Sử dụng một số phương pháp đại số để giải bài toán hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VŨ VĂN CHÍNH SỬ DỤNG MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP ĐẠI SỐ ĐỂ GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC Chun ngành: Phƣơng pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8460113 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Cơng trình đƣợc hoàn thành tại: TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Việt Hải Phản biện 1: PGS.TS Trịnh Thanh Hải Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Văn Hoàng Luận văn đƣợc bảo vệ trƣớc Hội đồng chấm luận văn Họp tại: TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Ngày 27 tháng năm 2018 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên - Thƣ viện Trƣờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Mở đầu Giải tốn hình học phương pháp hình học túy đơi khó khăn đặc biệt toán nâng cao kỳ thi học sinh giỏi Tất nhiên lời giải hình học đẹp đẽ ưu tiên số lúc ta tìm Trên thực tế kiến thức đại số hỗ trợ nhiều cho việc giải tốn hình học, nhiều trường hợp cách "đại số hóa” tồn phận tốn hình học làm cho lời giải toán đơn giản hơn, gần gũi Đó lý tơi chọn đề tài "Sử dụng số phương pháp đại số để giải tốn hình học" Mục đích đề tài luận văn - Tìm hiểu cách sử dụng số phương pháp đại số giải toán hình học bao gồm: Phương pháp biến đổi đại số trực tiếp; phương pháp lập phương trình-hệ phương trình; phương pháp hàm số bất đẳng thức; phương pháp tọa độ hóa Lựa chọn phương pháp tùy thuộc vào đặc trưng tốn hình học xét - Trình bày bước vận dụng phương pháp nói vào việc giải tốn hình học thơng qua ví dụ minh họa điển hình - Kết hợp kiến thức lượng giác giải tích để phương pháp đại số áp dụng vào hình học đạt hiệu Trình bày lời giải tốn hình bao họ đường thẳng mặt phẳng, giới thiệu phương trình hình học - Bồi dưỡng lực dạy học chun đề hình học khó trường THPT góp phần đào tạo học sinh giỏi mơn Toán 2 Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Chương Kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm: (1) Các hệ thức hình học phẳng khơng gian; (2) Cách giải phương trình, hệ phương trình; (3) Các bất đẳng thức bản, cách tìm cực trị; (4) Mặt phẳng tọa độ không gian tọa độ; (5) Tọa độ tỷ cự Chương Một số phương pháp đại số tốn hình học Chương nội dung luận văn, bao gồm mục sau: (1) Phương pháp biến đổi đại số trực tiếp; (2) Phương pháp lập phương trình, hệ phương trình; (3) Phương pháp hàm số bất đẳng thức; (4) Phương pháp tọa độ hóa Chương Các vấn đề liên quan Chương bao gồm mục sau: (1) Hình bao họ đường thẳng, họ mặt phẳng; (2) Giới thiệu phương trình hình học Chương Kiến thức chuẩn bị Để giúp cho việc giải tốn hình học phương pháp đại số ta cần hệ thống kiến thức cần thiết hệ thức hình học, số kiến thức đại số sau: 