Tài liệu vật lý: Lý thuyết hệ nhiều hạt potx

2- Các đại lượng bảo toàn của hệ nhiều hạt.. 2.1-Hamiltonian của hệ nhiều hạt... 2.2- Bảo toàn động lượng của hệ nhiều hạt... Khụng học vỡ trong mụn Phương phỏp hàm Green cú một chương

Trang 2

NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169

Lí THUYẾT HỆ NHIỀU HẠT Chương 1: Tớnh chất chung của hệ nhiều hạt

0- Khỏi niệm về hệ nhiều hạt

0.1- Nhiều : N  2 : Vấn đề kỹ thuật : số biến ; tương tỏc ; thay đổi về chất

0.2- Nhiều (N >>1) : khụng làm thay đổi chất

0.3- Nhiều (N >> 1) : làm thay đổi chất

0.4- Hệ nhiều hạt ở T=0K

0.5- Hệ kớn

0.6- Hệ ở T 0K

Quan hệ giữa Cơ học và Vật lý thống kờ (bao gồm cả cổ điển và lượng tử)

1- Hệ hạt đồng nhất:

1.1- Nguyờn lý khụng phõn biệt cỏc hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử

1.2- Hàm súng của hệ cỏc hạt đồng nhất

1.2.1- Tớnh đối xứng của hàm súng

Pˆ ij (q1, , qi , , qj , , qN) =  (q1, , qj , , qi , , qN) (1.1)

+ (q1, , qi , , qj , , qN) = + (q1, , qj , , qi , , qN) (1.2)

- (q1, , qi , , qj , , qN) = - - (q1, , qj , , qi , , qN) (1.3)

1.2.2- Đặc điểm của tính đối xứng của hàm sóng

1.2.2.1- Tính đối xứng là như nhau đối với tất cả các cặp biến :

1.2.2.2- Tính đối xứng của hàm sóng phụ thuộc vào spin :

Spin nguyên (0 ; 1 ; 2 ; )

Spin bán nguyên (1/2 ; 3/2 ; 5/2 ; )

1.2.2.3- Tính đối xứng của hàm sóng là vĩnh cửu : 1.2.3- Dạng của hàm sóng của hệ hạt đồng nhất không tương tác p(q i) ni(r i) (s i) i      ; q i (ri,s i)  ; p i(ni,) (1.4) k i i k i ni nk p p S i i nk i i ni i i i p i p q  q dq d r  r  s  r  s              , * * * ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (    (1.5) i i i i dx dy dz r d     ) ( 2 1 2 1, , , ) ( ) ( ) ( )

( 2 1 q N p p p N c q q q q q q N     (1.6a)

) (

) ( ) (

) (

) ( ) ( ) (

) ( ) ( ! 1 ) , ,

, ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 N p p p N p p p N p p p N q q q q q q q q q N q q q N N N            (1.7a) Định thức Slater chứa đựng Nguyên lý loại trừ Pauli 2- Các đại lượng bảo toàn của hệ nhiều hạt 2.1-Hamiltonian của hệ nhiều hạt ) , ,

, ( ) / ( ) 2 / ( 1 2 1 2 N N i i i m V r r r H           (2.1a) ) , , ( sin 1 sin sin 1 1 ) 2 / ( 2 2 2 2 2 2 1 2 2         r V r r r r r r H i i i i i i i i i i N i i                               (2.1b) ( r( ,r r , , r ) ; ( , , , ) ; ( ,  , , ))

Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Trang 3

2.2- Bảo toàn động lượng của hệ nhiều hạt

i P

k k z

)ˆˆ

(1ˆ





z ext z z

H t e F e

)()]

/[exp(iHt S t

i(t)[exp(iH0t/)]S(t) (3.7)

)()(ˆ)(

t t V t

S t iH

i t e V e

')'()'(ˆ)/()()(

0

0 i V t t dt t

t

t i i

(3.11)

) ( ) , ( )

1

0 0

0

dt t V dt t V dt

t V i t

t

S

t

t i t

) ( ˆ ) ( ˆ ) / (

1

0 1

0 0

2 2 1

t n i t

t i t

t i n

dt t V dt t V dt t V i

0

0 T i V t dt t

t S

t

t i

0 1 2 0

2 0

1 1

( ) ( )

Trang 4

t S t F t S t

*

)]

()

''(ˆ)'(ˆ)(ˆ[)(ˆ

H i

i i

H S T A t B t C t S

0 0

)]

()

''(ˆ)'(ˆ)(ˆ[

H H

H i

i i H

S

S t C t B t A T M

Chương 2 : Một số phương phỏp giải bài toỏn hệ nhiều hạt

4- Phương pháp tách chuyển động khối tâm của hệ :

4.1- Đặc điểm của thế tương tác:

) , , , ( ) / ( ) 2 /

1

2

N N

,(), ,,(r1 r2 r N V r1 r2 r1 r3 r N 1 r N

1(m x :m ) x

 ; 2(m1x1 m2x2):(m1m2)x3 ;

1 1

i i i

1 1

i

i i

r m

1 , 1

2 2

2 ,

i i i i r

z y

2 2

2 ,

i i

1

) ( ) (

2 2

N i

i i r

r r r

2 2

N i

i i

Trang 5

V'( , , , , ,     1 1 1 2 2 2, ,Na x,Na y,Na z)  V' (1,1,1,2,2,2 , ,N,N,N),

KÕt qu¶ lµ '( , , , ) ( /2) ( / ) '( , , , )

1 2

1 1

,

2 2

2

N N N

N N

1 1

1 ,

( ] / [

2

N N

2/1()(

, 1

j i j i j N

2

i i i i i

m r



2)('

2

i ef i i i i i

m r

r r

r

i

1 2

()]

()

(2

[

2

i p i i p i ef i

i i i

r r

r V r u

dq dq

i i

r d

H q

j i j N

i

i i k

p i k

i

, 1

( ) ( ]

) , ( )

2 / 1 ( ) ( [

, 1

E r r V r

H

k i

k p i p j

i j i j N

i

i i i

k i p k

*

0]

),()2/1()([()

,

* 1

i j i ij N

i

i i k

i

i p k

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

Trang 6

,

'

j i j i

ij i

p k

i

i i i

k i

p k

j k i

j i ij i

k i

p i

k i ik i

k i p k

V

i

i( [ ( , ] ( ))

(5.14)

)()]

([

]([

*

k p k k k

i

i i

i i i

k i

([

]()

2/1[(

i i j

i ij i

k i

(

*

k p k

i i i

k i

()]

()([H k rk V ef rk p k q k kp k q k

1),

2 1

2

1 q q q q q

2 1 1 2 2

1 12

2 1 1

* 2

)]

()()(

)

(

[

2 1

2 1 2

1 2

1 q  q  q  q H H V E  q  q  q  q dq dq



0)]

()()()([(

)]

()()(

)

(

2 1 2

1 2

(

)

(

2 1

2

1 q  q H H V E  q  q dq dq



2 1 2 1 12

2 1 2

*

1

*

)()()(

()

(

2 1 2

(

)

(

2 1 2

*

1

*

)()()(

)

(

2 1

*

)()()()(

2 1 2

(

)

(

2 1

()

( ) ( ) (

( ) ( 1 * 2 1 2 2 1 1 2

*

2 1

2

0)

()()(

)()

*

2 1

2

0)

()()(

()

*

2 1

2

 q  q H H E   q  q dq dq

0)

()()(

)()

*

2 1

2 1 2

*

1

*

)()()(

(

)

(

2 1 2

vµ  1 *( 1){[ *( 2 ( 1  2  12  ) ( 2) 2] ( 1)

1 2

2

1 q q H H V E q dq q

2 1

2 2

1 12 2

* 1

)(

)()

(),()()

(

1 2

2 2

q

q dq

q r r V q r

Trang 7

()]

(

2

2 q q r

1 1 2 1 12 1

*

)(

)()

(),()()

(

2 1

q r r V q r

i j

j

j j p j i ij j p i

q

q dq

q r

r V q r

V

i j

j

)(

)()

(),()()

2 1

2

(

2 1

q

N p p

p

q q

i

N i

1 , ,

0 , 0 ; ˆ

i i

0 , ,

1 , 0 ; ˆ

i i

ik k i i

0ˆˆˆ

, , ,



c b a

c b a b

a b a a

H

)(2

2

a a

i i a

Trang 8

V ik => V ik N k => V ik N k N i => 

k i

ik N N V

k i ik b

a b

V

, ,

1ˆˆ

k k i i ik i

i i

m k i m ik b k

i

k i k i

a a a V a a a a H

H

, ,

, , ,

, ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ

2

1ˆˆ)(

a b

( ) ˆ( ' )  ˆ( ' ) ( )  (  ' ) (6.25a)

0)()'()'()(q a  q a  q a  q a 

0 ) ( ˆ ) ' ( ˆ ) ' ( ˆ ) (

a a

q f

( ) (

Chương 3: Hamiltonian và phương trình Shrodinger cho một số hệ nhiều hạt

7- Phương trình Shrodinger cho hệ các electron và các ion trong tinh thể

7.1- Phương trình Shrodinger tổng quát cho hệ các electron và các ion

2

2 2

R r V M

R R

r R r V m R

1 ) , ( )]

, ( 2

[ ) , (

1

2 2 2

2 1

1 2

()]

()(2

2

R W R R

V R V

()]

(2

2

r r

r V m

Trang 9

I I

i I i

R r

e z R

J i

R r

e z R

,(

8.1- Phương trình Shrodinger cho electron trong trường hợp liên kết mạnh

a) b)

Hình 8.1 : Các mức năng lượng của electron

a) trong nguyên tử cô lập

b) trong tinh thể

Hình 8.2 : Hiện tượng chồng miền

8.2- Phương trình Shrodinger cho electron trong trường hợp liên kết yếu

i nj

j

j j nj j i ij j nj i

e

r

r r

d r r r V r r

)()

(),()()

()]

(2

2

i ni i i ni i ef

()]

(2

[

2

i ni i i ni i e ef

( ) (

2

r r

r V m

i

i ef

4s

3p

Trang 10

9- Dao động mạng tinh thể

9.1- Phương trình Shrodinger cho các dao động mạng tinh thể trong biểu diễn toạ độ

)()()

(

n

n n J J

,' ,

, 2

uu)u

/()2/

, 3

n n n n n

n n n n

n A A

Aˆn(ˆ)n  ˆn1  (ˆ)n1 ˆn1(ˆ)n ˆ

2 0 2

1 0

1 1

0

2

!)

ˆ(

A n

.)

0 x dx

4 / 1

10- Hamiltonian cho hệ các spin

10.1- Trường hợp hệ các electron linh động

V

N N g

M B  



N N





' ,

' ' ,

)(

n

n n n

J R A x x

V 

Trang 11

HH1H2 (10.3a) (10.3b)

(10.3c)

 

    N j i j j j ni j i ij j nj i ni i nj r d r r r V r r r H 1 , * 2 ( ) ( , ) ( ) ) ( ) ( 2 1             (10.3d) E  H  (10.4) ) (

) ( ) (

) (

) ( ) ( ) (

) ( ) ( ! 1 ) , ,

, ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 N p p p N p p p N p p p N q q q q q q q q q N q q q N N N              (10.5) ( ) ( j) ( j) 1 exp( j j) ( j) k j p i k r s V s r q j j           (10.6)          N N r N i N d q q q dq dq dq m q q q H E i) ( , , , ) , , ,

2 ( ) , ,

, ( 1 2 1 2 1 2 2 1 * 1      (10.7)     i S i i d r dq



(10.8a) d  ri dx i dy i dz i (10.8b)          F k k N j j d m k m k H E 2 2 2 2 2 1 2 2 1     (10.9)   

8 V3 d k k    d  k dk x dk y dk z  2 5 2 0 4 2 2 2 3 2 10 2 8   m k V dk k m V k d k m V E F k k ki d F F           (10.10)         2 3 0 2 3 3 3 4 4 4 1 2     F k k k Vk dk k V k d V N F F  (10.11) F F F d N m k N m k V E   5 3 10 3 10 2 2 2 5 2      ( Trong đó: m k F F 2 2 2    )

            2 3 0 2 3 3 6 4 8 8 1     F k k k k V dk k V k d V N F F  (10.14a)

       F k k F k V N 2 3 6 1  (10.14b) 2 3 2 3 2 3 3 6 6   F F F Vk Vk Vk N N N        3

3 3 2 2 F F F k k k    













N

j i j

j j i ij i j i

k i V

H

1 ,

2

(10.17)

j i j

i j

r r

e r

r





0

2 ,

4 ) , (











N

i

r i

m

H

1

2 1

2









i i

ef r V

Trang 12

i j N

j i j

ij i

V r d r V r k k i V

H

1 , 1

,

2

1)

(])(

[exp2

i j

k k

e k

t

k k V

e H E

' ,

2 0

2 2

k d k d V

)(8

x x

11)(

)4(

2 

me

R y  (10.26)

y F y

y F

d N k a R N k a R

0 2

5

3 )

( 5

3 [ )]

( 2

3 ) ( 5

3

0 3 / 2

1 2

5

3 / 1

a a a a k k V

e a

a m

k H

' , 2 , , ,' ,'0

2 , , ,

2

'

1 2

2

2 0

2

1 0

2 2 2

e R r

e m

H

i i

2 2 1

1 4

) , (

r r

e r r



Trang 13

z z

S s s

S s s S s s

S S

z z z

z z

z 1, 1 2, 2

),(

2 1

2 1 2

) 2 / 1 ( , ) 2 / 1 ( ,

) 2 / 1 ( )[

2 / 1 ( ) 0 , 0

] , ) 2 / 1 ( ,

) 2 / 1 ( , ) 2 / 1 ( ,

) 2 / 1 ( )[

2 / 1 ( ) 0 , 1

1,1

1

),(),(r1 r2 H r1 r2

2 )

12 s s J

j i ij spin J s s

,

, ,

y x

x y y

cˆ ,  , ( ) ˆ , 

i

i i

a  * ,

, , ( )ˆ

, , ,

,

* , , ,

j i

j i j y

j j

i i

j i

y

,

* , ,

'

)()

y

,

* , ,

'

~)()

i

i i i

j m i j m i

H

, ,

j x j

i

i i

j m i j m

i c c c c

, ,

, ˆ ˆ ˆ ˆ



11- Phương trình Shrodinger cho cặp Cooper

11.1- Trạng thái liên kết hai electron trong lý thuyết BCS

H 0 

Trang 14

' ' 'ˆ ˆ ˆ ˆ)

2/1()ˆˆˆˆ)2/(

k

k k k k k k

k k k k

k a a a a V a a a a H

' 'ˆ ˆ)

2/1(ˆˆ

k

k k k k

k k

k c c V c c H



   

    ( 0 ) ( 0 ) ˆ ( 0 ) ( ˆ ) ( 0 )

k k k k k

k k k

k v c u

 (  ˆ) (0))

)(

0 )

khi V

V

k k

D F k k F

; 0

'

' 0

E

V a

' ' 0

) (

d g V

) ( 1

0

)(

)

g   

C F

D C F F C

F

E

E g

E

d g

V

D F

) ( 1

0

C F

lk

D lk

g F



)/1



lk D 

lk C

k n n n

nˆ  ˆ  ˆ  ˆ 

Trang 15

' , ( x x i T x x

)]

( ) ' ( ˆ ) ( ˆ [ )

' , (

S

S x x T

i x x

i 



  ˆˆV× : Nn r d r

)( => ( ) lim ( , ')

' 0 ' G x x i

x n

r r t

)]

',()(lim[)

F

r

r t t H

i t

t E i

a e

a r r

t E i

a e

a r r e

T x x

p G p d x

,()2()'

p

r p i

V t



t p a

a p i

t a a p i

p p p

p p

/ ) ( ˆ ˆ '' ( /

ˆ ˆ ''

''

'' '' 0 ''

'' ''

a p i

t a a p i

p p p

p p

/ ) ( ˆ ˆ '' ( /

ˆ ˆ ''

''

'' '' 0 ''

'' ''

V t

t t x x i

x x T i x x G

H H

H H H

H

',)(ˆ)'(ˆ

',)'(ˆ)(ˆ)]

'(ˆ)(ˆ[)

',(

) 0 (

ˆˆ[

ˆˆ              

k

k k k k k n n

k k k k k

k a u v a a u v a a

a              

] ˆ ˆ [

'

0 ' ' ' '

k v a a k u

ˆˆ

k

n k k k k k

0 ' ' ' ˆ ] [

ˆ ) 0

(

ˆ

k

n k k k k

k

k k k k n k k k k n k k n n

k k

k a u v a a u v a a a a

a                   

0 0 0

0 ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

k n k k k k k k n n n

k k k k k

k v a a a a u v a a a a

0 0

ˆˆˆ

k k k k k k k k k

k a a a v a a a

) 0 ( ˆ ˆ ) 0 ( ˆ ˆ ˆ

ˆ

k k k k k k k k k

Trang 16

t t N e

V

i x x G

p

p p

t t p r r p i

',

',1

)',

) 0

,1ˆ

ˆ

p p

p p a

0,1

)

) 0

t N

t N e

V

i x G

p

p p

t p r p i

] / ) ( [ 0

0,1)(

z

z z

0 0

p p i

p

p p p

G

)(

),(

0 0 0

0 )

) , ( ˆ )

, ( ˆ )

,

k t k r k i k k

e t r u e

t r u k

k t

r u

)]

, ( ˆ [ 2

' ( ' [ ] ( [ ' 0

0 '

,

0 0

0

ˆˆ)'()('

'2

k k t k r i t k r i k k k

k

e e

b b e

e b b k k kk

ˆ ˆ ˆ ˆ [ ( ) 2 /

k k

k k k k k

N k b

b b b k

k

N k

1)(

k t k r k i k k

V x

0

)()

()(2

)

k

e t e

t k V

i x

( [

dt k

Trang 17

k k

D

)(

1)

(

12

)(),(

0 0

0 )

( ) ( )

1 3

3 2 2 1 1

* ) 0 (

)]

, ( ) , ( )

, ( ) , ( ) , (

H T A q t B q t C q t X q t Y q t 

) , ( ˆ ) , (q n t  q n t n

)]

( ) ' ( ˆ ) ( [ )

' , (

S

S x x T i x x

( ) / 1 ( ) ( ) / ( 1 )

1

dt t V dt t V dt

t V i S

2 2 1

n

t n

dt t V dt t V dt t V i

m p

)/()',

) 1 (

x x x x x T dx S

g x

x

0 )]

( [

)]

( [ )]

( ) ( ˆ [ )]

' ( ˆ ) (

) / ( ) ' ,

2 )

2

(

x x x x

x x x x T dx dx S

g i x

G( , ')  [( )ˆ( ') ()] (12.1c)

=> Hàm Green G(x,x') có thể biểu thị qua các hàm Green của hệ các hạt không tương tác G(0)(x,x')

13- Phương pháp hàm Green lượng tử ở nhiệt độ T  0K Khụng học vỡ trong mụn Phương phỏp hàm

Green cú một chương vờ hàm Green nhiệt độ T  0K

14- Giản đồ Feynman

14.1- Giản đồ Feynman trong trường hợp T=0K

14.1.1- Những quy tắc chủ yếu của kỹ thuật giản đồ

)]

( ) ' ( ˆ ) ( [ )

' , (

S

S x x T i x x

(2

1)

()/(1),(

2 2 1

n

dt t V dt

t V dt t V n

n n

Trang 18

 

 ˆ( 1) ˆ( 2) ( 1 2) ˆ ( 2) ˆ ( 1) 1 22

2

1)

2

1

2 1 1

2 2

1 2

4 1 4 )

1

(

x x x

x x

x T x d x d S

n

n n

n

t V t V x x T dt dt n

),(

!

