Vấn đề duy nhất của hàm phân hình khi đạo hàm của đa thức chung nhau một hàm nhỏ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUỐC CƯỜNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐẠO HÀM CỦA ĐA THỨC CHUNG NHAU MỘT HÀM NHỎ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUỐC CƯỜNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐẠO HÀM CỦA ĐA THỨC CHUNG NHAU MỘT HÀM NHỎ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TRẦN PHƯƠNG THÁI NGUYÊN - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, kết nghiên cứu trình bày luận văn trung thực, khách quan không trùng lặp với đề tài khác công bố Việt Nam Tôi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Quốc Cường i LỜI CẢM ƠN Với tình cảm chân thành lịng biết ơn sâu sắc, xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Hà Trần Phương trực tiếp hướng dẫn khoa học tận tình giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm Lãnh đạo phịng đào tạo, đặc biệt thầy trực tiếp quản lý đào tạo sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K24 (20162018) Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khố học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến đồng nghiệp, bạn bè tồn thể gia đình, người thân động viên thời gian nghiên cứu đề tài Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Quốc Cường ii Mưc lưc Mð ¦u CĂc kián thực cỡ s lỵ thuyát phƠn bố gi¡ trà 1.1 C¡c h m Nevanlinna 1.2 Hai nh lỵ cỡ bÊn 10 VĐn à nhĐt cho hm phƠn hẳnh 12 KT LUŠN T i li»u tham kh£o 49 50 2.1 Mët sè ki¸n thùc bê sung 12 2.2 V§n · nh§t cho h m phƠn hẳnh 23 2.3 Chùng minh c¡c ành lỵ tứ 2.9 án 2.13 33 M Ưu VĐn à nghiản cựu sỹ xĂc nh nhĐt cừa cĂc hm Ănh xÔ phƠn hẳnh thổng qua Ênh ngữủc cừa mởt têp hỳu hÔn thu hút ữủc sỹ quan tƠm nghiản cựu cừa cĂc nh toĂn hồc v ngoi nữợc G Polia, R Nevanlinna, F.Gross, v  thu ÷đc nhi·u kát quÊ quan trồng Nôm 1926, R Nevanlinna  chựng minh náu hai hm phƠn hẳnh f, g chung nôm giĂ tr phƠn biằt thẳ trũng Kát quÊ ny cừa Nevanlinna cho thĐy mởt hm phƠn hẳnh phực ữủc xĂc nh mởt cĂch nhĐt Ănh xÔ ngữủc, khổng k bởi, cừa nôm giĂ tr phƠn biằt Cổng trẳnh ny cừa ữủc xem l nguỗn cho cĂc nghiản cựu sỹ xĂc nh nhĐt cừa hai hm Ănh xÔ phƠn hẳnh Và sau, vĐn à nghiản cựu sỹ xĂc nh nhĐt cừa hai Ănh xÔ phƠn hẳnh thổng qua Ênh ngữủc cừa mởt têp hỳu hÔn thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh toĂn hồc v ngoi nữợc Mởt vĐn à ữủc ữa bi F Gross õ l : Tỗn tÔi hay khổng mởt têp hỳu hÔn S , iÃu kiằn E (S, f ) = E (S, g) k²o theo f = g? Trong thỹc tá cƠu họi cừa F Gross cõ th ữủc phĂt biu nhữ sau: Tỗn tÔi hay khổng a thực P cho vợi bĐt kẳ côp phƠn hẳnh khĂc hơng f v g ta cõ f = g n¸u P (f ) v  P (g) chung gi¡ trà kº c£ bëi? V§n · n y  ữủc nghiản cựu mởt cĂch liản tửc mÔnh m vợi nhỳng kát quÊ cừa M L Fang v W L Hong, W C Lin v  H X Yi thới gian gƯn Ơy cõ mởt số tĂc giÊ nghiản cựu vĐn à nhĐt cho cĂc hm phƠn hẳnh hai trữớng hủp phực v padic Ôo hm cừa hai a thực cừa cĂc hm phƠn hẳnh chung mët h m nhä (xem [2],[3],[11]) Mưc ½ch cõa · ti luên vôn l trẳnh by mởt số kát quÊ mợi cừa cĂc tĂc giÊ  cổng bố thới gian gƯn Ơy và cĂc hm phƠn hẳnh trản trữớng sè phùc v  p−adic, hai a thùc f 0P 0(f ) v  