1.1 Các hệ thức hình học (1) Tam giác vng; (2) Định lý cosin hệ quả; (3) Định lý sin; (4) Định lý hàm tan; (5) Độ dài đường trung tuyến; (6) Độ dài đường phân giác; (7) Diện tích hình phẳng: Tam giác vuông; tam giác thường; tam giác đều; hình thang; hình bình hành; hình trịn (8) Một số hệ thức đặc biệt tam giác đường tròn: Hệ thức Stewart; hệ thức Euler; hệ thức Ptole0 my; hệ thức Leibniz (9) Khoảng cách điểm đặc biệt 1.2 Biến đổi đại số, giải phương trình, hệ phương trình Giải phương trình tìm hết tất nghiệm phương trình Về phương diện lơgic đưa ba phương pháp sau: (1) Biến đổi hệ thử lại, (2) Biến đổi tương đương, (3) Đoán nhận khẳng định 1.3 Các bất đẳng thức bản, cách tìm cực trị 1.3.1 Bất đẳng thức đại số (a) Bất đẳng thức Cauchy; (b) Bất đẳng thức Bunhiacopski; (c) Bất đẳng thức Chebyshev; (d) Bất đẳng thức Bernouly 1.3.2 Định lý dấu tam thức bậc hai 1.3.3 Tìm cực trị biểu thức biến 1.4 Mặt phẳng tọa độ không gian tọa độ 1.4.1 Mặt phẳng tọa độ Đường thẳng a Cơng thức tính góc đường thẳng b Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng c Phương trình đường phân giác góc tạo đường thẳng Đường trịn a Phương trình đường trịn b Phương tích M0 (x0 , y0 ) đường tròn Elip, Hypebol, Parabol a Phương trình tắc đường nic b Điều kiện tiếp xúc đường cô nic đường thẳng Ax + By +C = 1.4.2 Khơng gian tọa độ a Tích có hướng hai véc tơ b Phương trình đường thẳng c Góc hai đường thẳng d Khoảng cách hai đường thẳng chéo e Góc đường thẳng ∆ mặt phẳng α 1.5 1.5.1 Tọa độ tỷ cự Nhắc lại tọa độ tỷ cự Định nghĩa Giả sử ABC tam giác sở Tọa độ tỷ cự điểm M tam giác ABC ba số (x : y : z) cho x : y : z = MBC : MCA : MAB Ta ký hiệu tọa độ tỷ cự điểm M M(x : y : z) ta có M(x : y : z) M(kx : ky : kz) với k 6= Tọa độ gọi chuẩn hóa x + y + z = G(1 : : 1); I(a : b : c); O(sin 2A : sin 2B : sin 2C) O(a2 (b2 + c2 − a2 : b2 (c2 + a2 − b2 ) : c2 (a2 + b2 − c2 ) Oa (−S(Oa BC) : S(OaCA) : S(Oa AB) ) ≡ Oa (−a : b : c) Ob (S(Oa BC) : −S(OaCA) : S(Oa AB) ) ≡ Ob (a : −b : c) Oc (S(Oa BC) : S(OaCA) : −S(Oa AB) ) ≡ Oc (a : b : −c)   1 H(tan A : tan B : tanC) ≡ : : b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 a2 + b2 − c2 1.5.2 Một số kiện hình học tọa độ tỷ cự a Diện tích tam giác: Lấy ABC tam giác sở, giả sử P(p1 : p2 : p3 ), Q(q1 : q2 : q3 ), R(r1 : r2 : r3 ) có tọa độ tỷ cự chuẩn hóa theo ABC Khi ta có: p q r 1 PQR = p2 q2 r2 ABC p3 q3 r3 b Đường thẳng qua điểm P(p1 : p2 : p3 ), Q(q1 : q2 : q3 ) c Phương trình đường thẳng: ux + by + cz = d Vị trí tương đối hai đường thẳng e Phương trình tổng quát đường tròn f Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : a2 yz + b2 zx + c2 xy = Chương Một số phương pháp đại số tốn hình học Nội dung chương trình bày số phương pháp đại số để giải tốn hình học: (1) Phương pháp biến đổi đại số trực tiếp; (2) Phương