Lý thuyết hệ nhiều hạt
Trang 2NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169
Lí THUYẾT HỆ NHIỀU HẠT Chương 1: Tớnh chất chung của hệ nhiều hạt
0- Khỏi niệm về hệ nhiều hạt
0.1- Nhiều : N 2 : Vấn đề kỹ thuật : số biến ; tương tỏc ; thay đổi về chất
0.2- Nhiều (N >>1) : khụng làm thay đổi chất
0.3- Nhiều (N >> 1) : làm thay đổi chất
0.4- Hệ nhiều hạt ở T=0K
0.5- Hệ kớn
0.6- Hệ ở T 0K
Quan hệ giữa Cơ học và Vật lý thống kờ (bao gồm cả cổ điển và lượng tử)
1- Hệ hạt đồng nhất:
1.1- Nguyờn lý khụng phõn biệt cỏc hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử
1.2- Hàm súng của hệ cỏc hạt đồng nhất
1.2.1- Tớnh đối xứng của hàm súng
Pˆ ij (q1, , qi , , qj , , qN) = (q1, , qj , , qi , , qN) (1.1)
+ (q1, , qi , , qj , , qN) = + (q1, , qj , , qi , , qN) (1.2)
- (q1, , qi , , qj , , qN) = - - (q1, , qj , , qi , , qN) (1.3)
1.2.2- Đặc điểm của tính đối xứng của hàm sóng
1.2.2.1- Tính đối xứng là như nhau đối với tất cả các cặp biến :
1.2.2.2- Tính đối xứng của hàm sóng phụ thuộc vào spin :
Spin nguyên (0 ; 1 ; 2 ; )
Spin bán nguyên (1/2 ; 3/2 ; 5/2 ; )
1.2.2.3- Tính đối xứng của hàm sóng là vĩnh cửu : 1.2.3- Dạng của hàm sóng của hệ hạt đồng nhất không tương tác p(q i) ni(r i) (s i) i ; q i (ri,s i) ; p i(ni,) (1.4) k i i k i ni nk p p S i i nk i i ni i i i p i p q q dq d r r s r s , * * * ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (1.5) i i i i dx dy dz r d ) ( 2 1 2 1, , , ) ( ) ( ) ( )
( 2 1 q N p p p N c q q q q q q N (1.6a)
) (
) ( ) (
) (
) ( ) ( ) (
) ( ) ( ! 1 ) , ,
, ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 N p p p N p p p N p p p N q q q q q q q q q N q q q N N N (1.7a) Định thức Slater chứa đựng Nguyên lý loại trừ Pauli 2- Các đại lượng bảo toàn của hệ nhiều hạt 2.1-Hamiltonian của hệ nhiều hạt ) , ,
, ( ) / ( ) 2 / ( 1 2 1 2 N N i i i m V r r r H (2.1a) ) , , ( sin 1 sin sin 1 1 ) 2 / ( 2 2 2 2 2 2 1 2 2 r V r r r r r r H i i i i i i i i i i N i i (2.1b) ( r( ,r r , , r ) ; ( , , , ) ; ( , , , ))
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Trang 32.2- Bảo toàn động lượng của hệ nhiều hạt
i P
k k z
)ˆˆ
(1ˆ
z ext z z
H t e F e
)()]
/[exp(iHt S t
i(t)[exp(iH0t/)]S(t) (3.7)
)()(ˆ)(
t t V t
S t iH
i t e V e
')'()'(ˆ)/()()(
0
0 i V t t dt t
t
t i i
(3.11)
) ( ) , ( )
1
0 0
0
dt t V dt t V dt
t V i t
t
S
t
t i t
t i t
