Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNGTRƯỜNG THPTTHPT TRIỆUTRIỆU SƠNSƠN 55 *** *** SÁNG K[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN *** - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Giáo viên: Tổ: Đơn vị: Đỗ Đức Thông Tốn THPT Triệu Sơn Thanh Hóa, năm 2019 SangKienKinhNghiem.net PHẦN 1: MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Trong giảng dạy mơn tốn, ngồi việc giúp học sinh nắm kiến thức việc phát huy tính tích cực học sinh, biết ứng dụng phương pháp học vào giải toán điều cần thiết Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức dạng toán phổ biến quan trọng chương trình tốn phổ thơng, thường gặp đề thi tuyển sinh vào đại học- cao đẳng chuyên đề hay gặp đề thi học sinh giỏi phổ thông Các giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức đa dạng phong phú Cả lý luận thực tiễn dạy học chứng tỏ chúng có hiệu việc phát triển tư cho học sinh Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức, việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc nhiều vào đặc thù toán Đứng trước toán này, học sinh phổ thông thường lúng túng phương pháp giải, nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức Côsi hay sử dụng Bunhiacopski Các tài liệu, sách tham khảo trình bày đầy đủ vấn đề này, viết tập trung vào vấn đề: “ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ” Nói đến phương pháp toạ độ, học sinh thường hay nghĩ đến toán khảo sát hàm số, vẽ đồ thị tốn hình học giải tích mà học sinh nghĩ đến cịn ứng dụng phương pháp tọa độ để làm tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức II Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống tập theo độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh cách ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức III Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tài liệu liên quan khác,… - Phương pháp quan sát: Quan sát trình dạy học trường THPT Triệu Sơn - Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với lớp đối chứng IV Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm - Mục lục - Mở đầu - Nội dung - Thực nghiệm sư phạm SangKienKinhNghiem.net - Tài liệu tham khảo SangKienKinhNghiem.net PHẦN 2: NỘI DUNG I Cơ sở lí thuyết Sử dụng phương pháp tọa độ để chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ cần phải khai thác tốt số bất đẳng thức thường dùng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski số bất đẳng thức vectơ, bất đẳng thức hình học sơ cấp Một số toán thường dùng: 1) Bất đẳng thức Côsi: Cho n số không âm a1 ,a2 , an ( n ³ 2) , ta ln có: a1 + a2 + + an n ³ a1a2 an n Dấu “=” xảy Û a1 = a2 = = an 2) Bất đẳng thức Bunhiacopski Cho n số a1 ,a2 , ,an n số b1 ,b2 , ,bn tùy ý, ta có: ( a12 + a22 + an )( b12 + b22 + bn ) ³ ( a1b1 + a2b2 + anbn ) Dấu “=” xảy Û a1 a2 a = = = n b1 b2 bn 3) Bất đẳng thức vectơ: r r r r r r i) a - b £ a + b £ a + b r r r r - Dấu “=” bên trái xảy a ngược hướng với b a = r r r r r r b = - Dấu “=” bên phải xảy a hướng với b a = r r b=0 Tổng quát: n åi = ur £ r r rr r r ii) - a b £ a.b £ a b r r b=0 r r b=0 n åi = ur ( n ẻ Â *+ ) r r r r - Dấu “=” bên trái xảy a ngược hướng với b a = r r r r - Dấu “=” bên phải xảy a hướng với b a = 4) Bất đẳng thức tam giác: Với điểm A, B, C ta ln có AB + BC ³ AC Dấu xảy A, B, C theo thứ tự thẳng hàng Tổng quát: Trong tất đường gấp khúc nối điểm A, B cho trước đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ 5) Cho điểm M nằm đường thẳng d (hoặc mặt phẳng (P)) Khi đường thẳng vng góc kẻ từ M xuống đường thẳng d (hoặc mặt phẳng (P)) ngắn đường xiên kẻ từ M xuống đường thẳng (hoặc mặt phẳng (P)) SangKienKinhNghiem.net 6) GTLN hàm liên tục đạt biên 7) Trong tam giác nội tiếp đường trịn bán kính R, tam giác có chu vi lớn (có giá trị 3R ) có diện tích lớn 8) Cho D ABC có ba góc nhọn điểm M tùy ý mặt phẳng( ABC ) tổng MA + MB + MC nhỏ M nhìn cạnh AB, BC, CA góc 1200 SangKienKinhNghiem.net II Bài tập Phương pháp: + Biến đổi hàm số (hoặc biểu thức) cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ dạng tọa độ để xác định vectơ, điểm, đường có tọa độ từ điều kiện biểu thức cần tìm + Chuyển tốn từ dạng đại số dạng hình học tọa độ, giải tốn phương pháp hình học từ suy kết dạng đại số Bài 1: Tìm giá trị nhỏ hàm số: f( x) = x - x + + x - 3x + với x Î ¡ Giải: Viết lại hàm số dạng: 3 ) +( ) + (x) + ( )2 2 2 Hàm xác định ¡ Xét hệ trục tọa độ Oxy r r Cách 1: Chọn u = ( - x + ; ), v = (x; ) 2 2 r r 3 |u + v| = ( - ) +( + ) = 2 2 r r r r Khi f( x) = | u | + | v | ³ |u + v|= r r Đẳng thức xảy vectơ u,v hướng ìï k = r r ï u = kv( k > 0) Û ïí y ïï x = - f( x) = ( x - ïỵ Vậy m inf( x) = x = 3- hay: A 3 Cách 2: Gọi A( , ); B( , - ); C( x,0) Khi đó: 2 2 3 ) +( ) CB = ( x ) + ( )2 2 2 Nên ta có: f(x) = AC + BC Theo bất đẳng thức tam giác ta có: AC = ( x - 3 AC + BC ³ AB= ( - ) +(- ) = Nên 2 2 : f(x) ³ " x Ỵ ¡ O Vậy f( x)min = C giao điểm AB trục Ox, từ x = Bình luận: SangKienKinhNghiem.net C0 C x B 3- - Nếu áp dụng phương pháp hàm số việc xét biến thiên gặp khó khăn để tìm nghiệm phương trình f '( x ) dẫn tới việc giải phương trình bậc - Về cách chọn điểm chọn vectơ 1: r r r r + Cách 1: Việc chọn vectơ u,v cần phải khéo léo để cho |u + v| số đồng thời dấu “=” phải xảy + Cách 2: Câu hỏi đặt lại chọn cặp điểm 3 A( , ); B( , - ) mà cặp điểm khác, biểu thức 2 2 3 tính khoảng cách AC, BC khơng đổi Ta chọn A( , ) ; B( , ) 2 2 có f(x) = AC + BC Lúc A B nằm phía so với trục Ox Khi để tìm giá trị nhỏ AC + BC toán dài cách lấy điểm B’ đối xứng với B qua Ox, tức B '( , - ) M giao điểm 2 AB ' trục Ox Nên ta chọn điểm B( ,- ) 2 - Mở rộng toán: + Thứ nhất: liệu hệ số biểu thức có phải khơng? Nếu thay x - x + biểu thức x - x hay x - x - sao? Trả lời: Do áp dụng công thức khoảng cách độ dài vectơ nên biểu thức dấu phải dương + Thứ hai: Hệ số x hai biểu thức hàm số có thiết phải khơng? Nếu khơng sao? Ví dụ: f( x) = x - x + + 2x - x + Trả lời: Do áp dụng: “Trong tất đường gấp khúc nối điểm A, B cho trước đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất” cần khoảng cách điểm đầu cuối không đổi, nên cặp điểm A, B phải có dạng A( m; n), B( p; q) A( x + m; n), B( x + n; q) A( m; y + n), B( p; y + q) A( x; y), B( x + m; y + q) (trong m, n, p, q giá trị không đổi) Và với điểm C thay đổi áp dụng cơng thức khoảng cách để tính AC , BC ta hệ số x + Thứ ba: Khi thay hàm số f( x) = x - x + - x2 - 3x + đạt giá trị lớn nhỏ hay không? Trả lời: Do cách chọn điểm mà hàm số f( x) đạt giá trị lớn Nếu muốn tìm tìm giá trị lớn hàm số ta chọn 3 A( , ) ; B( , ) cho phía so với trục Ox ta có 2 2 SangKienKinhNghiem.net f(x) = AC - BC £ AB Từ ta tìm giá trị lớn hàm số f( x) = x - x + - x2 - 3x + + Thứ tư: Ta tìm thêm giá trị lớn hàm số không? Trả lời: Nếu giới hạn giá trị biến x lại tập D ta tìm giá trị lớn hàm số Các vấn đề áp dụng trình bày qua tốn Bài 2: Tìm giá trị lớn hàm số: x - 2px + 2p2 + x - 2qx + 2q2 (p, q hai số cho trước) Giải: y Xét p + q > : A y=|p| Trên mặt phẳng toạ độ Oxy xét điểm A( x - p; p ) B( x - q; - q ) ) Khi đó: f( x) = f (x ) = ( x - p) + p + ( x - q) + q = OA + OB O x Rõ ràng có: OA + OB AB Mà AB = ( p - q) + ( p + q ) khơng đổi y= -|q| với vị trí A B Vậy ta ln có f (x ) ³ B ( p - q) + ( p + q ) (1) Dấu “=” xảy Û A, O, B theo thứ tự thẳng hàng uur uuur Ta có: OA = ( x - p; p ); BO = ( q - x; q ) Khi A, O, B theo thứ tự thẳng hàng Û p q p + pq x- p = Û x= q- x q p+ q Do độ dài đoạn AB khơng đổi với vị trí A, B nên ta cú: ổq p + p q ữ ỗ ữ f ỗỗ = AB = ( p - q) + ( p + q ) ÷ ÷ çç p + q ÷ è ø (2) Xét p + q = ( p = q = 0) Lúc f (x ) = x Û f( x)min = x = (3) Tóm lại, với trường hợp ta có: f( x)min = ( p - q) + ( p + q ) SangKienKinhNghiem.net Bài 3: Cho a, b , c, h bốn số dương cho trước x, y, z ba số thực thay đổi cho: ax + by + cz = k (1) ( k số cho trước) Tìm giá trị nhỏ hàm số f (x,y, z) = a h2 + x + b h2 + y + c h2 + z2 với (x, y, z) thoả mãn điều kiện (1) Giải: Trên hệ trục Ouv, lấy điểm: A (ah;ax ), B ((a + b)h; ax + by ),C ((a + b + c)h; ax + by + cz) Ta có: v OA = a h + x ; C ax+by+cz=k AB = b h2 + y ; BC = c h2 + z2 Vậy ax A (a+b)h O (a+b+c)h u ah ax+by B f (x; y; z) = OA + AB + BC(2) Và OA + AB + BC độ dài đường gấp khúc OABC nối hai điểm cố định O (0; ) C ((a + b + c)h; k ) Từ (2) suy ra: f (x; y; z)³ OC = k + h2( a + b + c) (3) Dấu “=” (3) xảy O, A, B,C theo thứ tự thẳng hàng ax ax + by ax + by + cz k Û = = Û x= y= z= ah ah + bh ah + bh + ch a + b+ c ỉ k k k ÷ ÷= , , k + ( a + b + c) h2 Như vậy: f ççç ÷ ÷ èa + b + c a + b + c a + b + c ø Từ (3) (4) ta có: f (x; y; z) = k + ( a + b + c) h2 x = y = z = (4) k a + b+ c Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: ïì ïỵï f( x) = x - 2x + + x + 2x + miền D = ïí x \ - ïü £ x £ 1ïý ùỵ ù Phõn tớch: Nu lm nh bi ta tìm giá trị nhỏ mà khơng tìm giá trị lớn Với ta sử dụng tính chất: giá trị lớn hàm liên tục đạt biên Giải: Viết lại hàm số dạng: SangKienKinhNghiem.net f( x) = + ( x - 1) + + ( x + 1) Xét hệ trục tọa độ Ouv , xét điểm cố định N(2; 2) điểm chuyển động M(1; 1-x) v - Khi £ x £ ta £ - x £ N 2 M1 M giới hạn đoạn thẳng M 0M với M 0( 1; 0) M 1( 1; ) OM = + ( x - 1) ; MN = Do: + ( x + 1) Suy f(x) = OM + MN Nên f(x) ³ ON = 1-x M O M0 u Vậy f( x) đạt Giá trị nhỏ O, M, N theo thứ tự thẳng hàng hay M giao điểm ON M 0M Dễ dàng tìm M (1,1) hay x = Và max f( x) = £ x £ max ( OM + MN ) M Î [ M 0M ] = max( OM + M 1N , OM + M 0N ) Max 13 + ;1+ 5) = 1+ 2 f( x) = + x = Min f( x) = x= = max( Vậy - £ x £ - £ x £ Bình luận: - Bài sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương trình f '( x ) khơng khó - Sử dụng phương pháp dạy cho học sinh lớp 10 Bài 5: Cho x, y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x - 1) + y + ( x + 1) + y + y - (Trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006) Phân tích: Hai thức làm ta nghĩ tới tọa độ điểm M( x - 1; - y), N( x + 1; y) sử dụng bất đẳng thức tam giác để đánh giá hai thức Tuy nhiên cần khéo kéo chọn để có dấu xảy Giải: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét M( x - 1; - y), N( x + 1; y) Ta OM + ON = ( x - 1) + y + ( x + 1) + y SangKienKinhNghiem.net Do OM + ON ³ MN nên ( x - 1) + y + ( x + 1) + y ³ + y Đẳng thức xảy M, O, N theo thứ tự thẳng hàng Từ ta x = Do A ³ + y + y - = f( y) Ta tìm giá trị nhỏ f( y) hai trường hợp: + Nếu y £ ta f( y) = + y + - y 2y f '( y) = + y2 Bảng biến thiên: y f’(y) - , f '( y) = Û 2y = - ¥ - + y2 Û y = 3 + f(y) 2+ Từ suy ra: f( y) ³ + " y £ Dấu xảy y = 3 + Nếu y ³ ta f( y) = + y + y - ³ > + 3 Binh luận: Nếu chọn cặp điểm M( x - 1; y), N( x + 1; y) MN = Vậy Amin = + x = 0; y = nhỏ khơng có dấu “=” xảy Bài 6: Với x Ỵ ¡ , tìm giá trị nhỏ hàm số: f( x) = 2x - 2x + + 2x + ( + 1)x + + 2x - ( + 1)x + Giải: 3 ) + ( x + )2 + ( x ) + ( x - )2 2 2 Trong mặt phẳng tọa độ, ta xét điểm y M(x;x) f( x) = ( x - 1) + x + ( x + A - 3 2 x O B - SangKienKinhNghiem.net C 3 ; - ),C( ; - ) Khi đó: f( x) = MA + MB + MC 2 2 Nên f( x) nhỏ M nhìn cạnh AB, AC, BC tam giác ABC góc 1200 Dễ thấy tam giác ABC đều, tâm O nên đề f( x) nhỏ M º O hay x = Và ta f ( x )min f ( ) Bất đẳng thức cho chứng minh Chứng minh tốn phụ: Cho D ABC có ba góc nhọn điểm M tùy ý nằm mặt phẳng( ABC ) tổng MA + MB + MC nhỏ M nhìn cạnh AB, BC, CA góc 1200 Hướng dẫn: Xét phép quay tâm A góc quay 600: P - Biến điểm M thành điểm N - Biến điểm C thành điểm P A Khi đó, theo tính chất phép N quay góc quay 600 ta được: AM = MN; CM = NP Vậy tổng MA + MB + MC nhỏ M Û tổng (BM + MN + NP) nhỏ Û B, M, N, P thẳng hàng Nói riêng, B, M, N thẳng hàng mà B C ·AMN = 600 nên ·AMB = 1200 Tương M( x; x), A( 1; 0), B( - tự ta ·BMC = ·CMA = 1200 Từ ta điều phải chứng minh Bài 7: Tìm giá trị nhỏ hàm số: f( x; y) = ( x + 1) + ( y - 1) + ( x - 1) + ( y + 1) + ( x + 2) + ( y + 2) Trong x, y số thực (Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1998) Phân tích: Trong hàm số f( x; y) xuất bậc hai, gợi nghĩ đến công thức khoảng cách hai điểm Giải: Xét điểm A (- 1,1); B (1, - 1); C (- 2, - ) điểm M (x;y ) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Ta có: MA = ( x + 1) + ( y - 1) y MB = ( x - 1) + ( y + 1) 2 MC = ( x + 2) + ( y + 2) A(-1;1) Suy f (x; y ) = MA + MB + MC -2 -1 M Nên hàm số f( x; y) đạt giá trị nhỏ tổng MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ SangKienKinhNghiem.net O x -1 C(-2;-2) -2 B(1;-1) M nhìn cạnh AB, AC, BC tam giác ABC góc 1200 Với ý VABC cân C nên M Ỵ [OC] Ta tính f( x; y) : Xét tam giác vng OMA có ·AMO = 600 , OA = Khi xM = yM = Suy f( - ,- OM = Tức x = y = - nên OM = OA = tan 600 ) = + 2 3 Vậy f(x; y) = + 2 Bài 8: Cho a2 + b2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a 1+ b + b 1+ a Giải: r r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn u = ( a; b) v = ( + b; + a ) r r Khi ta u = a2 + b2 = ; v = + a + b Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: = ( + 1)( a2 + b2 ) ³ ( a + b) r ta được: v £ + rr r r Từ suy ra: P = a + b + b + a = u.v £ u v £ + ìï a b ïï = Dấu “=” xảy Û ïí + b 1+ a Û a = b ïï a=b ïïỵ Kết hợp với điều kiện ban đầu a2 + b2 = ta a = b = 2 2 Bài 9: Cho x, y, z ba số dương x + y + z £ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 A = x + + y + + z2 + x y z Giải: r r u r 1 Gọi u = ( x; ) , v = ( y; ) , w = ( z; ) y x z r r ur 1 Khi u + v + w = ( x + y + z; + + ) x y z Vậy Pmin = + a = b = SangKienKinhNghiem.net r Ta có: u = Khi A = r x + , v = x ur y + , w = y z2 r r ur 1 x + + y + + z2 + = u + v + w x y z 2 z2 + r r ur 1 Và u + v + w = ( x + y + z) + ( + + ) x y z 1 + + ) - 80( x + y + z) x y z Áp dụng bất đẳng thức Côsi, kết hợp x + y + z £ ta được: é ù ê81( x + y + z) + ( + + ) ú- 80( x + y + z) ê x y z ú ë û 1 1 ³ 81( x + y + z)( + + ) - 80.1 ³ 2.9.3 xyz 3 - 80 = 162 - 80 = 82 x y z xyz = 81( x + y + z) + ( r r ur r r ur Áp dụng bất đẳng thức u + v + w ³ u + v + w ta A 82 r r ur Dấu “=” xảy vectơ u,v,w hướng x + y + z = hay: r r ur ìï x = ky = lz ìï k = l = ìï ïï ïï ï u = kv = lw ( k > 0; l > 0) Û Û í í í k l ïï x + y + z = ïï x = = ïï x = y = z = ïỵ ïïỵ ïỵ y z Vậy Amin 82 đạt x y z Bình luận: Đây dạng đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A, năm 2003 Bài 10: Cho số thực dương a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 + 2b2 b2 + 2c2 c2 + 2a2 P= + + ab bc ca Giải: 2 2 a + 2b b + 2c c + 2a2 + + ³ Ta có ab bc ca 2 Û + + + + + ³ b2 a2 c2 b2 a c2 r ỉ1 r ỉ1 ur ỉ1 ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ; v = ; ; w = ; Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét ba vectơ u = ỗỗ ; ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ÷ ÷ b a c b a c ÷ ÷ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ r Khi ta có | u | = a2 + 2b2 r ; | v |= ab b2 + 2c2 ur ; | w |= bc SangKienKinhNghiem.net c2 + 2a2 ca r r ur r r ur ỉ1 1 2 2ữ ỗ ữ u + v + w = ỗỗ + + ; + + ; | u + v + w |= ữ ữ ỗ a b c a b c ÷ è ø ổ1 1ử ữ ỗỗ + + ữ ữ = ỗ ốa b c ữ ứ 1 + + = a b c r r ur r r ur Áp dụng bất đẳng thức | u | + | v | + | w | ³ | u + v + w | ta được: P ³ r r ur r Vì ba vectơ ta xét khác vectơ nên dấu “=” xảy vectơ u,v,w hướng ab + bc + ca = abc ìï k ïï = = l ïï b c a r r ur ìï k = l = ïìï u = kv = lw( k > 0; l > 0) ïï k l Û í = = hay í Û ïí ïï a b c ïï ab + bc + ca = abc ïï a = b = c = î ïî ïï 1 ïï + + = ïïỵ a b c Vì ab + bc + ca = abc Û Vậy Pmin a b c Bình luận: Đây dạng đề thi đại học Quốc Gia Hà Nội, năm 2000 Bài 11: Tìm giá trị nhỏ hàm số: 2 16 32 2 f( x) = x +2+ x x+ + x - 4x + 10 + x - x+ 2 5 2 5 Giải: Ta có: 16 8 f( x) = ( x + 22 + ( x ) + ( ) + ( x - 2) + 22 + ( x - ) + ( ) 5 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét vectơ: r r 16 r r a(x, 2); b(x- , ); c(4-x, 2); d( -x, ) 5 5 r r 16 | b |= ( x ) + ( )2 Ta có: |a | = x + 22 ; 5 r r | c | = ( x - 2) + 22 ; | d | = ( x - ) + ( ) 5 Khi đó: uur r r uuur f( x) = ( | a | + | b | + | c | +| d | ) r r r r 1 ³ ( | a + c | + |b + d |) = ( + 4) = + 2 2 r r r r Dấu xảy a , c hướng b , d hướng, tức là: SangKienKinhNghiem.net ìï x = k( - x) ïï ïï = 2k r r ìï ïï ìï k = l = a = kc ïï r Û ïí x - 16 = l( - x) Û ïí ír ïï x = ïï b = ld ïï 5 î ïî ïï 8l ïï = ïïî 5 Vậy f( x)min = + 2 x = Bài 12: Cho xi, yj (i = 1,2, , n) 2n số thực thoả mãn: n å i=1 n åi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Giải: Xét mặt phẳng tọa độ Oxy: æk n åi = xi + n åi yi = k åi = ö yi = 1 ÷ yi ÷ ÷, ÷ ø Mn Mk y åi = i ÷÷÷÷ø thỏa mãn n Mn-1 Mk-1 H x+y=1 M1 = nên M n nằm đường O thẳng x + y = Dễ thấy: M k- 1M k = i=1 y k= 1, 2, , n æn Núi riờng im M n ỗỗỗồ xi ; ỗ ối = å xi2 + yi2 = Gọi Mk im cú to M k ỗỗỗồ xi ; ỗ ối = xi + n ổk ỗỗ x i ççèå i=1 ỉk ÷ ÷ x + åi = i ứữữ ỗỗỗỗốồi = yi k- y åi = i ÷÷÷÷ø k- 1 = xk2 + yk2 (k= 1, 2, , n) Từ ta được: P = OM + M 1M + M 2M + + M n - 1-M n Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng x + y = , 2 Khi ta ln có: OM + M 1M + + M n - 1M n ³ OH , OH = hay P ³ 2 Dấu “=” xảy Û O, M , M , , M n theo thứ tự thẳng hàng M n º H Û y1 y2 y = = = n = tan 450 = x1 x2 xn Û x1= x2 = = xn = y1 = y2 = = yn = 2n SangKienKinhNghiem.net x Û x1= x2 = = xn = y1 = y2 = = yn = 2n Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: Vậy Pmin = f( x; y) = x + y2 Trên miền D = {( x; y) \ x - 2y + ³ 0; x + y + ³ 0; 2x - y + £ 0} Giải: Miền D miền VABC tính biên Với A( 0; 4) , B( - 4; 2), C( - 2; 0) y x - 2y +8 = Gọi M( x; y) Ỵ D M nằm A VABC (cả biên) Ta có OM = x + y Suy ra: f(x; y) = OM ³ OH H chân đường cao hạ từ O xuống AC 2.0 - + 4 OH = d( O, AC ) = = 2 +1 B H -4 C 2x - y + = f(x;y) £ max(OA; OB; OC)= max(4; 20; 2) = 20 O x x+y+2=0 M º B hay x = - 4; y = x = - ; y = 5 f(x;y)max = 20 x = - 4; y = Vậy: f( x; y)min = Bài 14: Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = c2 + d = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = - a - 2b + - c - 2d + - ac - bd Giải: Nếu gọi M( a; b), N( c; d), P( 1; 2) từ điều kiện a2 + b2 = c2 + d = ta thấy M , N , P điểm nằm đường trịn tâm O bán kính Và vế trái bất đẳng thức viết dạng: a2 + b2 c2 + d a2 + b2 + c2 + d - 2ac - 2bd + - a - 2b + + - c - 2d + 2 2 = ( a - 1) + ( b - 2) + ( c - 1) + ( d - 2) + ( a - c) + ( b - d) 2 ( ) SangKienKinhNghiem.net = y (MP + NP + MN ) P Vế trái giá trị chu vi tam giác MNP Sử dụng tính chất: “Trong tam giác nội tiếp đường trịn, tam giác có chu vi diện tích lớn nhất” Nên vế trái đạt giá trị lớn tam giác MNP nội tiếp đường trịn bán kính Khi ta chu vi tam giác MNP 15 M(a;b) O x N(c;d) Vậy: - a - 2b + - c - 2d + - ac - bd £ 15 = 30 2 - 1- - + - 1+ - 2- Dấu “=” xảy M( ; ), N( ; ) 2 2 - 1- - 2+ - 1+ - 2- Tức là: a = ,b = ,c = ,d = 2 2 - 1- - 2+ - 1+ - 2- 3 30 Vậy Pm ax a = ,b = ,c = ,d = 2 2 Bài 15: Cho a,b,c,d bốn số thực thỏa mãn điều kiện sau: ìï a2 + b2 + = 2( a + b) ï í ïï c + d + 73 = 14( c + d) ïỵ y H Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = ( a - c) + ( b - d) Giải: Từ điều kiện ta có ìï ( a - 1) + ( b - 1) = ï í ïï ( c - ) + ( d - ) = 25 N O2 F ïỵ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ta xét điểm M( a; b), N( c; d) , từ điều kiện ta thấy M , N hai điểm nằm hai đường tròn tâm O1( 1; 1) bán kính đường trịn tâm O2( 7; ) bán kính E G O1 M O Và ta có: MN = ( a - c) + ( b - d) Nối O1 với O2 cắt đường tròn bé G, E cắt đường tròn lớn F, H Khi tính tọa độ điểm: SangKienKinhNghiem.net x 2 2 ;1), E( + ;1+ ) 2 2 5 5 F( ;7 ), H( + ;7 + ) 2 2 Ta có O1O2 £ O1M + MN + O2N G( - Û O1E + EF + FO2 £ O1M + MN + O2N Û EF £ MN (do O1E = O1M , FO2 = O2N ) Và MN £ O1M + O1O2 + O2N = GO1 + O1O2 + O2H = GH (1) (2) Từ (1) (2) suy EF £ MN £ GH nên ta có EF £ MN £ GH Lại có EF = 2( - ) = 36( - 2 ) ; GH = 2( + ) = 36( + 2 ) Từ ta được: 36( - 2 ) £ P £ 36( + 2 ) Dấu “=” vế trái xảy M º E, N º F hay 2 ,c = d = + 2 Dấu “=” vế phải xảy M º G, N º H hay a = b= 7- ,c = d = + 2 III Bài tập áp dụng Xin đưa số tập áp dụng phương pháp tọa độ để quý thầy cô tham khảo, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ số toán bất đẳng thức a = b = 1- Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f( x) = x - 2x + + x + 4x + - £ x £ Bài 2: Cho a, b, c > a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a2 + ab + b2 + b2 + bc + c2 + c2 + ca + a2 Bài 3: Tìm giá trị lớn hàm số: y = f( x) = x - 4x + 29 - x - 4x + ¡ Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = f( x) = x + - - x miền D = {x \ - £ x £ 4} Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = f( x) = x + + - x miền D = {x \ - £ x £ 4} Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f( x) = + x + - x - ( + x)( - x) miền D = {x \ - £ x £ } Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: SangKienKinhNghiem.net f( x) = x + x - x miền D = {x \ £ x £ 1} Bài 8: Cho hàm số f( x) = A sin x + B cosx ( A + B ¹ 0) a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số cos3x + a cos3x + 1 + + 3a2 b) Chứng minh £ cos3x Bài 9: Tìm giá trị lớn biểu thức " x,a Ỵ ¡ A = f( x,y) = x + y + 2x + 12y + 37 + x + y - 6x + 6y + 18 Bài 10: Tìm giá trị lớn hàm số f( x) = ( x + 6) + 100 + ( x + 1) + SangKienKinhNghiem.net ... - Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với lớp đối chứng IV Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm - Mục lục - Mở đầu - Nội dung - Thực nghiệm sư phạm SangKienKinhNghiem.net... = Bình luận: SangKienKinhNghiem.net C0 C x B 3- - Nếu áp dụng phương pháp hàm số việc xét biến thiên gặp khó khăn để tìm nghiệm phương trình f ''( x ) dẫn tới việc giải phương trình bậc - Về... dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức III Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tài liệu liên quan khác,… - Phương