Sáng kiến kinh nghiệm Giải một số dạng phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba bằng cách nâng lên lũy thừa34499

Giải số dạng phương trình chứa thức bậc hai, bậc ba cách nâng lên lũy thừa i đặt vấn đề Cơ sở thực tiễn: Phương trình vô tỷ (phương trình chứa ẩn dấu căn) dạng toán khó học sinh học sinh THCS Hiện nay, bậc THCS phương trình vô tỉ đề cập lớp Đại số dừng lại phương trình chứa thức bậc hai Phương trình chứa thức bậc cao có sách nâng cao Tuy nhiên đề thi học sinh giỏi, thi tuyển vào lớp 10 thường xuất dạng toán Khi gặp phương trình có chứa thức, học sinh lúng túng không tìm cách giải hay mắc sai lầm giải Với phương trình chứa thøc bËc hai, häc sinh th­êng chØ quen mét ph­¬ng pháp nâng luỹ thừa hai vế để làm dấu căn, trình giải thường mắc phải số sai lầm phép biến đổi tương đương phương trình không tìm tập xác định, không tìm điều kiện trước nâng lũy thừa hai vế, dẫn đến kết thừa thiếu nghiệm Khó khăn: Trong trình giảng dạy thời lượng giành cho rèn cách giải phương trình chức thức không nhiều Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức kỹ môn Toán trường trung học sở không đề cặp đến nội dung việc rèn kỹ giải phương trình chứa thức chưa coi träng Víi ®iỊu kiƯn thùc tÕ ë tr­êng THCs x· Hiệp Tùng đại phận học sinh học đường thủy lại khó khăn nên việc thành lập nhóm học tập khó thực hiện, thời gian đI nhiều học sinh điều kiện để tham gia lớp phụ đạo.Bộ phận không nhỏ học sinh yếu kỹ biến đổi vận dụng đẳng thức để biến đổi thøc Mét bé phËn phơ huynh häc sinh kh«ng thể hướng dẫn em giải dạng toán chứa thức chất lượng làm tập nhà thấp Để khắc phục tồn hướng cho học sinh giải phương trình chứa thức bậc hai, thức bậc ba, giáo viên cần trang bị cho học sinh kiến thức sách giáo khoa kiến thức mở rộng, hình thành phương pháp giải, kịp thời lưu ý cho em sai lầm giải Với phương trình cần học sinh nhận dạng phát cách giải tìm phương pháp phù hợp nhất, khoa học Việc phân dạng, chọn ví dụ tiêu biểu, hình thành đường lối tư cho học sinh tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu nâng cao hiệu giáo dục Chính trình dạy môn toán trường trường THCS xà Hiệp Tùng đà mạnh dạn chọn đề tài "Giải số dạng phương trình chứa thức bậc hai, bậc ba cách nâng lên lũy thừa" nhằm phân loại, hệ thống lại phương pháp giải số dạng phương trình thường gặp khắc phục sai lầm học sinh thường mắc phải giải phương trình chứa thức DeThiMau.vn ii giải vấn đề Cơ sở xuất phát: Phương trình chứa thức bậc hai thức bậc phương trình có chứa ẩn số dấu bậc hai, bËc ba VÝ dô: 3x    x Đối với phương trình chứa thøc ta th­êng sư dơng mét sè phÐp biÕn ®ỉi sau: f (x) g (x) f (x)  g(x)   g(x)  f (x)  g(x) f (x)  g(x)   f (x)  f (x)  g(x)  f (x)  g (x) f (x)  g(x)  f (x)  g(x) C¸c bước giải phương trình chứa thức (dạng chung) - Điều kiện xác định phương trình - Dùng phép biến đổi tương đương đưa dạng phương trình đà học - Giải phương trình vừa tìm - Đối chiếu kết tìm với điều kiện xác định kết luận nghiệm Chú ý: Với phương trình có ĐKXĐ x R (trong trình biến đổi không đặt điều kiện) tìm nghiệm phải thử lại Phương pháp nâng lên luỹ thừa phương pháp nâng hai vế phương trình