Đang tải... (xem toàn văn)
Công thức Toán lớp 9 Chương 1 Đại số I. Căn bậc hai 1. Một số công thức cần nhớ 2. Điều kiện để căn thức có nghĩa 3. Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức 4. Tính chất của căn bậc hai Với hai số a và b không âm, ta có: 5. Các công thức biến đổi căn thức với Ai ≥ 0 (1 ≤ i ≤ n) +) Đưa thừa số A2 ra ngoài dấu căn bậc hai ta được |A|. +) Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai: +) Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai: Ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp để mẫu số là một bình phương (với B ≠ 0, A.B ≥ 0) +) Trục căn thức ở mẫu số: Dạng 1: Mẫu là biểu thức dạng tích các căn thức và các số, ta nhân tử và mẫu với căn thức. Dạng 2: Mẫu là biểu thức dạng tổng có căn thức, ta nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.
Cơng thức Tốn lớp Chương Đại số I Căn bậc hai Một số công thức cần nhớ Điều kiện để thức có nghĩa Điều kiện có nghĩa số biểu thức Tính chất bậc hai Với hai số a b khơng âm, ta có: Các cơng thức biến đổi thức với Ai≥0 (1 ≤i ≤n) +) Đưa thừa số A2 dấu bậc hai ta |A| +) Đưa thừa số vào dấu bậc hai: +) Khử mẫu biểu thức dấu bậc hai: Ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp để mẫu số bình phương (với B ≠0, A.B ≥0) +) Trục thức mẫu số: Dạng 1: Mẫu biểu thức dạng tích thức số, ta nhân tử mẫu với thức Dạng 2: Mẫu biểu thức dạng tổng có thức, ta nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp mẫu 6 Phương trình chứa thức bậc hai II Căn bậc ba Cơng thức Tốn lớp Chương Hàm số bậc a Khái niệm hàm số bậc - Hàm số bậc hàm số cho cơng thức y = ax + b Trong a, b số cho trước a ≠ b Tính chất: Hàm số bậc y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R có tính chất sau: - Đồng biến R a > - Nghịch biến R a < c Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đường thẳng - Cắt trục tung điểm có tung độ b - Song song với đường thẳng y = ax, b ≠ 0, trùng với đường thẳng y = ax, b=0 * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Bước Cho x = y = b ta điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy Cho y = x = ta điểm Q( ; 0) thuộc trục hoành Ox Bước Vẽ đường thẳng qua hai điểm P Q ta đồ thị hàm số y = ax + b d Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) (d’): y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) Khi đó: e Hệ số góc đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) * Góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox - Góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox góc tạo tia Ax tia AT, A giao điểm đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T điểm thuộc đường thẳng y = ax + b có tung độ dương * Hệ số góc đường thẳng y = ax + b - Hệ số a phương trình y = ax + b gọi hệ số góc đường thẳng: y = ax + b f Một số phương trình đường thẳng - Đường thẳng qua điểm M0(x0; y0) có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0 - Đường thẳng qua điểm A(x0, 0) B(0; y0) với x0.y0 ≠ Cơng thức tính toạ độ trung điểm đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(xA, yB) B(xA, yB) Khi - Độ dài đoạn thẳng AB tính cơng thức - Tọa độ trung điểm M AB tính cơng thức Cơng thức Toán lớp Chương Đại số I CÁC KHÁI NIỆM: Phương trình bậc hai ẩn: + Dạng: ax + by = c a; b; c hệ số biết (a ≠ b ≠ 0) + Một nghiệm phương trình cặp số x0; y0 thỏa mãn: ax0 + by0 = c + Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c ln ln có vơ số nghiệm + Tập nghiệm biểu diễn đường thẳng (d): ax + by = c Nếu a ≠ 0; b ≠ đường thẳng (d) đồ thị hàm số bậc nhất: Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: + Dạng: + Nghiệm hệ nghiệm chung hai phương trình + Nếu hai phương trình khơng có nghiệm chung ta nói hệ vơ nghiệm + Quan hệ số nghiệm hệ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm: - Phương trình (1) biểu diễn đường thẳng (d) - Phương trình (2) biểu diễn đường thẳng (d') * Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm * Nếu (d) song song với (d') hệ vơ nghiệm * Nếu (d) trùng (d') hệ vơ số nghiệm Hệ phương trình tương đương: Hai hệ phương trình gọi tương đương với chúng có tập nghiệm II PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH: Giải hệ phương trình phương pháp thế: + Bước 1: Từ phương trình hệ cho, ta biểu diễn ẩn theo ẩn kia, thay vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ cịn ẩn) + Bước 2: Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ (phương trình thứ thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có bước 1) 2 Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số: + Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ hệ phương trình cho để phương trình + Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (và giữ nguyên phương trình kia) Lưu ý: Khi hệ số ẩn đối ta cộng vế theo vế hệ Khi hệ số ẩn ta trừ vế theo vế hệ Khi hệ số ẩn không khơng đối ta chọn nhân với số thích hợp để đưa hệ số ẩn đối (hoặc nhau) (tạm gọi quy đồng hệ số) Cơng thức Tốn lớp Chương Đại số I HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) Tính chất hàm số y = ax2 (a ≠ 0) a) Tính chất: Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Nếu a < hàm số nghịch biến x > đồng biến x < b) Nhận xét: Nếu a > y > với x khác 0; y = x = Giá trị nhỏ hàm số y = Nếu a < y < với x khác 0; y = x = Giá trị lớn hàm số y = Tính chất đồ thị hàm số ● Đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0) đường cong qua gốc tọa độ nhận trục Oy trục đối xứng Đường cong gọi Parabol với đỉnh O ● Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành, O(0;0) điểm thấp đồ thị ● Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh, O(0;0) điểm cao đồ thị II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Định nghĩa: Pt bậc hai ẩn pt có dạng: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (1), x ẩn; a, b, c số cho trước Cách giải a) Khuyết c (c = 0): pt (1) trở thành: b) Khuyết b (b = 0): pt (1) trở thành: - Nếu pt (2) vơ nghiệm, suy pt (1) vô nghiệm - Nếu c) Đầy đủ: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn Δ = b2- 4ac + Nếu Δ > pt có nghiệm phân biệt: Δ' = b'2- ac + Nếu Δ' > pt có nghiệm phân biệt: + Nếu Δ = pt có nghiệm kép: + Nếu Δ' = pt có nghiệm kép: + Nếu Δ < pt vơ nghiệm + Nếu Δ' < pt vơ nghiệm d) Cho pt: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Điều kiện để phương trình: - Vơ nghiệm: Δ < (Δ' < 0) - Nghiệm kép: Δ = (Δ' = 0) - Có nghiệm phân biệt: Δ > (Δ' > 0) a.c < III HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG - Định lý: Nếu x1; x2 nghiệm pt ax2 + bx + c = (a ≠ 0) thì: - Ứng dụng nhẩm nghiệm hệ thức Vi-ét: + Nếu pt ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có a + b + c = pt có nghiệm là: + Nếu pt ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có a - b + c = pt có nghiệm là: + Nếu suy u, v nghiệm pt: x2 - Sx + P = (điều kiện để tồn u, v Δ = S2 - 4P ≥ 0) IV PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương trình trùng phương - Dạng tổng quát: ax4 + bx2 + c = (a ≠ 0) - Cách giải: dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt x2 = t (t ≥ 0) Khi ta có pt: at + bt + c = (đây pt bậc hai ẩn) Phương trình chứa ẩn mẫu: Các bước giải - Tìm ĐKXĐ pt - Quy đồng mẫu thức vế pt, khử mẫu - Giải pt vừa nhận - Kết luận: so sánh nghiệm tìm với ĐKXĐ pt Phương trình tích Cơng thức Tốn lớp Chương Hình học Hệ thức lượng tam giác vuông Cho tam giác ABC có đường cao AH Đặt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; CH = b'; BH = c' BH, CH hình chiếu AB AC lên BC Ta có hệ thức sau: +) b2 = ab' ; c2 = ac' +) h2 = b'c' +) ah = bc +) a2 = b2 + c2 (Định lý Py-ta-go) +) Tỉ số lượng giác