Bất đẳng thức cho tích phân sugeno viện khoa học và công nghệ tính toán

SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT BẤT ĐẲNG THỨC CHO TÍCH PHÂN SUGENO Đơn vị thực hiện: PTN Mở Chủ nhiệm nhiệm vụ: Trần Nhất Luận TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 08/2022 SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT BẤT ĐẲNG THỨC CHO TÍCH PHÂN SUGENO Phụ trách Viện Đơn vị thực hiện: PTN Mở Chủ nhiệm nhiệm vụ: Trần Nhất Luận Nguyễn Thị Kim Huệ Trần Nhất Luận TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 08/2022 Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno MỤC LỤC MỞ ĐẦU ĐƠN VỊ THỰC HIỆN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU BÁO CÁO KHOA HỌC I 1.1 Loại bất đẳng thức Jensen cho tích phân Sugeno 1.2 Loại bất đẳng thức Holder cho tích phân Sugeno 24 1.3 Loại bất đẳng thức Hardy cho tích phân Sugeno 35 II TÀI LIỆU KHOA HỌC ĐÃ XUẤT BẢN 50 III CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 51 IV HỘI NGHỊ, HỘI THẢO 52 V FILE DỮ LIỆU 53 PHỤ LỤC 54 Bài báo khoa học: “On the coincidence of lower and upper generalized Sugeno integrals” “On a convergence in measure theorem for the seminormed and semiconormed fuzzy integrals” Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno MỞ ĐẦU Trong đề tài này, đề nghị số loại bất đẳng thức liên quan tới tích phân Sugeno sau: i Loại bất đẳng thức Jensen cho tích phân Sugeno ii Loại bất đẳng thức Holer cho tích phân Sugeno iii Loại bất đẳng thức Hardy cho tích phân Sugeno Khi đó, cơng cụ giải tích mờ dựa số điều kiện định loại bất đẳng thức Chúng thu dạng Jensen, Holder, Hardy cho tích phân Sugeno Lời cảm ơn đến ICST: Cảm ơn Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn Tp Hồ Chí Minh hỗ trợ Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno ĐƠN VỊ THỰC HIỆN Phịng thí nghiệm: Mở Chủ nhiệm nhiệm vụ: Trần Nhất Luận Thành viên nhiệm vụ: PGS.TS Lý Kim Hà ThS Nguyễn Thanh Hiếu ThS Mai Văn Thanh Tâm Cơ quan phối hợp: Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I BÁO CÁO KHOA HỌC 1.1 Loại bất đẳng thức Jensen cho tích phân Sugeno 1.1.1 ĐẶT VẤN ĐỀ Các loại bất đẳng thức Jensen cho tích phân Sugeno nhiều nhà nghiên cứu thời gian qua [1-9] Trong [3], bất đẳng thức loại Jensen tổng quát chứng minh hai trường hợp: trường hợp toán tử giả định nghĩa hàm liên tục đơn điệu, trường hợp hai tốn tử có dạng  a, b; max;   Trong [8], kết loại bất đẳng thức Jensen giả tích phân lưỡng cực thiết lập Định lý 3.1 3.3 Trong [4], tác giả đưa hai kết loại bất đẳng thức Jensen liên quan tới độ đo hữu hạn độ đo  nghĩa là,   X    Một dựa tính chất tăng ngoặc hàm  :  0,     0,   cho   x   x với x   0, p  , p   fd  Hai dạng Jensen ngược dựa giả định hàm tăng ngoặc  với   x   x với x   0, p  , hàm H - liên tục độ đo  tập mức f liên tục Trong [7], tác giả trình bày phương pháp để thiết lập vài loại bất đẳng thức Jensen tích phân Sugeno tổng quát với hàm đo f Các tác giả cải thiện làm loại bất đẳng thức Jensen cho tích phân Sugeno trước Từ kết trên, chúng tơi thiết lập đánh giá loại Jensen cho tích phân Sugeno Các kết dựa giả định độ đo tập mức hàm f thay cho giả định H - liên tục độ đo  tập mức f liên tục [4] 1.1.2 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, CÁCH TIẾP CẬN Độ đo mờ tích phân Sugeno Đặt X tập khơng rỗng   -đại số tập X Định nghĩa 2.1: ([10]) Đặt  :    0,   Chúng ta nói  độ đo đơn điệu thỏa      0; A, B   A  B suy   A     B  Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno Khi  X , ,   gọi không gian độ đo đơn điệu Hơn nữa,  