tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9

Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 PHÒNG GD-ĐT NINH HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC: 2012-2013 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức: 5 3 29 12 5− − − = cotg45 0 Bài 2: (4đ) Cho biểu thức ( ) ( ) ( ) 2 4 1 4 1 1 1 1 4 1 x x x x Q x x x − − + + −   = × −  ÷ −   − − a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa b) Rút gọn biểu thức Q Bài 3: (3,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 4y x x y M xy − + − = Bài 4: (3,75đ) Chứng minh rằng nếu ( ) ( ) 2 2 1 1 x yz y xz x yz y xz − − = − − với , 1, 1, 0, 0, 0x y yz xz x y z ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ thì 1 1 1 x y z x y z + + = + + Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ đỉnh M vẽ góc 45 0 sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F. Chứng minh rằng: EF 1 4 M ABC S S ∆ ∆ < Bài 6: (2đ) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O). Chứng minh MK = MA HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Bài Nội dung – Yêu cầu Điểm 1 5 3 29 12 5− − − ( ) 2 5 3 2 5 3 = − − − 5 6 2 5= − − ( ) 2 5 5 1 = − − = 1 = cotg45 0 1đ 0,5đ 0,75đ 0,25đ 0,5đ 2a Q có nghĩa 1x ⇔ > và 2x ≠ 0,5đ 2b ( ) ( ) ( ) 2 4 1 4 1 1 1 1 4 1 x x x x Q x x x − − + + −   = × −  ÷ −   − − Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 1 ĐỀ CHÍNH THỨC Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 x x x x x Q x x x − − − + + − + − + − = × − − + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 x x x Q x x − − + − + − = × − − 1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x − − + − + − = × − − * Nếu 1 < x < 2 ta có: 1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x − − + − + − = × − − 2 1 Q x = − * Nếu x > 2 ta có: 1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x − − + − + − = × − − 2 1 Q x = − 0,75đ 0,75đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25 3 Với điều kiện 1, 4x y ≥ ≥ ta có: M = 4 1 y x x y − − + Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, Ta có: ( ) 1 1 1 1 1 2 2 x x x x + − − = − ≤ = 1 1 2 x x − ⇒ ≤ (vì x dương) Và: ( ) 1 1 4 4 4 4 4 2 2 2 4 y y y y + − − = − ≤ × = 4 1 4 y y − ⇒ ≤ (vì y dương) Suy ra: M = 4 1 1 1 3 2 4 4 y x x y − − + ≤ + = Vậy giá trị lớn nhất của M là 3 4 ⇔ x = 2, y = 8 0,25đ 0,75đ 0,5đ 0,75đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 4 ( ) ( ) 2 2 1 1 x yz y xz x yz y xz − − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x yz y xyz y xz x xyz ⇔ − − = − − 0,25đ Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 2 F A B C M P Q N K E Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 0x y x yz y z xy z xy xy z x z x yz ⇔ − − + − + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 0x y xy x yz xy z x z y z x yz xy z⇔ − − − + − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0xy x y xyz x y z x y xyz x y ⇔ − − − + − − − = ( ) ( ) ( ) 2 0x y xy xyz x y z x y xyz   ⇔ − − + + + − =   ( ) ( ) 2 0xy xyz x y z x y xyz⇔ − + + + − = (vì 0x y x y ≠ ⇒ − ≠ ) ( ) 2 xy xz yz xyz x y xyz ⇔ + + = + + ( ) 2 xyz x y xyz xy xz yz xyz xyz + + + + ⇔ = (vì 0xyz ≠ ) 1 1 1 x y z x y z ⇔ + + = + + 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 5 Kẻ MP ⊥ AB tại P, MQ ⊥ AC tại Q Kẻ Ex // AC, EC cắt MQ tại K và cắt MF tại N Do ∠ EMF = 45 0 nên tia ME, MF nằm giữa hai tia MP và MQ 1 2 MEN MEK MPEK S S S ∆ ∆ ⇒ < = và 1 2 FEN QEK QAEK S S S ∆ ∆ < = ( FEN QEK S S ∆ ∆ < vì có cùng chiều cao nhưng đáy EN bé hơn đáy EK) Suy ra: 1 1 2 2 MEN FEN APMQ MEF APMQ S S S S S ∆ ∆ ∆ + < ⇔ < (*) Chứng minh được: 1 2 MAP MAB S S ∆ ∆ = 1 2 MAQ MAC S S ∆ ∆ = 1 2 APMQ ABC S S ∆ ⇒ = (**) Từ (*) và (**) ta có: EF 1 4 M ABC S S ∆ ∆ < 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 3 C K B A P I Q M Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 6 Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC. Giao điểm của OA và PQ là I. AB và AC là hai tiếp tuyến nên AB = AC và AO là tia phân giác của ∠ BAC ⇒ ∆ PAQ cân ở A và AO ⊥ PQ Áp dụng Pitago ta có: MK 2 = MO 2 – R 2 ( ∆ MKO vuông tại K) MK 2 = (MI 2 + OI 2 ) – R 2 ( ∆ MOI vuông tại I) MK 2 = (MI 2 + OI 2 ) – (OP 2 – PB 2 ) ( ∆ BOP vuông tại B) MK 2 = (MI 2 + OI 2 ) – [(OI 2 + PI 2 ) – PA 2 ] ( ∆ IOP vuông tại I và PA = PB) MK 2 = MI 2 + OI 2 – OI 2 + (PA 2 – PI 2 ) MK 2 = MI 2 + AI 2 ( ∆ IAP vuông tại I) MK 2 = MA 2 ( ∆ IAM vuông tại I) ⇒ MK = MA 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ PHÒNG GD&ĐT PHÚ GIÁO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 TRƯỜNG THCS AN BÌNH (Thời gian : 120 phút) Bài 1(1,5đ): Cho biểu thức 2 3 3 3 3 1 3 3 27 3 x Q x x x x    = + + +  ÷ ÷  ÷ ÷ + + −    a/ Rút gọn Q b/ Tính giá trị của Q khi 3 2010x = + Bài 2(1đ): Rút gọn biểu thức 4 7 4 7M = + − − Bài 3(1đ): Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta có 2 2 2 a b c ab bc ac + + ≥ + + Bài 4(2đ):a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a 2 + b 2 b/ Cho x +2y = 8 . T ìm giá trị lớn nhất của B=xy Bài 5(2đ): Giải phương trình 2 2 9 6 9 0x x x− + − + = b/ 2 2 4 4 0x x− − + = Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 4 O Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Bài 6(2,5đ): Cho hình vuông cạnh a. Đường tròn tâm O, bán kính a cắt OB tại M .D là điểm đối xứng của O qua C . Đường thẳng Dx vuông góc với CD tại D cắt CM tại E. CA cắt Dx tại F. Đặt · MDC α = a/ Chứng minh AM là phân giác của · FCB . Tính độ dài DM, CE theo a và α b/ Tính độ dài CM theo a . Suy ra giá trị của sin α ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 5 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Bài Nội dung Biểu chấm 1(1,5đ) a.(1đ) A =         ++         − + ++ 1 3 327 3 33 3 32 x x xxx ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ 3 =         ++         ++− + ++ x xx xxxxx 3 33 )33)(3( 3 33 3 2 22 =         ++         ++− +− x xx xxx x 3 33 )33)(3( 33)3( 2 2 3 1 − = x b. (0,5 đ) Thay x = 3 +2010 vào A ta có: A 3 1 − = x 2010 1 320103 1 = −+ = 0.25 0.25 0.25 0.25 0,5 2(1đ) Rút gọn biểu thức 4 7 4 7M = + − − ( ) ( ) 2 2 4 7 4 7 8 2 7 8 2 7 2 2 1 7 1 7 2 2 1 7 7 1 2 2 2 M M M M M = + − − + − = − + − = − + − = − = 0.25 0.25 0.25 0.25 3(1đ) 0.25 0.25 0.5 4(2đ) a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a 2 + b 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 min 2 2 2 2 4 4 2 2 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b a A a a A a a A a a A a A A + = ⇒ = − = + − = − + = − + + = − + ≥ = b/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 max 2 8 8 2 8 2 8 2 2 2 2 .2 2 2 2 8 8 2 2 2 8 8 x y x y B y y y y y y y B + = ⇒ = − = − = −   = − − + −     = − − ≤ = 6 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 a b c ab bc ac a b c ab bc ac a ab b b bc c a ac c a b b c a c + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + ⇔ − + + − + + − + ≥ ⇔ − + − + − ≥ · · · ECF ACM MDC α α = = ⇒ = Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013 Phòng GD- ĐT vĩnh tờng Trờng THCS vũ di ========== Đề thi khảo sát học sinh giỏi Môn: Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề ) Bài 1. (1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau : a)A = 51 1 + + 95 1 + + 139 1 + + 20052001 1 + + 20092005 1 + b) B = x 3 - 3x + 2000 với x = 3 223 + + 3 223 Bi 2 (2,0 im) Gii cỏc phng trỡnh sau: a) 3x 2 + 4x + 10 = 2 2 14 7x b) 2 4 2 2 4 4 4 16 4 1 2 3 5x x x x y y y + + + + = c) x 4 - 2y 4 x 2 y 2 4x 2 -7y 2 - 5 = 0; (vi x ; y nguyờn) Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng với hai số thực bất kì ,a b ta luôn có: 2 2 a b ab + ữ . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? b) Cho ba số thực , ,a b c không âm sao cho 1a b c + + = . Chứng minh: 16b c abc + . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? c) Với giá trị nào của góc nhọn thì biểu thức 6 6 sin cosP = + có giá trị bé nhất ? Cho biết giá trị bé nhất đó. Bài 4: (1,5 điểm) Một đoàn học sinh đi cắm trại bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 ngời thì còn thừa một ngời. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi cắm trại và có bao nhiêu ô tô ? Biết rằng mỗi ô tô chỉ chở không quá 30 ngời. Bài 5 ( 3,0 điểm ) 1)Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R và r lần lợt là các bán kính các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC. a) Chứng minh : 2 2 2 1 1 4 R r a + = b) Chứng minh : 3 3 2 2 2 8 ( ) ABCD R r S R r = + ; ( Kí hiệu ABCD S là diện tích tứ giác ABCD ) 2) Cho tam giác ABC cân tại A có ã 0 108BAC = .Chứng minh : BC AC là số vô tỉ. =============================================== Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M 7 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013 Phòng GD- ĐT vĩnh tờng Trờng THCS vũ di Hd chấm Đề thi khảo sát học sinh giỏi (10 - 2010) Môn: Toán 9 Bài Sơ lợc lời giải Cho điểm Bài 1.b (1,5 đ) áp dụng công thức (a+b) 3 =a 3 +b 3 +3ab(a+b), với a= 3 223 + , b= 3 223 và biến đổi => x 3 = 6 + 3x Suy ra B = 2006 0,75 a Có A = 15 15 + 59 59 + 913 913 + + 20012005 20012005 + 20052009 20052009 Rút gọn, đợc A = 4 12009 . 0,75 Bài 2a (2,0đ) Gii, xỏc nh ỳng iu kin: 2 2 ; 2 2 x x < 2 2 2 4 4 2 1 2 2 1. 