Bai tap ve can thuc co dap an

Bài 1: Cho biÓu thøc A       x    x  x  x  :  x   x   x   x  23 x 8 x ( x 8; x   8; x 0) Chøng minh A kh«ng phơ thc biÕn sè Híng dÉn Cho biĨu thøc A 8 x 23 x  x   23 x  x  :2  x    x   x   x  23 x  ( x 8; x   8; x 0) Chøng minh A kh«ng phơ thc biÕn sè A A (2  (2  A 2  x )(4  23 x  x )   23 x  x   x  23 x  23 :     23 x 23 x x     x  23 x  23 x x )(4  23 x  x ) 23 x   3  23 x x 42 x  x  x  (3 x  2)(3 x  2)  x (3 x  2)   (3 x  2)(3 x  2)   x (3 x  2)  x  x 2  x Bài : Cho biÓu thøc  1  A    y    x x  y x3  y x  x y  1    : x y  1) Rót gän A y3 xy  x y 2) T×m x ; y biÕt xy  ; A 5 36 Hướng dẫn:  A   1) A 2) A 5   x xy x y xy x  y 5 xy  theo Viet đảo x; y y  x y  xy   : xy  xy  x  y   x x y  y  x  y   theo GT x  y x  xy  y  xy ( x  y) xy  x  y  x y xy xy  nghiệm dương phương trình bậc 1 t  t  0  6t  5t  0  1  t1  ; t  6  1  1  x; y   ; ;  ;      : Cho biÓu thøc   x  x  x    x3  x  x     x  x  26 x  78  A  Bài :      :   2 x  x ( x  6)  ( x  6)       3( x  x  x  12)   Rót gän biểu thức A Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên Híng dÉn §KX§ : x -26;x -6;x -3;x 1;x 2; 3 A   2  x6  x  x  1  x3  4x  x    .   x2 1    x ( x  6)  ( x  6)    x  x  26 x  78   :   3( x  x  x  12)    x    ( x  4)( x  1)    ( x  3)( x  26)  .   :   A       x    ( x  6)( x  1)    3( x  2)( x  6)  x  18  x  3( x  2)( x  6)  x   3( x  2)( x  6) A     2( x  6) ( x  3)( x  26)  x   ( x  3)( x  26) 3x  18  x  3( x  2)( x  6) x  26 3( x  2)( x  6) 3( x  2) A   2( x  6) ( x  3)( x  26) 2( x  6) ( x  3)( x  26) 2( x  3) 3( x  2) A  2( x 3) Vì A Z nên 2A  Z XÐt A  3( x  2)  3( x  3)  15 3  15  Z  x   U (15) x+3 X 2A A -15 -18 VËy x    Bài : Cho biÓu Với x 3 x 3 -5 -8 -3 -6 x 3 18; 8; ; 4; 2;0;12 -1 -4 -2 18 -12 -6 ( loại) A nguyên -2 -1 2(loại) 0 15 12  x  y x2  y  y   4x4  4x2 y  y  A  thøc  y  x  y  xy  x  : x  y  xy  x   x  0; y  0; x  y; y 2  x 2 Cho y=1 tìm x để Rót gän biÓu thøc A A Hướng dẫn :  x y x2  y  y   4x4  4x y  y  : A   y  xy  x  x  y  xy  x  2y  x  x y x2  y2  y   ( x  y )( x  1)  A   2  y  x ( x  y )(2 y  x )  (2 x  y  2)(2 x  y  2) 2x2  y  ( x  y )( x  1) x 1 A  2 ( x  y )(2 y  x) (2 x  y  2)(2 x  y  2) (2 y  x)(2 x  y  2) với y= ta có A x 1   x  x  11x  0   x 2x     ( x  1)(4 x  x  7) 0  x 1  a b a b  a2  b2  , a, b   Bµi : Cho biĨu thøc : P  a  b2  a  b  a  b  a b  a  b 1) Rót gän P=? 