tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9

Giỏo ỏn BDHSG Toỏn CHUYấN 1: S CHNH PHNG I NH NGHA: S chớnh phng l s bng bỡnh phng ỳng ca mt s nguyờn II TNH CHT: S chớnh phng ch cú th cú ch s tn cựng bng 0, 1, 4, 5, 6, ; khụng th cú ch s tn cựng bng 2, 3, 7, Khi phõn tớch tha s nguyờn t, s chớnh phng ch cha cỏc tha s nguyờn t vi s m chn S chớnh phng ch cú th cú mt hai dng 4n hoc 4n + Khụng cú s chớnh phng no cú dng 4n + hoc 4n + (n N) S chớnh phng ch cú th cú mt hai dng 3n hoc 3n + Khụng cú s chớnh phng no cú dng 3n + (n N) S chớnh phng tn cựng bng hoc thỡ ch s hng chc l ch s chn S chớnh phng tn cựng bng thỡ ch s hng chc l S chớnh phng tn cựng bng thỡ ch s hng chc l ch s chn S chớnh phng tn cựng bng thỡ ch s hng chc l ch s l S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho 25 S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho 16 III MT S DNG BI TP V S CHNH PHNG A DNG1: CHNG MINH MT S L S CHNH PHNG Bi 1: Chng minh rng vi mi s nguyờn x, y thỡ A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 l s chớnh phng Ta cú A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 t x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thỡ A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ỡ x, y, z Z nờn x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z Vy A l s chớnh phng Bi 2: Chng minh tớch ca s t nhiờn liờn tip cng luụn l s chớnh phng Gi s t nhiờn, liờn tiờp ú l n, n + 1, n+ 2, n + (n N) Ta cú n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*) t n2 + 3n = t (t N) thỡ (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2 = (n2 + 3n + 1)2 Vỡ n N nờn n2 + 3n + N Vy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + l s chớnh phng Bi 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2) Chng minh rng 4S + l s chớnh phng 1 k(k+1)(k+2).4 = k(k+1)(k+2).[(k+3) (k-1)] 4 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) 4 1 1 S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 ++ k(k+1)(k+2)(k+3) 4 4 1 k(k+1)(k+2)(k-1) = k(k+1)(k+2)(k+3) 4 Ta cú k(k+1)(k+2) = 4S + = k(k+1)(k+2)(k+3) + Theo kt qu bi k(k+1)(k+2)(k+3) + l s chớnh ph ng Bi 4: Cho dóy s 49; 4489; 444889; 44448889; Dóy s trờn c xõy dng bng cỏch thờm s 48 vo gia s ng trc nú Chng minh rng tt c cỏc s ca dóy trờn u l s chớnh phng Ta cú 4448889 = 44488 + = 444 10n + 111 + n ch s n-1 ch s n ch s n ch s n ch s = n ch s 10 n 10 n 4.10 n 4.10 n + 8.10 n + 4.10 n + 4.10 n + 10n + +1= = 9 9 n 2.10 + = Ta thy 2.10n +1=20001 cú tng cỏc ch s chia ht cho nờn nú chia ht cho n-1 ch s 2.10 + n Z hay cỏc s cú dng 4448889 l s chớnh phng Bi 5: Chng minh rng cỏc s sau õy l s chớnh phng: A = 111 + 444 + 2n ch s n ch s Giỏo ỏn BDHSG Toỏn B = 111 + 111 + 666 + 2n ch s n+1 ch s n ch s C = 444 + 222 + 888 + 2n ch s n+1 ch s 10 n + Kt qu: A = ; n ch s 10 n + B = ; 2.10 n + C = Bi 6: Chng minh rng cỏc s sau l s chớnh phng: a A = 22499910009 n-2 ch s n ch s b B = 1115556 n ch s n-1 ch s a A = 224.102n + 999.10n+2 + 10n+1 + 9= 224.102n + ( 10n-2 ) 10n+2 + 10n+1 + = 224.102n + 102n 10n+2 + 10n+1 + 9= 225.102n 90.10n + = ( 15.10n ) A l s chớnh phng b B = 11115555 + = 111.10n + 5.111 + n ch s n ch s = = n ch s n ch s 10 n 10 n 10 n 10 n + 5.10 n + 10n + +1= 9 10 2n 10 + + 4.10 + = n n l s chớnh phng ( iu phi chng minh) Bi 7: Chng minh rng tng cỏc bỡnh phng ca s t nhiờn liờn tip khụng th l mt s chớnh phng Gi s t nhiờn liờn tip ú l n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ) Ta cú ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2) Vỡ n2 khụng th tn cựng bi hoc ú n2+2 khụng th chia ht cho 5.( n2+2) khụng l s chớnh phng hay A khụng l s chớnh phng Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Bi 8: Chng minh rng s cú dng n6 n4 + 2n3 + 2n2 ú n N v n>1 khụng phi l s chớnh phng n6 n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) (n2-1) ]= n2( n+1 )2.