7 7x x x x+ + + + = 0 2 ( 2) ( 2 1 7) 0x x + + = 2 2 2 0 2 2 2 1 7 0 2 x x x x x x = + = = = = = (Tha món) 0,25 0,25 0,25 b iu kin : 2 2 2 2 4 0 (1) 16 0 (2) 4 1 0 (3) 2 3 0 (4) x x x x y y + + T (2) (x 2 4)(x 2 + 4) 2 0 4 0x kt hp vi (1) v (3) suy ra x = 2 Thay vo (4): y 2 2y + 1 0 ; ỳng vi mi giỏ tr ca y. Thay x = 2 vo phng trỡnh v gii ỳng, tỡm c y = 1,5 Vy nghim ca phng trỡnh: (x = 2; y = 1,5) 0.5 0,25 c Bin i a c pt v dng: (x 2 2y 2 5)(x 2 + y 2 +1) = 0 x 2 2y 5 = 0 x 2 = 2y 2 + 5 x l t x = 2k + 1 ; ( k Z ) 4k 2 + 4k +1 = 2y 2 + 5 2y 2 = 4k 2 + 4k 4 y 2 = 2(k 2 + k 1) y ch n t y = 2n; (n Z ) 4n 2 = 2(k 2 + k 1) 2n 2 + 1 = k(k + 1) (*) Nhỡn v o (*) ta cú nhn xột: V trỏi nhn giỏ tr l, v phi nhn giỏ tr chn (Vỡ k v k + 1 l hai s nguyờn liờn tip) (*) vụ nghim pt ó cho vụ nghim 0,25 0,25 Bài 3a (2,0đ) Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 a b a ab b a ab b ab ab + + + + = = ữ 0,25 Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M 8 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013 ( ) 2 0, , 4 a b a b = R Vậy: ( ) 2 2 , , 4 , , 2 a b ab a b a b ab a b + + ữ R R Dấu đẳng thức xảy ra khi a b= 0,25 b Theo kết quả câu 3.a, ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 4a b c a b c a b c + + = + + + mà 1a b c+ + = (giả thiết) nên: ( ) ( ) 2 1 4 4a b c b c a b c + + + (vì a, b, c không âm nên b + c không âm) Nhng: ( ) 2 4b c bc+ (không âm) Suy ra: 16b c abc + . Dấu đẳng thức xảy ra khi: 1 1 , 4 2 a b c b c a b c = + = = = = 0,25 0,25 0,25 c Ta có: ( ) ( ) 3 3 6 6 2 2 sin cos sin sP co = + = + ( ) 2 2 4 2 2 4 sin cos sin sin cos cosP = + + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 3sin cos 1 3sin cosP = + = áp dụng kết quả câu 3.1, ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin cos 4sin cos 1 4sin cos sin cos 4 + Suy ra: 2 2 3 1 1 3sin cos 1 4 4 P = = Do đó: min 1 4 P = khi và chỉ khi: 2 2 sin cos sin cos = = (vì là góc nhọn) 0 sin 1 1 45 cos tg = = = 0,25 0,25 0,25 Bài 4 (1,5đ) + Gọi số ô tô lúc đầu là x ( x nguyên và x 2) Số học sinh đi cắm trại là: 22x + 1. + Theo giả thiết: Nếu số xe là 1x thì số học sinh phân phối đều cho tất cả các xe, mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và 0 < y 30). + Do đó ta có phơng trình: ( ) 22 1 23 1 22 1 22 1 1 x x y x y x x + = + = = + 0,25 0,25 0,25 + Vì x và y đều là số nguyên dơng, nên 1x phải là ớc số của 23. Mà 23 nguyên tố, nên: 1 1 2x x = = hoặc 1 23 24x x = = Nếu 2x = thì 22 23 45 30y = + = > (trái giả thiết) Nếu 24x = thì 22 1 23y = + = < 30 (thỏa điều kiện bài toán). + Vậy số ô tô là: 24 và tổng số học sinh đi cắm trại là: 22 24 1 23 23 529ì + = ì = học sinh. 0,25 0,25 0,25 Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M 9 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn 9 Nm hc: 2012-2013 Bài 5 (3,0đ) I E K M D O A C B Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là đ- ờng trung trực của đoạn thẳng BD,BD là đờng trung trực của AC.Do vậy nếu gọi M,I,K là giao điểm của đờng trung trực của đoạn thẳng