lên lũy thừa bậc n để làm bậc n Đây phương pháp thường dùng vế phương trình có luỹ thừa bậc Diễn biến trình tác động biện pháp: 2.1 Phương trình chứa thức bậc hai: Nếu n chẵn ta thực việc nâng lên lũy thừa vế phương trình không âm Vì phương trình chứa bậc chẵn trước nâng lên lũy thừa phải phải tìm điều kiện cho ẩn để hai vế phương trình không âm Sau nâng lên lũy thừa bậc n giải phương trình nhận a Dạng 1: f (x) a; f (x) g(x) a (I) Đây dạng phương trình thường gặp chương trình giảng dạy, sách giáo khoa toán phần đại số thường gặp dạng f (x)  a vµ f (x)  g(x)  a Đối với dạng phương trình điều kiện xác định điều kiện để thức vế trái có nghĩa Lưu ý: Nhiều trường hợp biến đổi dúng phép sau tìm nghiệm phải kiểm tra ( thử lại) để loại bỏ nghiệm ngoại lai Ví dụ 1: Giải phương trình: 9(x 1) 21 (1) ( Bài 25 SGK toán tập 1) Giải: Điều kiện x ®ã: (1)  9(x - 1) = 441 DeThiMau.vn  x - = 49  x = 50 ( nhận) Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {50} Ví dụ 2: Giải phương trình :  x   x  (2) Giải: Điều kiện - < x < (*) Khi vế phương trình (1) không âm, bình phương hai vế ta có: (1) - x + + x + (1  x)(4  x)   (1  x)(4  x) (3) Bình phương hai vế phương tr×nh (3) ta cã: (3)  (1 - x)(4 + x) =  - x2 - 3x + =  x(x + 3) =  x = x = - Đối chiếu với điều kiện (*) ta có nghiệm phương trình (2) là: x = 0; x = -3 b Dạng 2: f(x) g(x) (II) Đây dạng phương trình thường gặp chương trình, đồng thời phương trình trung gian biến đổi phương trình tương đương Dạng phương trình ta cần đặt điều kiện để vế phải không âm Tuy nhiên trình giảng dạy nhận thấy thông thường học sinh hay bỏ quên bước Ví dụ: Giải phương trình: 2x   3x  (4) Th­êng gỈp phương trình học sinh giải sau: (4)  2x    3x    2x2 - = 9x2 - 48x + 64  7x2 - 48x + 65 = 13 Giải x1 = 5; x2 = 13 Sai lầm học sinh chưa tìm điều kiện xác định ( vế phải phải biểu thức không âm) đà vội tiến hành bình phương hai vế giải phương trình xuất 13 nghiệm ngoại lai x2 = Trong trình giảng dạy giáo viên cần khắc sâu cho học sinh tìm điều kiện xác định trước bình phương hai vế, kiểm tra lại nghiệm tìm có phải phương trình đà cho ban đầu không, đồng thời cần rèn cho học sinh kỹ giải bất phương trình để xác định xác điều kiện xác định phương trình (II) Cách giải đúng: Vậy phương tr×nh (4) cã hai nghiƯm x1 = 5; x2 = DeThiMau.vn Khi bình phương hai vế phương trình (4) ta được: Điều kiện xác định: 3x -   x  (4)  2x    3x    2x2 - = 9x2 - 48x + 64  7x2 - 48x + 65 = 13 ( loại) Vậy phương trình có nghiệm x = Giải x1 = ( nhận); x2 = c D¹ng 3: f (x)  g(x)  h(x) (III) phương trình hai vế có bậc hai, học sinh mắc sai lầm để nguyên hai vế bình phương hai vế để làm Vì giáo viên cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh mắc phải tức cần khắc sâu cho học sinh tính chất luü thõa bËc 2: a = b  a2 = b2 điều ngược lại a, b dấu Vì bình phương hai vế phương trình tương đương với phương trình ban đầu hai vÕ cïng dÊu f (x)   phương trình (II) ta tìm điều kiện xác định g(x) vế phải không h(x) âm, vế trái chưa đà không âm, ta nên chuyển vế đưa phương trình có hai vế không âm Sau tiến hành nâng lên lũy thừa thực bước gi¶i x   5x   3x x Giải: Điều kiÖn: 5x    