Chỉnh hóa bài toán ngược cho phương trình sóng và giả sóng

SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT CHỈNH HĨA BÀI TỐN NGƯỢC CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG VÀ GIẢ SÓNG Đơn vị thực hiện: PTN Khoa học Môi Trường Chủ nhiệm đề tài: PGS TS Nguyễn Huy Tuấn TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 12/2017 SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT CHỈNH HĨA BÀI TỐN NGƯỢC CHO PHƯƠNG TRÌNH SĨNG VÀ GIẢ SÓNG Viện trưởng: Đơn vị thực hiện: PTN Khoa học Môi Trường Chủ nhiệm đề tài: PGS TS Nguyễn Huy Tuấn GS TS Nguyễn Kỳ Phùng PGS TS Nguyễn Huy Tuấn TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 12/2017 Chỉnh hóa tốn ngược cho phương trình sóng giả sóng MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU ĐƠN VỊ THỰC HIỆN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I Báo cáo khoa học II Tài liệu khoa học xuất TÀI LIỆU THAM KHẢO 13 14 CÁC PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1: Bài báo “Recovering the initial distribution for strongly damped wave equation” 16 PHỤ LỤC 2: Bài báo “Regularization of initial inverse problem for strongly damped wave equation “ Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh 17 Page Chỉnh hóa tốn ngược cho phương trình sóng giả sóng MỞ ĐẦU (Dự án phát triển nào, ý tưởng cho dự án phát triển nào, thừa nhận với ICST tổ chức tài trợ) Ý tưởng báo cáo chúng tơi xem xét toán sau đây: Bài toán 1: Bài tốn ngược cho phương trình sóng giả sóng trường hợp Chúng tơi tìm lại hàm phân bố u(x,t) vị trí x thời điểm t thỏa mãn phương trình sau đây: utt (x,t)  utxx (x,t)  uxx (x,t)  0, (x,t)  (0,1)  (0,T),  u(0, t )  u( ,t)  0, t  (0,T) (1)  u(x,T)  g (x), x  (0,1)   u (x,T)  h(x), x  (0,1)  t Trong g(x) h(x) cho trước Bài tốn 2: Bài tốn ngược cho phương trình sóng giả sóng trường hợp vế phải khơng (trường hợp f tuyến tính) Chúng tơi tìm lại hàm u(x,t) thỏa phương trình sau đây: utt (x,t)  utxx (x,t)  uxx (x,t)  f (x,t), (x,t)  (0,1)  (0,T),  u(0, t )  u( ,t)  0, t  (0,T) (2)  x  (0,1)  u(x,T)  g(x),  u (x,T)  h(x), x  (0,1)  t Trong g(x) h(x) cho trước Bài toán 3: Bài toán ngược cho phương trình sóng giả sóng trường hợp vế phải không (trường hợp f hàm phi tuyến) Chúng tơi tìm lại hàm u(x,t) thỏa mãn phương trình sau đây: utt (x,t)  utxx (x,t)  uxx (x,t)  f (x,t, u(x,t)), (x,t)  (0,1)  (0,T),  u(0, t )  u( ,t)  0, t  (0,T) (3)  x  (0,1)  u(x,T)  g(x),  u (x,T)  h(x), x  (0,1)  t Trong g(x) h(x) cho trước Nó mơ hình tốn ngược cho phương trình sóng giả sóng Nhìn chung, tốn (1), (2) tốn (3) phía tốn khơng chỉnh Nhìn chung, tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadarmard, nghĩa là, nghiệm thường khơng tồn tại, trường hợp nghiệm tồn tại, không phụ thuộc liên tục theo liệu Trong đo đạc thực tế, từ sai số nhỏ đo đạc theo vật lý, nghiệm phụ thuộc theo có sai số lớn Vì việc chỉnh hóa tốn cần thiết Những khó khăn gặp phải việc giải vấn đề đề cập đến chất giả định liệu không chỉnh theo nghĩa Hadamard [23] Nói cách khác, tính ổn định phương pháp bị vi phạm Nhìn chung, lí thuyết tốn ngược khơng chỉnh, khơng có phương pháp chung để chỉnh hóa tốn này, phương trình địi hỏi phương pháp cụ thể khác nhau, tùy thuộc vào đặc điểm phương trình Nghiệm xác toán chỉnh quan trọng để giải vấn đề Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Chỉnh hóa tốn ngược cho phương trình sóng giả sóng Tìm giá trị khác