Đang tải... (xem toàn văn)
Công thức toán 9 cả nămTổng hợp công thức toán 9 ôn thi vào 10 Ôn thi vào 10 Môn Toán 9Tổng hợp Lý thuyết Toán 9 Ôn thi vào 10Lý thuyết toán 9Tổng hợp công thức toán 9 ôn thi vào 10Ôn thi vào 10 Lớp 9
Họ tên: …………………………………………………… FILE ƠN TẬP TỐN THI VÀO 10 (Kiến thức bản) Lớp: 9…… Trường THCS ………………………………… Phần I - ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Điều kiện để thức có nghĩa √ A có nghĩa A ≥ Các cơng thức biến đổi thức a) √ A 2=| A| b) √ AB=√ A ⋅ √ B (A ≥ 0; B ≥ 0) c) √ A √A = (A ≥ 0; B > 0) B √B d) √ A B=| A| √ B (B ≥ 0) f) √ A = ⋅ √ AB (AB ≥ 0; B ≠ 0) B |B| A A √B = g) (B > 0) √B B C (√ A ∓ B ) C = h) (A ≥ 0; A ≠ B2) √A± B A−B C (√ A ∓ B ) C = i) (A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B) √A± B A−B e) A √ B=√ A B (A ≥ 0; B ≥ 0) A √ B=−√ A B (A < 0; B ≥ 0) Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) a: Hệ số góc; b: Tung độ gốc - Tính chất: + Hàm số ĐB R a > + Hàm số NB R a < −b - Đồ thị: đường thẳng qua điểm A (0; b) B ( a ; 0¿ Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) - Tính chất: + Hàm số ĐB a x dấu + Hàm số NB a x khác dấu - Đồ thị: đường cong Parabol qua gốc tọa độ O (0;0) + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh + Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh Vị trí tương đối đường thẳng Xét đường thẳng (d): y = ax + b (d’): y = a’x + b (d) ∩ (d’) a ≠ a’ (d) // (d’) a = a’ b ≠ b’ (d) ≡ (d’) a = a’ b = b’ Trang Vị trí tương đối đường thẳng đường cong Xét đường thẳng (d): y = ax + b (P): y = ax2 (d) ∩ (P) điểm (d) tiếp xúc với (P) điểm (d) (P) khơng có điểm chung Phương trình bậc hai Xét PT bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Công thức nghiệm (*) △ = b2 – 4ac Nếu △ > -> PT có nghiệm phân biệt −b+ √ Δ −b−√ Δ x = ;x = 2a 2a Nếu △ = -> PT có nghiệm kép Cơng thức nghiệm thu gọn b △’ = b’2 – ac (b’ = ) Nếu △’ > -> PT có nghiệm phân biệt −b ' + √ Δ' −b '−√ Δ' x = ;x = −b x1 = x2 = a Nếu △ < -> PT vô nghiệm a a Nếu △’ = -> PT có nghiệm kép −b ' x1 = x2 = a Nếu △’ < -> PT vô nghiệm Hệ thức Vi-ét ứng dụng - Hệ thức Vi-ét: Nếu x1, x2 nghiệm PT bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) thì: { −b a c P=x x 2= a S=x + x 2= - Một số ứng dụng: + Tìm số u v biết u + v = S; uv = P ta giải PT: x2 – Sx + P = (ĐK: S2 – 4P ≥ 0) + Nhẩm nghiệm PT bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) c Nếu a + b + c = => PT có nghiệm: x1 = 1; x2 = a −c Nếu a – b + c = => PT có nghiệm: x1 = -1; x2 = a Giải toán cách lập PT, hệ PT Bước 1: Lập phương trình: - Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Trang Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Trả lời: Chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn kết luận *MỞ RỘNG a) Dạng toán chuyển động *Toán chuyển động có đại lượng: Quãng đường (s), Vận tốc (v), Thời gian (t) - Mối liên hệ của đại lượng trên: s = v.t v = s/t t = s/v - Tốn chuyển động dịng chảy: + Vận tốc xi dịng = Vận tốc riêng ca nô + Vận tốc dòng nước + Vận tốc ngược dòng = Vận tốc riêng ca nơ – Vận tốc dịng nước b) Dạng tốn suất *Bài tốn suất có đại lượng: khối lượng công việc, suất thời gian - Mối quan hệ đại lượng: Khối lượng công việc = Năng suất x Thời gian Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian Thời gian = Khối lượng công việc : Năng suất - Bài tốn cơng việc làm chung, làm riêng, hay vịi nước chảy chung, chảy riêng ta thường coi tồn cơng việc đơn vị Suy suất thời gian Lập phương trình theo: Tổng suất riêng = Năng suất chung c) Dạng