x  3x    VÝ dơ 1: Gi¶i phương trình: (5) (6) ta thấy với điều kiện x vế phải không âm vế trái chưa hẳn không âm giải học sinh thường mắc phải sai lầm không biến đổi hai vế phương trình mà để nâng lên lũy thừa ( x   5x  1)  ( 3x  2) v× vËy h­íng dÉn giải GV cần hướng dẫn để học sinh nhận phải biến đổi tiếp để hai vế phương trình dấu sau nâng lên lũy thừa (5)  x   5x   3x Đến học sinh bình phương hai vÕ: x   5x   3x    7x  15x 13x (**) Ta lại gặp phương trình có vế chứa căn, học sinh mắc sai lầm bình phương tiếp vế để vế phải mà không để ý hai vế đà cïng dÊu hay ch­a DeThiMau.vn   14x  49x  4(15x  13x  2) 2  11x  24x    (11x  2)(x  2)   11x – = hc x – = x x = Và trả lời phương trình (**) có nghiệm : 11 ; x2  11 Sai lÇm cđa häc sinh gì? + Khi giải chưa ý đến điều kiện để thức có nghĩa nên sau giải không đối chiếu với điều kiện (6) : Điều kiện : x x1 không 11 phải nghiệm (5) + Khi bình phương hai vế phương trình (**) cần cã ®iỊu kiƯn 2  7x   x x không nghiệm (5) Hướng khắc phục: Sau phân tích sai lầm mà học sinh gặp, từ hướng học sinh đến cách giải không phạm sai lầm đà phân tích Cách 1: Sau tìm x x thử lại (5) không nghiệm Vậy (5) 11 vô nghiệm ( cách thử lại thường làm việc tìm TXĐ phương trình đà cho tương đối phức tạp ) x1 Cách 2: Đặt điều kiện tồn thức (5) x , sau giải đến (**) x ta tìm điều kiện để bình phương hai vế x x thoả mÃn : nên phương x trình (5) vô nghiệm Cách 3: Có thể dựa vào điều kiện ẩn để xét nghiệm phương trình Điều kiện (5) : x  ®ã x  5x  x   5x   x  5x Vế trái < 0, vế phải nên phương trình (5) vô nghiệm Sau số tập tương tự cho học sinh trình bày lời giải 5x 3x   2x  5x  Giải: Điều kiện xác định 3x    x  2x  Ví dụ 2: Giải phương trình: (7) (***) Khi ®ã (7)  5x   2x   3x  Hai vÕ kh«ng âm nên ta bình phương hai vế được: (5x 1)(2x  3)   2x DeThiMau.vn Điều kiện để bình phương hai vế x , kết hợp với điều kiện (***) ta thấy phương trình vô nghiệm 2.2 Phương trình chứa thức bậc ba: Đối với trường hợp n lẻ ta cần tìm điều kiện ẩn để thức có nghĩa, sau áp dụng quy trình giải tương tự trường họp trên.( nên kiểm tra lại nghiệm tìm có thõa mÃn phương trình ban đầu không?) Dạng phương trình chứa thức bậc lẻ ( thường THCS bậc ba) gặp sách giáo khoa sách tập Tuy nhiên sách nâng cao vµ thi häc sinh giái, thi tun sinh vµo lớp 10 có dạng phương trình Phương trình có chứa thức bậc lẻ không cần điều kiện biểu thức lớn việc tìm điều kiện xác định thuận lợi so với tìm điều kiện thức bậc chẳn d Dạng 4: f (x)  a; f (x)  g(x) a (IV) + bậc lẻ: 2k 1 f (x); 2k 1 g(x) cã nghÜa víi x nên không cần đặt điều kiện + l thõa bËc lỴ: a = b  a2n+1 = b2n+1; (n N) nên không cần xét đến dấu hai vế Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x (8) Giải: Điều kiện xác định x R Lập phương hai vế phương trình (8) ta được: (7) - 3x = -8 10 x= 10 Vậy phương trình cã tËp nghiƯm lµ S =   3 + Tuy nhiên nhiều trường hợp ta nâng lên lũy thừa hai vế xuất phương trình nhìn phức tạp, học sinh thường lúng túng, giáo viên cần hướng dẫn học sinh khéo léo sử dụng đẳng thức đà học để biến đổi Đối với phương trình chứa thức bậc ba f (x)  g(x)  a sau lập phương hai vế thu goạn hai vế, vế trái xuất lại biểu thức f (x)  g(x) v× vËy cã thĨ thay biĨu thøc a để biến đổi đưa phương trình Tuy nhiên để vế trái xuất biểu thức f (x)  g(x) häc sinh cÇn sư dụng linh hoạt đẳng thức : a b   a  3a b  3ab  b3  a  3ab(a  b) b3 đưa phương trình đà cho dạng A.B = để giải Ví dụ 2: Giải phương trình: 25 x 3 x (9) Giải: Điều kiện xác định x R Lập phương hai vế phương trình (8) ta được: DeThiMau.vn (9) 25  x   25  x  25 + x + - x + 3  3  x  3 25  x   3 x   x  64 (25  x)(3  x).( 25  x  3  x ) 64 (10) Phương trình sau lập phương dài nhìn phức tạp, nhiên ta sử dụng đẳng thức biến đổi vế phương trình (10) sử dụng điều kiện đề 25  x  3  x  thay vào phương trình (10) ta phương trình đơn giản nhiều: Vì 25 x  3  x  nªn : (10)  28 + 12 (25  x).(3  x)  64  12 (25  x).(3  x)  36  (25  x).(3  x)  (***) Lập phương hai vế (***) ta được:  (25 + x)(3 - x) = 27  - x2 - 22x + 75 = 27  x2 + 22x - 48 =0  (x - 2)(x + 24) =  x = hc x = - 24 Thư l¹i: + Víi x = ta cã 25   3     + Víi x = - 24 ta cã 24  25  3  24    VËy nghiÖm phương trình (8) là: x = 2; x = -24 Ví dụ 3: Giải phương trình : x 1   x  (11) + phương trình (11) học sinh nhận xét có chứa bậc nên nghĩ đến việc lập phương hai vế : Giải: Điều kiện xác định x R LËp ph­¬ng hai vÕ (11)  x    x    x   x  x   x    x  3 (x  1)(7  x) thay   7x   x 1   x  8 (12) x    x  vào phương trình (11) ta được: 3 (x  1)(7  x).2   (x  1)(7  x)  (13) Gi¶i ra: x1  1; x ; thay lại vào phương trình (11) ta thấy nghiệm đúng, nên nghiệm phương trình ban đầu Vậy (11) có nghiệm x1  1; x  + ë phương trình (11) việc lập phương hai vế cần sử dụng đẳng thức cách linh hoạt để đưa phương trình dạng đơn giản a.b = råi gi¶i Chó ý: Do tõ (12) suy (13) ta thực phép biến đổi không tương đương, tương đương x thoả mÃn : x    x  Vì việc thay lại DeThiMau.vn nghiệm (12) vào phương trình đà cho cần thiết Nếu không thử lại có nghiệm ngoại lai e D¹ng 5: f (x)  g(x)  h(x) (V) Đối với phương trình (V) thông thường giải đa số học sinh biết phải nâng hai vÕ lªn lịy thõa bËc ba, nh­ng khai triĨn đẳng thức vế trái gặp biểu thức phức tạp học sinh gặp khó khăn biến đổi Dạng (V) giáo viên cần hướng dẫn khắc sâu cho học sinh việc sử dụng đẳng thức đà học biến đổi tiếp vế trái đưa dạng A.B = Ví dụ: Giải phương trình : 2x   2x   10x (13) Giải: Điều kiện xác định: x R Lập phương hai vế phương trình (13) ta được: (13)  2x    2x   2x   3 2x    2x   2x   10x Ta thÊy vÕ trái phương trình phức tạp phương trình ban đầu Để giải phương trình ta phải biến đổi vế trái cách rút gọn đồng thời nhóm vài hạng tử lại đặt nhân tử chung: 2x   2x   2x   3 2x   4x  3 2x  2x Theo đề :   2x   2x   10x 2x   2x   10x 14  2x   2x   10x nªn: (14)  2x  2x  10x  2x Ta lập phương vế phương trình để biến ®æi tiÕp: 2x  2x  10x  2x  (2x  1)(2x  1)10x 8x Đến ta hướng dẫn học sinh chuyển vế đưa phương trình tích ;x giải kết quả: x1=0; x2 = 4 Vậy phương trình đà cho cã ba nghiÖm : x1=0; x2 =  ;x 4 Tác động biện pháp: Qua việc thực đề tài, sau trao đổi với đồng nghiệp thành viên tổ chuyên môn đồng tình, đem áp dụng vào thực tế giảng dạy đà cải thiện lớp đến lực giải toán chứa thức bậc hai thức bậc ba học sinh Học sinh phần đà