g0P 0(g) chung mët h m nhä ÷đc cỉng bè bði ba t¡c gi£ A Escassut, K.Boussaf, J Ojeda Luên vôn chia thnh hai chữỡng, Chữỡng giợi thiằu và mởt số vĐn à cỡ bÊn lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr bao gỗm hai nh lỵ cỡ bÊn lỵ thuyát Nevanlinna trữớng hủp phực v trữớng hủp padic mởt số kát quÊ chuân b Trong Chữỡng 2, trẳnh by vĐn à nh§t f P (f ) v  g P (g) chung mët h m nhä Trữợc trẳnh by nởi dung chẵnh cừa luên vôn, Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi PGS.TS H TrƯn Phữỡng, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn  tổi cõ th hon thnh khõa luên ny Tổi cụng xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi ton th cĂc thƯy cổ giĂo khoa ToĂn, Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản, Ôi hồc ThĂi Nguyản  dÔy bÊo tổi tên tẳnh suốt quĂ trẳnh hồc têp tÔi khoa NhƠn dp ny Tổi cụng xin ữủc gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh tợi gia ẳnh, bÔn b,  luổn tổi, cờ vụ, ởng viản, giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn tốt nghiằp ThĂi Nguyản, ngy 19 thĂng 08 nôm 2017 TĂc GiÊ Nguyạn Quốc Cữớng Chữỡng CĂc kián thực cỡ s lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr 1.1 CĂc hm Nevanlinna Trữớng hủp phực Vợi mội số thỹc x > 0, kẵ hiằu: log+ x = max{log x, 0} Khi â log x = log+ x − log+ (1/x) B¥y gií ta ành nghắa hm ám, hm xĐp x, hm c trững cừa mởt hm phƠn hẳnh Cho f l mởt hm phƠn hẳnh trản DR v mởt số thỹc r > 0, â < R ≤ ∞, r < R Dạ thĐy Z2 log L, tø ¥y max(Z(r, g), Z(r, h)) = max(Z(r, g − bh), Z(r, h)) = Z(r, h)) + O(1), t÷ìng ùng T (r, f ) = T (r, f − b) + O(1) L nh lỵ 2.3 ([11]) Cho f ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f ∈ M(d(0, R−))) v  a1 , , aq ∈ Cp l  ph¥n bi»t Khi â (q − 1)T (r, f ) ≤ q X Z(r, f − aj ) + O(1) j=1 Chùng minh Gi£ sû ph£n chùng Tùc l  f ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f ∈ M(d(0, R− ))) v  a1, a2, , aq cho (q − 1)T (r, f ) − q X Z(r, f aj ) j=1 dƯn tợi + Vẳ vêy, tỗn tÔi mởt dÂy khoÊng cĂch Js = [ωs, ys] cho ωs < ys < ωs+1 , lim ωs = +∞ (t÷ìng ùng lim ωs = R) v  s→+∞ s→+∞ lim ( inf (q − 1)T (r, f ) − s→+∞ r∈Js q X Z(r, f − aj )) = +∞ (2.1) j=1 Gi£ sû M = ∪∞s=0Js èi vỵi méi j = 1, , q, ta câ Z(r, f − ) ≤ T (r, f ) + O(1) R+ v vẳ vêy (2.1) ch rơng tỗn tÔi mởt ch số t v a d¢y kho£ng c¡ch In = [un, vn] M , cho un < < un+1, n→+∞ lim un = +∞ (t÷ìng ùng n→+∞ lim un = R) v  lim ( inf (T (r, f ) − Z(r, f − at )) = +∞ n→+∞ r∈In Gi£ sû L = ∪∞n=1In Khi â bði Bê · 2.3, L ta câ Z(r, g − ak h) = T (r, f ) + O(1), ∀k 6= t 17 (2.2) Do â q X Z(r, f − aj ) > (q − 1)T (r, f ) + O(1) j=1 L, mƠu thuăn vợi (2.1) Do õ nh lỵ úng Chú ỵ 2.2 ([11]) nh lỵ 2.3 l ỡn giÊn ối vợi cĂc hm giÊi tẵch, thêt vêy vợi hm f ∈ A(Cp) hay A(d(0, R−)) ta câ T (r, f ) = Z(r, f ) Mt khĂc nh lỵ ny khổng Ăp dửng cho cĂc hm phƠn hẳnh C Thêt vêy, xt mởt hm phƠn hẳnh f trản C bä hai gi¡ trà a v  b Ta câ Z(r, f − a) + Z(r, f − b) = Bê · 2.4 ([11]) Gi£ sû Q ∈ Cp[x] (tữỡng ựng Q C[x]), cõ bêc n v giÊ sû f ∈ M(Cp), (t÷ìng ùng f ∈ M(d(0, R−)), tữỡng ựng f M(C)) l siảu viằt Khi õ N (r, f ) = N (r, f ) + N (r, f ), Z(r, f ) ≤ Z(r, f ) + N (r, f ) + O(1), nT (r, f ) ≤ T (r, f Q(f )) ≤ (n + 