góc nhọn a) Định nghĩa b) Tính chất +) Cho hai góc α β phụ Khi ● sin = cos; ● tan = cot; ● cos = sin ; ● cot = tan +) Cho góc nhọn α Ta có d) Tỉ số lượng giác góc đặc biệt Hệ thức cạnh góc tam giác vng ● b = asinB = acosC ● b = ctanB = ccotC ● c = asinC = acosB ● c = btanC = bcot B Cơng thức Tốn lớp Chương Hình học Sự xác định đường tròn - Một đường tròn xác định biết tâm O bán kính R đường trịn (kí hiệu (O;R)), biết đoạn thẳng đường kính đường trịn - Có vơ số đường trịn qua hai điểm Tâm chúng nằm đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm - Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ đường trịn Chú ý: Khơng vẽ đường trịn qua ba điểm thẳng hàng - Đường tròn qua ba đỉnh tam giác gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác, tam giác gọi tam giác nội tiếp đường trịn Tính chất đối xứng đường trịn +) Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường trịn - Đường trịn hình có trục đối xứng Bất kì đường kính trục đối xứng đường tròn +) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông trung điểm cạnh huyền - Nếu tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác vng Quan hệ đường kính dây đường trịn - Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính - Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây - Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây Định lí 1: Trong đường trịn: - Hai dây cách tâm - Hai dây cách tâm AB = CD ⇔ OH = OK Định lí 2: Trong hai dây đường tròn - Dây lớn dây gần tâm - Dây gần tâm dây lớn MN > CD ⇔ OI < OK Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn: d khoảng cách từ tâmcủa đường tròn đến đường thẳng, R bán kính Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Số điểm chung Hệ thức d R Đường thẳng đường tròn cắt dR ☞ Định lí: Nếu đường thẳng alà tiếp tuyến đường trịn (O) vng góc với bán kính qua tiếp điểm Đường thẳng a tiếp tuyến (O) ⇔ a ⊥OI Tính chất hai tiếp tuyến cắt Định lí: Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì: - Điểm cách hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến - Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm 7 Vị trí tương đối hai đường tròn Cho (O ; R) (O’; r) với R >r VỊ TRÍ HÌNH Cắt Tiếp SỐ ĐIỂM CHUNG HỆ THỨC R – r < A, B gọi OO’ < R + giao điểm r xúc OO’ = R + A gọi tiếp r điểm Tiếp xúc OO’ = R – A gọi tiếp r > điểm Không giao ((O) (O’) ngồi nhau) OO’ > R + r Khơng giao ((O) đựng (O’) ) OO’ < R – r Định lí: Nếu hai đường trịn cắt hai giao điểm đối xứng với qua đường nối tâm, tức đường nối tâm đường trung trực dây chung {A;B} = (O) ∩ (O') ⇔ OO' trung trực AB +) Nếu hai đường tròn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm (O) tiếp xúc (O') A ⇔ A ∈ OO' - Tiếp tuyến chung hai đường tròn: Tiếp tuyến chung hai đường tròn đường thẳng tiếp xúc với hai đường trịn Cơng thức Tốn lớp Chương Góc tâm Số đo cung Định lí: Nếu C điểm nằm cung AB thì: Liên hệ cung dây Định lí 1: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: - Hai cung căng hai dây - Hai dây căng hai cung Định lí 2: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: - Cung lớn căng dây lớn - Dây lớn căng cung lớn Góc nội tiếp - Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn: Hệ quả: Trong đường trịn: - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung - Góc nội tiếp (nhỏ 90 0) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung - Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn Góc có đỉnh bên đường trịn góc có đỉnh nằm bên đường trịn Số đo góc có đỉnh bên đường trịn nửa tổng số đo hai cung bị chắn Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn: Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn Tứ giác nội tiếp - Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 +) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc