Về giá trị lớn nhất của dạy stern

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– PHẠM THỊ THU THỦY VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA DÃY STERN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 10/2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– PHẠM THỊ THU THỦY VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA DÃY STERN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS TS NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN, 10/2018 iii Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số Fibonacci 1.2 Mảng diatomic Stern 1.3 Dãy diatomic Stern 4 Chương Về giá trị lớn dãy Stern 14 2.1 Giá trị lớn hàng mảng diatomic Stern 14 2.2 Giá trị lớn thứ hai hàng mảng diatomic Stern 16 2.3 Giá trị lớn thứ ba hàng mảng diatomic Stern 22 2.4 Dãy w(n) 30 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Bảng ký hiệu N Z≥0 Q+ (Fn )n∈N Fn (S(n))n∈N S(n) (w(n))n∈N SEA nr , n∗r Lk (r) gk (n) tập hợp số tự nhiên tập hợp số nguyên không âm tập hợp số hữu tỉ dương dãy số Fibonacci số Fibonacci thứ n dãy Stern số Stern thứ n dãy sinh dãy Stern thuật toán Euclide chậm số thứ tự mà phần tử S(nr ) S(n∗r ) phần tử lớn hàng thứ r phần tử lớn hàng thứ r ước chung lớn n + k + số liền dãy (w(n))n∈N Mở đầu Tam giác Pascal khái niệm toán học quen thuộc người học toán Trong tam giác số này, hàng thứ hai, số hàng thứ n, từ cột thứ hai đến cột thứ n−1 tổng hai số đứng hàng cột cột trước Năm 1858, Stern nghiên cứu mảng diatomic, mảng có nhiều tính chất tương tự tam giác Pascal Mảng diatomic dãy diatomic Stern nhiều nhà toán học nghiên cứu, nhiên có nhiều kết công bố Một kết nghiên cứu gần dãy Stern giá trị lớn nhất, giá trị lớn thứ hai, giá trị lớn thứ ba hàng mảng diatomic dãy Stern Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, chọn đề tài “Về giá trị lớn dãy Stern” làm đề tài luận văn cao học Mục tiêu luận văn đọc hiểu trình bày lại hai báo [4] [9] Ngồi phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày dãy số Fibonacci, dãy số Stern số tính chất dãy Stern Chương Giá trị lớn dãy Stern Trong chương trình bày giá trị lớn giá trị lớn nhất, giá trị lớn thứ hai, giá trị lớn thứ ba dãy S(n) Ngồi ra, chương cịn trình bày thêm dãy w(n) giá trị lớn dãy w(n) Để hồn thành luận văn này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nông Quốc Chinh, người thầy nhiệt huyết truyền thụ kiến thức, hướng đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình làm luận văn Đồng thời, xin chân thành cảm ơn thầy, cô phản biện dành thời gian đọc đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy Khoa Tốn – Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực hoàn thành luận văn Qua luận văn này, muốn gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln động viên, giúp đỡ thời gian làm luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng hồn thiện luận văn tất nhiệt tình lực Tuy nhiên, luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận đóng góp q báu thầy bạn Thái Nguyên, ngày 22 tháng năm 2018 Tác giả luận văn Phạm Thị Thu Thủy Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số Fibonacci Định nghĩa 1.1.1 Dãy số Fibonacci, ký hiệu {Fn }, định nghĩa hệ thức truy hồi sau: Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ≥ 2, với F0 = 0, F1 = Theo định nghĩa, ta có dãy Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, Số hạng tổng quát dãy số Fibonacci xác định công thức Binet đây: √ √ 1+ 1− Mệnh đề 1.1.2 (Công thức Binet) Với n ∈ Z, α = β = , 2 ta có αn − β n Fn = α−β Tiếp theo chúng tơi trình bày số tính chất dãy số Fibonacci, kết sử dụng chứng minh phần sau Mệnh đề 1.1.3 ([11, Bổ đề 2.1]) Với số nguyên n ≥ 1, ta có Fn2 − Fn−1 Fn+1 = (−1)n−1 Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo n Với n = 1, ta có F12 − F0 F2 = 12 − 0.1 = = (−1)0 (1.1) Giả sử, đẳng thức với n > 1, ta chứng minh đẳng thức với n + Thật vậy, ta có Fn+1 − Fn Fn+2 = (Fn + Fn−1 )2 − Fn (Fn + Fn+1 ) = Fn2 + 2Fn Fn−1 + Fn−1 − Fn2 − Fn Fn+1 = 2Fn Fn−1 + Fn−1 − Fn Fn+1 = 2Fn Fn−1 + Fn−1 − Fn (Fn + Fn−1 ) = Fn−1 + Fn Fn−1 − Fn2 = Fn−1 (Fn−1 + Fn ) − Fn2 = Fn−1 Fn+1 − Fn2 = −(−1)n−1 = (−1)n Suy điều phải chứng minh Mệnh đề 1.1.4 ([11, Bổ đề 2.1]) Với hai số nguyên dương m, n bất kỳ, ta có đẳng thức sau Fn+m = Fn−1 Fm + Fn Fm+1 (1.2) Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo m Với m = 1, ta có Fn+1 = Fn−1 F1 + Fn F2 = Fn−1 + Fn Với m = 2, ta có Fn+2 = Fn−1 F2 + Fn F3 = Fn−1 + 2Fn = Fn+1 + Fn Giả sử, đẳng thức với m > 2, ta chứng minh đẳng thức với m + Thật vậy, ta có Fn+m+1 = Fn+m−1 + Fn+m = Fn−1 Fm−1 + Fn Fm + Fn−1 Fm + Fn Fm+1 = Fn−1 (Fm−1 + Fm ) + Fn (Fm + Fm+1 ) = Fn−1 Fm+1 + Fn Fm+2 Suy điều phải chứng minh Hệ 1.1.5 ([11, Hệ 2.2]) Với số nguyên n ≥ 1, ta có F2n = Fn (Fn−1 + Fn+1 ) (1.3) Với số nguyên khơng âm n, ta có F2n+1 = Fn2 + Fn+1 (1.4) Với n ≥ 1, có F2n+1 = Fn−1 Fn+1 + Fn Fn+2 (1.5) Với n ≥ 1, có F2n+1 = Fn+1 Fn+2 − Fn−1 Fn (1.6) Hệ 1.1.6 (Tính chất d’Ocagne) Với hai số nguyên m, n m ≥ n, ta có Fm Fn+1 − Fm+1 Fn = (−1)n Fm−n (1.7) Mệnh đề 1.1.7 ([11, Bổ đề 