2)T (r, f ) − log r + O(1), (t÷ìng ùng nT (r, f ) ≤ T (r, f Q(f )) ≤ (n + 2)T (r, f ) + O(1), t÷ìng ùng nT (r, f ) ≤ T (r, f Q(f )) + m(r, ) ≤ (n + 2)T (r, f ) + Sf (r)) f0 °c bi»t, n¸u f ∈ A(Cp ) (t÷ìng ùng f ∈ A(d(0, R− ))), â nT (r, f ) ≤ T (r, f Q(f )) ≤ (n + 1)T (r, f ) − log r + O(1), (t÷ìng ùng nT (r, f ) ≤ T (r, f Q(f )) ≤ (n + 1)T (r, f ) + O(1)) 18 Bê · 2.5 ([11]) Cho Q ∈ Cp[x] v  f, g ∈ A(Cp ) (t÷ìng ch°n Khi â f = g Au (d(0, R− ))) ùng f, g ∈ cho Q(f ) − Q(g) bà Chùng minh a thùc Q(X) − Q(Y ) ÷đc biu diạn dữợi dÔng (X Y )F (X, Y ) vỵi F (X, Y ) ∈ Cp [X, Y ] Vẳ Q(f ) Q(g) b chn, vẳ vêy cÊ hai yáu tố ny Ãu l nỷa chuân |.|(r) vợi php nhƠn trản A(Cp) (tữỡng ựng Au(d(0, R))) Do õ f g l mởt hơng số c (tữỡng ùng l  mët h m bà ch°n u ∈ Ab(d(0, R−))) Do â F (f, g) = F (f, f + c) (t÷ìng ùng F (f, g) = F (f, f + u)) Gi£ sû n = deg(Q) Khi â chóng ta câ thº kiºm tra r¬ng F (X, X + c) l  a thùc X bªc n − Do â n¸u f ∈ A(Cp), F (X, X + c) l hm nguyản khĂc hơng v õ khổng x¡c ành Cp T÷ìng tü, f ∈ (0, R−)), F (X, X + u) l  mët a thùc X bêc n vợi cĂc hằ số A(d(0, R−) v  â F (f, f + u) l  khæng x¡c ành d(0, R−), i·u ph£i chựng minh nh lỵ 2.4 ([11]) GiÊ sỷ P, Q ∈ Cp[x] thäa m¢n mët hai i·u ki»n sau: X X ki > s − m + 3), ki > s − m + (t÷ìng ùng ∈F X qj > (t÷ìng bj ∈F 00 ùng ∈F ” X qj > 3) bi ∈F ” Náu hai hm phƠn hẳnh f, g M(Cp) (tữỡng ùng f, g ∈ M(d(a, R−))) thäa m¢n P (f (x)) = Q(g(x)), x ∈ Cp (t÷ìng ùng x ∈ d(a, R)) thẳ cÊ f v g l hơng số (tữỡng ựng thuởc Mb(d(a, R))) nh lỵ 2.5 ([1]) GiÊ sû P, Q ∈ C[X] thäa m¢n mët hai i·u ki»n sau: X kj > s − m + 3, ∈F X bj qi > 3, ∈F 00 v  n¸u a thùc P (X) − Q(Y ) khổng cõ nhƠn tỷ chung bêc 1, õ khổng tỗn tÔi cĂc hm khĂc hơng f, g M(C) cho P (f (x)) − Q(g(x)) = 0, ∀x C Tứ nh lỵ 2.5 ta cõ th rút nh lỵ 2.6 19 nh lỵ 2.6 ([11]) GiÊ sû P, Q ∈ C[X] thäa m¢n mët hai i·u ki»n sau: X ki > s − m + 3, ∈F X qj > bj ∈F 00 Khi õ khổng tỗn tÔi cĂc hm khĂc hơng f, g ∈ M(C) cho P (f (x)) − Q(g(x)) = 0, ∀x ∈ C Chùng minh Gi£ sû F (X, Y ) = P (X) − Q(Y ) Vẳ C l mởt ng cĐu Ôi số vợi mởt trữớng siảu metric giống Cp (vợi p bĐt kẳ khổng nguyản tố), m khổng mĐt tẵnh tờng quĂt cõ th chuyn bi toĂn lản trữớng Cp Vẳ vªy, £nh cõa a thùc F Cp [X, Y ] l a thực F (X, Y ) Nhữ vêy, gi£ thi¸t P ki > s − m + văn giỳ Cp v tữỡng tỹ, vợi a F P P gi£ thi¸t qj > Gi£ sû ki > s m + Theo nh lỵ 2.5, khổng a F b F tỗn tÔi cĂc hm khĂc h¬ng f, g ∈ M(C) cho P (f (x))−Q(g(x)) = Cư thº F˜ (X, Y ) khỉng nhªn cĂc nhƠn tỷ chung bêc Cp[X, Y ] Những õ, F (X, Y ) khổng nhên cĂc nhƠn tỷ chung bêc C[X, Y ], hoc vẳ cĂc nhƠn tỷ ữủc bÊo ton bơng chuyn giao BƠy giớ, cõ th Ăp dửng nh lỵ 2.5 chùng minh r¬ng hai h m f, g ∈ M(C) thäa m¢n P (f (x)) − Q(g(x)) = 0, x C, thẳ chúng l hơng số nh nghắa 2.7 ([11]) Gi£ sû f ∈ M(C) cho f (0) 6= 0, ∞ Chóng ta biºu bði Z[2](r, f ) l hm ám tÔi cĂc khổng im bêc chn bi tực l tÔi mội khổng im, náu nhọ hỡn hoc bơng thẳ ám bơng số õ, náu lợn hỡn tẵnh bơng CĂc vĐn à sau Ơy Ăp dửng cho hai hm phực v hm phƠn hẳnh Mởt chựng minh ữủc ữa [2] vợi cĂc hm phƠn hẳnh p-adic v [3] ối vợi cĂc hm phƠn hẳnh phực i j 00 i Q nh lỵ 2.7 ([11]) Cho P (x) = (x−ai)n i=2 (x−ai )k l i l ∈ E[x] (ai 6= aj , ∀i 