An    A1  A2  , suy lim   An     n 1 An  Khi ta nói  liên n  tục từ bên Khi  X , ,   gọi không gian độ đo đơn điệu với  liên tục từ bên  An   ,   A1    A1  A2  , suy lim   An     n 1 An  Khi ta nói n   liên tục từ bên Khi  X , ,   gọi không gian độ đo đơn điệu với  liên tục từ bên Nếu  thỏa mãn 1-4 ta nói  độ đo liên tục Khi  X , ,   gọi không gian độ đo liên tục Đặt f hàm có giá trị không âm định nghĩa X Chúng ta ký hiệu f   x  X f  x     tập  -mức hàm f với   , f    x  X f  x     tập  - mức ngoặc hàm f với   f   x  X f  x   0 giá hàm f Đặt  X ,   không gian đo Chúng ta định nghĩa       X   f : X   0,   f đo Định nghĩa 2.2: ([11]) Đặt  độ đo đơn điệu  X ,   Nếu f   A  , tích phân Sugeno f A liên quan tới  định nghĩa sau:  A   fd   sup  ,   A  f   0 Một hàm f gọi khả tích Sugeno A  A fd    Từ Định nghĩa 2.2 đưa đến số tính chất sau: Mệnh đề 2.1: ([9]) Đặt  X , ,   gọi không gian độ đo đơn điệu, A, B   , f , g   Khi  fd     A  ;  kd   k ,   A  , k  0; A A   Nếu f  g A  A fd    gd ; A Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno Nếu A  B  A fd    fd  B Metric Hausdorff, tập mức liên tục H -liên tục Định nghĩa 2.3: ([12]) Đặt  X , d  không gian metric   X  lớp tập compact khắc rỗng X Metric Hausdorff   X  định nghĩa   dH  A, B   inf   A  N  B,   B  N  A,   , với A, B    X  , đây,     N  A,    x  X d  x , A    , N  B,    x  X d  x, B    ,     d  x , A   inf d  x , a  a  A , d  x , B   inf d  x, b  b  B Khi đó,    X  , dH  đầy đủ X không gian metric đầy đủ [12]   Đặt: k  X   f : X   0,   supp  f  compact f nửa liên tục Định nghĩa 2.3: ([13]) Chúng ta nói f  k  X  liên tục tập mức d H f   f với  n   ,    0,   n Mệnh đề 2.2: Đặt f  k  X  Khi tính chất tương đương nhau: f khơng có điểm đạt cực đại lân cận f  f   x  X f  x     với    0,sup f  x     xX  f liên tục tập mức Dựa kết mệnh đề trên, đưa cách kiểm tra hiệu cho hàm f không liên tục tập mức Mệnh đề 2.3: Đặt f  k  X  Khi tính chất tương đương nhau: Nếu tồn số thực    0,sup f  x   cho Int  f 1       f có  xX  điểm đạt cực đại lân cận; f không liên tục tập mức; đây, Int  f 1     phần f 1    Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno Chứng minh:    Giả sử với    0,sup f  x   ,  xX    Int f 1      f khơng có cực đại lân cận Áp dụng Mệnh đề 2.2, thu f liên tục tập mức    Chứng minh chia thành hai trường hợp: Trường hợp 1: Giả sử f có điểm đạt lân cận cực đại Từ Mệnh đề 2.2 đưa đến f không liên tục tập mức Trường hợp 2: Giả sử tồn tồn số thực    0,sup f  x   cho       xX   Int f 1      Nó dẫn đến x0  Int f 1    Mặt khác, f 1     f    Do đó, Int f 1     f    Suy ra, x0  f  Do đó, f  f  Áp dụng Mệnh đề 2.2, suy f không liên tục tập mức Định nghĩa 2.5: ([4,12]) Đặt X không gian metric,   -đại số Borel  độ đo Borel đơn điệu liên tục định nghĩa X ,  gọi H -liên tục d  K   X  suy lim   K      K  với K , K   , K  H   Định lý 2.1: ([4]) Đặt X không gian metric,  độ đo Borel đơn điệu liên tục X Nếu giả sử  nửa liên tục trên   X  ,   Với K    X    cho  N  K ,      K   p  K ,   , đây, p :   X    0,     0,   đơn điệu p  K ,      Khi đó,  H liên tục   X  1.1.3 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Trong mục này, cung cấp điều kiện đủ cho loại bất đẳng thức Jensen cho tích phân Sugeno Đầu tiên, cần vài kết trợ liên quan tới đặc trưng tập mức Mệnh đề 3.1: Đặt f : X   0,   Khi với   , có khẳng định sau:  f  , f  khơng tăng     f   f  f   f  với     Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno  f  f  với      f  f với     Chứng minh: 1) Điều hiển nhiên  f  f 2) Ta