62 hsg vĩnh phúc (22 23)

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Tỉnh Vĩnh Phúc x2 y2 x2 y P    x  y  1  y   x  y  1  x  1  x 1  y  Câu Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn P 2 d : y 2 x  m  1, Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba đường thẳng   m  d  : y x  m2  m  d3  : y 3x  m  m  Biết  d1  cắt  d  ,  d3  A  x1; y1  B  x2 ; y2  Tìm 2 x  x  y  y 320 để     Câu Cho đa thức P  x   x3  ax  bx  c Biết P  x chia cho  x   P  x  chia cho  x  1 P dư 2x Tính   Câu  2x Giải phương trình  21x  55  3x    x  5  x    x  y  x  y   x y  x   x, y     2 x  y  y   x Câu Giải hệ phương trình  Câu Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Gọi I , K trung điểm cạnh AB, AC Tính chu vi tam giác IHK biết BH 18 cm, CH 32 cm Câu Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM , CN cắt điểm G Gọi K d điểm cạnh BC , đường thẳng   qua K song song với CN cắt AB D , đường d thẳng   qua K song song với BM cắt AC E Gọi I giao điểm hai đường thẳng KG DE Chứng minh I trung điểm đoạn thằng DE Câu Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB BC BD Gọi H trung điểm đoạn thẳng CD Đường thẳng (d ) qua điểm H cắt đường thẳng AC , AD E , F   cho D nằm A F Chứng minh DBF EBC Câu Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng với giá bán 50000 đồng Với giá bán ngày cửa hàng bán 40 Cửa hàng dư định giảm giá bán, ước tính cửa hàng giảm 1000 đồng số bưởi bán tăng thêm 10 ngày Xác định giá bán để cửa hàng thu lọi nhuận cao nhất, biết giá nhập ban đầu cho bưởi 30000 đồng CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 2 Câu 10 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 1 Chứng minh a3 b3  c   b  bc  c a2 -Hết HƯỚNG DẪN GIẢI P x2 y2 x2 y    x  y  1  y   x  y  1  x  1  x 1  y  Câu Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn P 2 Lời giải a) P  x2 y2 x2 y    x  y  1 y   x  y  1 x 1 x 1 y  x2   x   y2   y   x2 y  x  y   x  y  1 x 1 y  x3  x  y  y3  x y  x  y    x  y  1 x 1 y  x  y   x  y    x  y   x  xy  y     x  y  1 x 1 y  x  y   x  y  x  xy  y  x y    x  y  1 x 1 y   x  y    y   x2  x2 y  x  y    x  y  1 x 1 y  x  y    y    x   x  xy  y    x  y  1 x 1 y  x2 y2  x  y   x  xy  y b) P 2  x  xy  y 2   x  1   y  1  1; 2 Vì x, y nguyên nên x  1; y  1   x  1; y   Ư     x  1  x 2   +  y  1  y 0 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023  x    x 0   +  y    y  Vậy  x; y     2;  ;  0;   d : y 2 x  m  1,  d  : y x  m  m Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba đường thẳng   m  d3  : y 3x  m2  m  Biết  d1  cắt  d  ,  d3  A  x1; y1  B  x2 ; y2  Tìm 2 x1  x2    y1  y2  320  để Lời giải d1  : y 2 x  m  d  : y x  m2  m   Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: x  m  x  m  m  x  m  y 2   m  1  m    m  1 d Thay vào phương trình   ta được: A   m  1;   m  1  Khi Tương tự ta tìm  x1  Theo ta có:  B m  1;   m  1 2  x2    y1  y2  320 2 2    m   m  1    m  1   m  1  320    4m  16m 320  m 16  m 4 Vậy m 4 Câu Cho đa thức P  x   x3  ax  bx  c Biết P  x x  1 x  2 P  x   chia cho chia cho P dư 2x Tính   Lời giải P  x chia cho  x   dư P  x x chia cho  Do P  x   2x  1 2x  P  x   x chia hết cho  x   x  1  P  x   2x  2x dư chia hết cho x  1 chứa nhân tử x  ,  CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 P x Vì đa thức   có bậc hệ số hạng tử bậc cao nên số hạng tử bậc cao P  x   x  x  1  x    P  x   x  1  x    x Khi ta có Suy Q  x P  3 14  2x Câu Giải phương trình  21x  55   3x   x  5  x   Lời giải ĐKXĐ:  2x x  21x  55    x    x  11 3x       x    x  11  x  5  x    3x      1  +)     x  11    3x    x  0  1    x  11 x    +) x    x   0 x   0  x   0   x 5(Tm)  x   x   25 0   x  11  x    x    x    x      x  11  25 0    x  3  x    x  3  x  8   x  x  0   x  11        x    x   x    x        x  11 x  11   x  3  x       0  x    x   x    x      x  3  x   0  x 3 (Tm)   x 8 (Tm)   x  11 x  11   0 x x   x  x   x      Vì với CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 có bậc hệ Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Vậy, x   3;5;8  x  y  x  y   x y  x   x, y     2 x  y  y   x  Câu Giải hệ phương trình  Lời giải  x  y  x  y   x y  x   1  2 3 x  y  y  8 x   2 Cộng vế (1) (2) ta được: x  x  15 y 15 x  