6= v  vỵi l > v  n > max{k2, , kl } v  k = P ki, gi£ sû f, g M(E) i=2 cõ giĂ tr siảu viằt (tữỡng ựng f, g ∈ M (d(a, R−))) v  θ = P (f )f ∩ P (g)g N¸u θ Mf (E) Mg (E), (tữỡng ựng náu ∈ Mf (d(a, R− )) ∩ j) 20 Mg (d(a, R− ))) th¼ ta câ nhúng i·u sau : (a) náu l = thẳ n {k, k + 1, 2k, 2k + 1, 3k + 1} k (b) náu l = thẳ n { , k + 1, 2k, 2k + 1, 3k2 − k, 3k3 k}, (c) náu l > thẳ n = k + Hìn núa, n¸u f, g ∈ M(Cp) v náu l hơng số thẳ n = k + Hìn núa n¸u f, g ∈ A(E), th¼ θ 6∈ Af (E) Bê · 2.6 ([11]) Gi£ sû f ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f ∈ M(d0(0, R−)), t÷ìng ùng f ∈ M(C)) Khi â T (r, f ) − Z(r, f ) ≤ T (r, f ) − Z(r, f ) + 0(1) f P (f ) º ìn gi£n, ta câ thº gi£ sû a1 = °t F = α Rã r ng F v  G chung mët gi¡ trà kº c£ Vẳ f ,g l siảu viằt, þ ¸n F v  G g P (g) v  G = α °t ΨF,G F” 2F G” 2G0 = − − + F F −1 G G−1 Ta s³ chùng minh r¬ng theo c¡c giÊ thiát cừa cĂc nh lỵ, F,G l ỗng nhĐt khæng Bê · 2.7 ([11]) Gi£ sû f, g ∈ M(C) (t÷ìng ùng f, g ∈ M(Cp)), chung mët gi¡ tr k cÊ Náu f,g l khổng ỗng nhĐt khæng, â max(T (r, f ), T (r, g)) ≤N[2] (r, f ) + Z[2] (r, f ) + N[2] (r, g) + Z[2] (r, g) + Sf (r) + Sg (r), (t÷ìng ùng max(T (r, f ), T (r, g)) ≤ N[2] (r, f )+Z[2] (r, f )+N[2] (r, g)+Z[2] (r, g)−6 log r) Bê · 2.8 ([11]) GiÊ sỷ f, g M(Cp) l siảu viằt (tữỡng ùng f, g ∈ Mu (d(0, R− )), t÷ìng ùng f, g ∈ M(C)) Gi£ sû P (x) = xn+1Q(x) l  mët a thùc cho n > deg(Q) + (tữỡng ựng n > deg(Q) + ) Náu P (f )f = P (g)g th¼ P (f ) = P (g) 21 Bê · 2.9 ([11]) Cho f, g ∈ M(E) (t÷ìng ùng f, g ∈ M(d(0, R−))) l  khæng êi v  chung gi¡ trà kº c£ bëi Gi£ sû Ψf,g = v  lim r→+∞ Z(r, f ) + Z(r, g) + N (r, f ) + N (r, g) max(T (r, f ), T (r, g)) ! < 1, (t÷ìng ùng lim− r→R Z(r, f ) + Z(r, g) + N (r, f ) + N (r, g) max(T (r, f ), T (r, g)) ! < 1) Khi â ho°c f = g ho°c f g = M»nh · 2.1 ([11]) Cho P Cp[X] thọa mÂn giÊ thiát (G) v n > (tữỡng ựng n > 3) Náu hm phƠn hẳnh f, g M(Cp) (tữỡng ựng f, g ∈ M(d(a, R− ))) thäa m¢n P (f (x)) = P (g(x))+C (C ∈ C∗p ), ∀x ∈ Cp (tữỡng ựng x d(a, R)), thẳ cÊ f v g l hơng số (tữỡng ựng f v g thuởc v o Mb (d(a, R− ))) Chùng minh Gi£ sû r¬ng hai h m f, g ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f, g ∈ M(d(a, R− ))) thäa m¢n P (f (x)) = P (g(x)) + C(C ∈ Cp ), ∀x ∈ Cp (t÷ìng ùng ∀x ∈ d(a, R−)) Chóng ta câ thº Ăp dửng nh lỵ 2.4 bơng cĂch t Q(X) = P (X) + C Vẳ vêy, cõ h = l v  bi = , i = 1, , l Gi£ sû Γ l  ÷íng cong cõa phữỡng trẳnh P (X) P (Y ) = C Theo gi£ thi¸t chóng ta câ n > 2, vẳ vêy l bêc > Do õ náu Γ khỉng câ iºm k¼ dà, nâ câ gièng > v õ, bơng nh lỵ Picard-Berkovich, kát luên l  lªp tùc Do â chóng ta câ thº gi£ ành r¬ng Γ l  câ mët iºm ìn (α, β) Nh÷ng sau â P 0(α) = P 0(β) = v õ (, ) l cõ dÔng (ah, ak ) Do â, C = P (ah) − P (ak ) v  v¼ C 6= 0, chóng ta câ h 6= k Chóng ta s³ chùng minh r¬ng ho°c a1 ∈ F ho°c a1 ∈ F ” Gi£ sû a1 ∈/ F ∪ F ” Tø a1 / F 0, tỗn tÔi i {2, , l} cho P (a1) = P (ai ) + C B¥y gií tø ∈ / F ”, tỗn tÔi j {2, , l} cho P (a1 ) + C = P (ai ) Những vẳ C = −P (ai ), chóng ta câ P (aj ) = −P (ai ), â P (aj ) + P (ai) = Vẳ P thọa mÂn (G), cõ i = j , vẳ vêy P (ai ) = Nh÷ng â C = 0, mƠu thuăn Vẳ vêy, chựng minh rơng a1 ∈ F ∪ F ” B¥y gií theo ành lỵ 2.4, f