pháp lập phương trình, hệ phương trình; (3) Phương pháp hàm số, bất đẳng thức; (4) Phương pháp tọa độ hóa Các ví dụ minh họa tham khảo [4], [5], [7] 2.1 Phương pháp biến đổi đại số trực tiếp Nội dung phương pháp sử dụng hệ thức hình học có để biểu diễn đại lượng hình học, điều kiện tốn sau dùng biến đổi đại số trực tiếp để giải tốn Ta xét số ví dụ điển hình 2.1.1; 2.1.6, ví dụ tốn khác trình bày luận văn 2.1.1 Tính tốn đại lượng hình học Ví dụ 2.1.1 Cho tam giác ABC thỏa mãn BC2 + AC2 = 5AB2 Tìm góc trung tuyến AM BN Lời giải [ = ϕ Theo tính chất trọng tâm O Ký hiệu AB = c, BC = a, AC = b, NOM 1p 2(b + c2 ) − a2 công thức độ dài đường trung tuyến ma = Ta có độ dài OM, ON ma OM = = q q m b 2(b2 + c2 ) − a2 ; ON = = 2(b2 + c2 ) − a2 (2.1) c Ta có MN = , từ (2.1) áp dụng định lý cô sin ∆OMN: m2a m2b 2ma mb c2 + − cos ϕ = 9 ⇔ 2b2 + 2c2 − a2 + 2a2 + 2c2 − b2 − 8ma mb cos ϕ = 9c2 ⇔ b2 + a2 + 4c2 − 8ma mb cos ϕ = 9c2 ⇔ 8ma mb cos ϕ = 5c2 − b2 + a2 π Từ suy cosϕ = ϕ = Ví dụ 2.1.2 (Xem luận văn) Ví dụ 2.1.3 (IMO 1975, #3) Trên cạnh tam giác ABC tùy ý dựng d = CAQ d = 450 , BCP d = phía bên ngồi tam giác ABR, BCP,CAQ với CBP d = 300 , ABR d = BAR d = 150 Chứng minh QRP d = 900 QR = RP ACQ 2.1.2 Các tốn chứng minh Ví dụ 2.1.4 (Xem luận văn) Ví dụ 2.1.5 ([1]) Nếu trọng tâm G nằm đường trịn nội tiếp tam giác ABC ta có hệ thức: 5(a2 + b2 + c2 ) = 6(ab + bc + ca) Chứng minh Áp dụng công thức (9) chương ta có: IG = q 9r2 − 3p2 + 2(a2 + b2 + c2 ) 1p 9r − 3p2 + 2(a2 + b2 + c2 ) 3 ⇔ 9r2 = 9r2 − 3p2 + 2(a2 + b2 + c2 ) ⇔ (a + b + c)2 = 2(a2 + b2 + c2 ) 2 ⇔ 5(a + b + c ) = 6(ab + bc + ca) Khi G ∈ (I, r) IG = r hay r = Ví dụ 2.1.6 (Xem luận văn) Ví dụ 2.1.7 (Xem luận văn) Ví dụ 2.1.8 (Định lý Carnot, xem [1]) Cho tam giác ABC, cạnh BC,CA, AB lấy điểm D, E, F Qua D dựng d2 ⊥CA, qua F dựng d3 ⊥AB Chứng minh d1 , d2 , d3 đồng quy DB2 + EC2 + FA2 = DC2 + EA2 + FB2 (2.2) Ví dụ 2.1.9 (Định lý Steiner, xem [1]) Cho tam giác ABC, ký hiệu bán kính r, R, , rb , rc chương Khi ta có + rb + rc = r + 4R (2.3) Ví dụ 2.1.10 (Xem luận văn) Bài toán 2.1; Bài toán 2.2; Bài toán 2.3; Bài toán 2.4 (Xem luận văn) 2.2 Phương pháp lập phương trình, hệ phương trình Giải tốn hình học phương pháp lập phương trình, hệ phương trình thực theo bước sau: • Chọn ẩn x: độ dài, khoảng cách, góc, với điều kiện thích hợp • Từ quan hệ hình học tìm quan hệ đại số đại lượng dẫn đến phương trình, hệ phương trình đại số • Giải phương trình, hệ phương trình lấy nghiệm thích hợp Để minh họa phương pháp ta xét hai ví dụ 2.2.3; 2.2.8, ví dụ khác trình bày luận văn 2.2.1 Tính tốn đại lượng hình học Ví dụ 2.2.1 (Xem luận văn) Ví dụ 2.2.2 (Xem luận văn) Ví dụ 2.2.3 Trên cạnh huyền BC tam giác vuông ABC lấy điểm M, √ cạnh AC lấy điểm N cho MN k AB Biết AB = AN = 1cm,CM = 3cm Tìm độ dài đoạn thẳng MN Lời giải