biệt kiểm tra hóa học phịng thí nghiệm xác điều chỉnh nhiệm vụ khó khăn Phương pháp chỉnh hóa tốn ngược cho phương trình sóng giả sóng nội dung báo cáo nghiên cứu Đối với số toán giả sóng phức tạp, ước tính khơng thể dễ dàng thu Vì vậy, ngồi vài nghiên cứu trước đây, kết thu từ nghiên cứu thêm vào lý thuyết toán ngược đặt ra, cụ thể tốn Cauchy cho phương trình sóng phương trình giả sóng ứng dụng Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Chỉnh hóa tốn ngược cho phương trình sóng giả sóng Lời cảm ơn đến ICST Đề tài thực Viện Khoa học Cơng Nghệ Tính Tốn Thành Phố Hồ Chí Minh, Chủ Nhiệm Đề Tài thành viên nhóm xin gửi lời cảm ơn đến Thầy Viện Trưởng, anh chị Phòng Quản lý Khoa học tạo điều kiện tốt để nhóm Nghiên Cứu hoàn thành đề tài hạn, bảo đảm tiến độ cho công việc chung Viện Khoa học Cơng Nghệ Tính Tốn Thành Phố Hồ Chí Minh Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Chỉnh hóa tốn ngược cho phương trình sóng giả sóng ĐƠN VỊ THỰC HIỆN Phịng thí nghiệm: Khoa học Mơi Trường Chủ nhiệm đề tài: PGS TS Nguyễn Huy Tuấn Thành viên đề tài: PGS TS Nguyễn Huy Tuấn PGS TS Nguyễn Văn Thịnh Nghiên cứu sinh : Võ Văn Âu Cử nhân : Lê Đình Long Cử nhân : Lê Thị Việt Phương Cử nhân : Hồ Thị Kim Vân Cơ quan phối hợp: Đại học Quốc Gia Seoul, Hàn Quốc Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Chỉnh hóa tốn ngược cho phương trình sóng giả sóng KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I BÁO CÁO KHOA HỌC Chúng tơi tìm hàm phân bố u(x,t) vị trí x thời điểm t thỏa mãn phương trình sau đây: utt (x,t)   utxx (x,t)  uxx (x,t)  f (x,t, u(x,t)), (x,t)  (0,1)  (0,T),  u(0, t )  u( ,t)  0, t  (0,T) (1.1)  x  (0,1)  u(x,T)  g(x),  u (x,T)  h(x), x  (0,1)  t Trong g(x) h(x) cho trước Phương trình sóng giảm mạnh (SDWE), sử dụng để mơ tả loạt ứng dụng mơ hình chuyển động vật liệu nhớt [1-4] Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình nghiên cứu rộng rãi (ví dụ [5-7]) Tuy nhiên, theo hiểu biết tốt mà chúng tơi có, tốn giá trị cuối (bài toán ngược) chưa quan tâm nhiều (mặc dù nói đến [8], Lattes Lions giới thiệu toán (1.1) - (1.2) họ chưa chứng minh tính ổn định nó) Mục tiêu chúng tơi cung cấp phương pháp chỉnh hóa để giải tốn phi tuyến (1.1) - (1.2) Cho T số dương Ω miền mở, miền bị chặn liên thông n ,n≥ với biên đủ trơn ∂Ω Chúng quan tâm đến tốn tìm lại liệu cuối Giả sử tốn (3.1) có nghiệm thỏa mãn phương trình sau đây: u ''j (t)   j u 'j (t)   j u j (t)  Fj (u)(t), t  (0, T) (1.2)  ' u j (T)  g j , u j (T)  h j  u (x, t)   u j (t) j (x)  j biểu thị hàm riêng với giá trị riêng  j j 1 Fj (u)(t)   F (x, t, u(x, t)) j (x) dx, g j   g (x) j (x) dx, h j   h(x) j (x) dx    Với số α > 0, chia thành miền sau:          N *   D1   j  N * |  j      D2   j  N * |  j      D3   j  N * |  j                Khi đó, chúng tơi thấy nghiệm phương trình (1.2) viết dạng sau: 1) Nếu j  D1 u j (t)   j e T t  j   j e j T t  j gj  e T t  j e j T t  j T hj   e  s t  j t e j  s t  j Fj (u)(s)ds, 2) Nếu j  D2 2 T  t   s t       T  t g  e (T  t) h  (s  t) e Fj (u)(s) ds,   j t    j 3) Nếu j  D3 u j (t)  e T t  T Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Chỉnh hóa tốn ngược cho phương trình sóng giả sóng  j T t  u j (t)   j  j T t     j   j   j   j     cos  T  t  sin T  t       g j   2        2e 2e  j Trong    j  s t  T   j    j  2e   sin  T  t h  sin s  t   j     Fj (u)(s) ds,    t j      j   2 j2  4 j  j   