Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Học sinh giỏi 99 Tỉnh Bình Phước KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2022 - 2023 MƠN: TỐN Thời gian làm bài:150 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 18/03/2023 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có 01 trang) Câu (5.0 điểm) x x 2 9 x x 9 P : 1 x x x x x Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x 13 48 1 0 x , y , z x y z Cho ba số thực khác , thoả mãn yz zx xy 3 x y z Chứng minh rằng: Lời giải 1a) P xác định x P 2 x x P 2 x x 0 x 4 x 9 x 2 x x x : x x x x x 2 x 3 x : x 3 x x 3 x 2 x x 2 : x 3 x 3 x x 3 1b) Ta có 12 P 3 13 48 3 1 3 2) + Chứng minh toán: Nếu a b c 0 a b c 3abc 1 1 1 0 3 3 y z xyz + Vì x y z x, y, z 0 nên suy x VT Do Câu (5.0 điểm) 1 1 yz zx xy xyz xyz 3 VP x y z y z xyz x (đpcm) Giải phương trình: CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 3x 1 x x 0 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 Giải hệ phương trình: TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 xy 2 x y x y 1 x y x y Cho đường thẳng ( d ) : mx (m 1) y 2m 0 (với m tham số) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d ) qua với giá trị m Lời giải x 1) Điều kiện: Ta có: x 1 x x 0 2x 2 x 0 x 1 1 0 3x x 3x x x 1 ( N ) 3x x 2 Giải phương trình: x x 2 x (3 x 1)( x 3) 4 (3x 1)( x 3) x (Đk: x 0 ) x 5 ( L) x 5 ( N ) x 10 x 0 Vậy phương trình có nghiệm x1 1; x2 5 2) Điều kiện: x y Biến đổi phương trình (1): xy xy x2 y 1 x y xy 0 x y x y Đặt x y S , xy P (với S 4 P ), ta có phương trình: S P SP S 0 S2 2P P 0 S S 1 ( S 1)( S S P ) S ( S 1) P( S 1) 0 S S P 0 y 0 y y y y 0 y 3 +Với x y 1 thay vào (2) ta được: x; y 1;0 ; 2;3 S S P 0 x y x y xy 0 + Với x y x y 0 (Loại, x y ) x; y 1;0 ; 2;3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm A xA ; y A 3) Gọi điểm cố định mà đường thẳng (d ) qua với giá trị m, ta có phương trình: mx A ( m 1) y A 2m 0 x A y A m y A có nghiệm m CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 x y A 0 A y A 0 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 x A 1 y A 1 Vậy đường thẳng (d ) qua điểm A 1;1 với giá trị m O; R dây cung BC cố định BC R Điểm A di động Câu (5.0 điểm) Cho đường tròn O; R cho tam giác ABC nhọn Kẻ đường cao AD trực tâm H tam giác ABC đường trịn a) Đường thẳng chứa phân giác ngồi góc BHC cắt AB, AC điểm M , N Chứng minh tam giác AMN cân b) Các điểm E , F hình chiếu D đường thẳng BH , CH Các điểm P, Q hình chiếu D cạnh AB, AC Chứng minh điểm P, E , F , Q thẳng hàng OA PQ c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác góc BAC K Chứng minh đường thẳng HK qua điểm cố định Lời giải y A x B' Q O C' H F M P B N E C D ' ' a) Gọi B hình chiếu điểm B AC , C hình chiếu điểm C AB ' HM B ' HN NHC C Ta có ' C ' HM B HN g g AMN ANM t / c AMN cân A BPED ) b) + Ta có PEB PDB (vì chắn cung PB đường trịn ’ PDB HCD (vì đồng vị PD / / CC ) HCD FDH (vì phụ FHD ) DEHF ) FDH FEH (vì chắn cung FH đường tròn PEB