dễ dàng thấy rằng:    Do đó, f  x      f  f f x  với   Mặt khác, từ x  f suy f  x       Đây có nghĩa x  f Vì vậy, f    f Do      3) Chúng ta biết f   f với   Mặt khác, từ x  f suy f  x    Khi   f  x     f x    Vì vậy, x  f  Đây có nghĩa  f  f Vì vậy,    f  f   Chứng minh hoàn thành Mệnh đề 3.2: Đặt   -đại số X , f : X   0,   đo được,  độ đo đơn điệu không gian đo  X ,   cộng tính A   cho   f0    Khi  với   có kết sau:   suy   A  f     A  f    f    f    Chứng minh: Từ tính cộng tính độ đo  ta có   f \ f      f     f     Mặt khác,      A f   f \ f     A  f    A  f    A  f   A  f \ f        Rõ ràng   A  f      A  f   Vì vậy, Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno   n            n Từ   A     i      A      i    , suy     i 1  i 1 0        n n lim   A     i   i m    i 1  i1 pi m   n     A       i      i 1  0    Do đó,   n   i 1     A    i       0  mâu thuẫn Vì vậy,    Hơn nữa, với    , biết  n  i 1 i p i Đây có nghĩa  bị chặn Chứng minh Bổ đề 2.4 hoàn thành Bổ đề 2.5: Đặt  X , ,   không gian độ đo mờ  : X  R khả tích Sugeno A Giả sử    1,  A  sd     d   s với s  A Giả sử   1,  A sd     d   A s với  s  Chứng minh: 1) Nếu   , hiển nhiên Trong trường hợp    0,1 , giả sử tồn s  cho  A sd    s Khi tồn   đủ nhỏ cho      0,1  A s  s d       Áp dụng Mệnh đề 2.1-6, thu   A   s       s      s    Vì vậy, Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 40 Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno   A         Áp dụng Mệnh đề 2.1-5, đạt    d      A mâu thuẫn,  A  sd    A d   s với s  2) Chứng minh cách tương tự phần 1) Vì vậy, bỏ qua Chứng minh Bổ đề 2.5 hoàn thành 1.3.3 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Trong mục này, đưa kết nghiên cứu thông qua định lý Định lý 3.1: Đặt  X , ,   không gian đo mờ với  cộng tính  i  LpFi  A  Khi n  i i 1 r  n    i  i 1 r pi   pi Chứng minh: Chúng ta có r n n  i  A i 1 r r    d  i i 1 Áp dụng bất đẳng thức Young, thu r n   i i 1 n A r  i 1 r  i  pi pi d  Áp dụng Bổ đề 2.2, thu n  i i 1 r  n    i  i 1 r pi   pi Chứng minh Định lý 3.1 hoàn thành Định lý 3.2: Đặt  X , ,   không gian đo mờ với  cộng tính  i  LpFi  A  Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 41 Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno n Nếu    i i1 pi  r   n     A      i   n  i 1  i p  i i 1  n     Khi   n  i   i i 1 pi i 1 r n Nếu  i1 i p i  Khi có n n  i  C i i 1 pi i 1 r ,  n C    max 1,  i  i 1   pi pi  r    Hơn nữa,   A   i     với i  1: n Khi thu đánh giá  i p i  sau đây: n n   r n  i i i 1 i 1 r pi Chứng minh: 1) Áp dụng Bổ đề 2.3, đưa đến n    n r  i i 1 A n   i 1  r   n  Mặt khác, từ   A      i   n  i 1  i p  i i 1  i 1 d  r n  i p i i i 1 i p i     đưa đến    r  n     i    A   in1       i pi  i 1             1  Điều suy n    r i  A i 1 n  i 1 d   i p i Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 42 Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno Vì vậy, n n  i i 1   i i 1 r pi 2) Áp dụng lại Bổ đề 2.3 bất đẳng thức Young, chúng đưa đến r n  i i 1 r n  i 1   i    A   i 1  i pi n r i p i r   n  d    r  i A i 1 pi      i pi p i  d    Áp dụng lại Bổ đề 2.2, thu  r  i A  i 1 pi   i pi  n p p i  n  d     i A    i 1   i pi i  d    Vì vậy, n  i i 1 r  n  i     A  i 1   i pi      pi r n  d    i  i 1  pi Từ định nghĩa tích phân Sugeno, ta có   A   i  i pi p i  d   i  pi pi  sup   i  0   max 1,  i  i  pi pi pi  0 pi pi pi , i  sup    pi  max 1,  i pi pi pi     A   i      i  pi ,   A   i  pi    pi i pi  pi pi  i      pi pi       với i  1: n Do đó, n  i i 1 r  n    