( n22n+2) Vi n N, n >1 thỡ n2-2n+2 = (n - 1)2 + > ( n )2 v n2 2n + = n2 2(n - 1) < n2 Vy ( n 1)2 < n2 2n + < n2 n2 2n + khụng phi l mt s chớnh phng Bi 9: Cho s chớnh phng bt kỡ cú ch s hng chc khỏc cũn ch s hng n v u l Chng minh rng tng cỏc ch s hng chc ca s chớnh phng ú l mt s chớnh phng Cỏch 1: Ta bit mt s chớnh phng cú ch s hng n v l thỡ ch s hng chc ca nú l s l Vỡ vy ch s hng chc ca s chớnh phng ó cho l 1,3,5,7,9 ú tng ca chỳng bng + + + + = 25 = 52 l s chớnh phng Cỏch 2: Nu mt s chớnh phng M = a2 cú ch s hng n v l thỡ ch s tn cựng ca a l hoc a a2 Theo du hiu chia ht cho thỡ hai ch s tn cựng ca M ch cú th l 16, 36, 56, 76, 96 Ta cú: + + + + = 25 = 52 l s chớnh phng Bi 10: Chng minh rng tng bỡnh phng ca hai s l bt k khụng phi l mt s chớnh phng a v b l nờn a = 2k+1, b = 2m+1 (Vi k, m N) a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = 4(k2 + k + m2 + m) + = 4t + (Vi t N) Khụng cú s chớnh phng no cú dng 4t + (t N) ú a2 + b2 khụng th l s chớnh phng Bi 11: Chng minh rng nu p l tớch ca n s nguyờn t u tiờn thỡ p - v p + khụng th l cỏc s chớnh phng Vỡ p l tớch ca n s nguyờn t u tiờn nờn p v p khụng chia ht cho (1) a Gi s p+1 l s chớnh phng t p+1 = m2 (m N) Vỡ p chn nờn p+1 l m2 l m l t m = 2k+1 (k N) Ta cú m2 = 4k2 + 4k + p+1 = 4k2 + 4k + p = 4k2 + 4k = 4k(k+1) mõu thun vi (1) p+1 l s chớnh phng b p = 2.3.5 l s chia ht cho p-1 cú dng 3k+2 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Khụng cú s chớnh phng no cú dng 3k+2 p-1 khụng l s chớnh phng Vy nu p l tớch n s nguyờn t u tiờn thỡ p-1 v p+1 khụng l s chớnh phng Bi 12: Gi s N = 1.3.5.72007 Chng minh rng s nguyờn liờn tip 2N-1, 2N v 2N+1 khụng cú s no l s chớnh phng a 2N-1 = 2.1.3.5.72007 Cú 2N 2N-1 khụng chia ht cho v 2N-1 = 3k+2 (k N) 2N-1 khụng l s chớnh phng b 2N = 2.1.3.5.72007 Vỡ N l N khụng chia ht cho v 2N nhng 2N khụng chia ht cho 2N chn nờn 2N khụng chia cho d 2N khụng l s chớnh phng c 2N+1 = 2.1.3.5.72007 + 2N+1 l nờn 2N+1 khụng chia ht cho 2N khụng chia ht cho nờn 2N+1 khụng chia cho d 2N+1 khụng l s chớnh phng Bi 13: Cho a = 111 ; b = 10005 Chng minh 2008 ch s ab + l s t nhiờn 2007 ch s 10 2008 Cỏch 1: Ta cú a = 111 = ; b = 10005 = 1000 + = 102008 + 2008 ch s 2007 ch s 2008 ch s ab+1 = ab + = Ta thy 10 2008 10 2008 + (10 2008 1)(10 2008 + 5) (10 2008 ) + 4.10 2008 + +1= = 9 10 2008 + 10 2008 + = 10 2008 + + = 10002 nờn N hay ab + l s t nhiờn 2007 ch s Cỏch 2: b = 10005 = 1000 + = 999 + = 9a +6 2007 ch s 2008 ch s ab+1 = a(9a +6) + = 9a2 + 6a + = (3a+1)2 ab + = (3a + 1) = 3a + N 2008 ch s Giỏo ỏn BDHSG Toỏn B DNG 2: TèM GI TR CA BIN BIU THC L S CHNH PHNG Bi1: Tỡm s t nhiờn n cho cỏc s sau l s chớnh phng: a n2 + 2n + 12 b n ( n+3 ) c 13n + d n2 + n + 1589 Gii a Vỡ n + 2n + 12 l s chớnh phng nờn t n2 + 2n + 12 = k2 (k N) (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 (n+1)2 = 11 (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhn xột thy k+n+1 > k-n-1 v chỳng l nhng s nguyờn dng, nờn ta cú th vit (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 k+n+1 = 11 k = kn-1=1 n=4 2 2 b t n(n+3) = a (n N) n + 3n = a 4n + 12n = 4a2 (4n2 + 12n + 9) = 4a2 (2n + 3) - 4a2 = (2n + + 2a)(2n + 2a)= Nhn xột thy 2n + + 2a > 2n + 2a v chỳng l nhng s nguyờn dng, nờn ta cú th vit (2n + + 2a)(2n + 2a) = 9.1 2n + + 2a = n = 2n + 2a = a=2 c t 13n + = y ( y N) 13(n 1) = y2 16 13(n 1) = (y + 4)(y 4) (y + 4)(y 4) 13 m 13 l s nguyờn t nờn y + 13 hoc y 13 y = 13k (Vi k N) 13(n 1) = (13k )2 16 = 13k.(13k 8) n = 13k2 8k + Vy n = 13k2 8k + (Vi k N) thỡ 13n + l s chớnh phng d t n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 (2m + 2n +1)(2m 2n -1) = 6355 Nhn xột thy 2m + 2n +1> 2m 2n -1 > v chỳng l nhng s l, nờn ta cú th vit (2m + 2n +1)(2m 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n cú th cú cỏc giỏ tr sau: 1588; 316; 43; 28 Bi 2: Tỡm a cỏc s sau l nhng s chớnh phng: a a2 + a + 43 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn b a2 + 81 c a2 + 31a + 1984 Kt qu: a 2; 42; 13 b 0; 12; 40 c 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 Bi 3: Tỡm s t nhiờn n cho tng 1! + 2! + 3! + + n! l