biết cách phân dạng phương trình, sử dụng linh hoạt phương pháp biến đổi để giải phương trình, đặt biệt em đà ý đến việc tìm điều kiện xác định đà có ý thức kiểm tra lại kết có phải nghiệm phương trình hay không Tuy vậy, việc hạn chế kỹ biến đổi thức biến đổi đẳng thức ảnh hưởng không nhỏ đến việc giải phương trình chứa thức đặc biệt dạng phương trình f (x) g(x) h(x) ; f (x)  g(x)  h(x) DeThiMau.vn III kết phổ biến ứng dụng Trên đà trình bày số dạng cách nâng lên lũy thừa để giải phương trình chứa thức bậc hai, thức bậc ba thường gặp; đồng thời đà nêu số sai lầm học sinh trình giải phương trình Trước giải cần định hướng cho học sinh nhận dạng dạng phương trình tiến hành bước giải phù hợp đặc biệt cần tránh phạm phải sai lầm trình giải Sau học sinh giải tập tương tự dạng, tự đặt thêm số tập để khắc sâu thêm phương pháp giải Với việc hướng dẫn học sinh áp dụng phương pháp nâng lên lũy thừa để giải phương trình chứa thức bậc hai, bậc ba nhận thấy học sinh đà nhận dạng phương trình, biết sử dụng phương pháp giải phù hợp có tiến đáng kể việc trình bày lời giải tránh sai lầm giải dạng phương trình.Đặc biệt với học sinh trung bình mức độ tiến rõ rệt nhất, nhiều em đà nhận dạng sử dụng cách giải phù hợp sai sót trình giải đặt biệt đà tâm đến việc tìm điều kiện phương trình trước giải, giải khoa học Qua năm tham gia giảng dạy thử nghiệm sáng kiến kinh nghiệm đà khảo sát việc giải phương trình chứa thức bậc hai, bậc ba đại trà học sinh kết sau: Khi chưa áp dụng chuyên đề Sau áp dụng chuyên đề Giỏi Khá TB Dưới TB Giỏi Khá TB Dưới TB 3% 18,5% 22% 52,5% 14,26% 20,4% 34, 27% 31,07% Víi kinh nghiƯm nho nhá nh­ vËy t«i xin trao đổi đồng nghiệp Tôi mong góp ý chân thành đồng nghiệp thầy cô để ngày hoàn thiện phương pháp nâng lũy thừa để giải phương trình nâng cao hiệu giáo dục Hiệp Tùng, ngày tháng năm 2012 Người viết Đỗ Ngọc H¶i DeThiMau.vn PHẦN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: “Gi¶i mét sè dạng phương trình chứa thức bậc hai, bậc ba cách nâng lên lũy thừa Trng THCS xó Hip Tùng Điểm Nội dung T Kq Đặt vấn đề Biện pháp Kết phổ biến ứng dụng Tính khoa học Tính sáng tạo Tổng điểm: ……… Hiệp Tùng, ngày… tháng…năm 2012 Hiệu trưởng Phòng GD&ĐT Năm Căn Nội dung Đặt vấn đề Biện pháp Kết phổ biến ứng dụng Tính khoa học Tính sáng tạo Tổng điểm: ……… Điểm T Kq Năm Căn, ngày… tháng…năm 2012 Trưởng phòng Căn kết xét, thẩm định Hội đồng khoa học nghành GD&ĐT cấp tỉnh; Giám đốc sở GD&ĐT Cà Mau thống công nhận SKKN Xếp loại: …………………… ………………, ngày……….tháng………….năm 20… GIÁM ĐỐC 10 DeThiMau.vn ...ii giải vấn đề Cơ sở xuất phát: Phương trình chứa thức bậc hai thức bậc phương trình có chứa ẩn số dấu bậc hai, bậc ba Ví dụ: 3x     x §èi với phương trình chứa thức ta thường sử dụng số. .. Hải DeThiMau.vn PHN NHN XÉT ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên ti: Giải số dạng phương trình chứa thức bậc hai, bậc ba cách nâng lên lũy thõa” Trường THCS xã Hiệp Tùng Điểm Nội dung... phương trình f (x)  g(x)  h(x) ; f (x)  g(x)  h(x) DeThiMau.vn III kÕt qu¶ phổ biến ứng dụng Trên đà trình bày số dạng cách nâng lên lũy thừa để giải phương trình chứa thức bậc hai, thức bậc ba