3.1]) Với số nguyên n ≥ 1, ta có Fn Fn+1 − Fn−1 Fn+2 = (−1)n−1 (1.8) Một cách tổng quát ta có mệnh đề đây: Mệnh đề 1.1.8 ([12, Bổ đề 5]) Giả sử a, b, c, d bốn số nguyên dương với a + b = c + d b ≥ max {c, d} Khi đó, ta có Fa Fb − Fc Fd = (−1)a+1 Fb−c Fb−d (1.9) Mệnh đề 1.1.9 ([11, Bổ đề 2.4]) Nếu n ≥ ta có Fn−2 Fn−1 > Fn+1 (1.10) Với n ≥ 3, có F3n−1 (Fn + Fn−3 ) > Fn−2 Fn−1 Fn Fn+1 (1.11) Mệnh đề 1.1.10 ([12, Bổ đề 15]) Với n ≥ 1, có F6n+2 > F2n (F2n−2 + F2n )(F2n+2 + F2n+4 ) (1.12) Với số nguyên dương n, ta có 2F4n (F4n + F4n+2 ) > F2n+2 F4n+3 (F2n−2 + F2n ) (1.13) Với n ≥ 2, có F4n−2 (F2n−2 + F2n )(F2n+2 + F2n+4 ) > F4n (F4n−2 + F4n ) (1.14) Mệnh đề 1.1.11 ([12, Bổ đề 40]) Với n ≥ 1, có 2F3n+3 > Fn Fn+1 Fn+6 (1.15) Chứng minh Ứng dụng đẳng thức (1.2) nhiều lần, ta thu F3n+3 = Fn F2n+2 + Fn+1 F2n+3 > Fn Fn+3 = Fn (Fn Fn+1 + Fn+1 Fn+2 ) + Fn+1 (Fn Fn+2 + Fn+1 Fn+3 ) = Fn Fn+1 (Fn + 2Fn+2 ) + Fn+1 (Fn + 2Fn+1 ) = Fn Fn+1 (Fn + Fn+1 + 2Fn+2 ) + 2Fn+1 > Fn Fn+1 (3Fn+2 + 2Fn+1 ) = Fn Fn+1 Fn+5 Vì ta có 2F3n+3 − Fn Fn+1 Fn+6 > 2Fn Fn+1 Fn+5 − Fn Fn+1 Fn+6 = Fn Fn+1 (2Fn+5 − Fn+6 ) > Hoàn thành việc chứng minh Mệnh đề 1.1.12 ([12, Bổ đề 42]) Với n ≥ 2, có F2n F2n+1 − Fn+1 Fn+4 F2n−2 < Chứng minh Áp dụng hệ thức (1.6) (1.9) ta có Fn+2 Fn+3 − Fn Fn+1 = F2n+3 , Fn+1 Fn+4 − Fn+2 Fn+3 = (−1)n Suy Fn+1 Fn+4 = Fn Fn+1 + F2n+3 + (−1)n > F2n+3 + Vì thế, ta có F2n F2n+1 − Fn+1 Fn+4 F2n−2 < F2n F2n+1 − (F2n+3 + 2)F2n−2 = (F2n F2n+1 − F2n−2 F2n+3 ) − 2F2n−2 = − 2F2n−2 ≤ Suy điều cần chứng minh (1.16) 25 (d) Ta chứng minh hàng (r + 1) mảng diatomic Stern, tất phần tử ngoại trừ L1 (r + 1) L2 (r + 1) nhỏ A Ta thấy với số chẵn 2m ∈ [2r+1 , 2r+2 ], theo tính chất mảng diatomic số Stern S(2m) khơng số cặp đơi, chúng thuộc hàng thứ r Do ta có: S(2m) = S(m) ≤ L1 (r) = Fr+2 ≤ Fr+2 + 5Fr−3 = L3 (r) + L3 (r − 1) = A Tiếp theo xét phần tử S(2m + 1) với 2m + ∈ [2r+1 , 2r+2 ], số phần tử S(2m + 1) hàng (r + 1) trước hết ta loại bỏ (xóa đi) phần tử lớn (L1 (r + 1)) phần tử lớn thứ hai (L2 (r + 1)) hàng Ta chứng minh phần tử lại dạng S(2m + 1) hàng (r + 1) ≤ A Theo Mệnh đề 1.3.8 1.3, ta thấy S(2m + 1) số cặp đơi bậc (r + 1) ta có: S(2m + 1) = S(m) + S(m + 1), phần tử S(m) S(m + 1) phần tử liền hàng thứ r Ký hiệu b phần tử lớn hơn, c phần tử bé phần tử S(m) S(m + 1) Ta thấy b phần tử cặp đôi bậc r, c phần tử thuộc hàng (r − 1) Để chứng minh: S(2m + 1) = b + c ≤ A, ta xét trường hợp đây: (a) Trường hợp b = L1 (r), c = L1 (r − 1) c = L1 (r − 2) L1 (r) + L1 (r − 1) = L1 (r + 1) phần tử lớn hàng (r + 1), nên ta loại bỏ khả c = L1 (r − 1), ta loại phần tử lớn Khi c = L1 (r − 2) ta có: b + c = L1 (r) + L1 (r − 2) = Fr+2 + Fr = Fr+2 + 3Fr−3 + Fr−4 < Fr+2 + 5Fr−3 Suy b = L1 (r) ta có S(2m + 1) = b + c < A (b) Trường hợp b = L2 (r) c nhận giá trị sau: c = L2 (r − 1) c = L2 (r − 2); c = L1 (r − 2) + L1 (r − 4) c = L1 (r − 2) i Với c = L2 (r − 1) ⇒ b + c = L2 (r) + L2 (r − 1) = L2 (r + 1), điều không xảy ra, ta loại bỏ phần tử L2 (r + 1) 26 ii Với c = L2 (r − 2) theo Định lý 2.2.4 ta có: S(2m + 1) = b + c = L2 (r) + L2 (r − 2) = Fr+2 − Fr−3 + Fr − Fr−5 = Fr+2 + Fr−2 + 2Fr−4 = Fr+2 + Fr−3 + 3Fr−4 < Fr+2 + 5Fr−3 = A iii Với c = L1 (r − 2) + L1 (r − 4) ta có b + c = 2L1 (r − 2) + L1 (r − 4) + L1 (r − 2) + L1 (r − 4) = 3L1 (r − 2) + 2L1 (r − 4) = 3Fr + 2Fr−2 = Fr+2 + 3Fr−2 = Fr+2 + 3Fr−3 + 3Fr−4 = Fr+2 + 4Fr−3 + Fr−4 + Fr−6 < Fr+2 + 5Fr−3 = A iv Trường hợp c = L1 (r − 2), hiển nhiên b + c < A (c) Trường hợp b = L3 (r) Theo giả thiết quy nạp có cách để xác định L3 (r), c nhận giá trị sau: c = L3 (r − 1), c = L3 (r − 2), c = 2L1 (r − 4) + L1 (r − 6) c = 3L1 (r − 4) + 2L1 (r − 6) i Với c = L3 (r − 1) Ta có b + c = L3 (r) + L3 (r − 1) = A ii Với c = L3 (r − 2), hiển nhiên b + c < A iii Với c = 3L1 (r − 4) + 2L1 (r − 6) Ta có b + c = 8L1 (r − 4) + 5L1 (r − 6) = 8Fr−2 + 5Fr−4 < A iv Trường hợp c = 2L1 (r − 4) + L1 (r − 6) hiển nhiên b + c < A (d) Trường hợp b < L3 (r) i Với c = L1 (r − 1) = Fr+1 phần tử lớn hàng (r − 1) Khi b = L1 (r − 1) + L1 (r − 2) = L1 (r), ta loại bỏ trường hợp b < L3 (r) Hoặc b = L1 (r − 1) + L1 (r − 3), b + c = 2L1 (r − 1) + L1 (r − 3) = L2 (r + 1), điều khơng xảy ta loại phần tử lớn thứ khỏi hàng (r + 1) ii Với c = L2 (r − 1) Khi b nhận giá trị sau: • Với b = L2 (r − 1) + L2 (r − 2) = L2 (r) Ta loại bỏ khả xét trường hợp b < L2 (r) • Với b = L2 (r − 1) + L2 (r − 3), Khi b + c = 2L2 (r − 1) + L2 (r − 3) = 2Fr+1 − 2Fr−4 + Fr−1 − Fr−6 = Fr+2 + 4Fr−3 − Fr−6 < Fr+2 + 5Fr−3 = A 27 • Với b = 3L1 (r − 3) + 2L1 (r − 5), c = L2 (r − 1) = 2L1 (r − 3) + L1 (r − 5) ta có b + c = 5L1 (r − 3) + 3L1 (r − 5) = 5Fr−1 + 3Fr−3 = Fr+2 + 5Fr−3 = A • b = 3L1 (r − 3) + L1 (r − 5), hiển nhiên b + c < A iii Với c ≤ L3 (r − 1), ta có b + c < L3 (r) + L3 (r − 1) = A Như khả lựa chọn giá trị b c ta ln có S(2m + 1) = b + c ≤ A = L3 (r) + L3 (r − 1) Vậy A phần tử lớn thứ hàng (r + 1) hay L3 (r + 1) = L3 (r) + L3 (r − 1) Định lý chứng minh Nhận xét 2.3.3 Theo Định lý 2.2.4 (i) 2.3.2 (i), ta có L2 (r) = Fr+2 − Fr−3 L3 (r) = L2 (r) − Fr−7 Chú ý L3 (r) = Fr+2 − Fr−3 − Fr−7 Từ Bảng 2.4, ta có ý sau: L4 (r) = L3 (r) − Fr−11 = Fr+2 − Fr−3 − Fr−7 − Fr−11 với r ≥ 12, L5 (r) = L4 (r) − Fr−15 = Fr+2 − Fr−3 − Fr−7 − Fr−11 − Fr−15 với r ≥ 16, L6 (r) = L5 (r) − Fr−19 = Fr+2 − Fr−3 − Fr−7 − Fr−11 − Fr−15 − Fr−19 với r ≥ 20 28 Bảng 2.4: Giá trị Lm dãy S(n) hàng Hàng r L1 (r) L2 (r) L3 (r) L4 (r) L5 (r) L6 (r) N/A 5 13 12 11 10 21 19 18 17 16 15 34 31 30 29 27 26 55 50 49 47 46 45 89 81 80 79 76 75 10 144 131 129 128 123 121 11 233 212 209 208 207 199 12 377 343 338 337 335 322 13 610 555 547 546 545 542 14 987 898 885 883 882 877 15 1597 1453 1432 1429 1428 1427 16 2584 2351 2317 2312 2311 2309 17 4181 3804 3749 3741 3740 3739 18 6765 6155 6066 6053 6051 6050 19 10946 9959 9815 9794 9791 9790 20 17711 16114 15881 15847 15842 15841 21 28657 26073 25696 25641 25633 25632 22 46368 42187 41577 41488 41475 41473 23 75025 68260 67273 67129 67108 67105 29 Kết mối quan hệ họ giá trị lớn thứ r dãy Stern với số Fibonacci, kết xác định cụ thể quan hệ r m công thức Lm (r) Kết Roland Paulin chứng minh báo “Largest Values of the Stern Sequence, Alternating Binary Expansions and Continuants” đăng tạp chí “Journal of Integer Sequences” năm 2017 Định lý 2.3.4 Nếu r ∈ Z≥0 , {L1 (r), , Ld 2r e (r)} = {Fr+2 − Fi Fj ; i, j ∈ Z≥0 , i + j = r − 1} Ngoài ra, ≤ m ≤ d 2r e, Lm (r) = Fr+2 − F2m−2−b Fr−2m+1+b , b = b(m, r) = ( 0, m ≤ b r+3 c | r ; 1, m > b r+3 c - r Trong Bảng 2.4 công thức truy hồi Fibonacci hàng thứ 14 với L4 , hàng thứ 16 với L5 , hàng thứ 22 với L6 Từ cho ta mệnh đề sau (hai mệnh đề hai giả thuyết Jennifer Lansing đề xuất báo [4]) Mệnh đề 2.3.5 Với r ≥ 4m − 2, giá trị lớn thứ m thỏa mãn Lm (r) = Lm (r − 1) + Lm (r − 2) Mệnh đề 2.3.6 Với r ≥ 4(m − 1), ta có đẳng thức sau Lm (r) = Lm−1 (r) − Fr−(4m−5) = Fr+2 − m X Fr−(4j−5) j=2 Việc chứng minh Định lý 2.3.4 trình bày báo [9], để chứng minh kết bao gồm hệ thống kết báo dài 13 trang, khuôn khổ luận văn chúng tơi giới thiệu mà khơng trình bày nội dung chứng minh luận văn 30 2.4 Dãy w(n) Mệnh đề 2.4.1 Với m ≥ ta có S(3m) số chẵn Chứng minh Với k = 1, ta có S(3) = 2, mệnh đề Giả sử mệnh đề với k ≤ (m − 1) Ta chứng minh mệnh đề với k = m * Với m chẵn ta có: S(3m) = S(3m/2) số chẵn theo giả thiết quy nạp * Với m lẻ, ta có 3m số lẻ - Theo Mệnh đề 1.3.8, ta thấy hàng r cặp số cặp đôi a bậc r số có số lẻ dãy S(n), nghĩa tồn t thuộc tập N cho a = S(2t+1); ngược lại n số lẻ S(n) = S(2t+1) = S(t)+S(t+1), nghĩa S(n) số cặp đôi hàng Do S(3m) số cặp đơi hàng - Ta lại xét dãy: a = S(3(m − 1)), b = S(3(m − 1) + 1), c = S(3(m − 1) + 2), d = S(3m), e = S(3m + 1) Vì (m − 1) số chẵn nên a = S(3(m − 1)) số chẵn Do (a, b) = nên b = S(3(m − 1) + 1) số lẻ, số cặp đơi, 3(m − 1) + số lẻ - Áp dụng Mệnh đề 1.3.8 1.3 Chương ta có phần tử (a, b, c) liền b = a + c, nên ta ln có (a, b) = (a, c) = Do a số chẵn nên suy c số lẻ - Ta thấy (a, c, e) phần tử liền từ hàng hạ xuống: c = a + e Do a chẵn, c lẻ nên suy e số lẻ Suy d = S(3m) = c + e số chẵn Điều phải chứng minh S(3n) , n ∈ Z≥0 Khi ta có dãy với phần tử số tự nhiên Định nghĩa 2.4.2 Kí hiệu w(n) = (w(n))n∈N Bảng 2.5 thống kê giá trị dãy S(n) w(n) với n ≤ 64 Nhận xét: Dãy w(n) hoàn toàn xác định từ dãy S(n) Ta biết dãy S(n) xác định công thức truy hồi : S(2n) = S(n), S(2n + 1) = S(n) + S(n + 1) với n ≥ S(0) = 0, S(1) = Một câu hỏi đặt là, không cần sử dụng dãy S(n), ta tính w(n) với n hay không? Định lý 2.4.3 Xét w(0) = 0, w(1) = w(3) = Với n ≥ 1, ta có w(2n) = w(n), w(8n ± 1) = w(4n ± 1) + 2w(n), w(8n ± 3) = w(4n ± 1) + w(2n ± 1) − w(n) (2.9) (2.10) 31 Bảng 2.5: Một số giá trị dãy số S(n) w(n) n S(n) w(n) n S(n) w(n) n S(n) w(n) n S(n) w(n) 1 17 33 49 13 1 18 4 34 50 2 19 35 9 51 12 12 1 20 36 4 52 5 21 37 11 53 13 2 22 38 54 7 23 7 39 10 55 11 15 1 24 2 40 56 4 25 41 11 57 10 17 10 26 5 42 58 11 27 43 13 59 11 11 12 2 28 44 60 13 5 29 45 12 61 13 14 30 46 7 62 15 31 47 11 63 10 16 1 32 1 48 2 64 1 1 2 4 6 3 9 8 9 Bảng 2.6: Mảng tam giác dãy w(n) 32 Chứng minh Sử dụng tính chất dãy S(n) cách xác định dãy số w(n), ta có 1 w(2k n) = S(3 · 2k n) = S(3n) = w(n) 2 Từ w(2n + 1) ta có 1 w(2n + 1) = S(3n + 1) + S(3n + 2), 2 có cơng thức truy hồi phức tạp Tuy nhiên, xét số không chia hết cho w(4n + 1) = S(3n) + S(3n + 1) = w(n) + S(3n + 1), w(4n + 3) = S(3n + 3) + S(3n + 2) = w(n + 1) + S(3n + 2), (2.11) (2.12) Ta viết gọn lại sau w(4n ± 1) = w(n) + S(3n ± 1) Từ ta có S(3n ± 1) = w(4n ± 1) − w(n), w(8n ± 1) = w(2n) + S(6n ± 1) = w(n) + S(3n) + S(3n + 1) = 3w(n) + w(4n ± 1) − w(n), w(8n ± 3) = w(2n ± 1) + S(6n ± 2) = w(2n ± 1) + S(3n ± 1) = w(4n ± 1) + w(2n ± 1) − w(n) Xét Mk giá trị lớn dãy w(n) hàng thứ k Bảng 2.7 giá trị lớn dãy w(n) vị trí xuất giá trị lớn Các số Fibonacci Fr số chẵn r bội 3, suy L1 (r) = Fr+2 số chẵn r ≡ (mod 3) Ta có, L2 (r) = Fr+2 − Fr−3 , số chẵn r ≡ (mod 3) Nếu r ≡ (mod 3), Fr+2 số chẵn Fr−3 số lẽ, tổng chúng số lẻ Nếu r ≡ (mod 3), Fr+2 số lẻ, Fr−3 số chẵn Nếu r ≡ (mod 3), hai số lẻ Fr+2 − Fr−3 số chẵn Ta có L3 (r) = Fr+2 − 3Fr−5 số chẵn r ≡ (mod 3) Ta có Định lý sau: 33 Định lý 2.4.4 Với k ≥ 5, giá trị lớn dãy w(n) hàng