mt s chớnh phng Vi n = thỡ 1! = = 12 l s chớnh phng Vi n = thỡ 1! + 2! = khụng l s chớnh phng Vi n = thỡ 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = = 32 l s chớnh phng Vi n ta cú 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 cũn 5!; 6!; ; n! u tn cựng bi ú 1! + 2! + 3! + + n! cú tn cựng bi ch s nờn nú khụng phi l s chớnh phng Vy cú s t nhiờn n tha bi l n = 1; n = Bi 4: Tỡm n N cỏc s sau l s chớnh phng: a n2 + 2004 ( Kt qu: 500; 164) b (23 n)(n 3) ( Kt qu: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23) c n + 4n + 97 d 2n + 15 Bi 5: Cú hay khụng s t nhiờn n 2006 + n2 l s chớnh phng Gi s 2006 + n2 l s chớnh phng thỡ 2006 + n2 = m2 (m N) T ú suy m2 n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006 Nh vy s m v n phi cú ớt nht s chn (1) Mt khỏc m + n + m n = 2m s m + n v m n cựng tớnh chn l (2) T (1) v (2) m + n v m n l s chn (m + n)(m - n) Nhng 2006 khụng chia ht cho iu gi s sai Vy khụng tn ti s t nhiờn n 2006 + n2 l s chớnh phng Bi 6: Bit x N v x>2 Tỡm x cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) ng thc ó cho c vit li nh sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Do v trỏi l mt s chớnh phng nờn v phi cng l mt s chớnh phng Mt s chớnh phng ch cú th tn cựng bi cỏc ch s 0; 1; 4; 5; 6; nờn x ch cú th tn cựng bi cỏc ch s 1; 2; 5; 6; 7; (1) Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Do x l ch s nờn x 9, kt hp vi iu kin bi ta cú x N v < x (2) T (1) v (2) x ch cú th nhn cỏc giỏ tr 5; 6; Bng phộp th ta thy ch cú x = tha bi, ú 762 = 5776 Bi 7: Tỡm s t nhiờn n cú ch s bit rng 2n+1 v 3n+1 u l cỏc s chớnh phng Ta cú 10 n 99 nờn 21 2n+1 199 Tỡm s chớnh phng l khong trờn ta c 25; 49; 81; 121; 169 tng ng vi s n bng 12; 24; 40; 60; 84 S 3n+1 bng 37; 73; 121; 181; 253 Ch cú 121 l s chớnh phng Vy n = 40 Bi 8: Chng minh rng nu n l s t nhiờn cho n+1 v 2n+1 u l cỏc s chớnh phng thỡ n l bi s ca 24 Vỡ n+1 v 2n+1 l cỏc s chớnh phng nờn t n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m N) Ta cú m l s l m = 2a+1 m2 = 4a (a+1) + 4a (a + 1) m2 n= = = 2a(a+1) 2 n chn n+1 l k l t k = 2b+1 (Vi b N) k2 = 4b(b+1) +1 n = 4b(b+1) n (1) Ta cú k2 + m2 = 3n + (mod3) Mt khỏc k2 chia cho d hoc 1, m2 chia cho d hoc Nờn k2 + m2 (mod3) thỡ k2 (mod3) m2 (mod3) m2 k2 hay (2n+1) (n+1) n (2) M (8; 3) = (3) T (1), (2), (3) n 24 Bi 9: Tỡm tt c cỏc s t nhiờn n cho s 28 + 211 + 2n l s chớnh phng Gi s 28 + 211 + 2n = a2 (a N) thỡ 2n = a2 482 = (a+48)(a-48) 2p.2q = (a+48)(a-48) Vi p, q N ; p+q = n v p > q a+48 = 2p 2p 2q = 96 2q (2p-q -1) = 25.3 a- 48 = 2q q = v p-q = p = n = 5+7 = 12 Th li ta cú: 28 + 211 + 2n = 802 C DNG 3: TèM S CHNH PHNG Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Bi 1: Cho A l s chớnh phng gm ch s Nu ta thờm vo mi ch s ca A mt n v thỡ ta c s chớnh phng B Hóy tỡm cỏc s A v B Gi A = abcd = k2 Nu thờm vo mi ch s ca A mt n v thỡ ta cú s B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 vi k, m N v 32 < k < m < 100 a, b, c, d N ; a ; b, c, d Ta cú A = abcd = k2 B = abcd + 1111 = m2 m2 k2 = 1111 (m-k)(m+k) = 1111 (*) Nhn xột thy tớch (m-k)(m+k) > nờn m-k v m+k l s nguyờn dng V m-k < m+k < 200 nờn (*) cú th vit (m-k)(m+k) = 11.101 Do ú m k == 11 m = 56 A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bi 2: Tỡm s chớnh phng gm ch s bit rng s gm ch s u ln hn s gm ch s sau n v t abcd = k2 ta cú ab cd = v k N, 32 k < 100 Suy 101cd = k2 100 = (k-10)(k+10) k +10 101 hoc k-10 101 M (k-10; 101) = k +10 101 Vỡ 32 k < 100 nờn 42 k+10 < 110 k+10 = 101 k = 91 abcd = 912 = 8281 Bi 3: Tỡm s chớnh phng cú ch s bit rng ch s u ging nhau, ch s cui ging Gi s chớnh phng phi tỡm l aabb = n2 vi a, b N, a 9; b Ta cú n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1) Nhn xột thy aabb 11 a + b 11 M a ; b nờn a+b 18 a+b = 11 Thay a+b = 11 vo (1) c n2 = 112(9a+1) ú 9a+1 l s chớnh phng Bng phộp th vi a = 1; 2; ; ta thy ch cú a = tha b = S cn tỡm l 7744 Bi 4: Tỡm mt s cú ch s va l s chớnh phng va l mt lp phng Gi s chớnh phng ú l abcd Vỡ abcd va l s chớnh phng va l mt lp phng nờn t abcd = x2 = y3 Vi x, y N Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Vỡ y3 = x2 nờn y cng l mt s chớnh phng Ta cú 1000 abcd 9999 10 y 21 v y chớnh phng y = 16 abcd = 4096 Bi 5: Tỡm mt s chớnh phng gm ch s cho ch s cui l s nguyờn t, cn bc hai ca s ú cú tng cỏc ch s l mt s chớnh phng Gi s phi tỡm l abcd vi a, b, c, d nguyờn v a ; b,c,d abcd chớnh phng d { 0,1,4,5,6,9} d nguyờn t d = t abcd = k2 < 10000 32 k < 100 k l mt s cú hai ch s m k2 cú tn cựng bng k tn cựng bng Tng cỏc ch s ca k l mt s chớnh phng k = 45 abcd = 2025 Vy s phi tỡm l 2025 Bi 6: Tỡm s t nhiờn cú hai ch s bit rng hiu cỏc bỡnh phng ca s ú v vit s bi hai ch s ca s ú nhng theo th t ngc li l mt s chớnh phng Gi s t nhiờn cú hai ch s phi tỡm l ab ( a,b N, a,b ) S vit theo th t ngc li ba 2 Ta cú ab - ba = ( 10a + b ) ( 10b + a )2 = 99 ( a2 b2 ) 11 a2 - b2 11 Hay ( a-b )(a+b ) 11 Vỡ < a - b , a+b 18 nờn a+b 11 a + b = 11 2 Khi ú ab - ba = 32 112 (a - b) 2 ab - ba l s chớnh phng thỡ a - b phi l s chớnh phng ú a-b = hoc a - b = Nu a-b = kt hp vi a+b = 11 a = 6, b = 5, ab = 65 Khi ú 652 562 = 1089 = 332 Nu a - b = kt hp vi a+b = 11 a = 7,5 ( loi ) Vy s phi tỡm l 65 Bi 7: Cho mt s chớnh phng cú ch s Nu thờm vo mi ch s ú ta cng c mt s chớnh phng Tỡm s chớnh phng ban u ( Kt qu: 1156 ) Bi 8: Tỡm s cú ch s m bỡnh phng ca s y bng lp phng ca tng cỏc ch s ca nú Gi s phi tỡm l ab vi a,b N v a , b 10 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Dng on thng AD = 2m ã Dng hai gúc k cnh ú l DAC = v ãADC = ,hai cnh AC v DC giao ti C.Sau ú ta v trung tuyn CA ca tam giỏc ACD v kộo di thờm mt on MB =MC ,t ú xỏc nh nh B ca tam giỏc ABC cn dng Chng minh:Theo cỏch dng ny ,rừ rng tam giỏc AMB v tam giỏc DMC bng nhau(c,g,c).T ú AM = AD = , àA 2= Cho nờn ,tam giỏc ABC = m , àA 1= D dng c tho y cỏc yờu cu bi Bin lun :Trờn õy ta núi hai cnh AC v DC giao ti C.Thc l chỳng ch giao nu + < 2v Do ú bi toỏn luụn gii c v cú mt nghim hỡnh Thớ d 3: Cho mt gúc xOy v mt im M bờn gúc y Dng mt on thng AB cho A Ox , B Oy v M l trung im ca AB Phõn tớch :Gi s bi toỏn gii xong v ta ó dng c on thng AB tho yờu cu ca bi l A Ox, B Oy v M l trung im ca AB Nu kộo di OM thờm on MD = OM thỡ 1= D T ú , AMO = BMD(c,g,c) O DB P Ox Ngc li, nu t D k DB POx ả 1= M ả (i (B Oy ,ri BM n ct Oxti A thỡ AMO = BMD (g,c,g) vi M ả 1= D (so le ,DB POx) v MD =OM (do dng ),t ú AM = MB nh) , M Cỏch dng :Kộo di OM thờm on MD= OM ,ri t D k ng thng song vi Ox ,ct Oy ti B.Tip n k BM cho n ct Ox ti A thỡ M l trung im ca AB Chng minh: AMO v BMD cú : ả 1= M ả (i nh) M MO = MD (cỏch xỏc` nh imD) 1= MDB ã (so le DB P Ox) O Do ú : AMO = BMD (g,c.g) AM = MD 57 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 4.Bin lun : Bi toỏn luụn cú mt nghim Ph chỳ :Bi toỏn cú th phõn tớch cỏch khỏc : Kứ MN POx (N Oy) thỡ MN= OA Ngc li, nu k MN POx(N Oy),v ly im A trờn Ox cho OA = 2MN,ri k AM n ct Oy ti B thỡ cú AM =MB.Qu vy ,gi B l trung im ca OA OP = PA PM P ON.Vy BM phi i qua trung im ca AB,tc AM = MB Qua phõn tớch ny ta thy rừ cỏch dng v chng minh Bi toỏn luụn cú mt nghim Thớ d :Cho mt gúc xOy v hai im A,B Dng mt im cỏch u hai cnh Ox,Oy v cỏch u hai im A,B Phõn tớch : Gi s bi toỏn ó gii xong v ta ó dng c im M cỏch u hai cnh Ox, Oy v cỏch u hai im A,B ,ngha l cú MH = MK (MH Ox,H Ox, MK Oy,K Oy) v MA=MB Vy M v thuc tia phõn giỏc Ot ca xOy, va thuc ng trung trc d ca AB nờn M l giao im ca Ot v d Cỏch dng : Dng tia phõn giỏc Ot ca gúc xOy v ng trung trc d ca AB ,d ct Ot ti M M l im cn dng 3.Chng minh : M Ot nờn MH = MK M d nờn MA = MB 4.Bin lun : a d ct Ot nu AB khụng vuụng gúc vi Ot Bi toỏn cú mt nghim hỡnh b Nu AB Ot v OA OB thỡ Ot P d :Bi toỏn vụ nghim c Nu AB Ot v OA = OB thỡ d Ot Bi toỏn cú vụ s nghim,ngha l bt k im no ca Ot cng va cỏch u hai cnh Ox v Oy,va cỏch u A v B Thớ d :Cho mt gúc nhn xOy v mt im A trờn Oy.Tỡm mt im M trờn on OA cho nu k MP = MA Phõn tớch :Gi s bi toỏn ó gii xong v ta ó dng c