) ( ˆ ) ( ˆ ) / (
1
0 1
0 0
2 2 1
t n i t
t i t
t i n
dt t V dt t V dt t V i
0
0 T i V t dt t
t S
t
t i
0 1 2 0
2 0
1 1
( ) ( )
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Trang 4t S t F t S t
*
)]
()
''(ˆ)'(ˆ)(ˆ[)(ˆ
H i
i i
H S T A t B t C t S
0 0
)]
()
''(ˆ)'(ˆ)(ˆ[
H H
H i
i i H
S
S t C t B t A T M
Chương 2 : Một số phương phỏp giải bài toỏn hệ nhiều hạt
4- Phương pháp tách chuyển động khối tâm của hệ :
4.1- Đặc điểm của thế tương tác:
) , , , ( ) / ( ) 2 /
1
2
N N
,(), ,,(r1 r2 r N V r1 r2 r1 r3 r N 1 r N
1(m x :m ) x
; 2(m1x1 m2x2):(m1m2)x3 ;
1 1
i i i
1 1
i
i i
r m
1 , 1
2 2
2 ,
i i i i r
z y
2 2
2 ,
i i
1
1
) ( ) (
2 2
N i
i i r
r r r
2 2
N i
i i
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Trang 5V'( , , , , , 1 1 1 2 2 2, ,Na x,Na y,Na z) V' (1,1,1,2,2,2 , ,N,N,N),
KÕt qu¶ lµ '( , , , ) ( /2) ( / ) '( , , , )
1 2
1 1
,
2 2
2
N N N
N N
1 1
1 ,
( ] / [
2
N N
2/1()(
, 1
j i j i j N
2
i i i i i
m r
2)('
2
i ef i i i i i
m r
r r
r
i
1 2
()]
()
(2
[
2
i p i i p i ef i
i i i
r r
r V r u
dq dq
i i
r d
H q
j i j N
i
i i k
p i k
i
, 1
( ) ( ]
) , ( )
2 / 1 ( ) ( [
, 1
E r r V r
H
k i
k p i p j
i j i j N
i j i j N
i
i i i
k i p k
*
0]
),()2/1()([()
,
* 1
i j i ij N
i
i i k
i
i p k
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Trang 6,
'
j i j i
ij i
p k
i
i i i
k i
p k
j k i
j i ij i
k i
p i
k i ik i
k i p k
V
i
i( [ ( , ] ( ))
(5.14)
)()]
([
]([
*
k p k k k
i
i i
i i i
k i
([
]()
2/1[(
i i j
i ij i
k i
(
*
k p k
i i i
k i
()]
()([H k rk V ef rk p k q k kp k q k
1),
2 1
2
1 q q q q q
2 1 1 2 2
1 12
2 1 1
* 2
* 2
)]
()()(
)
(
[
2 1
2 1 2
1 2
1 q q q q H H V E q q q q dq dq
0)]
()()()([(
)]
()()(
)
(
2 1 2
1 2
1 2
(
)
(
2 1
2
1 q q H H V E q q dq dq
2 1 2 1 12
2 1 2
*
1
*
)()()(
()
(
2 1 2
(
)
(
2 1 2
*
1
*
)()()(
)
(
2 1
*
)()()()(
2 1 2
(
)
(
2 1
()
( ) ( ) (
( ) ( 1 * 2 1 2 2 1 1 2
*
2 1
2
0)
()()(
)()
*
2 1
2
0)
()()(
()
*
2 1
2
q q H H E q q dq dq
0)
()()(
)()
*
2 1
2 1 2
*
1
*
)()()(
(
)
(
2 1 2
2 1 2
vµ 1 *( 1){[ *( 2 ( 1 2 12 ) ( 2) 2] ( 1)
1 2
2
1 q q H H V E q dq q
2 1
2 2
1 12 2
* 1
)(
)()
(),()()
(
1 2
2 2
q
q dq
q r r V q r
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Trang 7()]
(
2
2 q q r
1 1 2 1 12 1
*
)(
)()
(),()()
(
2 1
q r r V q r
i j
j
j j p j i ij j p i
q
q dq
q r
r V q r
V
i j
j
)(
)()
(),()()
2 1
2
(
2 1
q
N p p
p
q q
i
N i