thứ k Fk+1 − Fk+1 − Fk−4 Fk−6 Fk+1 k ≡ (mod 3), k ≡ (mod 3), k ≡ (mod 3) Chứng minh Đây hệ Định lý 2.1.2, 2.2.4, 2.3.2 Nhận thấy, ba giá trị lớn dãy S(n) bắt đầu thõa mãn công thức hồi quy dãy số Fibonacci, tức dãy L1 (r) với r, L2 (r) với r ≥ (k ≥ 5), L3 (r) với r ≥ (k ≥ 9) Tuy nhiên, hàng thứ r = (hàng thứ k = 7), L3 184 giá trị chẵn lớn L1 , L2 , L3 Ta có 1 (F8 − 3F1 ) = (21 − 3) = · 18 = 9, điều kiện cuối với k = Định lý chứng minh 34 Bảng 2.7: Giá trị lớn dãy w(n) hàng Hàng n Mk Hàng n Mk 1 13 1817, 1849, 2247, 2279 169 14 3641, 4551 305 3, 15 7281, 7737, 8647, 9103 449 7,9 16 14567, 14791, 17977, 18201 716 15, 17 17 29127, 36409 1292 25, 29, 35, 39 18 58255, 61895, 69177, 72817 1902 57, 71 17 19 116505, 118329, 143815, 145639 3033 113, 121, 135, 143 25 20 233017, 291271 5473 10 231, 281 40 21 466033, 495161, 533415, 582543 8057 11 455, 569 72 22 932071, 946631, 1150521, 1165081 12848 12 911, 967, 1081, 1137 106 23 1864135, 2330169 23184 Bảng 2.8: So sánh ba giá trị lớn dãy S(n) hàng Hàng r L1 (r) L2 (r) L3 (r) N/A 3 4 5 13 12 11 21 19 18 34 31 30 55 50 49 89 81 80 10 144 131 129 11 233 212 209 12 377 343 338 35 Trong dãy Stern ta biết với n ∈ N, ta có (S(n), S(n + 1)) = - Tuy nhiên điều khơng cịn dãy w(n) - Trong Bảng 2.6 ta thấy w(9) = 4, w(10) = (w(9), w(10)) = Hay (w(14), w(15)) = (4, 6) = Ta thấy, số nguyên a > 0, ln tồn n cho (w(n), w(n + 1)) = a, thông qua định lý sau: Định lý 2.4.5 Với số nguyên tùy ý a > 0, tồn số n ∈ N thỏa mãn (w(n), w(n + 1)) = a Chứng minh Với n = (4a − 1)/3, ta thấy dãy Stern với r ln có: S(2r + 1) = S(2r ) + S(2r − 1) + · · · + S(21 ) + S(20 + 1) = r + 1, S(2r − 1) = r Ta có 4a − S(22a − 1) (2a) w(n) = w( )= = = a 2 Ta lại có 4a − S(22a − + 3) S(22a + 2) w(n + 1) = w( + 1) = = 2 2a−1 S(2 + 1) 2a − + = = a = 2 Vì (w(n), w(n + 1)) = a Định lý chứng minh Nhận xét: Khi (w(n), w(n + 1)) = a, nhiên khơng phải cặp có ước chung lớn a Chẳng hạn, với a = có (w(5), w(6)) = (w(6), w(7)) = (w(9), w(10)) = (w(14), w(15)) = Câu hỏi đặt là, với giá trị n, cặp số liền w(n) w(n + 1) dãy (w(n))n∈N nguyên tố Ta có định lý sau điều kiện đủ để (w(n), w(n + 1)) = Định lý 2.4.6 Với số nguyên dương a ta có: (w(4a), w(4a + 1)) = (w(4a + 3), w(4a + 4)) = Chứng minh Sử dụng cơng thức (2.11) (2.12) ta có:   S(3a) S(3a) , + S(3a + 1) (w(4a), w(4a + 1)) = 2  S(3a)  = , S(3a + 1) = 36 Tương tự:  S(3a + 3) S(3a + 3)  , + S(3a + 2) 2  S(3a + 3)  = , S(3a + 2) = (w(4a + 3), w(4a + 4)) = Định lý chứng minh Định nghĩa 2.4.7 Ta kí hiệu gk (n) = gcd{w(n), w(n+1), w(n+2), , w(n+ k)} (là ước chung lớn (n + k + 1) số liền dãy (w(n)) Chẳng hạn: gcd{w(5), w(6), w(7)} = = g2 (5) Nhận xét: với k = 2, ta thấy có nhiều liền dãy (w(n))n∈N có ước chung lớn lớn Từ Định lý 2.4.6 ta có hệ sau: Hệ 2.4.8 Với số nguyên dương a, ta có: g2 (4a) = g2 (4a + 2) = g2 (4a + 3) Chứng minh Theo Định lý 2.4.6 ta có: (w(4a), w(4a+1)) = (w(4a+3), w(4a+ 4)) = Nên suy g2 (4a) = g2 (4a + 2) = g2 (4a + 3) = Vì cặp liền nhau, có chứa cặp liền (ta có điều cần chứng minh) Hệ 2.4.9 Với số nguyên a, ta có: g3 (a) = Chứng minh Do g2 (4a) = gcd{w(4a), w(4a + 1), w(4a + 2)} = nên dãy (w(n))n∈N , số liền nguyên tố Vì g3 (a) = 37 Kết luận Luận văn trình bày mảng diatomic dãy diatomic Stern trình bày giá trị lớn hàng mảng diatomic Stern Ngoài ra, luận văn tương đồng dãy Stern S(n) dãy w(n) = S(3n)/2 sinh dãy S(n) Dựa theo tài liệu tham khảo, luận văn trình bày nội dung bản, đặc trưng giá trị lớn dãy Stern Hy vọng thời gian tới, tác giả luận văn có điều kiện tìm hiểu sâu mảng diatomic dãy diatomic Stern 38 Tài liệu tham khảo [1] Giuli C., Giuli R (1979), “A primer on Stern’s diatomic sequence I”, Fibonacci Quart., 17, pp.103–108 [2] Lansing J (2013), “Distribution of values of the binomial coefficients and the Stern sequence”, J Integer Seq 16, Article 13.3.7 [3] Lansing J (2014), On the Stern sequence and a related sequence, Ph D Dissertation, University of Illinois [4] Lansing J (2014), “Largest values for the Stern sequence”, Journal of Integer Sequences, 17, pp 1–18 [5] Lehmer D H (1929), “On Stern’s diatomic series”, Amer Math Monthly, 36, pp 59–67 [6] Lucas E (1878), “Sur les suites de Farey”, Bull Soc Math France, 6, pp 118–119 [7] Northshield S (2010), “Stern’s diatomic sequence 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, ”, Amer Math Monthly, 117, pp 581–590 [8] Ohtsuka H., Nakamura S (2008), “On the sum of reciprocal Fibonacci numbers”, Fibonacci Quart 46/47 (2008/2009), pp 153 – 159 [9] Paulin R (2017), “Largest values of the stern sequence, alternating binary expansions and continuants ”, Journal of Interger Sequences, 20, Article 17.2.8 [10] Reznick B (2008), “Regularity properties of the Stern enumeration of the rationals”, J Integer Seq., 11, Article 08.4.1 [11] Wang A.Y.Z., Wen P.B (2015), “On the partial finite sums of the reciprocals of the Fibonacci numbers", J Inequal Appl., Article 73 39 [12] Wang A.Y.Z., Yuan T (2017), “Alternating Sums of the Reciprocal Fibonacci Numbers”, Journal of Interger Sequences, 20, Article 17.1.4