v g l hơng số (tữỡng ựng f, g ∈ Mb (d(a, R− ))) 22 M»nh · 2.2 ([11]) Cho P C[X] thọa mÂn giÊ thiát (G) v n > Náu hm phƠn hẳnh f, g ∈ M(C) thäa m¢n P (f (x)) = P (g(x)) + c, (c ∈ C∗), ∀x ∈ C, th¼ c£ f v  g l  h¬ng sè Chùng minh Gi£ sû hai h m f, g ∈ M(C) thäa m¢n P (f (x)) = P (g(x))+ C , (C ∈ C , ∀x ∈ C Chóng ta s³ ¡p dưng ành lỵ 2.6 bơng cĂch t Q(X) = P (X) + C Do n > 3, ta câ deg(P ) > v  â Γ câ bªc Do õ, náu khổng cõ im c trững, nõ cõ bêc > v õ, theo nh lỵ Picard's, khổng tỗn tÔi cĂc hm f, g M(C) thọa m¢n P (f (x)) = P (g(x)) + C , ∀x ∈ C Do â, chóng ta câ thº gi£ sỷ thứa nhên mởt im chung nhĐt (ah, ak ) Chùng minh t÷ìng tü nh÷ cõa M»nh · 2.1 2.2 VĐn à nhĐt cho hm phƠn hẳnh Trữớng hủp p-adic Nôm 2014 Escassut, Boussaf, Ojeda,  chựng minh nh lỵ sau: nh lỵ 2.8 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] l  mët a thùc nh§t cõa A(Cp) (t÷ìng ùng Au(d(a, R−))), °t P 0(X) = bΠli=1(X − ai)k Gåi f, g ∈ A(K) l  h m số siảu viằt (tữỡng ựng f, g Au(d(a, R))) cho f 0P 0(f ) v  g P (g) mët h m nhä α ∈ Af (Cp ) ∩ Ag (Cp ) (t÷ìng ùng α ∈ Af (d(, R− )) ∩ l P Ag (d(a, R−))) kº c£ Náu ki > 2l + thẳ f = g Hìn núa, n¸u i i=1 f ,g ∈ A(Cp ), α l l  mët h¬ng sè v  P ki > 2l + th¼ f = g i=1 Chựng minh Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, cõ thº gi£ sû b = °t l Y F =f (f − aj )kj j=1 v  l Y G=g (g − aj )kj j=1 23 Do f, g ∈ A(Cp) v  v¼ F v  G chung α kº c£ bëi, th¼ (F − α)/(G − α) l hm phƠn hẳnh khổng cõ khổng im v khổng câ cüc iºm Cp (t÷ìng ùng d(0, R−)), â nâ l  mët h¬ng sè u Cp −0 (t÷ìng ùng nâ l  mët h m nghàch £o ÷đc u ∈ A(d(0, R−))) Gi£ sû u 6= Th¼ F = uG + α(1 − u) (2.3) Cho r > Tø â α(1−u) ∈ Af (Cp) (t÷ìng ùng (1u) Af (d(0, R))) Vẳ vêy Ăp dửng nh lỵ 2.2 cho F , ta ữủc T (r, F ) ≤Z(r, F ) + Z(r, F − α(1 − u)) + SF (r) = Z(r, F ) + Z(G) + SF (r) = l X k Z(r, (f − aj ) ) + Z(r, f ) + l X Z(r, (g − aj )k ) + Z(r, g ) + Sf (r) j=1 j=1 ≤l(T (r, f ) + T (r, g)) + Z(r, f ) + Z(r, g ) + Sf (r) Chóng ta nhên thĐy rơng náu f, g A(Cp) v náu α ∈ Cp, ta câ T (r, F ) ≤ Z(r, F ) + Z(r, F − α(1 − u)) − log r + O(1) v  â, ta câ T (r, F ) ≤ l(T (r, f ) + T (r, g)) + Z(r, f ) + Z(r, g ) − log r + O(1) B¥y gií, tr lÔi trữớng hủp tờng quĂt Vẳ f l nguyản, theo Bê · 2.4 ta câ T (r, F ) = ( l X kj )T (r, f ) + Z(r, f ) + O(1) j=1 Do â, l X ( kj )T (r, f ) ≤ l(T (r, f ) + T (r, g)) + Z(r, g ) + Sf (r) j=1 T÷ìng tü, l X ( kj )T (r, g) ≤ l(T (r, f ) + T (r, g)) + Z(r, f ) + Sf (r) j=1 24 Vẳ vêy l X ( kj )(T (r, f ) + T (r, g) ≤2l((T (r, f ) + T (r, g)) + Z(r, f ) + Z(r, g ) + Sf (r) j=1 ≤(2l + 1)(T (r, f ) + T (r, g)) + Sf (r) Vêy nản, l X kj 2l + j=1 Do â, v¼ l X chóng ta câ u = N¸u α ∈ Cp, chóng ta câ l X kj > 2l + 1, j=1 kj (T (r, f ) + T (r, g)) ≤ 2l((T (r, f ) + T (r, g)) + Z(r, f ) + Z(r, g ) + Sf (r) j=1 ≤ (2l + 1)(T (r, f ) + T (r, g)) log r + O(1), vẳ vẳ vêy T (r, f ) ≤ T (r, f ) − log r + O(1), l l P P kj 2l mƠu thuăn giÊ thiát u 6= kj > 2l j=1 j=1 Do â, tr÷íng hđp têng qu¡t, kj > 2l + 1, ta câ u = j=1 0 0 v  â f P (f ) = g P (g) â P (f ) − P (g) l  mët h¬ng sè D Nh÷ng theo Bê · 2.5 , ta câ P (f ) = P (g) V  v¼ P l  mởt a thực nhĐt vợi A(Cp ) (tữỡng ựng A(d(0, R ))), cõ th kát luên