1 , ,
0 , 0 ; ˆ
i i
0 , ,
1 , 0 ; ˆ
i i
ik k i i
0ˆˆˆ
, , ,
c b a
c b a b
a b a a
H
)(2
2
a a
i i a
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Trang 8V ik => V ik N k => V ik N k N i =>
k i
k i
ik N N V
k i ik b
a b
V
, ,
1ˆˆ
k k i i ik i
i i
m k i m ik b k
i
k i k i
a a a V a a a a H
H
, ,
, , ,
, ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ
2
1ˆˆ)(
a b
( ) ˆ( ' ) ˆ( ' ) ( ) ( ' ) (6.25a)
0)()'()'()(q a q a q a q a
0 ) ( ˆ ) ' ( ˆ ) ' ( ˆ ) (
a a
q f
( ) (
Chương 3: Hamiltonian và phương trình Shrodinger cho một số hệ nhiều hạt
7- Phương trình Shrodinger cho hệ các electron và các ion trong tinh thể
7.1- Phương trình Shrodinger tổng quát cho hệ các electron và các ion
2
2 2
R r V M
R R
r R r V m R
1 ) , ( )]
, ( 2
[ ) , (
1
2 2 2
2 1
1 2
()]
()(2
2
R W R R
V R V
()]
(2
2
r r
r V m
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Trang 9I I
i I i
R r
e z R
J i
R r
e z R
,(
8.1- Phương trình Shrodinger cho electron trong trường hợp liên kết mạnh
a) b)
Hình 8.1 : Các mức năng lượng của electron
a) trong nguyên tử cô lập
b) trong tinh thể
Hình 8.2 : Hiện tượng chồng miền
8.2- Phương trình Shrodinger cho electron trong trường hợp liên kết yếu
i nj
j
j j nj j i ij j nj i
e
r
r r
d r r r V r r
)()
(),()()
()]
(2
2
i ni i i ni i ef
()]
(2
[
2
i ni i i ni i e ef
( ) (
2
r r
r V m
i
i ef
4s
3p
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Trang 109- Dao động mạng tinh thể
9.1- Phương trình Shrodinger cho các dao động mạng tinh thể trong biểu diễn toạ độ
)()()
(
n
n n J J
,' ,
, 2
uu)u
/()2/
, 3
n n n n n
n n n n
n A A
Aˆn(ˆ)n ˆn1 (ˆ)n1 ˆn1(ˆ)n ˆ
2 0 2
1 0
1 1
0
2
!)
ˆ(
A n
.)
0 x dx
4 / 1
10- Hamiltonian cho hệ các spin
10.1- Trường hợp hệ các electron linh động
V
N N g
M B
N N
' ,
' ' ,
)(
n
n n n
J R A x x
V
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Trang 11HH1H2 (10.3a) (10.3b)
(10.3c)
N j i j j j ni j i ij j nj i ni i nj r d r r r V r r r H 1 , * 2 ( ) ( , ) ( ) ) ( ) ( 2 1 (10.3d) E H (10.4) ) (
) ( ) (
) (
) ( ) ( ) (
) ( ) ( ! 1 ) , ,
, ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 N p p p N p p p N p p p N q q q q q q q q q N q q q N N N (10.5) ( ) ( j) ( j) 1 exp( j j) ( j) k j p i k r s V s r q j j (10.6) N N r N i N d q q q dq dq dq m q q q H E i) ( , , , ) , , ,
2 ( ) , ,
, ( 1 2 1 2 1 2 2 1 * 1 (10.7) i S i i d r dq