im M theo yờu cu ca bi 58 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn K PN PAM v PN = AM thỡ AN P NP , Cú ngha l AN Ox (1) Mt khỏc PN = AM = OP nờn tam giỏc OPN cõn : 1= N O 2= N 1(gúc so le trong-PN POy) M O 1= O Nờn O iu ú cú ngha l N nm trờn tia phõn giỏc ca gúc xOy Theo (1) thỡ N nm trờn ng thng vuụng gúc vi Ox h t A.Vy N l giao im ca ng thng ú vi tia phõn giỏc ca gúc xOy V trớ N hon ton xỏc nh ,do ú dng c Cỏch dng :K tia phõn giỏc Ot ca gúc xOy v t A ,k ng thng vuụng gúc vi Ox , ct Ot ti N T N k NP POy ,ct Ox ti P T P k ng thng vuụng gúc vi Ox, ct Oy ti im N cn dng 1= O (so le ) Chng minh :NP POy nờn N 1= O M Ot l tia phõn giỏc : O 1= N Tam giỏc OPN cõn ti P : OP = PN T ú : O MP v AN cựng vuụng gúc vi Ox nờn MP P AN Do ú: PN = AM (on thng song song b chn bi hai ng thng song song) (2) T (1),(2) suy ra: OP = AM Bin lun : Gúc xOy nhn nờn tia phõn giỏc Ot ct ng thng k t A vuụng gúc vi Ox ti mt im N nht.Do ú bi toỏn cú mt nghim hỡnh BI TP Bi 1:Cho tam giỏc ABC vuụng cõn, cnh huyn BC = 2a khụng i Gi H l trung im ca BC Hóy dng im M trờn on AH cho khong cỏch t M n BC bng tng khong cỏch n AB v AC Tớnh theo a di ca HM tng ng HD: 1/ Gi N l im i xng ca M qua AB Phõn tớch :Gi s ó dng c M thuc AH m khong cỏch t M n BC bng tng khong cỏch t M n AB v AC MH = MK + ML =MN ã ã ã MNH cõn ti M MNH MHN MHN = Ta cú N AP = ã PHN Cỏch dng :+Dng im P l i xng ca im H qua AB +Dng phõn giỏc HN ca P AHB PH , M AH thỡ ta cú M l im cn dng MH = MN = MK+ ML Chng minh: Tht vy : MHN cõn ti M +Dng NM 59 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Bin lun:Baỉi toỏn cú mt nghim hỡnh 2/t MH = x.TA cú : AH = AM + MH MA = a x MH = 2MK a 2 x = + x = a(2- ) x = (a x) Bi 2: Dng mt tam giỏc ,bit hai gúc v mt ng phõn giỏc Bit hai gúc ca mt tam giỏc tc l bit c gúc th ba ,nờn cho bit ng phõn giỏc thuc gúc no cng vy thụi.Do vy ta s dng tam giỏc ABC,bit gúc B bng v ng phõn giỏc BD bng mt on thng a cho trc B ã B tỡm mt tam giỏc hi cỏc iồu kin dng c.D dng phỏt hin c tam giỏc BDA cú BD =a , ABD = = ãBDA Phõn tớch :Gi s bi toỏn ó gii xong v ta ó dng c tam giỏc ABC theo yờu cu ca bi Ta hóy tỡm khõu t phỏtc l = ,gúc C bng +C= v + Cỏch dng : Trc ht dng mt gúc ã xBy = Dng tia phõn giỏc Bt ca gúc ú.Trờn tia Bt dng on BD = a T D dng ng thng song song vi By ct Bx gúc ã EDv = ti E.Dng ã ã DBC = (so le ) Chng minh : BDE = ãBDA BDE ã ãEDA Vy = + = + T ú suy Cnh Dv ct Bx ti A v tia i ca tia Dv ct By Vy tam giỏc ABC ó dng cú B = ,C BD = a 4.Bin lun :bi toỏn luụn cú nghim hỡnh nu = ti C v tia + C phõn < = giỏc 2v Bi :Dng tam giỏc cõn ABC (AB = AC ),bit chu vi bng 2p v chiu cao AH=h Phõn tớch :Gi s bi toỏn ó gii xong v ta dng c tam giỏc ABC theo yờu cu bi Nu trờn tia i ca tia CB ta dng on thng CD = AC ,v trờn tia i ca tia BC dng on thng BE = AB thỡ c on DE = 2p,v ng cao AH=h l dng c Sau dng c tam giỏc cõn DAE ,ta xỏc nh v trớ hai nh B v C chng khú khn gỡ ,bng cỏch dng ng trung trc ca AE v AD Cỏch dng :Dng on thng DE = 2p.Dng ng trung trc d ca DE ,vuụng gúc vi DE ti H.Dng im A trờn d cho AH = h Dng ng trung trc ca AE v AD ln lt ct DE ti nh B v C cn dng Chng minh : Roế rng AB = BE , AC = CD nờn tam giỏc ABE v ACD l tam giỏc cõn l tam giỏc cõn(AE = AD) nờn E = D Tỉ ú ãABC = ãACB ãABC =2 ãACB E , = D M tam giỏc AED ,v tam giỏc ABC l tam giỏc cõn vi ng cao AH = h Maật khỏc , chu vi tam giỏc ABC = AB +AC +BC =EB + BC + CD = 2p Vy l tam giỏc cõnABC ó dng ỏp ng cỏc yờu cu ca bi Bin lun : Bi toỏn luụn cú mt nghim hỡnh Bi 4:Dng tam giỏc ABC bit chu vi bng 2p v B = ,C = Phõn tớch :Gi s bi toỏn ó gii xong v ta ó dng c tam giỏc ABC theo yờu cu bi à C = Vy l tam giỏc ADE hi cỏc iu kin dng c tam giỏc ABE v ACD l tam giỏc cõn nờn: E = = v D = àE àD 2 Cỏch dng : Dng on thng DE = p , dng gúc = v gúc = ,hai cnh EA v DA ca hai gúc E v D ct ti A Dng B Nu trờn tia i ca tia BC ta dng on thng BE = AB , v trờn tia i ca tia CB dng on thng CD = AC thỡ ta c on thng DE = 2p Hai ng trung trc ca AE v AD , ct DE ti B v C cn