f = g Tữỡng tỹ, náu f, g A(Cp) v náu l hơng số hoc bơng bơng 0, ta câ u = l P kj > 2l ta cõ kát luên tữỡng tỹ l P j=1 H» qu£ 2.1 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho Φ(P ) ≥ v  P 0(X) = bΠli=1 (X − )ki Gi£ sû f, g ∈ A(Cp) l  h m sè si¶u vi»t cho f 0P 0(f ) l P 0 v  g P (g) chung mët h m nhä α ∈ Af (Cp)∩Ag (Cp) kº cÊ Náu ki > i=1 25 l P thẳ f = g Hỡn nỳa, náu l mởt hơng số v náu ki > 2l + thẳ i=1 f = g V½ dư 2.1 ([11]) Cho c ∈ Cp l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh Ôi số : 2l + X 11 ( 1 1 1 1 − ) − X ( − ) + X( − ) − + = 11 10 10 11 °t X 11 cX 10 X cX P (X) = − − + 11 10 Ta câ thº kiºm tra r¬ng P (X) = X 7(X − 1)(X + 1)(X − c), P (1) = 1 P (c) 6= v  P (1) 6= 0, P (−1) 6= 0, P (1) + P (−1) = c( − ) v  P (−1) − 1 P (1) = 2( − ), â P (−1) 6= P (c) 11 Do â, chóng ta câ thº ¡p döng H» qu£ 2.1 v  ch¿ rơng náu f 0P 0(f ) v g0P 0(g) chung mët h m nhä α ∈ Af (Cp) ∩ Ag (Cp) th¼ f = g H» qu£ 2.2 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho Φ(P ) ≥ 3, °t P 0(X) = bΠli=1 (X −ai )ki Gåi f, g ∈ Au (d(a, R− )) cho f P (f ) v  g P (g) chung l mët h m nhä α ∈ Af (d(a, R−))∩Ag (d(a, R−)) kº c£ bëi N¸u P ki > 2l+2 i=1 th¼ f = g H» qu£ 2.3 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho Φ(P ) ≥ (t÷ìng ùng Φ(P ) ≥ 3), °t P (X) = bX n Πli=2 (X − )ki vỵi l > 3, gåi f, g ∈ A(Cp ) (t÷ìng ùng f, g ∈ Au (d(a, R− )) cho f P (f ) v  g P (g)) chung mët h m nhä α ∈ Af (Cp) ∩ Ag (Cp) (t÷ìng ùng α ∈ Af (d(a, R−)) ∩ Ag (d(a, R− ))) kº c£ bëi N¸u n > l + th¼ f = g Hìn núa, náu f, g A(Cp ), l hơng số v  n ≥ l + th¼ f = g Nôm 2014 Escassut, Boussaf, Ojeda,  chựng minh cĂc nh lỵ 2.92.13 cho hm phƠn hẳnh phực v p-adic cử th cĂc nh lỵ nhữ sau: nh lỵ 2.9 ([11]) Cho P l  mët a thùc nh§t cho M(Cp), (tữỡng ựng cho M(d(0, R))) vợi l > 2, °t P 0(X) = bΠli=1(X − ai)k vỵi b ∈ C∗p, l P ki > ki+1 , ≤ i ≤ l − 1, °t k = ki , gåi u5 l ch số i lợn nhĐt cho i=2 ki > v  s5 = max(0, u5 − 3), vợi mội m N, um l lợn nhĐt cho i 26 ki > m v  sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (1) k1 > 10 + max(0, − k2 ) + l X max(0, − ki ) − min(2l, ∞ X sm ), m=5 i=3 ho°c k1 > k + (t÷ìng ùng k1 > k + 3) hoc P thọa mÂn giÊ thiát (G), (3) náu l = 2, th¼ k1 6= k + 1, 2k, 2k + 1, 3k + 1, k (4) n¸u l = 3, th¼ k1 6= , k1 6= k + 1, 2k + 1, 3ki − k, ∀i = 2, 3, (5) náu l > 4, thẳ k1 6= k + Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f, g ∈ M(d(a, R−))) l  h m si¶u vi»t v  gi£ sû α ∈ Mf (Cp) ∩ Mg (Cp) (t÷ìng ùng α ∈ Mf (d(a, R−) ∩ Mg (d(a, R )))) l khổng ỗng nhĐt khổng Náu f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g Chú ỵ 2.3 ([11]) Tờng P sm l hin nhiản l hỳu hÔn (2) m=5 Hằ quÊ 2.4 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] thäa m¢n Φ(P ) v thọa mÂn giÊ thiát (G), t P 0(X) = bΠli=1(X − ai)k vỵi b ∈ C∗p, l > 3, ki > ki+1, l P ≤ i ≤ l−1, k = ki , vỵi méi m ∈ N, gồi um l ch số i lợn nhĐt cho i=2 ki > 4, s5 = max(0, u5 − 3) v  vỵi måi m > 6, °t sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: i (1) k1 > 10 + max(0, − k2 ) + l X max(0, − ki ) − min(2l − 1, ∞ X sm ), m=5 i=3 k (2) náu l = 3, thẳ k1 6= , k + 1, 2k + 1, 3ki − k, ∀i = 2, 3, (3) n¸u l > 4, th¼ k1 6= k + Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  gi£ sû Mf (Cp) Mg (Cp) l khổng ỗng nhĐt khổng Náu f 0P 0(f ) v g0P 0(g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g V½ dư 2.2 ([11]) Cho X 20 X 19 4X 18 4X 17 6X 16 6X 15 4X 14 4X 13 X 12 X 11 P (X) = − − + + − − + + − 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 Chóng ta câ thº kiºm tra P 0(X) = X 10(X − 1)5(X + 1)4 v  27 P 1 − ), 10 + 2j + 2j j=0 P 1 C4j ( P (−1) = − + ) 10 + 2j + 2j j=0 Do â, chóng ta câ Φ(P ) = v  chóng ta kim tra giÊ thiát (G) l thọa mÂn BƠy giớ gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  gi£ sû α ∈ Mf (Cp ) ∩ Mg (Cp ) l khổng ỗng nhĐt khổng Náu f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g P (0) = 0, P (1) = C4j (−1)j ( nh lỵ 2.10 ([11]) Cho P l a thực nh§t cho M(Cp), P 0(X) = l Q l vỵi b ∈ C∗p, l > 2, ki > ki+1, ≤ i ≤ l −1, °t k = P ki, vỵi i=2 i=1 méi m ∈ N, gåi um l ch số i lợn nhĐt cho ki > 4, s5 = max(0, u5 −3), vỵi måi m > 6, sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau : b (X −ai )ki (1) k1 > + max(0, − k2 ) + l X max(0, − ki ) − min(2l − 1, i=3 (2) (3) (4) ho°c k1 > k + hoc P thọa mÂn giÊ thiát (G), náu l = 2, thẳ k1 6= k + 1, 2k, 2k + 1, 3k + 1, n¸u l = 3, th¼ k1 6= k2 , k + 1, 2k1, 3ki − k, ∀i = 2, ∞ X sm ), m=5 Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m siảu viằt v l hm Moebius Náu f 0P 0(f ) v  g0P 0(g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g H» qu£ 2.5 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho Φ(P ) ≥ v  P 0(X) = l P ki , vỵi bΠli=1 (X −ai )k vỵi b ∈ C∗p , l > 3, ki > ki+1 , ≤ i ≤ l−1, °t k = i=2 méi m ∈ N, gåi um l ch số i lợn nhĐt cho ki > 4, s5 = max(0, u5 −3), vỵi måi m > 6, sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau : i (1) k1 > + max(0, − k2 ) + l X max(0, − ki ) − min(2l − 1, i=3 (2) (3) ho°c k1 > k + hoc P thọa mÂn giÊ thiát (G), náu l = 3, th¼ k1 6= k2 , k + 1, 2k + 1, 3ki − k, ∀i = 2, 28 ∞ X m=5 sm ), Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  α l  mët h m Moebius N¸u f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bởi, thẳ f = g Tứ nh lỵ 2.9 chóng ta câ H» qu£ 2.6 H» qu£ 2.6 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho P 0(X) = b(x−a1)n(x−a2)k vỵi k ≤ n, min(k, n) > v  vợi b Cp GiÊ sỷ P thọa mÂn cĂc i·u ki»n sau: (1) n > + max(0, − k), (2) ho°c n>k+2 ho°c P thäa m¢n gi£ thi¸t (G) (3) n 6= k + 1, 2k, 2k + 1, 3k − Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  α l  mët h m Moebius N¸u f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bởi, thẳ f = g nh lỵ 2.11 ([11]) Cho P (X) l  a thùc nh§t cõa M(Cp) v  P (X) = bΠli=1 (X − )k vỵi b ∈ C∗p , l > 2, ki > ki + 1, ≤ i ≤ l − 1, l °t k = P ki, vỵi méi m ∈ N, gồi um l ch số i lợn nhĐt cho ki > 4, i=2 s5 = max(0, u5 − 4), vỵi måi m > 6, sm = max(0, um − 3) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (1) ho°c k1 > k + ho°c P thọa mÂn giÊ thiát (G), i (2) k1 > + max(0, − k2 ) + l X max(0, − ki ) − min(2l − 1, ∞ X sm ), m=5 i=3 (3) k1 6= k + Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v l mởt hơng số khĂc Náu f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g H» qu£ 2.7 