2) BiÕt a-b=1 t×m GTNN a) P= a  b2 b b) Vì a-b=1 => a=1+b => P=  GTNN P = 2 +2  2b = (b  1)  b = 2b  2b  = 2b+ b b b  b= vµ a= +1 b 2 +2  2 +2  a b a  b   a  b  2ab     : 1 Bài : Cho biểu thức D =   với a > , b > , ab 1    ab   ab  ab   a) Rút gọn D b) Tính giá trị D với a = 2  a b a  b   a  b  2ab     : 1 Rút gọn D : Biểu thức D =      ab   ab  ab   Với ĐK : a > , b > , ab 1 Biểu thức D có nghĩa D     a  b  ab   a b 1 ab  ab a  2b a  ab  a  b a   b    a    b   :  :  ab  ab  ab  ab a 1 b  ab a    ab 1 a 1 b 1 a b) a =  ab  :  ab  a  b  2ab 2 => D   =  3     1  1 52 2 1  52     1 52  2 5 13  6   3 2 3  13 13  >0) Bµi : Cho biÓu thøc A=   a 1 :     a    a          a  (a  1)( a  1) a) Tìm điều kiện a để A có nghĩa c) với giá trị a A có giá trị nguyên Giải : Ta có: A = A= A=   a 1 :     a    a          a  ( a  1)( a  1)    a  a  a 1  a 1 :    (a  1)( a  1) 1 a     ( a  1)  :    a  (a  1)( a  1) a) BiĨu thøc A cã nghÜa khi: b) Víi ®iỊu kiƯn (*), ta cã: A= b) Rót gän biĨu thøc A  a 0 1  a 0  a    a  0   a 0   a 1   ( a  1)   (a  1)( a  1) A==1- a 1   :  1 a a   a 1 A= (*) a ) ( a  1) (1  ( a  1)( a  1) c) Ta có: Biểu thức A có giá trị nguyên khi: (a  1) hay a+1 = {1;-1;2;-2} => a = {0;-2;1;-3} Kết hợp với điều kiện (*) => a = Bµi 7: Cho biĨu thøc: a) b) c) P= x x x x Rót gọn biểu thức P Tính giá trị P với x = 14 - T×m GTNN cđa P  2( x 3) x Giải Điều kiện để giá trị biểu thức P xác định : x0; x a) Rót gän: P= x x ( x  1)( x  3)  2( x  3) x 1  x 3 x  x 3 3 x  a a 1 (Vì = = = x x   2( x  3)  ( x  3)( x  1) ( x  3)( x  1) x x   x  12 x  18  x  x  x ( x  3)( x  1) x x  x  x  24 x ( x  8)  3( x  8) = ( x  3)( x  1) ( x  3)( x  1) b) x = 14 - = ( )2 - 2.3 x 8 x 1 = + = ( - 3)2  x =3- Khi ®ã P = 14   = 22  = 58  3 11 1 VËy víi x = 14 - 4 58  5 th× P = 11 c) x 8 x  1 9   x  1  x 1  2  4 x 1 x 1 x x ( áp dụng BĐT CôSi cho sè d¬ng x  1; ) x 1 DÊu"=" x¶y  x    x = (tháa m·n ®iỊu kiƯn) x 1 P= Vậy minP = 4, đạt đợc x = Bµi : Cho A= x    x 3 x  x  2 x a) Rút gọn A b) Tìm x để A có giá trị nguyên a) đk x 0; x 4 A= b) A= x  1   x 2    x   5 x 3   x x 3   x (2đ) x 2 nguyên ( x -2)  x = 0; 1; 9; 16 (2®) x x Bµi : Cho biĨu thøc sau: P x2  x x  x 2 x  1   x  x 1 x x1 Rút gọn P Tìm giá trị nhỏ P Tìm x để biểu thức Q x nhận giá trị số nguyên P §iỊu kiƯn:  x 1 P x P x      2 x  x  x 1 x  x 1   x 1   x 1 x 1 2 1  1 3  P  x  x     x     4  2 4 với x thoả mÃn điều kiện xác ®Þnh 1  P   x  0  x  4 x x 2 Q    P M x  x 1 x 1 x Víi  x 1  x    M    Q  x  Q 1  x x x 1 1 Q nguyên 7 ;x  2 3 th× Q  Z x x  x  0  x  KÕt ln: víi Bµi 10 : Cho biĨu thøc  x y x y   :   x  y  xy  A     xy  xy   xy    a, Rót