dng 60 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Chng minh : Cỏc tam giỏc ABE vACD l tam giỏc cõn vỡ B thuc ng trung trc ca AE(AB = BE ) v C thuc ng trung trc ca à AD (AC = CD ).T ú , B =2 E = v gúc C =2 D = Mt khỏc , chu vi tam giỏc ABC = AB+AC+BC=BE+CD +BC = 2p Vy tam giỏc ABC tho yờu cu bi Bin lun : Bi toỏn cú mt nghim hỡnh nu + < 2v BI TP Bi 1:Dng tam giỏc ABC ,bit v trớ ca ba im : nh A ,trung im M ca cnh AC v trng tõm G ca tam giỏc Hng dn :Trng hp dng hỡnh nh th ny l rt thun li ,vỡ t u ó cú tam giỏc AGM lm cs hon tt hỡnh cn dng Bi 2:Dng tam giỏc ABC ( àA = 1v) ,bit ng cao AH v trung tuyn AM ng vi cnh huyn Bi 3: Dng mt tam giỏc vuụng bit cnh huyn v trung tuyn ng vi mt cnh gúc vuụng Hng dn :Chỳ ý rng tam giỏc vuụng ,nu bit cnh huyn thỡ bit luụn trung tuyn ng vi nú,thnh bit hai trung tuyn v trng tõm ca tam giỏc Baỡ 4: Dng mt tam giỏc bit mt cnh v hai trung tuyn xut phỏt t hai mỳt ca cnh ú Bi 5:Dng tam giỏc ABC bit cnh BC v trung tuyn AM,BN Hng dn :Bi 4,5 bit hai trung tuyn tc l bit trng tõm ca tam giỏc AD Bi 6:Dng mt tam giỏc bit di ca ỷba trung tuyn Hng dn :Kộo di AD thờm mt on DI = GD = Chng minh CI = BG Vy tam giỏc CIG l hon ton xỏc nh,dng c T ú hon tt hỡnh cn dng Bi 7: Dng tam giỏc ABC bit giao im ca ba ng cao vi ng trũn ngoi tip ABC ,khi l D,E,F Hng dn : Gi s tam giỏc ABC ó dng xong ,gi H l trc tõm ca tam giỏc ú ,D,E,F l cỏc im i xng ca H qua BC, CA v AB DA,BE, CF l ba ng phõn giỏc ca tam giỏc DEF ct (O) ti A,B,C.Tam giỏc ABC l tam giỏc cn dng Baỉi 8: Dng hỡnh thoi ABCD ,bit E l im trờn AC ,M l mt im trờn BD, E cỏch giao im hai ng chộo l a ( cm ) v Q l im i xng ca M qua cnh AD Hng dn : Gi s hỡnh thoi ABCD ó dng xong ,tõm O ca nú l giao im ca:-ng trũn ng kớnh ME (vỡ MOE=1v) -ng trũn (E; a) ,(vỡ EO = a (cm) ) Cỏc ng thng EO v MO l nhng ng thng cha cỏc ng chộo AC v BD A v D l giao im ca EO v MO v ng trung trc ca MQ T ú xỏc nh C v B i xng vi A v D qua O Bi 9: Cho hai im A v B cựng mt phớa i vi ng thng xy Dng mt im M cho t M nhỡn on AB di mt gúc cnh AM v MB chn trờn xy mt on thng cú di bng m cho trc Hng dn : Gi s bi toỏn ó dng xong P xy v BC = m ã ả AEC = M = E trờn cung cha gúc V BC dng trờn on AC v E thuc xy Ly on ED trờn xy cú ED = m M l giao im ca AE v BD 61 cho trc v hai Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Chuyờn : 12 DIN TCH A GIC V PHNG PHP S DNG DIN TCH TRONG CHNG MINH I NI DUNG KIN THC C BN CN NH: a giỏc li a giỏc u Tng cỏc gúc a giỏc n cnh l (n 2) 1800 S ng chộo ca mt a giỏc n cnh l (n 3).n Tng cỏc gúc ngoi ca mt a giỏc n cnh l 3600 Trong mt a giỏc u, giao im O ca hai ng phõn giỏc ca hai gúc l tõm ca a giỏc u Tõm O cỏch u cỏc nh, cỏch u cỏc cnh ca a giỏc u, cú mt ng trũn tõm O i qua cỏc nh ca a giỏc u gi l ng trũn ngoi tip a giỏc u Din tớch tam giỏc: a.h (a: cnh ỏy; h: chiu cao tng ng) S = a.b.sin C ( a = AB; b = CA ) S= Din tớch hỡnh ch nht S = ab Din tớch hỡnh vuụng S = a2 10 Din tớch hỡnh bỡnh hnh S = ah (h l chiu cao k t mt nh n cnh a) 11 Din tớch hỡnh thoi S= AC.BD (AC; BD l hai ng chộo) 12 Din tớch hỡnh thang S = ( AB + CD ) AH (AB, CD l hai ỏy; AH: chiu cao) 62 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 13 Mt s kt qu cn nh a) SABM = SACM ( AM l trung tuyn tam giỏc ABC) b) AA // BC => SABC = SABC S BD S AH S AMN AM AN ABD c) S = CD DBC ABD d) S = DK DBC (D thuc BC ca tam giỏc ABC) (AH; DK l ng cao ca tam giỏc ABC v DBC) e) S = AB AC (M thuc BC; N thuc AC ca tam giỏc ABC) ABC II PHNG PHP DIN TCH: S dng cụng thc tớnh din tớch thit lp mi quan h v di ca cỏc on thng - Ta ó bit mt s cụng thc tớnh din tớch ca a giỏc nh cụng thc tớnh din tớch hỡnh tam giỏc, hỡnh thang, hỡnh bỡnh hnh, hỡnh ch nht, hỡnh thoi bit di ca mt s yu t ta cú th tớnh c din tớch ca nhnh hỡnh y Ngc li nu bit quan h din tớch ca hai hỡnh chng hn bit din tớch ca hai tam giỏc bng v cú hai ỏy bng thỡ suy c cỏc chiu cao tng ng bng Nh vy cỏc cụng thc din tớch cho ta cỏc quan h v di ca cỏc on thng S dng cỏc cụng thc tớnh din tớch cỏc hỡnh cú