc từ tập H Rõ ràng kỳ hạn tăng thêm tất cơng việc từ H: dbj = dj + x, x ≥ 0, j ∈ H, lu an biên độ kỳ hạn nhận sau: n o b x ≤ dj − dj va n j∈H tn to Trước tiên ta đưa vấn đề làm mà nút thắt tháo gỡ kỳ ie gh hạn sớm số công việc có thời hạn Nếu số khơng có p cơng việc chủ chốt, thứ tự chúng không quan trọng Mặt khác, d oa nl w có cơng việc cuối số có kỳ hạn chủ chốt có điều chỉnh mong muốn, phụ thuộc loại chuẩn, độ lệch db − d tính lu công thức sau: oi lm ul nf va an  P   αh x f or l1,α,β norm,    h∈H   P b d − d = αh x2 f or l2,α,β norm,   h∈H     max {αh } × x f or l∞,α,β norm h∈H Trong lớp kế hoạch kỳ hạn sớm nhất, giá trị db − d nhỏ với z at nh z l gm không tăng αj @ chuẩn dãy cơng việc có kỳ hạn nằm dãy thứ tự Ta giới thiệu ký hiệu thứ tự Sắp thứ tự σ gọi m co thứ tự cơng việc xếp theo thứ tự không tăng của αj an Lu Sự điều chỉnh kỳ hạn cơng việc chủ chốt vi phạm thứ tự kỳ hạn sớm công việc chủ chốt xuất Trong trình tự trì n va ac th si