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho Φ(P ) ≥ 3, P 0(X) = l P bΠli=1 (x − )k vỵi b ∈ C∗p , l > 3, ki > ki+1 , ≤ i ≤ l − 1, k = ki , vỵi i=2 méi m ∈ N, gåi um l  ch¿ số i lợn nhĐt cho ki > 4, s5 = max(0, u5 −3), vỵi måi m > 6, sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n i 29 sau: (1) k1 > k + hoc P thọa mÂn giÊ thiát (G), (2) k1 > + max(0, − k2 ) + l X max(0, − ki ) − min(2l − 1, ∞ X sm ) m=5 i=3 Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  α l mởt hơng số khĂc Náu f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g H» qu£ 2.8 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho P 0(X) cõ dÔng b(x a1 )n (x − a2 )k vỵi min(k, n) > v  vỵi b ∈ C∗p Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (1) n > + max(0, − k), (2) ho°c n>k+2 ho°c P thäa m¢n gi£ thi¸t (G), (3) n 6= k + Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  α l mởt hơng số khĂc Náu f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g V½ dư 2.3 ([11]) Cho X 24 10X 23 36X 22 40X 21 74X 20 226X 19 84X 18 P (X) = − + − − + − 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 312X 88X 280X 48X 80X 12 312X + + − + + − 17 16 15 14 13 12 11 32X − 11 Chóng ta câ thº kiºm tra r¬ng P 0(X) = X 10(X − 2)5(X + 1)4(X − 1)4 Ti¸p theo chóng ta câ P (2) < −134378, P (1) ∈ [−2, 11, −2, 10], P (−1) ∈ [2, 18, 2, 19] Do â P (0), P (1), P (−1), P (2) l  c¡c sè ph¥n bi»t, â Φ(P ) = Ngo i ra, gi£ thiát (G) l thọa mÂn BƠy giớ, cho f, g ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f, g ∈ Mu(d(a, R−)), t÷ìng ùng f, g ∈ M(C)) v  gi£ sû α ∈ M(Cp ) (t÷ìng ùng α ∈ M(d(a, R− )), t÷ìng ựng M(C) l khổng ỗng nhĐt khổng) Náu f 0P 0(f ) v  g0P 0(g) chung h m k cÊ bởi, thẳ f = g 30 Trữớng hủp phực nh lỵ 2.12 ([11]) Cho P l l a thực nhĐt cho M(C), vợi l > 2, l Q l P °t P (X) = b (X − ai) vỵi b ∈ C , ki > ki+1, ≤ i ≤ l − 1, k = ki, i=2 i=1 gồi u5 l ch số i lợn nhĐt cho ki > v  S5 = u5 − 3, vỵi méi m ∈ N, um l  ch¿ sè i lợn nhĐt cho ki > m v Sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: ∗ ki (1) k1 > 10 + max(0, − k2 ) + l X max(0, − ki ) − min(2l, ∞ X sm ), m=5 i=3 ho°c k1 > k + ho°c P thọa mÂn giÊ thiát (G), (3) náu l = 2, th¼ k1 6= k + 1, 2k, 2k + 1, 3k + 1, k (4) n¸u l = 3, th¼ k1 6= , k1 6= k + 1, 2k + 1, 3ki − k, ∀i = 2, 3, (5) náu l > 4, thẳ k1 6= k + Gi£ sû f, g ∈ M(C) l  h m si¶u vi»t v  α ∈ Mf (C) ∩ Mg (C) l  kh¡c N¸u f P (f ) v  g P (g) chung h m nhä α kº c£ bëi, th¼ f = g H» qu£ 2.9 ([11]) Cho P ∈ C[X] thäa m¢n Φ(P ) > v thọa mÂn l Q giÊ thiát (G), °t P (X) = b (X − ai)ki, ki > ki+1, ≤ i ≤ l − 1, (2) i=1 l P vỵi méi m ∈ N, gåi um l ch số i lợn nhĐt cho ki > 4, s5 = max(0, u5 − 3), vỵi måi m > 6, sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: k = i=2 ki , (1) k1 > 10 + max(0, − k2 ) + l X i=3 max(0, − ki ) − min(2l, ∞ X sm ), m=5 (2) k1 6= k + Gi£ sû f, g ∈ M(C) v  α ∈ Mf (C) ∩ Mg (C) l  khæng ỗng nhĐt khổng Náu f 0P 0(f ) v g0P 0(g) chung h m α kº c£ bëi th¼ f = g nh lỵ 2.13 ([11]) Cho P l a thực nhĐt cừa A(C) vợi l > v l P ki > ki + 1, ≤ i ≤ l − l > 2, °t k = ki , gåi u5 l  ch¿ sè i lỵn i=2 nh§t cho ki > v  s5 = max(0, u5 − 3), vỵi méi m ∈ N, um l  ch¿ sè 31