toán số chữ số Nếu A B k đơn vị A – B = k A = B + k Hai số liên tiếp đơn vị Nếu A gấp k lần B A = B.k 1 Nếu A B A = B Số có hai chữ số xy=10 x + y với x, y ϵ N; < x ≤ 9; ≤ y ≤ d) Toán phần trăm Trang - Nếu gọi tổng số sản phẩm x số sản phẩm vượt mức a% (100 + a)%.x (sp) - Nếu gọi tổng số sản phẩm x số sản phẩm giảm a% (100 – a)%.x (sp) B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng: BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI PT BẬC HAI Bài toán 1: Giải PT bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) - Phương pháp 1: Phân tích đưa PT tích - Phương pháp 2: Dùng kiến thức bậc hai x 2=a → x=± √ a - Phương pháp 3: Dùng công thức nghiệm (Bảng trang 2) - Phương pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn (Bảng trang 2) - Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-ét (Trang 2) Bài tốn 2: Tìm điều kiện tham số m để PT bậc hai ax + bx +c=0 (Trong a, b, c phụ thuộc vào tham số m) −b *Ghi chú: S (Tổng) = x1 + x2 = a c P (Tích) = x1.x2 = a Có nghiệm biệt dấu nghiệm phân nghiệm dấu a ≠ 0, △ △’ > Nghiệm kép a = 0, b ≠ a ≠ 0, △ △’ = a ≠ 0, △ △’ = Vô nghiệm a ≠ 0, △ △’ < nghiệm nghiệm dương âm a = 0, b ≠ a ≠ 0, △ △’ ≥ △ △’ > P>0 △ △’ > S P > nghiệm △ △’ ≥ S < 0, P > nghiệm trái △ △’ > P m - Thay giá trị m vào PT (1) -> x1, x2 P - Hoặc tính x2 = S – x1 x2¿ x Bài tốn 4: Tìm điều kiện tham số m để PT bậc hai ax + bx + c = có nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: (Trong a, b, c phụ thuộc vào tham số m) α x + β x =γ a) b) x 21+ x22 =k e) x 31+ x32 =t 1 c) x + x =n d) x 21+ x22 ≥ h *Điều kiện chung: △ △’ ≥ (*) −b c Theo định lí Vi-ét ta có: S = x1 + x2 = a (1) P = x1.x2 = = a (2) Trường hợp a: α x + β x 2=γ { −b a -> x1, x2 - Giải hệ PT α x 1+ β x 2=γ x + x 2= - Thay x1, x2 vào hệ PT (2) -> m - Chọn giá trị m để thỏa mãn ĐK (*) Trường hợp b: x 21+ x22 =k (x1 + x2)2 – 2x1x2 = k −b c Thay x1 + x2 = S = a x1.x2 = P = a vào ta có: S2 – 2P = k -> Tìm giá trị m để thỏa mãn ĐK (*) 1 Trường hợp c: x + x =n x1 + x2 = nx1.x2 -b = nc Giải PT -b = nc ta tìm giá trị m thỏa mãn ĐK (*) Trường hợp d: x 21+ x22 ≥ h S2 – 2P – h ≥ Giải bất PT S2 – 2P – h ≥ chọn m để thỏa mãn ĐK (*) Trường hợp e: x 31+ x32 =t S3 - 3PS = t Giải bất PT S3 - 3PS = t chọn m để thỏa mãn ĐK (*) Bài tốn 5: Tìm số u v biết tổng S = u + v P = u.v chúng Ta có u v nghiệm PT: x2 – Sx + P = (2) (ĐK: S2 – 4P ≥ 0) Giải PT (2) ta tìm số u v cần tìm Trang Phần II – HÌNH HỌC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Hệ thức lượng △ vuông Hệ thức 1: AB2 = BH BC AC2 = CH BC Hệ thức 2: AH2 = BH CH Hệ thức 3: AH BC = AB AC Hệ thức 4: 1 = + 2 AH A B A C2 Tỉ số lượng giác góc nhọn Hình vẽ: sin = đối/huyền cos = kề/huyền tan = đối/kề cot = kề/đối *Mở rộng: 2 Sin α + Co s α =1 sin α tan α= cos α Sin α = Cos β = AC BC Cos α = Sin β = AB BC Tan α = Cot β = AC AB Cot α = Tan β = AB AC tan α cot α =1 cos α cot α = sin α *Tỉ số lượng giác góc phụ nhau: α + β = 90O Sin α = Cos β Tan α = Cot β *Một số hệ thức cạnh góc tam giác vng: Dựa vào tỉ số lượng giác ta suy ra: - Theo Sin Cos (Liên quan đến cạnh góc vng & cạnh huyền) AB = BC Cos α = BC Sin β AC = BC Sin α = BC Cos β - Theo Tan Cot (Liên quan đến cạnh góc vng) AB = AC Cot α = AC Tan β AC = AB Tan α = AB Cot β Đường tròn - Cách xác định: + Qua điểm phân biệt ta vẽ vô số đường trịn + Qua điểm khơng thẳng hàng ta vẽ đường tròn Trang - Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đường trịn có tâm đối xứng; có vơ số trục đối xứng - Quan hệ vng góc đường