(10.8a) d ri dx i dy i dz i (10.8b) F k k N j j d m k m k H E 2 2 2 2 2 1 2 2 1 (10.9)
8 V3 d k k d k dk x dk y dk z 2 5 2 0 4 2 2 2 3 2 10 2 8 m k V dk k m V k d k m V E F k k ki d F F (10.10) 2 3 0 2 3 3 3 4 4 4 1 2 F k k k Vk dk k V k d V N F F (10.11) F F F d N m k N m k V E 5 3 10 3 10 2 2 2 5 2 ( Trong đó: m k F F 2 2 2 )
2 3 0 2 3 3 6 4 8 8 1 F k k k k V dk k V k d V N F F (10.14a)
F k k F k V N 2 3 6 1 (10.14b) 2 3 2 3 2 3 3 6 6 F F F Vk Vk Vk N N N 3
3 3 2 2 F F F k k k
N
j i j
j j i ij i j i
k i V
H
1 ,
2
(10.17)
j i j
i j
r r
e r
r
0
2 ,
4 ) , (
N
i
r i
m
H
1
2 1
2
i i
ef r V
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Trang 12i j N
j i j
ij i
V r d r V r k k i V
H
1 , 1
,
2
1)
(])(
[exp2
i j
i j
k k
e k
t
k k V
e H E
' ,
2 0
2 2
k d k d V
)(8
x x
11)(
)4(
2
me
R y (10.26)
y F y
y F
d N k a R N k a R
0 2
5
3 )
( 5
3 [ )]
( 2
3 ) ( 5
3
0 3 / 2
1 2
5
3 / 1
a a a a k k V
e a
a m
k H
' , 2 , , ,' ,'0
2 , , ,
2
'
1 2
2
2 0
2
1 0
2 2 2
e R r
e m
H
i i
2 2 1
1 4
) , (
r r
e r r
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Trang 13z z
S s s
S s s S s s
S S
z z z
z z
z 1, 1 2, 2
),(
2 1
2 1 2
) 2 / 1 ( , ) 2 / 1 ( ,
) 2 / 1 ( )[
2 / 1 ( ) 0 , 0
] , ) 2 / 1 ( ,
) 2 / 1 ( , ) 2 / 1 ( ,
) 2 / 1 ( )[
2 / 1 ( ) 0 , 1
1,1
1
),(),(r1 r2 H r1 r2
2 )
12 s s J
j i ij spin J s s
,
, ,
y x
x y y
cˆ , , ( ) ˆ ,
i
i i
a * ,
, , ( )ˆ
, , ,
,
* , , ,
j i
j i j y
j j
i i
j i
y
,
* , ,
'
)()
y
,
* , ,
'
~)()
i
i i i
j m i j m i
H
, ,
j x j
i
i i
j m i j m
i c c c c
, ,
, ˆ ˆ ˆ ˆ
11- Phương trình Shrodinger cho cặp Cooper
11.1- Trạng thái liên kết hai electron trong lý thuyết BCS
H 0
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Trang 14
' ' 'ˆ ˆ ˆ ˆ)
2/1()ˆˆˆˆ)2/(
k
k k k k k k
k k k k
k a a a a V a a a a H
' 'ˆ ˆ)
2/1(ˆˆ
k
k k k k
k k
k c c V c c H
( 0 ) ( 0 ) ˆ ( 0 ) ( ˆ ) ( 0 )
k k k k k
k k k
k v c u
( ˆ) (0))
)(
0 )
khi V
V
k k
D F k k F
; 0
'
' 0
E
V a
' ' 0
) (
d g V
) ( 1
0
)(
)
g
C F
D C F F C
F
E
E g
E
d g
V
D F
) ( 1
0
C F
lk
D lk
g F
)/1
lk D
lk C
k n n n
nˆ ˆ ˆ ˆ
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Trang 15' , ( x x i T x x
)]
( ) ' ( ˆ ) ( ˆ [ )
' , (
S
S x x T
i x x
i
ˆˆV× : Nn r d r
)( => ( ) lim ( , ')
' 0 ' G x x i
x n
r r t
)]
',()(lim[)
F
r
r t t H
i t
t E i
a e
a r r
t E i
a e
a r r e
T x x
p G p d x
,()2()'
p
r p i
V t