gän A b, Tính giá trị A x c, Tìm giá trị lớn A Giải :a, Điều kiện để A có nghĩa x 0; y 0; xy 1  x y x  y   x  y  xy   A   : 1    xy    xy   xy   x  y  xy  x  y  xy  x  y  xy  :  xy  xy Ta cã :     x x y    yy x x x y  xy  y  y x  x  y  xy :  xy x 1  y  x x  2y x  xy   1  x .1  y  1  x 1  y   x  xy x thoả mÃn điều kiện x b, Ta cã : x    2 2 4    2 2     Thay x vµo A ta cã: A  2 3 31   1     25 6 5       c, Víi mäi x 0 ta cã         x1  x x Vậy giá trị lớn cđa P = Bài 11: Cho biĨu thøc: A= ( x   x x1 x 1  A 1 1 x x  0  x 1 x ):  x  x 1  x Víi x>0 vµ x 1 a) Rót gän biĨu thøc A b) Chøng minh r»ng: 0< A < a  A     : x   x2 x   x  x  x 1 x  x 1    0 ( v× x+1>0)  x2 x A     x  x  x 1   3 1 3 1  25  12 13  x  x  0 x  1 1 x   52 5 52 x1 x    x1 A x2 x   A   x x  x 1  x1    x1 2  x  x1  x 1  x  x 1 x 1   A0 x   x  x 1   V×  x  x  x 1 b V× x nên Mà x  x  x 1 (1) x  x 1 2 tøc A x = 14   3 x 8 3) P =  x 1 = 22  58    11 1 4 x  1 9  x  1  x 1 x x ( áp dụng BĐT Côsi cho hai số dơng Dấu " = " sảy x  = VËy P = x = x 1 + x 1 x 1; x 1 - 2 ) x = thoả mÃn đk x Bài 13: Cho biÓu thøc: A = x  x  a) Tìm điều kiện x để biểu thức A xác định b) Rút gọn gọn biểu thức A c) Tính giá trị A x = 25 d) Tìm giá trị x để A =  1 x 2 Giải: a) (1 điểm) Biểu thức A đợc xác định : x Xac dinh    x  0  x  0  (0,5 diem )  x 0    x 4   x 4  x 0    x 4 b) : Rót gän biĨu thøc A x 1 A = x  x   x 2 = x ( x  2)  x 2   x 2 ( x  2)( x  2)  x  x  x2  -2=4 = x  x 2  x  ( x  2)( x  2) 3  x  x 2 VËy víi x=  =  x = x  2) x 3  x 2 th× A = x  2) x  2) (  25  x x  ( 25 c) : Khi x = 25 th× A = d) : A = x( = x   x= ( T/m ®iỊu kiƯn) Bài 14: Cho biÓu thøc A=  x x 1   x   x    : x  x    x   x a) Tìm ĐKXĐ A Rút gọn A b) Tìm giá trị x để A = Gii a) ĐKXĐ: x > x   x x 1 x     x   1  :  x  1  x    x  Ta cã: A =   ( x  1)( x  x  1) x    x    :  x  1  x   ( x  1)( x  1) =   x  x 1 x        : x1 x     = =  x 2 : x1 x1 b) A = => x x x =  x 2 x  =  x1 = 2 x x  x   =3 => 3x + x P  x 1 ( x  1)(x x- x  1)  x 1  x 1 : x1 x1 2 x - = => x = 2/3 Bµi 15:  Cho biĨu thøc P  x 1 x x 1 xa) Rót gọn P b) Tìm giá trị lớn , nhỏ nhÊt cđa P Giải a)  §iỊu kiƯn x  P x 1 x - x 1 x 1-  x  x x 1 x ( x  1) x x 1 x P x - x 1 P  b) Ta cã   x 1   x    x   x -    x 0  x  1  x    x 0 nªn P x x 1 x- 0 ,  x 0 P =  x = VËy P =  Ta cã  x - 1  ,  x 0 x-2 x +1 x- x +1 x ,x0  x- x 1 ,  x 0 x 1  P   x  ; P =  x = VËy MaxP = x = Tãm l¹i : minP = x = ; MaxP = x = Bài 16 : Cho biÓu thøc A = ( x x  x x 1 x  ): x x x x x a, Nêu điều kiện phải có x