Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 47 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
47
Dung lượng
468,27 KB
Nội dung
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM o0o TRN THÀ THU HOI TNH MINIMAX V TNH COFINITE CÕA Mặ UN ẩI ầNG IU A PHìèNG LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN, NM 2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM o0o TRN THÀ THU HOI TNH MINIMAX V TNH COFINITE CếA Mặ UN ẩI ầNG IU A PHìèNG Ngnh: Ôi số v lỵ thuyát số M số: 46 01 04 LUN VN THC S TON HÅC CĂn bở hữợng dăn khoa hồc: PGS.TS Nguyạn Vôn Hong THI NGUYN, NM 2018 i LÍI CAM OAN Tỉi xin cam oan rơng cĂc kát quÊ nghiản cựu luên vôn ny l trung thỹc v khổng trũng lp vợi c¡c · t i kh¡c Tæi xin cam oan måi sü giúp ù cho viằc thỹc hiằn luên vôn ny  ữủc cÊm ỡn v cĂc thổng tin trẵch dăn luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc ThĂi Nguyản, ngy 16 thĂng 08 nôm 2018 TĂc giÊ TrƯn Th Thu Hoi XĂc nhên cừa trững khoa chuyản mổn XĂc nhên cừa cĂn bở hữợng dăn khoa hồc ii Lới cÊm ỡn Luên vôn ữủc hon thnh vo thĂng 04/2018 dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TS Nguyạn Vôn Hong Tổi xin ữủc by tọ lỏng kẵnh trồng v biát ỡn sƠu sưc tợi thƯy, nhỳng bi hồc quỵ giĂ tø trang gi§y v c£ nhúng b i håc cuëc sống thƯy dÔy giúp tổi tỹ tin hỡn v trững thnh hỡn nhiÃu Tổi xin cÊm ỡn Phỏng o TÔo - Ôi hồc Sữ PhÔm ThĂi nguyản  tÔo iÃu ki»n º tỉi ho n th nh sỵm khâa håc Tỉi xin by tọ lỏng biát ỡn tợi tĐt cÊ cĂc thƯy cổ Ôi hồc ThĂi Nguyản v cĂc thƯy Viằn toĂn vợi nhỳng bi giÊng Ưy nhiằt thnh v tƠm huyát, xin cÊm ỡn cĂc thƯy cổ  luổn quan tƠm v giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp, tÔo iÃu kiằn cho tổi tham gia cĂc buời seminar v cĂc lợp hồc ngoi chữỡng trẳnh Tổi xin cÊm ỡn tĐt cÊ cĂc anh, em v bÔn b  ởng viản giúp ù tổi nhiằt tẳnh quĂ trẳnh hồc v lm luên vôn Tổi xin ữủc gỷi cÊm ỡn tợi tĐt cÊ thnh viản gia ẳnh  tÔo iÃu kiằn cho tổi ữủc hồc têp, nghiản cựu v hon thnh luên vôn iii Mửc lửc Lới cam oan Lới cÊm ỡn M Ưu Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 I ảan nguyản tố liản kát 1.2 Mæ un Noether v Mổ un Artin 1.3 Biu diạn thự cĐp 1.4 Mæ un Ext 1.5 Mổ un ối ỗng iÃu a phữỡng ii iii 10 12 Chữỡng ChiÃu hỳu hÔn bêc v tẵnh minimax cừa mổ un ối ỗng iÃu a ph÷ìng 15 2.1 Mỉ un minimax v mỉ un cofinite 15 2.2 ChiÃu hỳu hÔn bêc mởt v tẵnh chĐt minimax 19 Ch÷ìng ChiÃu hỳu hÔn bêc v tẵnh Lasker yáu 27 3.1 Mỉ un Lasker y¸u v mỉ un cofinite 27 3.2 ChiÃu hỳu hÔn bêc hai v tẵnh chĐt Lasker yáu 35 Kát luên 39 T i li»u tham kh£o 41 iv Mð ¦u Cho R l v nh giao ho¡n Noether (câ ìn và), I l mët i ¶an cõa R v M l R - mỉ un kh¡c Vợi mội số nguyản khổng Ơm i cho trữợc, ta cõ mổ un ối ỗng iÃu a phữỡng thự i cừa M ối vợi giĂ l i ảan I ữủc nh nghắa bi A Grothendieck (xem [11] hoc [8]) nhữ sau: i n HIi (M ) = − lim → ExtR (R/I , M ) n1 CĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn và lợp mổ un ối ỗng iÃu a phữỡng cõ th xem thảm sĂch [8] Mởt nh lỵ quan trồng ối ỗng iÃu a phữỡng l "Nguyản lỵ a phữỡng - ton cửc cho chiÃu hỳu hÔn cừa cĂc mổ un ối ỗng iÃu a phữỡng" (xem [10, nh lỵ 1] - bi bĂo cừa G Faltings) phĂt biu: "Vợi mởt i số nguyản dữỡng r  cho, cĂc Rp-mổ un HIR (Mp ) l hỳu hÔn sinh vợi mồi i ≤ r v måi p ∈ Spec R n¸u v ch¿ n¸u c¡c R-mỉ un HIi (M ) l húu hÔn sinh vợi mồi i r" Cõ mởt dÔng trẳnh by khĂc cho phĂt biu cừa nguyản lỵ a phữỡng ton cửc cừa Faltings m ta quan tƠm Ơy, liản quan án sỹ khĂi quĂt hõa chiÃu hỳu hÔn fI (M ) cừa M ối vợi I , â p fI (M ) := inf{i ∈ N | HIi (M ) khổng l hỳu hÔn sinh}, Ơy ta quy ữợc rơng inf() = Khi õ q fI (M ) := inf{i ∈ N | I * :R HIi (M ) } = inf{i ∈ N | I n HIi (M ) 6= vợi mồi n N}; () ỗng thới lúc õ nguyản lỵ a phữỡng - ton cửc cừa Faltings ữủc cho ð cỉng thùc sau ¥y: fI (M ) = inf{fIRp (Mp ) | p ∈ Spec R} = inf{fIRp (Mp ) | p ∈ Supp(M/IM ) v dim R/ p 0}, (xem [8, 9.6.2]) Nguyản lỵ ny ch mối liản hằ giỳa ch số Ưu tiản m cĂc mổ un ối ỗng iÃu a phữỡng vợi giĂ l i ảan bĐt kẳ khổng hỳu hÔn sinh v ch số õ cho cĂc mổ un ối ỗng iÃu chuyn qua a phữỡng hõa tÔi cĂc i ảan nguyản tố trản vnh cỡ s Nôm 2013, Bahmanpour-Naghipour-Sedghi (xem [4])  giợi thiằu khĂi niằm chiÃu hỳu hÔn bêc n cừa M ối vợi I kẵ hiằu l fIn(M ), ữủc xĂc nh bði cæng thùc: fIn (M ) = inf{fIRp (Mp ) | p ∈ Supp(M/IM ) v dim(R/ p) ≥ n} (?) Chú ỵ rơng fIn(M ) l số nguyản dữỡng ho°c l ∞ v ta câ fI0(M ) = fI (M ) Tứ õ mởt cƠu họi tỹ nhiản ữủc t l tẳm hiu tẵnh chĐt cừa mổ un ối ỗng iÃu a phữỡng vợi chiÃu hỳu hÔn bêc 1, bêc cừa M ối vợi I Chng hÔn c¡c ph¡t biºu sau ¥y fI1 (M ) = inf{i ∈ N | HIi (M ) khæng l minimax} v fI2 (M ) = inf{i ∈ N | HIi (M ) khỉng l Lasker y¸u} câ óng hay khỉng? K¸t qu£ ch½nh cõa Bahmanpour-Naghipour-Sedghi b i b¡o [4] l tr£ lới cho hai cƠu họi trản Cử th kát quÊ thự nhĐt cừa hồ  chựng minh ữủc rơng số nguyản i nhọ nhĐt HIi (M ) khổng l mổ un minimax bơng vợi số fI1(M ) (xem nh