t p a
a p i
t a a p i
p p p
p p
/ ) ( ˆ ˆ '' ( /
ˆ ˆ ''
''
'' '' 0 ''
'' ''
a p i
t a a p i
p p p
p p
/ ) ( ˆ ˆ '' ( /
ˆ ˆ ''
''
'' '' 0 ''
'' ''
V t
t t x x i
x x T i x x G
H H
H H H
H
',)(ˆ)'(ˆ
',)'(ˆ)(ˆ)]
'(ˆ)(ˆ[)
',(
) 0 (
ˆˆ[
ˆˆ
k
k k k k k n n
k k k k k
k a u v a a u v a a
a
] ˆ ˆ [
'
'
0 ' ' ' '
k v a a k u
ˆˆ
k
n k k k k k
0 ' ' ' ˆ ] [
ˆ ) 0
(
ˆ
k
n k k k k
k
k k k k n k k k k n k k n n
k k
k a u v a a u v a a a a
a
0 0 0
0 ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
k n k k k k k k n n n
k k k k k
k v a a a a u v a a a a
0 0
ˆˆˆ
k k k k k k k k k
k a a a v a a a
) 0 ( ˆ ˆ ) 0 ( ˆ ˆ ˆ
ˆ
k k k k k k k k k
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Trang 16t t N e
V
i x x G
p
p p
t t p r r p i
',
',1
)',
) 0
,1ˆ
ˆ
p p
p p a
0,1
)
) 0
t N
t N e
V
i x G
p
p p
t p r p i
] / ) ( [ 0
0,1)(
z
z z
0 0
p p i
p
p p p
G
)(
)(
)(
)(
),(
0 0 0
0 )
) , ( ˆ )
, ( ˆ )
,
k t k r k i k k
e t r u e
t r u k
k t
r u
)]
, ( ˆ [ 2
' ( ' [ ] ( [ ' 0
0 '
,
0 0
0
ˆˆ)'()('
'2
k k t k r i t k r i k k k
k
e e
b b e
e b b k k kk
ˆ ˆ ˆ ˆ [ ( ) 2 /
k k
k k k k k
N k b
b b b k
k
N k
1)(
k t k r k i k k
V x
0
)()
()(2
)
k
e t e
t k V
i x
( [
dt k
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Trang 17k k
D
)(
1)
(
12
)(),(
0 0
0 )
( ) ( )
1 3
3 2 2 1 1
* ) 0 (
)]
, ( ) , ( )
, ( ) , ( ) , (
H T A q t B q t C q t X q t Y q t
) , ( ˆ ) , (q n t q n t n
)]
( ) ' ( ˆ ) ( [ )
' , (
S
S x x T i x x
( ) / 1 ( ) ( ) / ( 1 )
1
dt t V dt t V dt
t V i S
2 2 1
n
t n
dt t V dt t V dt t V i
m p
)/()',
) 1 (
x x x x x T dx S
g x
x
0 )]
( [
)]
( [ )]
( ) ( ˆ [ )]
' ( ˆ ) (
) / ( ) ' ,
2 )
2
(
x x x x
x x x x T dx dx S
g i x
G( , ') [( )ˆ( ') ()] (12.1c)
=> Hàm Green G(x,x') có thể biểu thị qua các hàm Green của hệ các hạt không tương tác G(0)(x,x')
13- Phương pháp hàm Green lượng tử ở nhiệt độ T 0K Khụng học vỡ trong mụn Phương phỏp hàm
Green cú một chương vờ hàm Green nhiệt độ T 0K
14- Giản đồ Feynman
14.1- Giản đồ Feynman trong trường hợp T=0K
14.1.1- Những quy tắc chủ yếu của kỹ thuật giản đồ
)]
( ) ' ( ˆ ) ( [ )
' , (
S
S x x T i x x
(2
1)
()/(1),(
2 2 1
n
dt t V dt
t V dt t V n
n n
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Trang 18
ˆ( 1) ˆ( 2) ( 1 2) ˆ ( 2) ˆ ( 1) 1 22
2
1)
2
1
2 1 1
2 2
1 2
4 1 4 )
1
(
x x x
x x
x x
x T x d x d S
n
n n
n
n
t V t V x x T dt dt n
),(
!