2 j2  4 j ,  2 xác viết đại diện sau u(x, t)   u j (t) j   j  j jD1 ,  j   2 j2  4 j Nghiệm  u (t)   u (t) Tiếp theo đó, jD2 j j j jD3 j chúng tơi kí hiệu , kí hiệu tích chuẩn thuộc không gian L2 () , Cho   L2    , định nghĩa t  j t  j  j  j t t   j e   j e e e S (t)    ,   , P (t)    ,  j  j Chúng tơi viết lại  j j    j   j j 1 j 1  j   j (2.4) dạng phương trình tích phân sau  T u (x, t)  S (T t) g(x)  P(T t) h(x)   P(s t) F(u(s)) ds Kế tiếp, chúng tơi đưa nêu ví dụ để t chứng minh tính chất tốn khơng chỉnh um (x,t) form  * tốn (1.1) (nếu tồn tại) không ổn định Cho uT ,m vT ,m F0 định nghĩa sau: um (x, T)  uT ,m (x)  0,  t um (x, T)  vT ,m (x)   m (x) m  T  j e w(x, t),  j  j , w  L2 () j 1 2T F0 (w)   T Cho um thõa mãn phương trình tích phân sau: um (x, t)  P(T  t)vT ,m   P(s t) F0 (u m (s)) ds  t  Đầu tiên, chúng tơi trình bày (2.11) có nghiệm um  C [0,T];L    Vì thế, T xem xét hàm sau H (w)(t)  P(T  t) vT ,m (x)   P(s t) F0 (w(s))ds Lấy  t  hàm v1 , v2  C 0, T  ;L    , chúng tơi có T H (v1 )(t)  H (v )(t)   P(s  t)(F0 (v1 (s))  F0 (v (s))) ds t  e(s  t)  j  e(s  t)  j     j 1   j  j   T  t T   2t    F0 (v1 (s))  F0 (v (s)),  j ds   e(s  t)  j  e(s  t)  j  e 2T  j (v (s))  (v (s)),  ds    j   j 1   T  j  j    Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Chỉnh hóa tốn ngược cho phương trình sóng giả sóng Dùng bất đẳng thức e a  eb  a  b for a, b  0, chúng tơi có  e(s  t)  j  e(s  t)  j   j   j    e2T  j   (s  t)  j  e (s  t)  j 2(s  t)(  j   j ) e  e    j   j  T     s  t e 2 (s  t)  j e  2 T  j T T2   e2T  j   T T 1   (s) v1 v (s) 2tT Chúng kết luận H (v1)(t)  H(v )(t) ds  v1  v2 C ([0,T];L  )  Điều v1  v2 C ([0,T];L  )  Dùng Định lí điểm Bất động Banach, chúng tơi có kết luận H(w)=w có nghiệm um  C 0,T ; L2     Nó dễ dàng để nhìn ngụ ý H (v1)(t)  H(v )(t)  thấy ( F0 (0)  ) T  P(s t) F (u m (s))ds  H (u m )(t)  H(0)(y)  t um C ([0,T];L2    ) Vì thế, T  P(s t) F (u um (t)  P(T  t) vT ,m  m (s)) ds Điều dẫn t  P(T  t) vT ,m  um C 0,T ; L2      2 đến um C 0,T ;L2    sup P(T  t) vT ,m 0t T Chúng tơi có ước lượng vế bên phải sai số sau Chúng tơi có P(T  t) vT ,m e   e  Từ hàm (t)  e T t m  C 0,T ; L    lim m    1 e      m T t   12  1 1 e T t   12  1  eT m /2  e e 2T t m  1 e T t   m  m m  m      m   hàm giảm, chúng tơi có điều sau  Kế tiếp, chúng tơi có T  12  1 m  2m  4m   eT m /2  e T  12  1 m  2m  4m   Khi m dần đến vô cùng, nhận thấy   uT ,m  vT ,m  lim    0, m     m   lim um m    e   m m  2m  4m  0t T T t m  m 2T t m sup P(T  t) vT ,m  um T t m   C 0,T ; L     m   lim  eT m /2  e T  12  1 m  2m  4m     Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 4 ∗ ∗ ∗ D1 = n ∈ N |λn > , D2 = n ∈ N |λn = , D3 = n ∈ N |λn < α α α (2.3) We also set ∀n ∈ N∗ n = α λ2n − 4λn , If n ∈ D1 , we put κn− noting that κn− → + − e(s−t)κn −e(s−t)κn √ n α √ αλn − n , = κn+ √ αλn + n , = (2.4) and κn+ ∼ αλn when n → +∞ Multiplying the first equation in (2.2) by and integrating both sides from t to T, we obtain after some simple transformation − un (t) = + + − κn+ e(T−t)κn − κn− e(T−t)κn e(T−t)κn − e(T−t)κn ϕn − ψn √ √ n n  T (s−t)κ + − n − e (s−t)κn e + Fn (u)(s)ds √ n t If n ∈ D2 , multiplying the first equation in (2.2) by (s − t)e to T, we get un (t) = e αλn (T−t)  + t T  1− (s − t)e αλn (s−t) (2.5) and integrating both sides from t  αλn αλn (T − t) ϕn − e (T−t) (T − t)ψn αλn (s−t) Fn (u)(s)ds If n ∈ D3 , multiplying the first equation in (2.2) by sides from t to T, we have (2.6) √ αλn 2e√2 (s−t) −n sin −n (s  − t) and integrating both √ √  √  αλn −n −n −n cos (T − t) + sin (T − t) ϕn 2 2 αλn   √ √  T αλn (s−t) −n 2e −n 2e (T−t) (T − t) ψn + (s − t) Fn (u)(s)ds − √ sin sin √ 2 −n −n t (2.7) αλn 2e (T−t) un (t) = √ −n APPLICABLE ANALYSIS Let us define the following S(t) and P(t) S(t)w =  αλn  κ + etκn− − κ − etκn+ αλn n w, φn  φn + e t 1− t w, φn  φn √ n n n∈D1 n∈D2 √ √ √ αλn     2e t  −n −n −n αλn + cos t + sin t w, φn  φn , √ 2 2 −n (2.8) n∈D3 Downloaded by [University of Toronto Libraries] at 08:34 08 August 2017 and P(t)w = etκn+ − etκn− αλn w, φn  φn + e (T−t) (T − t) w, φn  φn √  n n∈D1 n∈D2 √ αλn   2e t −n t w, φn  φn , + sin √ −n (2.9) n∈D3 for w ∈ H It is easy to check that the operators S(t), P(t) are unbounded from H to H From above observations, we can rewrite the function u as  u(t) = S(T − t)ϕ − P(T − t)ψ + t T P(s − t)F(u(s))ds, (2.10) which is the mild solution of Problem (1.2)–(1.3) In generally, for any ϕ, ψ belongs to H then Problem (2.10) has no solution We give one case which shows the existence and uniqueness solution of Problem (2.10) Lemma 2.1: Let ϕ, ψ ∈ E0,q , for q ≥ αT Let F be as follows F(w) = ∞ e−αTλn w, φn  φn (2.11) n=1 Then Problem (2.10) has a unique solution in C([0, T]; H)   αλn Proof: First, looking the formula of S(t) in (2.8), we know that the terms e t − αλ2 n t for n ∈ D2 √  √  αλn t  √ −n −n −n αλn √ and 2e cos t + sin t for n ∈ D3 are bounded by the constant Mα 2 2 − n which dependent of α and independent of n Indeed, if n ∈ D2 then λn = e If n ∈ D3 then λn < αλn 2e t √ −n αλn t α2     2T αλn 2T 1− t ≤e α 1+ α , one has (using that sin (z) α2 (2.12) ≤ z for any z ≥ 0)  √  √  √  2T T −n −n −n αλn α cos t + sin t ≤ 2e + 2 2 α   2T 2T α ≤e 1+ α (2.13) N H TUAN ET AL Downloaded by [University of Toronto Libraries] at 08:34 08 August 2017 From above observation, we can choose Mα = e κn+ + κn− = αλn ) 2T α (1 + 2T α ) For any ϕ ∈ E0,q , we have (using that S(T − t)ϕ2H  2 κ + e(T−t)κn− − κ − e(T−t)κn+ n n ϕ, φn 2 + M2α ϕ, φn 2 ≤ √   n n∈D1 n∈D2 D3  + − 2 ∞ + −(T−t)κ − −(T−t)κ n n κ e −κ e + − ϕ, φn 2 + M2α ϕ, φn 2 ≤ e2(T−t)(κn +κn ) n √ n   n n∈D1 n∈D2 D3  + − 2 ∞ + −(T−t)κ − −(T−t)κ n n κ e −κ e ϕ, φn 2 + M2α ϕ, φn 2 ≤ e2αλn T n (2.14) √ n   n n∈D n∈D2 D3 −a −b Using the inequality (a + b)2 ≤ 2a2 + √2b fora, b2 ∈2 R and the inequality |e − e | ≤ |a − b| for + − a, b > 0, and noting that κn − κn = n = α λn − 4αλn , we obtain  + − κn+ e−(T−t)κn − κn− e−(T−t)κn √ n 2  = e −(T−t)κn+ e + κn− −(T−t)κn+ − − e−(T−t)κn √ n (T − t)2 (κn+ − κn− )2 n −2(T−t)κn+ − = 2e + 2(T − t) |κn |  2  λ2 − 4αλ αλ − α n n n + ≤ 2e−2(T−t)κn + 2T  4αλn T2  =2+ αλn + α λ2n − 4αλn   T 4αλn ≤2+ = + 8T αλn + ≤ 2e−2(T−t)κn + 2|κn− |2 (2.15) It follows from (2.14) and (2.15) that S(T − t)ϕ2 ≤ (2 + 8T )ϕ2E0,q + M2α ϕ2 < ∞ (2.16) By a similar proof, for ψ ∈ E0,q we obtain P(T − t)ψ2 < ∞ (2.17) The existence and uniqueness solution of Problem (2.10) is proved similarly as in Theorem 3.1 using Banach fixed point theory Hence, we omit it here APPLICABLE ANALYSIS 2.2 Ill-posedness of Problem (1.2)–(1.3) Next, we give an example which shows that the solution um (t) (for any m ∈ N∗ ) of Problem (1.2)–(1.3) is not stable Let α = √2λ + 1, let ϕ m and ψ m and F m be as follows φm um (T) = ϕ m = 0, ∂t um (T) = ψ m = √ , λm     ∞ exp − √λ1 + Tλn w(t), φn  φn , F m (w) = mT (2.18) n=1 Downloaded by [University of Toronto Libraries] at 08:34 08 August 2017 for any w ∈ H Let um satisfy the integral equation  um (t) = −P(T − t)ψ m + T P(s − t)F m (um (s))ds t (2.19) First, we show that (2.19) has unique solution um ∈ C([0, T]; H) Indeed, we consider the function  G(w)(t) = −P(T − t)ψ m + T t P(s − t)F m (w(s))ds Then for any w1 , w2 ∈ C([0, T]; H), we obtain  T     G(w1 )(t) − G(w2 )(t) ≤ P(s − t) F m (w1 (s)) − F m (w2 (s)) ds t 1/2  T  − 2 ∞  (s−t)κ + (s−t)κ n n  2 e −e = F m (w1 (s)) − F m (w2 (s)), φn ds √ n t n=1     ⎡ ⎤1/2  T − 2 exp − √4 + Tλ ∞  (s−t)κ + (s−t)κ n n n e −e λ1 ⎣ w1 (s) − w2 (s), φn 2 ⎦ ds, (2.20) = √ 2T m  t n n=1 where κn+ , κn− (for α = √2 λ1 + 1) are defined in (2.4) Moreover, using the inequality |e−a − e−b | ≤ |a − b| for a, b > 0, we get the following inequality  + e(s−t)κn − 2 exp − e(s−t)κn √ n +  (− m2 T − = e2(s−t)(κn +κn ) ≤     − √4λ + Tλn  − e−(s−t)κn + 2 exp − e−(s−t)κn √ √ 2 n )(s − t) exp √ n n  which we have used κn+ + κn− = t ∈ [0, T]     − √4λ + Tλn  √ + (s − t)λn λ1  G(w1 )(t) − G(w2 )(t) ≤ m √2 λ1  T t m2 T      exp − √4 + Tλn λ m2 T ≤ , (2.21) m2 T  + λn Since above observations, we deduce that for all 1 w1 (s) − w2 (s)ds ≤ w1 − w2 C([0,T];H) T m (2.22) N H TUAN ET AL This implies that G(w1 ) − G(w2 )C([0,T];H) ≤ w1 − w2 C([0,T];H) m (2.23) Hence G is a contraction Using the Banach fixed-point theorem, we conclude that G(w) = w has a unique solution um ∈ C([0, T]; H) We have Downloaded by [University of Toronto Libraries] at 08:34 08 August 2017       um (t) ≥ P(T − t)ψ m  −  T t   P(s − t)F m (um (s))ds (2.24) It is easy to see that (here, noting that F m (0) = 0)    t T   P(s − t)F m (um (s))ds = G(um )(t) − G(0)(t) ≤ um C([0,T];H) m     Hence um (t) ≥ P(T − t)ψ m  − m um C([0,T];H) This leads um C([0,T];H) ≥ (2.25) to   m   sup P(T − t)ψ m  m + 0≤t≤T We continue to estimate the right hand side of the latter inequality Indeed, we have  2   P(T − t)ψ m  =  + e(T−t)κm − − e(T−t)κm √ m 2 = λm ≥  2 √ + e2(T−t)κm − e−(T−t) m λm m  2 √ + e2(T−t)κm − e−(T−t) m λm m (2.26)  2 √ + Since the function (t) = e2(T−t)κm − e−(T−t) m is a decreasing function with respect to variable t, we deduce that  2  2 √ √ + +   e2Tκm − e−T m e2(T−t)κm − e−(T−t) m   = sup P(T − t)ψ m  ≥ sup λm m λm m 0≤t≤T 0≤t≤T   2   √ exp T √2λ + λm − e−T m ≥ (2.27) λm m Combining (2.26) and (2.27) yields um C([0,T];H) ≥ m m+1 2     √ exp T √2λ + λm − e−T m λm m (2.28) APPLICABLE ANALYSIS As m → ∞, we see that   ϕ m  + ψ m  = lim √ = 0, m→∞ m→∞ λm lim lim um C([0,T];H) ≥ lim m→∞ m→∞ m m+1      √ exp T √2λ + λm − e−T m λm m = ∞ (2.29) Thus, it is shown that Problem (1.2)–(1.3) is ill-posed in the Hadamard sense in H-norm Regularization and error estimate Downloaded by [University of Toronto Libraries] at 08:34 08 August 2017 3.1 The globally Lipschitz case of source function − + κ + e(T−t)κn −κ − e(T−t)κn √ n ∼ e(T−t)αλn This implies that It is observed that when n → ∞ then the term n n S(T − t), P(T − t) are unbounded operators, to establish a regularized solution, we need to find a new operator, such as I,α,β such that I,α,β S(t) and I,α,β P(t) are bounded operators For w ∈ H, let us define I,α,β (t)w = ∞ γβ,n w, φn  φn (3.1) for n fixed, (3.2) n=1 The term γβ,n satisfies that lim γβ,n = 1, β→0 and − γβ,n + κn+ e(T−t)κn − κn− e(T−t)κn ≤ C(β), √ n ∀n ∈ N∗ , (3.3) where C(β) is a constant dependent of β In this paper, we choose γβ,n = e−αTλn , αβλn + e−αTλn ∀n ∈ N∗ Further, we can give a different function γβ,n (n ∈ N∗ ) as follows: γβ,n = e−αTλn · β + e−αTλn Using a modified quasi-boundary value method, we present a regularized problem ⎧            ⎪ ⎨ utt t = Aut t + Au t + I,α,β F t, u t , t ∈ 0, T , u (T) = I,α,β ϕ  , ⎪ ⎩  ut (T) = I,α,β ψ  (3.4) The latter problem is equivalent to the following non-linear integral equation (,α,β (T − t)ψ  + u (t) = S(,α,β (T − t)ϕ  − P   T t (,α,β (s − t)F(u (s))ds P (3.5) 10 N H TUAN ET AL (,α,β are defined by where S(,α,β and P Downloaded by [University of Toronto Libraries] at 08:34 08 August 2017 S(,α,β (t)w = I,α,β S(t)w − + e−αTλn κn+ etκn − κn− etκn w, φn  φn = √ αβλn + e−αTλn n n∈D1   αλn αλn e−αTλn t 1− w, φn  φn + e t αβλn + e−αTλn n∈D2 αλn √ √    e−αTλn e t  −n −n w, φn  φn , + − cos sin t + αλ t √ n n 2 αβλn + e−αTλn −n n∈D3 (3.6) and (,α,β (t)w = I,α,β P(t)w = P + n∈D1 − e−αTλn etκn − etκn w, φn  φn √ αβλn + e−αTλn n αλn e−αTλn e t t w, φn  φn −αTλ n αβλn + e n∈D2 αλn  √ e−αTλn 2e t −n w, φn  φn t + sin √ αβλn + e−αTλn −n + (3.7) n∈D3 Here β := β() > is a parameter regularization which satisfies that lim→0+ β = In this subsection, we assume that F satisfies the globally Lipschitz property, i.e F(t, w1 (t)) − F(t, w2 (t)) ≤ Kw1 (t) − w2 (t), w1 , w2 ∈ H, (3.8) for any K ≥ Now, we consider some following Lemma which is useful for the main results Lemma 3.1: Let t ∈ [0, T] The following estimates hold  (a)   S(,α,β (t) (b)   P (,α,β (t)  where Bα2 = max + 8T , + L(H) L(H) 8T α2  ≤ Bα β ≤ Tβ −t T −t T T t log ( Tβ ) t  T T log ( Tβ ) T , , (3.9) (3.10) APPLICABLE ANALYSIS 11 Downloaded by [University of Toronto Libraries] at 08:34 08 August 2017 Proof: (a) Let w ∈ H We have 2  κ + etκn− − κ − etκn+   e−αTλn n n S(,α,β (t)w 2 = w, φn 2 √ αβλn + e−αTλn  n n∈D1 2    e−αTλn αλn αtλn 1− t w, φn 2 + e αβλn + e−αTλn n∈D2 2 αtλn   √  e−αTλn e −n t + − cos n αβλn + e−αTλn ( − n ) n∈D3 2 √ −n w, φn 2 + αλn sin t  κ + e−tκn+ − κ − e−tκn− 2  e−α(T−t)λn 2 n w, φn 2 ≤ √ n αβλn + e−αTλn  n n∈D1  2   e−α(T−t)λn 2t −αtλn w, φn 2 − + e α αβλn + e−αTλn n∈D2 √  √ 2  2 √ −n −n −α(T−t)λ − cos t + αλ sin t n n n 2 e w, φn 2 + ( − n ) αβλn + e−αTλn n∈D3 (3.11) Using the proof of Lemma 2.1, we obtain ∞   S(,α,β (t)w 2 ≤ B α n=1  e−α(T−t)λn αβλn + e−αTλn 2  w, φn  ≤ Bα2 sup n∈N∗ e−α(T−t)λn αβλn + e−αTλn 2 w2 , (3.12)  where Bα2 = max + 8T , + 8T α2  Now, we continue to estimate e−α(T−t)λn · Indeed, αβλn +e−αTλn e−α(T−t)λn e−α(T−t)λn = ≤ T−t  t t    −αTλ n αβλn + e T T T −αTλ −αTλ −αTλ n n n αβλn + e αβλn + e αβλn + e (3.13) T γ log ( Tγ ) for < γ < eT Hence if β < eT T ≤ · αβλn + e−αTλn β log ( Tβ ) (3.14) On other hand, it is easy to see that (z) = γ z+e−zT we have ≤ then we obtain, It follows from (3.13) that e−α(T−t)λn αβλn + e−αTλn ⎡ ≤⎣ ⎤t T ⎡ ⎤t T −t T T ⎦  ⎦ = β T ⎣   T β log β log Tβ (3.15) 12 N H TUAN ET AL (b) Let w ∈ H, we have  2 −tκn− − e−tκn+   e−αTλn t(κn+ +κn− ) e P (,α,β (t)w 2 = w, φn 2 e √ αβλn + e−αTλn  n n∈D1 2  2  αλn e−αTλn tt w, φn 2 e + αβλn + e−αTλn n∈D2  αλn 2  √ e−αTλn 2e t −n w, φn 2 t + sin √ αβλn + e−αTλn −n (3.16) Downloaded by [University of Toronto Libraries] at 08:34 08 August 2017 n∈D3 Using the inequality |e−a − e−b | ≤ |a − b| for a, b > 0, sin (z) ≤ z for