lỵ 2.2.8); kát quÊ chẵnh thự hai cừa hồ l ch rơng số nguyản i nhọ nhĐt cho HIi (M ) khổng l mổ un Lasker yáu bơng vợi fI2(M ) R l v nh nûa àa ph÷ìng (xem nh lỵ 3.2.3) Cổng cử hồ chựng minh kát quÊ chẵnh thự nhĐt nảu trản l nh lỵ sau Ơy: nh lỵ ([4, nh lỵ 1.1]) Cho l v nh Noether, I l mët i ¶an cõa R v M l mởt R-mổ un hỳu hÔn sinh Khi õ R-mổ un HIi (M ) l minimax v I -cofinite vỵi måi i < fI1(M ) v HIf (M )(M ) khæng l minimax Hìn núa, vỵi méi mỉ un minimax N cõa HIf (M )(M ), th¼ R-mỉ un f (M ) HomR (R/I, HI (M )/N ) l hỳu hÔn sinh R I I I Kh¡i ni»m mæ un I -cofinite nh lỵ trản ữủc giợi thiằu bi R Hartshorne nôm 1970 (xem [12]) v ữủc nh nghắa nhữ sau: R-mổ un M ữủc gồi l I -cofinite náu Supp(M ) ⊆ V (I) v ExtiR(R/I, M ) l húu hÔn sinh vợi mồi i Mởt cĂc cổng cử chựng minh kát quÊ chẵnh thự hai cừa Bahmanpour-Naghipour-Sedghi [4] l nh lỵ dữợi Ơy: nh lỵ ([4, nh lỵ 1.2]) Cho R l vnh Noether, I l i ¶an cõa R, M l mët R-mỉ un húu hÔn sinh v t l mởt số nguyản cho c¡c R-mæ un HI0 (M ), , HIt1 (M ) l hỳu hÔn sinh a phữỡng vỵi måi p ∈ Supp(M/IM ) m dim(R/p) > Khi â, c¡c R-mæ un HIi (M ) l I -cofinite vỵi måi i ≤ t v R-mỉ un HomR(R/I, HIt (M )) l hỳu hÔn sinh Tứ nhỳng kát quÊ trản Bahmanpour-Naghipour-Sedghi [4]  ữa cĂc hằ quÊ cừa nh lỵ 2, õ l mởt số m rởng cho cĂc k¸t qu£ cõa BahmanpourNaghipour [7], Delfino-Marley [9] v K I Yoshida [19] èi vỵi mët v nh Noether tũy ỵ nh lỵ [4, nh lỵ 1.3] Cho R l mët v nh Noether, I l i ¶an cõa R, M l R-mổ un hỳu hÔn sinh cho dim(M/IM ) ≤ Khi â R-mæ un HIt (M ) l I -cofinite vợi mồi số nguyản Mởt kát quÊ chẵnh kh¡c núa b i b¡o [4] â l : N¸u (R, m) l vnh a phữỡng Noether Ưy ừ, I l mởt i ảan cừa R v M l R-mổ un hỳu hÔn sinh Khi â c¡c R-mæ un ExtjR(R/I, HIi (M )) l Lasker yáu vợi mồi i < fI3 (M ) v vỵi måi j ≥ Hìn núa, vỵi méi mỉ un Lasker y¸u N cõa f (M ) f (M ) HI (M ), th¼ ta câ R-mỉ un HomR (R/I, HI (M )/N ) cơng l Lasker y¸u (xem ành lỵ 3.2.6) Tứ cĂc kát quÊ nghiản cựu  thu ữủc cừa Bahmanpour-NaghipourSedghi nhữ trản Ơy, Ãu ữa án bi toĂn xem xt vợi iÃu kiằn no cho têp hủp AssR(HIi (M )) l hỳu hÔn i = fIj (M ) (chng hÔn vợi j = 1, 2, 3) Mửc ẵch chẵnh cừa luên vôn ny l trẳnh by lÔi chi tiát cĂc kát quÊ nhữ  nảu trản, cĂc kián thực ny dỹa trản bi bĂo chẵnh l b i b¡o [4]: K Bahmanpour, R Naghipour and M Sedghi, Minimaxness and Cofinite properties of local cohomology modules, Communications in Algebra, Vol 41 (2013), Pp 2799-2814 (DOI: 10 