AB với AB,AC,BD thì ta có I,K là tâm đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ADB,ABC Từ đó ta có KB = r và IB = R.Lấy một điểm E đối xứng với điểm I qua M , Ta có BEAI là hình thoi ( vì có hai đờng chéo EI và AB vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng ) 0,25 1a Ta có ã ã BAI EBA= mà ã ã 0 90BAI ABO+ = ã ã 0 90EBA ABO + = 0,25 Xét EBK có ã 0 90EBK = ,đờng cao BM.Theo hệ thức trong tam giác vuông ta có 2 2 2 1 1 1 BE BK BM + = 0,25 Mà BK = r , BE = BI = R; BM = 2 a Nên 2 2 2 1 1 4 R r a + = (Đpcm) 0,25 1b Xét AOB và AMI có ã ã 0 90AOB AMI= = và à A chung AOB AMI : 2 . 2 AO AM AM AB AB AO AB AI AI R = = = Chứng minh tơng tự ta đợc 2 . 2 BM AB AB BO BK r = = 0,25 0,25 Ta có 4 2. . 2. 4 ABCD AB S AO OB Rr = = Mà theo định lí Pi ta go trong tam giác vuông AOB ta có 2 2 2 4 2 2 1 1 1 4 AB OA OB AB R r = + = + ữ 2 2 2 2 2 4R r AB R r = + Từ đó ta có : 3 3 2 2 2 8 ( ) ABCD R r S R r = + 0,25 0,25 2 x C D B A 0,25 Kẻ tia Cx sao cho CA là tia phân giác của ã BCx , tia Cx cắt đờng thẳng AB tại D.Khi đó Ta có ã ã 0 36DCA ACB= = DCA cân tại C , BCD cân tại B AB AC DC = = .Theo tính chất đờng phân giác trong tam giác BCD ta có ; CB AB BC CA BC BD CD AD CA BD CA = = = 0,25 Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M 10 [...]... 4) ( 2 đđiểm ) 2 Gv: Nguyễn Văn Tú 2 29 (1đ) Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Tốn 9 Năm học: 2012-2013  abc = 100a + 10b + c = n 2 − 1  Viết được  2 cba = 100c + 10b + a = n − 4n + 4  Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5 M 99 (3) Mặt khác : 100 ≤ n 2 − 1 ≤ 99 9 ⇔ 101 ≤ n 2 ≤ 1000 ⇔ 11 ≤ n ≤ 31 ⇔ 39 ≤ 4n − 5 ≤ 1 19 (4) Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26 Vậy số cần tìm abc = 675... Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 12 2 2 Giáo án BDHSG Tốn 9 Năm học: 2012-2013  abc = 100a + 10b + c = n 2 − 1  Viết được  2 cba = 100c + 10b + a = n − 4n + 4  Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5 M 99 (3) Mặt khác : 100 ≤ n 2 − 1 ≤ 99 9 ⇔ 101 ≤ n 2 ≤ 1000 ⇔ 11 ≤ n ≤ 31 ⇔ 39 ≤ 4n − 5 ≤ 1 19 (4) Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26 Vậy số cần tìm abc = 675 ( 0,75 đ ) ( 0,75đđ ) (... AB + AC = C’B khi A ≡ A1 ⇒ ∆ ABC cân tại A PGD& ĐT huyện Long Điền Trường THCS Trần Ngun Hãn ĐỀ DỰ TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học 2012-2013 Thời gian 150 phút Gv: Nguyễn Văn Tú 25 Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Tốn 9 Năm học: 2012-2013 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức K = 3x + 9 x − 3 x +1 x −2 − + x + x −3 x + 2 1− x ( x ≥ 0; x ≠ 1) a/ Rút gọn K b/ Tìm x ngun dương để K nhận giá trị... Trường THCS Thanh Mỹ 11 Giáo án BDHSG Tốn 9 Năm học: 2012-2013 a) Chứng minh: AB EB + AC EH = AB2 b) Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R HẾT ĐÁP ÁN Bài 1(4đ, mỗi bài 2 điểm) a) 2 2 2 2 P = + + + + 15 35 63 399 2 2 2 2 = + + + + 3.5 5.7 7 .9 19. 21 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + + − 3 5 5 7 7 9 19 21 1 1 = − 3 21 = 2 7 b) 1 1 = a +... 