th giỳp ta so sỏnh di cỏc on thng - so sỏnh di cỏc on thng bng phng phỏp din tớch, ta cú th lm theo cỏc bc sau: Xỏc nh quan h din tớch gia cỏc hỡnh S dng cỏc cụng thc din tớch biu din mi quan h ú bng mt ng thc cú cha cỏc di Bin i cỏc ng thc va tỡm c ta cú quan h v di gia hai on thng cn so sỏnh Vớ d 1: Cho tam giỏc u ABC T im O tam giỏc ta v OH AB ; OI BC ; OK CA Chng minh rng O di ng tam giỏc thỡ tng OH + OI + OK khụng i Gii Gi di mi cnh ca tam giỏc u l a, chiu cao h Ta cú: S AOB + S BOC + SCOA = S ABC 1 1 a.OH + a.OI + a.OK = a.h 2 2 1 a (OH + OI + OK ) = a.h 2 (OH + OI + OK ) = h (khụng i) A H K C B I Nhn xột : - Cú th gii vớ d trờn bng cỏch khỏc nhng khụng th ngn gn bng phng phỏp din tớch nh ó trỡnh by 63 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn - Bi toỏn trờn ỳng nu O thuc cnh ca tam giỏc u - Nu thay tam giỏc u bi mt a giỏc bt k thỡ tng cỏc khong cỏch t O n cỏch cnh cng khụng thay i Vớ d 2: Chng minh nh lý Pitago: Trong mt tam giỏc vuụng, bỡnh phng ca cnh huyn bng tng bỡnh phng hai cnh gúc vuụng: Gii: - Dng phớa ngoi ABC cỏc hỡnh vuụng BCDE; ABFG; ACMN - Mun chng minh BC = AB + AC ta phi chng minh S BCDE + S ABFG = S ACMN - V ng cao AH kộo di ct DE ti K ta s chng minh S ABFG = S BHKE v S ACMN = SCHKD - Ni AE; CF FBC = ABE (c-g-c) S FBC = S ABE (1) FBC v hỡnh vuụng ABFG cú chung ỏy BF, ng cao ng vi ỏy ny bng (l AB) S FBC = S ABFG (2) (3) T (1); (2) v (3) S BHKE = S ABFG Chng minh tng t ta c: SCHKD = S ACMN Do ú: S BHKE + SCHKD = S ABFG + S ACMN S BCDE = S ABFG + S ACMN (pcm) Tng t: S ABE = S BHKE 64 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn N \ G A M \ F B \ E \ H \ C \ D \ K \ Nhn xột: - im mu cht cỏch gii trờn l v hỡnh ph: v thờm ba hỡnh vuụng Ta phi chng minh: BC = AB + AC m BC2; AB2; AC2 chớnh l din tớch ca cỏc hỡnh vuụng cú cnh ln lt l BC; AB; AC - chng minh S BCDE = S ABFG + S ACMN ta v ng cao AH ri kộo di chia hỡnh vuụng BCDE thnh hai hỡnh ch nht khụng cú im chung ri chng minh hai hỡnh ch nht ny cú din tớch ln lt bng din tớch ca hai hỡnh vuụng Bi ỏp dng: (Khong bi tp) III TNH DIN TCH A GIC BNG PHNG PHP I S - t cỏc din tớch cn tỡm bi cỏc n ri a v phng trỡnh hoc h phng trỡnh vi cỏc n ú - Gii phng trỡnh hoc h phng trỡnh tỡm nghim Vớ d 1: Cho ABC cú din tớch bng n v, trờn cnh AB ly M v trờn AC ly N cho AM = 3BM BN ct CM O Tớnh din tớch ca AOB v AOB Gii: A\ t SAOB = x; SAOC = y (x,y > 0) 65 M \ O \ N \ C \ Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Ta cú: S S OAM OAB = AM = ) (vỡ AB 3x S OAM = AN = nờn Vỡ AC 4y S OAN = S OAN C = B\ AN = AC 4y 4 4y m S BAN = S ABC = nờn x + = (1) 5 5 3x mt khỏc: S CAM = SCOA + SOAM = y + 3 m: S CAM = S ABC = 4 3x ú: y + = (2) 4 Ta cú: SBAN = SBAO + SOAN = x + T (1) v (2) ta cú h phng trỡnh 5x + 4y = (3) 3x + 4y = (4) Ly (3) tr (4) theo tng v ta c x = Thay x = Vy S AOB vo (3) ta c x = = v S AOC = Vớ d 2: Gi s MNPQ l hỡnh vuụng ni tip tam giỏc ABC, vi M AB; N AC v P; Q BC Tớnh cnh hỡnh vuụng bit BC = a v ng cao AH = h Gii: Gi I l giao im ca AH vi MN t cnh hỡnh vuụng MNPQ l x (x > 0), Ta cú: 1 MN AI = x (h x ) 2 1 S BMNC = ( BC + MN ) MQ = (a + x ) x 2 S ABC = a.h Ta li cú: S ABC = S AMN + S BMNC nờn 1 a.h = x (h x ) + x(a + x) 2 S AMN = M \ B 66 \ A \ I \ Q H \ N \ P \ C \ Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Hay: a.h = x(a + h) x = ah a+h Vy cnh hỡnh vuụng MNPQ l ah a+h Bi ỏp dng: khong bi IV BT NG THC DIN TCH: - Ta s dng h qu ca bt ng thc Cụsi: nu hai s cú mt tng khụng i thỡ tớch ca chỳng ln nht hai s y bng - s dng cỏc bt ng thc i s ta t di cn xỏc nh l x biu th i lng cn tỡm giỏ tr nh nht (hay giỏ tr ln nht) bng mt biu thc cú bin x ri tỡm iu kin ca x biu thc cú giỏ tr nh nht (hay giỏ tr ln nht) Vớ d 1: Cho tam giỏc ANC vuụng ti A, AB = 4cm Trờn hai cnh AB v AC ln lt ly cỏc im M, N cho AM = CN Xỏc nh v trớ ca M, N cho t giỏc BCMN cú din tớch nh nht Tớnh din tớch nh nht ú B Gii: t: S BCMN = S ; AM = CN = x => AN = - x S = SABC - SAMN M 4.4 x(4 x) x (4 x) S= = 2 x(4 