FEH Mà điểm B.E,H thẳng hàng nên điểm P, E , F thẳng hàng CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Tương tự chứng minh điểm E , F , Q thẳng hàng Do điểm P, E , F , Q thẳng hàng O , + Kẻ xy tiếp tuyến A Ta có xAB ACB (cùng chắn cung AB (O)) AP AB AQ AC AD Mà tứ giác BPQC nội tiếp APQ ACB xAB APQ xy / / PQ Mà xy AO (t/c tiếp tuyến) Do OA PQ c) A B' O C' M H V U K B N C D ’ ’ Gọi U giao điểm BB KM , V giao điểm CC KN + Ta có AMN cân A nên đường phân giác AK góc MAN đường trung trực AMN MN AK đường kính AMK 900 MK / / CC ' hay UK / / HV Tương tự KV//UH nên tứ giác HVKU hình bình hành HK qua trung điểm UV (1) UB MB VC NC MU / /C ' H ' UH MC (ta lét), tương tự VH NB ' + Ta có MB HB ' ' ' Mà MC HC (t/c đường phân giác góc BHC ), NC HC ' ' tương tự NB HB HB HC ' ' ' ' Mà HC HB (vì C HB B HC ) UB VC UV / / BC UH VH (Ta lét đảo) (2) HK qua trung điểm BC Từ (1) (2) Mà BC cố định nên HK qua điểm cố định O tiếp Câu (2.0 điểm) Cho tam giác ABC cân A , điểm O trung điểm BC Đường tròn O , tiếp tuyến xúc với cạnh AB , AC E , F Điểm H chạy cung nhỏ EF CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 O H cắt AB, AC M , N Xác định vị trí điểm H để diện tích tam giác đường trịn AMN đạt giá trị lớn Lời giải A N H M F E B C O · · (O ) ) + Ta có OM ,ON phân giác EOM , FOH (t/c tiếp tuyến cắt · · EOF 1800 - BAC · · Þ MON = = = ABC 2 Þ D MBO D MON (g.g) Cmtt D OCN D MON MB BO Þ = Þ D MBO D OCN OC CN BC Þ BM CN = OB OC = = const (1) S S ABC S BMNC + Lại có AMN SAMN S đạt giá trị lớn BMNC đạt giá trị nhỏ (O ) , ta có: Gọi R bán kính đường tròn S BMNC S BOM SMON S NOC R BM MN NC 1 R BM NC EM FN R 2BM 2CN 2BE 2 R BM CN BE (Vì BE CF , ME MH , NF NH ; MH NH MN ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, từ (1) (2) suy ra: ỉ BC ÷ SBMNC ³ R BM CN - BE = R ỗ - BE ữ = const ç ÷ ÷ ç è2 ø ( ) (Vì D ABC cố định nên BC BE không đổi) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Dấu " = " xảy BM = CN Û MM / / BC H giao điểm (O ) đường trung trực BC với đường tròn Vậy diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn H giao đường trung trực BC (O ) với đường tròn Câu (3.0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương, thoả mãn ab bc ca 1 a 4b b c c a 2abc a b c Chứng minh rằng: 2 Giải phương trình sau với nghiệm nguyên: x y 3xy x y 0 Lời giải 1) + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số thực dương ta có: 2 a b abc ca a bc 2 b c a bc ab b ca 2 c a ab c bc c ab Cộng vế theo vế bất đẳng thức kết hợp với giả thiết ta được: a 4b b c c a abc a b c (1) + Áp dụng đẳng thức phụ dạng: x2 + y2 + z2 ³ xy + yz + zx Û xy + yz + zx £ ( x + y + z) ta được: 1 abc a b c ab.ac bc.ba ca.cb ab bc ca 3 4 abc a b c abc a b c Hay (2) Cộng theo vế (1) (2) ta có (đpcm) Dấu “=” xảy 2) Ta có x y xy x y 0 a b c 3 x xy x xy y y x y 0 x y x y 1 5 Tìm đươc nghiệm ngun CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 x; y phương trình là: -Hết - 6;5 , 0; 3 , 6; 3 , 12;5 Trang