)(

n

m

k m m

n

t V t V x x T dt dt m

n A n

b)

x 1 x 2 x

Trang 19

!)

,(

m n m

n m

n A

!

)(

n n

m

k m m

m

([

!(

)(

1

m m

n

m n

t V t

V T dt dt

m n

!

)(

m

k m m

m

k

k m m

k

t V t

V T dt dt

0

1

1 dt T V t V t S dt

k

i

k

k m m

k k

m

k m m

m

S x x T t

V t V x x T dt dt m

x x T i x x

3 2

2 1

G x d x d x d

x

b)   4 1 4 2 4 3 4 4 (0)(  1) (0)( 1 2) (0) ( 2 3) (0) ( 2 4) (0)( 4 ' ) ( 1 2) ( 3 4)

4 4

4 3

2 1

G x d x d x d

x

c)  4 1 4 2 4 3 4 4 (0)(  1) (0) ( 1 2) (0) ( 2  3) (0)( 3  ' ) (0) ( 0 ) ( 1 4) ( 2  3)

4 4 3

3 3 2

1

1 x x G x x G x x G x x G V x x V x x G

x d x d x

Trang 20

d)  4 1 4 2 4 3 4 4 (0)(  1) (0) ( 1  2) (0) ( 2  3) (0)( 3  ' ) (0) ( 0 ) ( 1  2) ( 3  4)

4 4 3

3 3 2

1

G x d x d x

3 3

2 1

1 x x G x x G x x G x x G x x V x x V x x G

x d x d x

3 3

2 1

1 x x G x x G x x G x x G V x x V x x G

x d x d x d

x

g) 4 1 4 2 4 3 4 4 (0)(  1) (0) ( 1  2) (0) ( 2  3) (0)( 3  ' ) (0) ( 0 ) ( 1  3) ( 2  4)

4 4 3

3 3 2

1

G x d x d x

4 3

3 2

1

1 x x G x x G x x G x x G x x V x x V x x G

x d x d x d

x

i)   4 1 4 2 4 3 4 4 (0)(  1) (0) ( 1 2) (0) ( 2 3) (0) ( 3 4) (0)( 4 ' ) ( 1 3) ( 2 4)

4 4

4 3

3 2

G x d x d x

2 2

1

G x d x d x

4 2 3 1 2

3 2 4 1 2

4 3 2 1 )

0 ( 2

1) ˆ ( ) ( , ) ˆ ( ) ˆ ( ) (

4 3 2 1 2

2 3 1 4

2 1

4 3 2 1 )

0 ( 4

4 1 4 )

1

(

3 4

2 1

4 3 2

x d x d

2 3 ) 0 ( 1 )

0 ( 4 3 2 1 )

0 ( 4

4 1

4

4 3 2

1 x x x x G x x G x x G x x x

d x d

),( 1 2 3 4

a) 4 8 (0) ( 1 2, 3 4) (0) ( 5 6, 7 8)

1 4

8 7 6 5 4

3 2 1

2 4 ) 0 ( 7

) 0 ( 5 3 ) 0 ( 1 )

0 ( x x G x x G x x G x x G x x

1 4

8 7 6 5 4

3 2 1

 d x d x    x x x x     x x x x

2 7 ) 0 ( 5 4 ) 0 ( 3

) 0 ( 1 )

0 ( x x G x x G x x G x x G x x

Hình14.5

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	631,99 KB