x) S nh nht ln nht x(4 x) ln nht A C N Vỡ x + (4 x) = (khụng i) nờn x(4 x) ln nht x=4x x = (h qu bt ng thc Cụsi Khi ú M v N ln lt l trung im ca AB v AC S = 2(4 2) = 6cm 2 Vớ d 2: Cho ng trũn tõm O bỏn kớnh r ni tip tam giỏc ABC Qua O v ng thng ct hai cnh AC v BC ln lt tio M v N Chng minh SCMN 2r Gii: t SCMN = S Ta cú SCMN = SOCM + SOCN = ( MC + NC )r Theo bt ng thc Cụsi: M ( MC + NC ) CM CN 25 A 67 C N B Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 2 (Vỡ S = ( MC + NC ).sin C CM CN ) ( MC + NC ).r 2S r S S r S= Du = xy CM = CN hay MN OC Bi ỏp dng: Khong bi V BI TP V DIN TCH V CHNG MINH Vớ d 1: Cho hỡnh thang ABCD, ỏy AB = 3cm, AD = 4cm, BC = 6cm, CD = 9cm Tớnh din tớch hỡnh thang Gii V BE // AD ta cú: 3+9 h = 6h (cm2) CBE cõn C S= A B I IC2 = 36 = 32 IC = 4.4 S BCE = =8 2 5.2 h = BK = = S ABCD = 6h = = 16 D E K C Vớ d 2: ã Cho ABC cú chu vi l 2p, cnh BC = a, gi gúc BAC = , ng trũn ni tip tam giỏc ABC tip xỳc cnh AC ti K Tớnh din tớch AOK + Gii C AK = AL; CK = CM; BM = BL CM + AK + BM = 2p K AK = p (BM + CM) M AK = p a ã A KAO = B L OK = (p - a)tan 1 AK AO = ( p a ) tan 2 * Bi ỏp dng: SAOK = 68 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Cho ABC cú gúc nhn, cỏc ng cao AA, BB, CC v trc tõm H Tớnh tng: HA ' HB ' HC ' + + AA ' BB ' CC ' Mt tam giỏc cú di cỏc ng cao l cỏc s nguyờn v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip bng Chng minh tam giỏc ú u = , , C = , ng trũn ni tip tam giỏc cú bỏn Cho ABC bit àA = , , B kớnh bng r; P, Q, R l cỏc tip im Tớnh din tớch tam giỏc PQR Cho ABC Trờn cnh AB ly im M, trờn cnh AC ly im N cho AM AN = = Gi O l giao im ca BN v CM Gi H, L ln lt l chõn ng AB AC vuụng gúc k t A, C ti ng thng BN a/ Chng minh CL = AH b/ Chng minh: SBOC = SBOA K CE v BD vuụng gúc vi AO Chng minh BD = CE c/ Gi s SABC = 30 cm2, tớnh SAMON Cho hỡnh thang ABCD, ỏy AB, O l giao im ca hai ng chộo AC v BD a/ Chng minh rng: SOAD = SOBC b/ SOAB.SOCD = (SOBC)2 HNG DN GII S HBC HA '.BC HA ' = = Ta cú: (1) S ABC AA '.BC AA ' S HAB HC ' Tng t: S = CC ' (2) ABC S HAC HB ' = (3) S ABC BB ' A C B B H A C Cng (1), (2) v (3) ta c: HA ' HB ' HC ' S HBC + S HAB + S HAC S ABC + + = = S =1 S ABC AA ' BB ' CC ' ABC t a = BC, b = AC, c = AB Gi x, y, z l di cỏc ng cao tng ng vi cnh a, b, c ca tam giỏc Vỡ bỏn kớnh ng trũn ni tip bng nờn x, y, z > Gi s: x y z 1 Theo kt qu bi 1: + + =1 x y z z 69 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn z z=3 1 1 + + =1 + = hay 3(x+y) = 2xy x y z x y (2x-3)(2y-3) = = = x = y = hoc x = 6; y =2 (loi) Vy = y = z ú a = b = c OP = OQ = OR = r SPQR = S OPR + SOPQ + SOQR SPQR = r2sin(1800 - ) = r2sin SORQ = r2sin SORQ = r2sin Do ú SPQR = r2 (sin + sin + sin ) a/ CN = AN SBNC = 2S BNA SBNC = SBNA M CL = AH BNchung O SBOC = BO.CL E B BO AH SBOC = 2S BOA (1) / SBOA = D CL= 2AH A Chng minh tng t SBOC = 2SCOA (2) T (1) v (2) SBOA = SCOA (3) K CE AO, BD CE Ta chng minh c: BD = CE c/ Gi s SBOC = 2a (cm2) SBOA = a (cm2), SCOA= a (cm2) Ta tớnh c: T: 70 A H L N C Giỏo ỏn BDHSG Toỏn SABC = 4a (cm2) a = cm2 Ta li cú SONA = SOMA = a= (cm2) Vy: SOAMN = cm a/ K ng cao AH v BH, ta c ú: AH = BH AH DC Ta cú: SADC = A BH '.DC SBDC = SADC = SBDC SODA = SOBC b/ K ng cao BK ca ABC, ta c ú: B L SOAB OA = SOBC OC K S OA OAD Tng t: S = OC OCD D A SOAB SOAD = (SOBC)2 = SOAB.SOCD ( Vỡ SOBC = SOAD) SOBC SOCD 71 H C ... 22 499 91 00… 09 n-2 chữ số n chữ số b B = 11…155…56 n chữ số n-1 chữ số a A = 224.102n + 99 9. 10n+2 + 10n+1 + 9= 224.102n + ( 10n-2 – ) 10n+2 + 10n+1 + = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9= 225.102n...  9    10 2008 +      10 2008 + = 10 2008 + + = 100…02  nên ∈ N hay ab + số tự nhiên 2007 chữ số Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – + = 99 9 + = 9a +6 2007 chữ số 2008 chữ số ⇒ ab+1 = a(9a... tự nhiên n có chữ số biết 2n+1 3n+1 số phương Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 25; 49; 81; 121; 1 69 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n+1 37; 73; 121;