max 1,  i  i 1  pi pi  r n   i  i 1 n pi  C  i i 1 pi Mặt khác, ta thấy     i   A       i pi       pi            A    i  i p  với i  1: n i     1  Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 43 Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno   Từ   A   i     với i  1: n , chúng đưa đến  i p i      i   A       i pi              với i  1: n   1  pi Từ Mệnh đề 2.1-5, thu   A   i  i pi p i  d   với i  1: n   Vì vậy, n n   r n  i i i 1 i 1 r pi Chứng minh Định lý 3.2 hoàn thành Định lý 3.3: Đặt  X , ,   không gian đo mờ A   Giả sử i  LFp  A  i     n với i  1: n   A     i    Khi có    i 1   0  n n  sup    i  i i 1 Chứng minh: Nếu tồn  i cho  i hợp i pi i 1 r pi pi  Định lý hiển nhiên Trong trường   n    với i  1: n   A     i    Từ đây, áp dụng Bổ đề 2.4,   i 1 0   suy    bị chặn Hơn nữa, với    , áp dụng Bổ đề 2.3, ta có n r n  i 1 n   r  i i r i 1 r pi   r i  i 1 n A  r  i 1 d  r i p i Mặt khác  r  n     i    A   i 1n  r  r      i pi  i 1        n       A    i   n    i 1   i p  i    i1 1  Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh       Page 44 Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno Áp dụng Mệnh đề 2.1-6, suy n    r i  i 1 n A  r  i 1 d   r i p i Do đó, n n  i i 1    i i 1 r pi với    Điều suy n n  sup    i  i i 1 r i 1 pi Chứng minh Định lý 3.3 hoàn thành Định lý 3.4: Đặt  X , ,   không gian đo mờ  cộng tính  i : X  R khả tích Sugeno A   Khi tích phân Sugeno cộng tính Holder, có nghĩa là, n pi  i  n   d   d      i A  i 1   A r i 1 Chứng minh: Với   , có    n    n     A    i      A    i  n  i 1    i 1  r   p  i 1 i      Áp dụng Bổ đề 2.1, thu     i 1 n       i 1 n  n   i 1   pi  i      r     A     i       A    i  r      A    pi Nó đưa đến      p      n    n  ,   A     i       ,   A   i i       i 1    i 1   r       Do đó,      p      n    n sup  ,   A     i      sup  ,   A   i i       0  i 1    i 1    r        Suy Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 45 Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno n pi  i  n   d   d   i A    A r i 1 i 1  Chứng minh Định lý 3.4 hoàn thành Định lý 3.5: Đặt  X , ,   không gian đo mờ  cộng tính p i  LFi  A  Khi r n  n   i i i 1 i 1 r pi pi Chứng minh: Chúng ta có r n  i n  A i 1 r    d  i i 1 r Áp dụng bất đẳng Young, thu r n  n  i i 1 A r  r  i  i 1 pi d  pi Áp dụng Định lý 3.4, đạt r n i 1 n   i  i i 1 r pi pi Chứng minh Định lý 3.5 hoàn thành Kết hợp Bổ đề 2.5 Định lý 3.5, thu hệ sau Hệ 3.1: Đặt  X , ,   không gian đo mờ với  cộng tính s i  LFi  A  với si  i  1: n Giả sử  i si  với i  1: n Khi r n  i 1 Giả sử  i si n   i i i 1 r rn với  r  si   si i  1: n n  với i  1: n Khi r n  i 1 n   i i r i 1 rn si với moïi r    max si i  1: n n Chứng minh: 1) Từ Định lý 3.5, suy Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 46 Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno r n  i i 1 n   i i 1 r rn rn Áp dụng Bổ đề 2.5, ta có n  i 1 rn  i rn    si A rn si i d      d  si rn si  i i A rn si Vì vậy, r n  i 1 n   i i i 1 r rn si 2) Chứng minh tương tự phần 1) Vì bỏ qua Chứng minh Hệ 3.1 hoàn thành Định lý 3.6: Đặt  X , ,   không gian đo mờ  cộng tính  i  LpFi  A  Giả sử n  i1      A    i    với i  1: n Khi i pi   i p i n n  r n  i  i i 1   i 1 r pi r Hơn nữa,   A    i  r    với i  1: n Chúng ta có đánh giá sau: p   pi i p i i n n    i i i 1 i 1 r pi Chứng minh: Từ Bổ đề 2.3 bất đẳng thức Young, có r n  i 1 n  i r i 1   i i    pi A   i 1  i pi n r r  n  d  i   i 1   r  i pi A  p   i 1 i  i pi n r p i  d    Áp dụng Định lý 3.4, suy  r  i