rút gọn biểu thức A b, Tìm giá trị x để A có giá trị nguyên Gii Câu a, Lập luận giải kết hợp để tìm điều kiện A ( x > 0, x  1, x  2) cho (0,5®) biến đổi biểu thức ngoặc: x x x  x x  2x  A = x2  2x  = x2 x2 x  2( x  2)  8 C©u b, A = = =2x2 x2 x2 Để A nguyên nguyên 8M(x+2) hay x+2 Ư8 x2 x x Vì x >  x+2 > Do ®ã x+ = 4; x+2 = TÝnh x = hc x = vi x  nªn x =6 Thì A có giá trị nguyên x x 3 x 1 x Bài 17: Cho biÓu thøc B = x x 6 x 3 a Xác định x để B có nghĩa b Rút gọn B c Tìm x để B số nguyên Gii: a Ta cã: x - x + = ( x - 3)( x - 2) §iỊu kiƯn: x0 x0 x 9  x 3 x 4 x 2 b B = x ( x  3)( x  2) - x 3 x +2 x 1 x = x   ( x  3)( x  3)  (2 x  1)( x  2) ( x  3)( x  2) = x   x   2x  x  ( x  3)( x  2) = c/ V× B = ( x  2)( x  1) ( x  3)( x  2) x 1 x = 1+ = x x x 1 x Nªn B z ( B nguyên) = 1; 2; Tìm đợc giá trị thích hợp x là: 1;4;16;25;49 Bµi 18 : Cho biĨu thøc: x - phải ớc x -3 A= (1+ x x ):( )  x  x x  x  x x 1 a>Rót gọn biểu thức A b>Tìm x để A> x 0; x 1 Giải :a> §KX§:  x 1  x  x  :   x1  x 1 x x   x         x  x 1  x  :   x   x  1 x 1 x1  A=      (0, 5d )   x  x 1 x 1  x : (0, 5d ) x 1  x  1 x    x  x   x  1  x  1   (0, 5d ) x 1 x     x x 1 (0, 5d ) x1 VËy A= x  x  víi x 0; x 1 x1 b> A>1  x  x  >1  x  x  - >  x  x   x    x   x1 x1 x1 x1 Do x 0  x    x    x Kết hợp với ĐKXĐ x th× A> Bài 19 : Cho biÕu thøc M =  x  x x  x x x  x x x x    x   2x  x  x a, HÃy tìm điều kiện cđa x ®Ĩ biĨu thøc M cã nghÜa, sau ®ã rút gọn M b, Với giá trị x biểu thức M đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ Gii : a, Điều kiện ®Ĩ biĨu thøc cã nghÜa lµ: x 0, x  vµ x#1 M =  x  x x  x x1     x 2x  x      x x x1 x  x  1 x x1   x 1 x x 1 x x 2 x x x x   x   x  x  x  x x x x   x   2x  x  x    x 1  x1  x 1  x x1  x  x   x  1 x 1 x x1  b, Do x nên M Đẳng thức xảy x = Vậy giá trị nhỏ M lµ x = Bµi 20 : Rót gän biĨu thøc sau:  x x1 a) M ( x x  3  x ) x  víi x 0, x  x 3 x 3x  x 0; x 1 :a> §KX§:  x 1  x  x   :  A=  x1 x 1 x x   x          x  x 1  x  (0, 5d )  :   x   x  1 x 1 x1       x  x 1 x 1  x : (0, 5d ) x 1  x  1 x    x  x   x  1  x  1   (0, 5d ) x 1 x     x x 1 (0, 5d ) x1 VËy A= x  x  víi x 0; x 1 x1 c> A>1  x  x  >1  x  x  - >  x  x   x    x   x1 x1 x1 x1 Do x 0  x    x    x  KÕt hợp với ĐKXĐ x A> Bài 16: Cho biểu thức A x 1 x  x3  x  x 1 x x1 a, Rút gọn A b, Tìm x để A > c, Tính Giá trị A x  53 9 Câu a: a, Điều kiện: x > A x  x  b, A >  x 2 c, A = Bµi 21 :  x 2 x  x1 Cho biĨu thøc: P  víi x > vµ x 1   :  x x  x  x 1  x a, Rút gọn P b, Tìm x để P  c, So s¸nh P víi 2P