x y  xy   x  y   x  3  x   0  x y   x 3  x  2 +) Thay x  y vào (2) ta được: 3x  x  x  8 x  x  0 (PT vô nghiệm) +) Thay x 3 vào (2) ta được:  y  27  y  y  40  y  y  0   y  1  y   0    y  +) Thay x 5 vào (2) ta được: 75  y  y  40  y  y  39 0   y    23 0 Vậy, (PT vô nghiệm)  x; y     3;  1 ;  3;    Câu Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Gọi I , K trung điểm cạnh AB, AC Tính chu vi tam giác IHK biết BH 18 cm, CH 32 cm Lời giải CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 A K I B C H Ta có IK đường trung bình tam giác ABC nên IK  AB 25  cm  Xét ABC vuông A đường cao AH có: +) +) AB  BH BC  18.50 30  cm   HI  AB 15  cm  AC  CH BC  32.50 40  cm   HK  AC 20  cm  15  20  25 60  cm  Khi chu vi tam giác IHK bằng: Câu Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM , CN cắt điểm G Gọi K d điểm cạnh BC , đường thẳng   qua K song song với CN cắt AB D , d đường thẳng   qua K song song với BM cắt AC E Gọi I giao điểm hai đường thẳng KG DE Chứng minh I trung điểm đoạn thằng DE Lời giải A N M G I D H B E J O K C Gọi H giao DK BM , O giao KE CN , J giao GK HO CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023  HK // GO  Tứ giác HGOK có:  HG // KO  Tứ giác HGOK hình bình hành  J trung điểm HO  HJ OJ DH BH  BNG có NG BG (Hệ định lý Talet) (1) HK BH HK //GC   BGC có GC BG (Hệ định lý Talet) (2) DH HK DH NG     (*) HK GC Từ (1) (2) ta có NG GC ( Do G trọng tâm ABC ) OE OC OE //GM   GM CG  3 Tương tự, ta có: CMG có OK OC OK //BG   CBG có GB CG   OE OK OE GM 3   GM  GB  OK  GB  (*)   Từ DH //NG  DH OE    OH //DE HK OK Từ (*) (**) (Định lý Talet đảo) J HO  I Lại có trung điềm trung điềm DE  Câu Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB BC BD Gọi H trung điểm đoạn thẳng CD Đường thẳng (d ) qua điểm H cắt đường thẳng AC , AD E , F   cho D nằm A F Chứng minh DBF EBC Lời giải A D F CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 B K E M H N C Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Gọi M giao điếm cùa BF CD , N giao BE CD , K giao EF AB DM FD  (1) AB FA Xét tam giác FAB có DH FD DH / / AK   (2) AK FA Xét tam giác FAB có DM DH DH AB   DM  AK Từ (1) (2) suy AB AK (*) NC EC AB / / NC   (3) AB EA Xét tam giác ENC có HC EC AK / / HC   (4) AK EA Xét tam giác EHC có NC HC HC AB HD AB   NC   AK AK (**) Từ (3) (4) suy AB AK Từ (*) (**) suy DM NC DM / / AB    Vì BD BC nên tam giác BCD cân B , suy BDM BCN   Suy BDM BCN  DBF EBC Câu Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng với giá bán 50000 đồng Với giá bán ngày cửa hàng bán 40 Cửa hàng dư định giảm giá bán, ước tính cửa hàng giảm 1000 đồng số bưởi bán tăng thêm 10 ngày Xác định giá bán để cửa hàng thu lọi nhuận cao nhất, biết giá nhập ban đầu cho bưởi 30000 đồng Lời giải Gọi x giá bán để lợi nhuận cao ( x : đồng, 30000  x 50000 ) Tương ứng với giá bán x số bán ngày 40  Gọi T  x 10 x  540  50000  x   1000 100 số tiền lãi thu ngày, ta có   T  x    x  540   x  30000   x  840 x  16200000 100  100  (đồng)   T  x    x  4200   1440000 1440000, x   30000;50000  10  Ta có  max T  x  T  42000  1440000 x 30000;50000 Vậy giá bán 42000 đồng bưởi cửa hàng thu lợi nhuận cao CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 2 Câu 10 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 1 Chứng minh a3 b3  c   b  bc  c a2 x2 y  x  y    , x, y   a b Chứng minh bổ đề: a b ; a, b  x2 y  x  y      a  b   x 2b  y a  ab  x  y  a b Thật vậy: a b   xb  ya  0 (luôn đúng) x y  Dấu “=” xảy a b Áp dụng bổ đề ta có a  b2  c2   a4 b4 c4 VT     a  b  bc  c  a b a c a  b  bc  c   a 2b  a 2c a  b  bc  c  a  b  c   Theo bất đẳng thức AM  GM , ta có VT  1  2  a  b  bc  c  a  b  c   a2   b  c   a2   b  c  a  b  bc  c   a  b  c     2   2 a  a  3b  3c  a   2a   Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho ba số dương 2a , 2  3a 2 a3 b3  c   2 2    a   2a   a   2a  b  bc  c a2  a b c  a b  c    2a   2 a  b  c 1 2a  Dấu “=” xảy CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 (khơng xảy ra) 2 , 2 ta có: Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 2023 a2 b3  c   2 a2 Vậy b  bc  c (ĐPCM) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 2023 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-