any z ≥ and (3.15), we get 2 e−α(T−t)λn w, φn 2 αβλn + e−αTλn n∈D1  2 −α(T−t)λn e + T2 e−αλn t w, φn 2 αβλn + e−αTλn n∈D2  2 e−α(T−t)λn + T e−αλn t w, φn 2 αβλn + e−αTλn   P (,α,β (t)w 2 ≤ T2 n∈D3 ≤ T 2β  ⎡ −2t T ⎤ 2t T ⎣ log T ⎦   w2 · (3.17) T β This completes the proof of Lemma 3.1   The non-linear integral Equation (3.5) has a solution u ∈ C [0, T]; H   Proof: For w ∈ C [0, T]; H , we put Theorem 3.1: J(w)(t) = S,α,β (T − t)ϕ  − P,α,β (T − t)ψ  +  t T P,α,β (s − t)F(w(s))ds (3.18)   We shall prove by induction if w1 , w2 ∈ C [0, T]; H then k k J (w1 ) − J  (w2 )C [0,T];H k  KTβ −1 (T − t) w1 − w2 C [0,T];H ≤ k! (3.19) For k = 1, we have  J(w1 )(t) − J(w2 )(t) ≤ t  ≤ T P (s − t)L(H) F(w1 (s)) − F(w2 (s)) ds ⎡ T Tβ t −(s−t) T ⎤ s−t T ⎦   ⎣ log T β T Kw1 (s) − w2 (s)ds ≤ KTβ −1 (T − t)w1 − w2 C [0,T];H (3.20) APPLICABLE ANALYSIS 13 Assume that (3.19) holds for k = p We show that (3.19) holds for k = p + In fact, we have p+1 Downloaded by [University of Toronto Libraries] at 08:34 08 August 2017 J p+1 (w1 )(t) − J    T   p   p     (w2 )(t) =  P,α,β (s − t) F J (w1 )(s) − F J (w2 )(s) ds  t  ⎡ ⎤ s−t T  T  −(s−t) T ⎦  Jp (w1 )(s) − Jp (w2 )(s) ds ⎣   ≤ KTβ T t log Tβ  p  T KTβ −1 (T − s) −1 ≤ KTβ w1 − w2 ds p! t p+1  KTβ −1 (T − t) w1 − w2 C [0,T];H ≤ (3.21) (p + 1)! Therefore, by the induction principle, we have (3.19) for all w1 , w2 ∈ C([0, T]; H) Since  −1 k KT β = 0, lim k! k→∞ there exists a positive integer number k0 such that Jk0 is a contraction It follows that the equation    since Jk0 w = w has a unique solution ) =  k u ∈ C([0,T]; H) We claim that J(u u In fact, k   k  0 J (u ) = u , we know that J J (u ) = J(u ) This is equivalent to J J(u ) = J(u ) Hence, J(u ) is a fixed point of Jk0 Moreover, as noted above, u is a fixed point of Jk0 Theorem 3.2: Let β := β() ∈ (0, 1) such that lim→0+ β = and lim→0+ β −1 = and p = 1, q ≥ αT Suppose that Problem (2.2) has a unique solution has u ∈ C([0, T]; H) Assume that the Problem (1.2)–(1.3) has a unique solution u satisfying u ∈ L∞ 0, T; Ep,q Then, the following estimate   t u (t) − u(t) ≤ ( C β −1  + β T  1− t T T  log ( Tβ ) , ∀t ∈ [0, T], (3.22) * ) 2  where ( C = max eKT Bα + T , eKT αuL∞ (0,T;Ep,q ) Remark 3.1: Since lim→0+ β −1 = and ( C is independent of , we know that the right hand side of (3.22) converges to when  → 0+ Let us choose a parameter regularization β =  then the  1− t T t T  T tends to zero as  goes to 0, for all t ∈ [0, T] error u (t) − u(t) is of order  T log (  ) Proof: For estimating the error u (t) − u(t), we use the triangle inequality u (t) − u(t) ≤ u (t) − v  (t) + v  (t) − u(t), (3.23) where a new function v  (t) satisfies the following non-linear integral equation (,α,β (T − t)ψ + v  (t) = S(,α,β (T − t)ϕ − P The estimate of (3.23) consists of two steps  T t (,α,β (s − t)F(v  (s))ds P (3.24) 14 N H TUAN ET AL Step 1: First, we estimate the error u (t) − v  (t) Indeed, from (3.5) and (3.24), we obtain          (  u (t) − v  (t) ≤ S(,α,β (T − t) ϕ  − ϕ  + P ,α,β (T − t) ψ − ψ     T       (,α,β (s − t) F(u (s)) − F(v (s)) ds + P   t       (,α,β (T − t) ≤ S,α,β (T − t)L(H) ϕ − ϕ + P ψ  − ψ L(H)  T     P F(u (s)) − F(v  (s)) ds (,α,β (s − t) (3.25) + L(H) t Downloaded by [University of Toronto Libraries] at 08:34 08 August 2017 Using Lemma 3.1 and the global Lipschitz property of F, we derive that    u (t) − v  (t) ≤ Bα β Tt −1  + KT Multiplying by β  β −t T  −t T T log ( Tβ ) t T T log ( Tβ ) t T  1− t log ( Tβ )  β t−s T  T T +T β  s−t T T log ( Tβ ) t T −1 1− t T T  log ( Tβ )    u (s) − v  (s) ds (3.26) t T both sides, we have      u (t) − v  (t) ≤ Bα + T β −1   + KT t T β −s T   T log ( Tβ ) s  T    T u (s) − v  (s) ds T log ( β ) (3.27) Then Gronwall’s inequality yields  β −t T T log ( Tβ ) t T      u (t) − v  (t) ≤ eKT(T−t) Bα + T β −1   T log ( Tβ )  (3.28) From this we obtain      u (t) − v  (t) ≤ eKT(T−t) Bα + T β Tt −1  T 1− t T log ( Tβ )  (3.29) Step 2: We continue to estimate the error u(t) − v  (t) It is easy to see that  T I,α,β u(t) = I,α,β S(T − t)ϕ − I,α,β P(T − t)ψ + I,α,β P(s − t)F(u(s))ds t  T (,α,β (s − t)F(u(s))ds, (,α,β (T − t)ψ + P = S(,α,β (T − t)ϕ − P (3.30) t which we have used the fact that I,α,β S(t)w = ∞ n=1 e−αTλn S(t)w, φn  φn = S(,α,β (t)w, αβλn + e−αTλn (3.31) APPLICABLE ANALYSIS 15 and I,α,β P(t)w = ∞ n=1 e−αTλn (,α,β (t)w, P(t)w, φn  φn = P αβλn + e−αTλn (3.32) Downloaded by [University of Toronto Libraries] at 08:34 08 August 2017 for any w ∈ H It follows from (3.24) and (3.30) that        v (t) − u(t) ≤ v  (t) − I,α,β u(t) + u(t) − I,α,β u(t)  T          P F(v (s)) − F(u(s)) ds (,α,β (s − t) ≤ u(t) − I,α,β u(t) + L(H) t   ≤ u(t) − I,α,β u(t) + KT  T t  β t−s T  s−t T T log ( Tβ )    v (s) − u(s) ds (3.33)   Now we continue to estimate u(t) − I,α,β u(t) We have ∞   u(t) − I,α,β u(t)2 =  n=1 2 e−αTλn − u(t), φn 2 αβλn + e−αTλn ∞ = α2β n=1 e−2αtλn 2αtλn u(t), φn 2  2 λn e −αTλ n αβλn + e (3.34) Moreover, using (3.15), we get e−αtλn ≤ αβλn + e−αTλn  1− t  T T =β β log ( Tβ ) t T −1 T log ( Tβ ) 1− t T (3.35) This implies that   u(t) − I,α,β u(t)2 ≤ α β β 2tT −2  T 2t ≤ α2β T  2− 2t T T log ( Tβ ) 2− 2t ∞ λ2n e2αTλn u(t), φn 2 n=1 T u2L∞ (0,T;Ep,q ) log ( Tβ ) Combining (3.33) and (3.36), we obtain    v (t) − u(t) ≤ αβ Tt  T log ( Tβ )  + KT 1− t T t T β t−s T uL∞ (0,T;Ep,q )  T log ( Tβ )  s−t T    v (s) − u(s) ds (3.36) 16 N H TUAN ET AL Multiplying by β  β −t T −t T  t T log ( Tβ ) t T T log ( Tβ ) T both sides, we have    v (t) − u(t) ≤ α  T  uL∞ (0,T;Ep,q ) log ( Tβ ) s   T T    −s T v (s) − u(s) ds + KT βT T log ( β ) t Downloaded by [University of Toronto Libraries] at 08:34 08 August 2017 Applying Gronwall’s inequality to this yields  β −t T T log ( Tβ ) t T    v (t) − u(t) ≤ eKT(T−t) α   T log ( Tβ ) uL∞ (0,T;Ep,q ) Hence    v (t) − u(t) ≤ eKT(T−t) αβ Tt  T log ( Tβ ) 1− t T uL∞ (0,T;Ep,q ) (3.37) This latter inequality together with (3.29) implies that        u (t) − u(t) ≤ u (t) − v  (t) + v  (t) − u(t) 1− t  T   t T ≤ eKT(T−t) Bα + T β T −1  log ( Tβ ) 1− t  T t T KT(T−t) +e αβ T uL∞ (0,T;Ep,q ) log ( Tβ ) 1− t  T  −1  t T ≤( C β  +1 βT log ( Tβ ) (3.38) This completes the proof of Theorem 3.2 3.2 The locally Lipschitz case of source function Theorem 3.2 is only consideration for the case of globally Lipschitz source For more applications, we need the locally Lipschitz case of F In the next Theorem, we propose another techniques in which ( of globally Lipschitzian the locally Lipschitz source function F is approximated by a sequence F functions Furthermore, assuming that the function K given in (1.10) is increasing on [0, ∞), we then choose a positive sequence {E }>0 satisfying lim→0+ E = ∞ on which K(E ) satisfies certain ( from F as constraints We then define the function F