A  i 1 pi   i pi  n p i  n  d     i A    i 1   i pi p i  d    Vì vậy, n  i 1 i r  n  i     A   i 1  i pi      pi r n  d    i  i 1  Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh pi Page 47 Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno Mặt khác, ta thấy     i   A       i pi       pi           A    i  i p i    1     với i  1: n  Áp dụng Mệnh đề 2.1-5, thu p i  d   với i  1: n     A   i  i pi Vì vậy, n n  r n  i  i i 1   i 1 r pi r Hơn nữa,   A   i  r    với i  1: n Khi đó, p   pi i p i i     i   A       i pi         pi    r  pi       A   r i   i  pi  pi      r với i  1: n    pi Suy được,   A   i  i pi p i  d   r với i  1: n  pi  Do đó, n n  i i 1   i r i 1 pi Chứng minh Định lý 3.6 hoàn thành 1.3.4 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong Chuyên đề này, đưa dạng tổng quát loại bất đẳng thức Holder cho tích phân Sugeno dựa số điều kiện độ do, tùy vào trường hợp mà thu dạng bất đẳng thức tương ứng Các kết mơ tả Định lý 3.1-3.6 Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 48 Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno 1.3.5 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L Wu, J Sun, X Ye, L Zhu, Holder type inequality for Sugeno integral, Fuzzy Sets and Systems, 161(2010), 2337-2347 [2] M Boczek, M Kaluszka, On the Minkowski-Holder type inequalities for generalized Sugeno integrals with an application, Kybernetika, 52(2016), 329-347 [3] M Boczek, A Hovana,O Hutník, M Kaluszka, Holder-Minkowski type inequality for generalized Sugeno integral, Fuzzy Sets and Systems, 396(2020), 51-71 [4] D Ralescu, G Adam, The fuzzy integral, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 75(1980), 562-570 [5] Z Wang, G Klir, Fuzzy Measure Theory, New York, 1992 [6] M Sugeno, Theory of fuzzy integrals and its applications, Ph.D Thesis, Tokyo Institute of Technology, 1974 Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 49 Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno II TÀI LIỆU KHOA HỌC ĐÃ XUẤT BẢN Tran Nhat Luan, Do Huy Hoang, Tran Minh Thuyet (2022) On the coincidence of lower and upper generalized Sugeno integrals Fuzzy Sets and Systems Doi: https://doi.org/10.1016/j.fss.2022.04.013 Do Huy Hoang , Pham Thanh Son, Ho Quang Duc, Dao Van Duong, Tran Nhat Luan (2022) On a convergence in measure theorem for the seminormed and semiconormed fuzzy integrals Fuzzy Sets and Systems Doi: https://doi.org/10.1016/j.fss.2022.08.008 Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 50 Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno III CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Tham gia hỗ trợ chuyên đề thạc sĩ “Bất đẳng thức” học viên cao học Nguyễn Thị Minh Hiệp Tiến sĩ Mai Thành Tấn Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 51 Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno IV HỘI NGHỊ, HỘI THẢO Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 52 Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno V FILE DỮ LIỆU Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 53 Bất đẳng thức cho tích phân Sugeno PHỤ LỤC Bài báo : On the coincidence of lower and upper generalized Sugeno integrals Tạp chí : Fuzzy Sets and Systems Tác giả : Tran Nhat Luan, Do Huy Hoang, Tran Minh Thuyet Bài báo : On a convergence in measure theorem for the seminormed and semiconormed fuzzy integrals Tạp chí : Fuzzy Sets and Systems Tác giả : Do Huy Hoang , Pham Thanh Son, Ho Quang Duc, Dao Van Duong, Tran Nhat Luan Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 54