20 09 + 2010 − x + 2 x − 20 09 2010 − x = 1 + 2 x − 20 09 2010 − x 2 Ta có: A ≥ 1 (vì 2 x − 20 09 2010 − x ≥ 0 với ∀x ∈ D) A ≥ 1 với ∀x ∈ D (0,25 điểm) Vậy: Amin = 1 khi  x − 20 09 = 0  x = 20 09  2010 − x = 0 ⇔  x = 2010   (0,25 điểm) 2 Xét: 2 (0,25 điểm) A = 1 + 2 x − 20 09 2010 − x ≤ 1 + x − 20 09 + 2010 − x (vì 2 x − 20 09 2010 − x ≤ x − 20 09 + 2010 − x , với ∀x ∈ D; BĐT Cơsi) A2 ≤ 2 với ∀x... 35 63 399 2 2 2 2 + + + + (0,5 điểm) = 3.5 5.7 7 .9 19. 21 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + + − 3 5 5 7 7 9 19 21 1 1 (0,5 điểm) = − 3 21 (0,5 điểm) = 2 7 Bài 2: (4điểm) Mỗi câu 2 điểm a) Cho a, b, c là các số thực khác nhau Chứng minh rằng: b−c c−a a −b 2 2 2 + + = + + (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a )(c − b) a − b b − c c − a b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x − 20 09 + 2010... m 6 ( 10 − 1) C = 666…….666 (m chữ số 6) = 9 ( )( ) ( ( x + 2) ( x − 1) x +1 x −1 − x −2 )( x +2 ) (0,5điểm) (1,5điểm) (0,5điểm) (0,75điểm) (0,75điểm) (0,5điểm) (0,5điểm) (0,5điểm) m 102 m − 1 10m+1 − 1 6 ( 10 − 1) 102 m + 16.10m + 64  10m + 8  A+B+C+8= + + +8= = ÷ (1điểm) 9 9 9 9  3  Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 26 2 Giáo án BDHSG Tốn 9 Năm học: 2012-2013 Mà 10m + 8 M3 nên 10m + 8 là... thẳng vng gòc với AB vẽ từ O và nửa đường tròn (O) Thì SACM + SBDM nhỏ nhất và bằng R2 (0,25điểm) ( Học sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho tròn điểm) y x D M M A C O' O A H O Hình bài 5 Phòng GD Huyện Long Điền Trường THCS Văn Lương B N M' I B N' hình bài 4 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học : 2012-2013 Mơn : TỐN 9 : 150 phút Bài 1 ( 6 điểm ) 1) Chứng minh rằng : A = 2 3 + 5 − 13 + 48 là một số ngun 6+ 2 2)... HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VỊNG I Bài 1: (1.5 điểm) Thực hiện tính: 2x + 2 x 2 − 4 x2 − 4 + x + 2 với x = 2 6 + 3 Bài 2: (2.5 điểm) Giải các phương trình: a x 2 + 5 x − x 2 + 5 x + 4 = −2 b x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2 x − 3 Gv: Nguyễn Văn Tú 14 Trường THCS Thanh Mỹ B Giáo án BDHSG Tốn 9. .. ∠ ICB = ∠ IDK c Chứng minh H là trung điểm của DK Bài 5: ( 1.0 điểm) Cho A(n) = n2(n4 - 1) Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHỊNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VỊNG II Bài 1: (2.0 điểm) a) Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 4 + ≥ Với a; b là các số dương . 6 + 3x Suy ra B = 2006 0,75 a Có A = 15 15 + 59 59 + 91 3 91 3 + + 20012005 20012005 + 200520 09 200520 09 Rút gọn, đợc A = 4 120 09 . 0,75 Bài 2a (2,0đ) Gii, xỏc nh ỳng iu kin: 2. M 99 (3) ( 0,75 đ ) Mặt khác : 100 2 2 1 99 9 101 1000 11 31n n n≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ 39 4 5 119n ⇔ ≤ − ≤ (4) ( 0,75đđ ) Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26 Vậy số cần tìm 675abc = (. án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Viết được 2 2 100 10 1 100 10 4 4 abc a b c n cba c b a n n  = + + = −   = + + = − +   Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5 M 99 (3)