)(
n
n
m
k m m
n
n
t V t V x x T dt dt m
n A n
b)
x 1 x 2 x
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Trang 19!)
,(
m n m
n m
n A
!
)(
n n
m
k m m
m
m
t V t V x x T dt dt m
([
!(
)(
1
m m
n
m n
t V t
V T dt dt
m n
!
)(
m
k m m
m
m
t V t V x x T dt dt m
k
k m m
k m m
k
k
t V t
V T dt dt
0
1
1 dt T V t V t S dt
k
i
k
k m m
k m m
k k
m
k m m
m
m
S x x T t
V t V x x T dt dt m
x x T i x x
3 2
2 1
G x d x d x d
x
b) 4 1 4 2 4 3 4 4 (0)( 1) (0)( 1 2) (0) ( 2 3) (0) ( 2 4) (0)( 4 ' ) ( 1 2) ( 3 4)
4 4
4 3
2 1
G x d x d x d
x
c) 4 1 4 2 4 3 4 4 (0)( 1) (0) ( 1 2) (0) ( 2 3) (0)( 3 ' ) (0) ( 0 ) ( 1 4) ( 2 3)
4 4 3
3 3 2
1
1 x x G x x G x x G x x G V x x V x x G
x d x d x
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Trang 20d) 4 1 4 2 4 3 4 4 (0)( 1) (0) ( 1 2) (0) ( 2 3) (0)( 3 ' ) (0) ( 0 ) ( 1 2) ( 3 4)
4 4 3
3 3 2
1
G x d x d x
3 3
2 1
1 x x G x x G x x G x x G x x V x x V x x G
x d x d x
3 3
2 1
1 x x G x x G x x G x x G V x x V x x G
x d x d x d
x
g) 4 1 4 2 4 3 4 4 (0)( 1) (0) ( 1 2) (0) ( 2 3) (0)( 3 ' ) (0) ( 0 ) ( 1 3) ( 2 4)
4 4 3
3 3 2
1
G x d x d x
4 3
3 2
1
1 x x G x x G x x G x x G x x V x x V x x G
x d x d x d
x
i) 4 1 4 2 4 3 4 4 (0)( 1) (0) ( 1 2) (0) ( 2 3) (0) ( 3 4) (0)( 4 ' ) ( 1 3) ( 2 4)
4 4
4 3
3 2
G x d x d x
2 2
1
G x d x d x
4 2 3 1 2
3 2 4 1 2
4 3 2 1 )
0 ( 2
1) ˆ ( ) ( , ) ˆ ( ) ˆ ( ) (
4 3 2 1 2
2 3 1 4
2 1
4 3 2 1 )
0 ( 4
4 1 4 )
1
(
3 4
2 1
4 3 2
x d x d
2 3 ) 0 ( 1 )
0 ( 4 3 2 1 )
0 ( 4
4 1
4
4 3 2
1 x x x x G x x G x x G x x x
d x d
),( 1 2 3 4
a) 4 8 (0) ( 1 2, 3 4) (0) ( 5 6, 7 8)
1 4
8 7 6 5 4
3 2 1
2 4 ) 0 ( 7
) 0 ( 5 3 ) 0 ( 1 )
0 ( x x G x x G x x G x x G x x
1 4
8 7 6 5 4
3 2 1
d x d x x x x x x x x x
2 7 ) 0 ( 5 4 ) 0 ( 3
) 0 ( 1 )
0 ( x x G x x G x x G x x G x x
Hình14.5
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