kính dây: Trong đường trịn + Đường kính ⊥ dây qua trung điểm dây + Đường kính qua trung điểm dây không qua tâm ⊥ dây - Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: Trong đường tròn Hình vẽ Tính chất OH = OK AB = CD OH < OK AB > CD - Liên hệ cung dây: Trong đường tròn hay đường tròn + Hai cung căng hai dây + Hai dây căng hai cung + Cung lớn căng dây lớn + Dây lớn căng cung lớn - Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn: Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ d R dR Khơng giao - Vị trí tương đối đường trịn: Tiếp tuyến đường trịn - Tính chất: Tiếp tuyến vng góc với bán kính qua tiếp điểm - Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến: + Đường thẳng đường trịn có điểm chung + Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính + Đường thẳng qua điểm nằm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm - Tính chất tiếp tuyến cắt MA = MB Trang MO tia phân giác - Tính chất tia tiếp tuyến cắt nhau: Tiếp tuyến chung ngồi Tiếp tuyến chung Góc với đường trịn Loại góc Hình vẽ Cơng thức tính số đo GĨC Ở TÂM ⏜ ^ AOB = sđ ABnhỏ GÓC NỘI TIẾP ⏜ ^ BAC = BC nhỏ Trang GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG ⏜ ^ BAx= AB nhỏ GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN ⏜ ⏜ ^ AEC = ( sđ AC + sđ BD ) ⏜ ⏜ ^ BED= ( sđ BD −sđ AC ) GĨC CĨ ĐỈNH BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN Độ dài đường trịn/cung trịn – Diện tích hình trịn/hình quạt trịn - Độ dài đường tròn: C = πR = πd - Diện tích hình trịn: S = π R πRn - Độ dài cung tròn: C = 180 - Diện tích hình quạt trịn: S = π R n lR = 360 Các loại đường tròn Đường tròn nội tiếp △ Đường tròn ngoại tiếp △ Đường tròn bàng tiếp △ Tâm đường tròn Trang 10 Tâm đường tròn giao điểm đường phân giác tam giác giao điểm đường trung trực tam giác (Giảm tải – Tự tìm hiểu thêm) Các loại hình khơng gian Ghi chú: C: Chu vi S: Diện tích l: đường sinh R: Bán kính h: Chiều cao S xung quanh S tồn phần Thể tích (V) Hình trụ Cđáy x h Hình nón πR l Sxq + 2.Sđáy Sxq + Sđáy Sđáy x h Vhình trụ V: Thể tích d: Đường kính Hình nón cụt π (r1 + r2) l Hình cầu π R2 = π d π R3 π h (r12 + r22 + r1r2) Tứ giác nội tiếp *Dấu hiệu nhận biết: Tổng góc đối = 180o (H1) Góc ngồi đỉnh = góc đỉnh đối diện (H2) Hai điểm liên tiếp tứ giác nhìn cạnh góc (H4) Tứ giác có đỉnh cách điểm (H3) M giao điểm AC BD => Nếu MA.MB = MC.MD (H5) Trang 11 B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng : Công thức mở rộng Bài tốn 1: Diện tích hình viên phân hình vành khăn - S - S = S hình quạt trịn – S hình vành khăn = S (O;R) – S (O;r) hình viên phân △AOB Bài tốn 2: Các cơng thức liên quan tới đường tròn tam giác a) Đường tròn nội tiếp △ R= S P = 2S a+b+ c Trong đó: S – Diện tích △; P – Nửa chu vi b) Đường tròn ngoại tiếp △ abc R = 4S c) Hình vng cạnh a Độ dài đường chéo d = a √ (Tính theo tam giác vng ABC -> Tính AC đường chéo theo định lí Py-ta-go => AC = a √ ) Bán kính đường trịn nội tiếp hình vng r = a (2 đường chéo đường tròn nội tiếp hình vng cắt => r = 1 AB = a) 2 Trang 12 Bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng R = (Tính theo tam giác vuông ABC => R = a √2 1 d = AC = a √ ) 2 d) Tam giác cạnh a a √3 (Tính theo tam giác vng AHB => Tính AH = h theo định lí Py-ta-go) Đường cao: h = h (Tính theo tam giác vuông AHB -> AH đường trung tuyến O trọng tâm => OA = R = AH) Bán kính đường trịn ngoại tiếp △: R = h(Tính theo tam giác vng AHB -> AH đường trung tuyến O trọng tâm => OH = r = AH) Bán kính đường tròn nội tiếp △: r = Trang 13