1080/00927872.2012.662709) Bản cÔnh õ viằc trẳnh by ữủc Ưy ừ v ró ỵ hỡn, luên vôn tham khÊo thảm nhiÃu ki¸n thùc ð b i b¡o [5], [6], [7], [17], ; v c¡c cuèn s¡ch [8] v [15] Luªn vôn ữủc bố cửc lm ba chữỡng Chữỡng trẳnh by nhỳng kián thực cỡ s cƯn thiát trẳnh by chựng minh cĂc nởi dung chẵnh cừa luên vôn Chữỡng trẳnh by và chiÃu hỳu hÔn bêc cừa mổ un M ối vợi i ảan I mối liản hằ vợi tẵnh chĐt minimax cừa mổ un Chữỡng cừa luên vôn têp trung trẳnh by và chiÃu hỳu hÔn bêc cừa M ối vợi i ảan I v tẵnh chĐt Lasker yáu cừa mổ un I I Chữỡng Kián thực chuân b é chữỡng ny ta ln gi£ thi¸t R l v nh giao ho¡n câ ìn v CĂc kián thực chữỡng ny ữủc trẳnh by düa v o c¡c cuèn s¡ch [8] v [15] 1.1 I ¶an nguyản tố liản kát nh nghắa 1.1.1 (I ảan nguyản tố liản kát) Cho M l R-mổ un, p l i ảan nguyản tè cõa v nh R Khi â p ÷đc gåi l i ảan nguyản tố liản kát cừa M náu tỗn tÔi mët ph¦n tû 6= x ∈ M cho AnnR(x) = p Têp hủp tĐt cÊ cĂc i ảan nguyản tố liản kát cừa M ữủc kẵ hiằu l AssR(M ) hoc Ass(M ) nh nghắa 1.1.2 ( a tÔp cừa i ¶an) Cho I l mët i ¶an cõa R, â a tÔp cừa I ữủc kẵ hiằu l V (I) ữủc nh nghắa bi V (I) = {p Spec(R) | I ⊆ p} M»nh · 1.1.3 Cho M l R-mỉ un v I l mët i ¶an cõa R Khi â ta câ i) AssR(0 :M I) = AssR(M ) ∩ V (I) ii) AssR(M/(0 :M I)) ⊆ AssR(M ) Ngữủc lÔi, giÊ sỷ a ch chựa mồi phƯn tỷ l ữợc cừa khổng M Khi S â a ⊆ p∈Ass M p v v¼ M l hỳu hÔn sinh nản Ass(M ) hỳu hÔn Hỡn nỳa, theo nh lỵ trĂnh nguyản tố tỗn tÔi p Ass(M ) cho a ⊆ p V¼ M câ mët mỉ un câ linh ho¡n tû l p n¶n suy (0 :M a) 6= Nhữ vêy, a(M ) 6= (mƠu thuăn) Vêy ta cõ iÃu phÊi chựng minh Tiáp theo ta nhưc lÔi mởt kát quÊ cõa T Kawasaki M»nh · 3.1.3 ([13, Bê · 1]) Cho I l mët i ¶an cõa R, v p l mởt số nguyản khổng Ơm Khi õ, vợi mồi R-mổ un T , ta câ c¡c ph¡t biºu sau l t÷ìng ữỡng i) ExtiR(R/I, T ) l hỳu hÔn sinh vợi måi i ≤ p ii) Vỵi méi P ∈ min(R/I) thẳ ExtiR(R/P, T ) l hỳu hÔn sinh vợi mồi i p iii) Vợi mồi R-mổ un hỳu hÔn sinh N câ Supp(N ) ⊆ V (I), th¼ ExtiR(N, T ) l hỳu hÔn sinh vợi mồi i p (trong õ min(R/I) l têp tĐt cÊ cĂc i ảan nguyản tè tèi tiºu cõa I ) M»nh · 3.1.4 ([7, Bê · 2.4, 2.5]) Cho (R, m) l v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng v A l mët R-mỉ un Artin i) Gi£ sû x l mët ph¦n tû cõa m cho V (Rx) ∩ AttR A ⊆ {m} Khi õ R-mổ un A/xA cõ ở di hỳu hÔn ii) GiÊ sû I l mët i ¶an cõa R cho R-mỉ un HomR(R/I, A) l hỳu hÔn T sinh Khi õ V (I) AttR A V (m) Dữợi Ơy l mởt m»nh · cõa Bahmanpour-Naghipour-Sedghi M»nh · 3.1.5 ([4, M»nh · 3.1]) Cho R l v nh giao ho¡n Noether v I l 28 mët i ¶an cõa R Cho M l R-mỉ un hỳu hÔn sinh cho (HIi (M ))p l Rpmổ un hỳu hÔn sinh vợi mồi i < t v mồi p ∈ Supp(M/IM ) vỵi dim R/p > 1, õ t l số nguyản khổng Ơm Khi õ HomR(R/I, HIt (M )) l R-mổ un hỳu hÔn sinh v HIi (M ) l R-mỉ un I -cofinite vỵi måi i < t Chựng minh Ta s chựng minh quy nÔp theo t N¸u t = 1, kh¯ng ành óng M»nh · 2.2.3 Gi£ sû kh¯ng ành óng vỵi t − (vỵi t > 1) Thay M bði M/ΓI (M ), khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta cõ th giÊ sỷ rơng M (khĂc khổng v hỳu hÔn sinh) l mët R-mæ un I -xon tü Khi â theo M»nh · 3.1.2 suy S I * p∈Ass M p Tiáp theo vợi mồi n N v mồi ≤ i < t, ta °t R Hi,n = (0 :HIi (M ) I n ) Khi â tø gi£ thiát quy nÔp v Mằnh à 3.1.3 ta cõ R-mổ un Hi,n l hỳu hÔn sinh Do õ tỗn tÔi số nguy¶n k cho Supp(Hi,n+1 /Hi,n ) = Supp(Hi,k+1 /Hi,k ) vỵi måi v måi dim(R/p) > Hìn núa, vẳ n k+1 i < t Ta lĐy p ∈ Supp(Hi,k+1 /Hi,k ) cho Supp(Hi,k+1 /Hi,k ) ⊆ Supp(M/IM ) n¶n suy p ∈ Supp(M/IM ) v theo giÊ thiát ta thu ữủc (HIi (M ))p l Rp -mổ un hỳu hÔn sinh Do õ tỗn tÔi mởt mổ un hỳu hÔn sinh L cừa HIi (M ) cho (HIi (M ))p = Lp M°t kh¡c vẳ I (L) = L nản suy tỗn tÔi sè nguy¶n n ≥ k + cho I nL = Khi â Lp = (HIi (M ))p ⊇ (Hi,n+1 )p ⊇ (Hi,n )p ⊇ Lp 29 iÃu ny dăn án (Hi,n+1/Hi,n)p = 0, tực l p / Supp(Hi,n+1/Hi,n) (mƠu thuăn) Do õ vợi mồi p Supp(Hi,k+1/Hi,k ) ta câ dim R/p ≤ Bði v¼ i ∪∞ n=1 Hi,n = HI (M ) n¶n ta dng thĐy Supp(HIi (M )/Hi,k ) = Supp(Hi,k+1 /Hi,k ) K²o theo Supp(HIi (M )/Hi,k ) ⊆ {p ∈ Spec(R) | dim(R/p) 1} Ta lÔi cõ R-mổ un HomR(R/I, HIi (M )) l hỳu hÔn sinh vợi mồi i < t nản tứ dÂy khợp HomR (R/I, HIi (M )) → HomR (R/I, HIi (M )/Hi,k ) → Ext1R (R/I, Hi,k ) suy R-mæ un HomR(R/I, HIi (M )/Hi,k ) cụng l hỳu hÔn sinh vợi mồi i < t Ti¸p theo ta câ ΓI (HIi (M )/Hi,k ) = HIi (M )/Hi,k nản suy têp AssR HIi (M )/Hi,k l hỳu hÔn Ta t Ti = p ∈ Supp(HIi (M )/Hi,k ) | dim R/p = Khi â Ti ⊆ AssR HIi (M )/Hi,k v tªp T = ∪t−1 i=0 Ti l hỳu hÔn GiÊ sỷ T = {p1, , pl } Theo M»nh · 2.2.6, ta th§y Rp -mỉ un (HIi (M ))p l minimax vỵi måi j = 1, , l v måi i = 0, , t − Do â tỗn tÔi mởt mổ un hỳu hÔn sinh Li,j cừa HIi (M ) cho Rp -mæ un (HIi (M )/Li,j )p l Artin Ti¸p theo ta °t j j j j Li = Li,1 + + Li,l + Li,k Vỵi måi p ∈ T , ta th§y Rp-mỉ un (HIi (M )/Li)p l Artin M°t kh¡c, tø dÂy khợp HomR (R/I, HIi (M )) HomR (R/I, HIi (M )/Li ) → Ext1R (R/I, Li ) 30 ko theo R-mổ un HomR(R/I, HIi (M )/Li) l hỳu hÔn sinh v â suy vỵi måi p ∈ T th¼ Rp-mỉ un HomR (Rp/IRp, (HIi (M )/Li)p) cơng l hỳu hÔn sinh Theo Mằnh à 3.1.4, ta cõ p AttRp ((HIi (M )/Li )p ) ∩ V (IRp ) ⊆ {pRp } °t S= ∪t−1 i=0 ∪lj=1 n o i q ∈ Spec R | qRpj ∈ AttRpj (HI (M )/Li )pj Khi â S ∩ V (I) T Mt khĂc, tỗn tÔi phƯn tỷ x ∈ I cho x∈ / (∪q∈S\V (I) q) (pAssR M p) Ta xt dÂy khợp x 0M → − M → M/xM → 0, â nâ cÊm sinh mởt dÂy khợp di x x → HIi (M ) → − HIi (M ) → HIi (M/xM ) → HIi+1 (M ) → − HIi+1 (M ) → Do õ vợi mồi i 0, ta suy dÂy khỵp ngn sau → HIi (M )/xHIi (M ) → HIi (M/xM ) → (0 :HIi+1 (M ) x) (*) Vẳ Supp(M/xM/I(M/xM )) = Supp(M/IM ) nản tứ dÂy khợp trản v theo giÊ thiát quy nÔp ta suy r¬ng c¡c R-mỉ un HI0 (M/xM ), HI1 (M/xM ), , HIt−2 (M/xM ) l I-cofinite v R-mổ un HomR(R/I, HIt1(M/xM )) l hỳu hÔn sinh Vợi mồi i < t, vẳ (xHIi (M ) + Li)/xHIi (M ) l mởt mổ un hỳu hÔn sinh cừa HIi (M )/xHIi (M ) nản ko theo tỗn tÔi mởt mổ un hỳu hÔn sinh Ni cừa HIi (M/xM ) cho dÂy sau l khợp HIi (M )/(Li + xHIi (M )) → HIi (M/xM )/Ni → (0 :HIi+1 (M ) x) → 31 Ta °t Ui = HIi (M )/(Li + xHIi (M )) v V (i) = HIi (M/xM )/Ni Khi â, tứ Mằnh à 3.1.4 ta dng thĐy rơng Rp -mổ un (Ui)p l hỳu hÔn vợi mồi j = 1, , l (chú ỵ rơng x / qS\V (I) q) Do õ tỗn tÔi mởt R-mổ un Bij cõa Ui cho (Ui)p = (Bij )p °t Bi = Bi1 + + Bil Khi â Bi l mët mæ un húu hÔn sinh cừa Ui cho j j j j SuppR Ui /Bi ⊆ Supp(HIi (M )/Ki )\T ⊆ Max R Mt khĂc dÂy khợp Ni HIi (M/xM ) → Vi → c£m sinh d¢y khỵp sau HomR (R/I, HIi (M/xM )) → HomR (R/I, Vi ) → Ext1R (R/I, Ni ) vỵi måi i < t Tø â suy R-mæ un HomR(R/I, Vi) l hỳu hÔn sinh vợi mồi i < t Do õ, vẳ dÂy HomR (R/I, Ui ) HomR (R/I, Vi ) l dÂy khợp, nản R-mổ un HomR(R/I, Ui) cụng l hỳu hÔn sinh Tứ õ suy R-mổ un HomR(R/I, Ui/Bi) l hỳu hÔn sinh Hỡn nỳa vẳ Supp(Ui/Bi) ⊆ Max R n¶n R-mỉ un HomR (R/I, Ui /Bi ) l Artin vợi mồi i < t Vẳ Ui /Bi l I -xon, n¶n theo Melkersson (Bê · 2.2.1) ta suy Ui /Bi l R-mæ un Artin Tùc l Ui l R-mỉ un minimax vỵi måi i < t M°t kh¡c, v¼ xHIi (M ) + Li/xHIi (M ) l mët mổ un hỳu hÔn sinh cừa HIi (M )/xHIi (M ) v Ui ∼ = (HIi (M )/xHIi (M ))/((xHIi (M ) + Li )/xHIi (M )) n¶n ta suy R-mỉ un HIi (M )/xHIi (M ) l minimax vỵi mồi i < t Hỡn nỳa theo dÂy khợp (*), R-mỉ un HomR(R/I, HIi (M )/xHIi (M )) cơng l húu hÔn 32 sinh vợi mồi i < t Do vêy theo M»nh · 2.1.6 th¼ R-mỉ un HIi (M )/xHIi (M ) l I -cofinite Tứ dÂy khợp (*) cụng ta suy R-mỉ un (0 :H (M ) x) cơng l I cofinite vỵi måi i < t °c bi»t, ta suy r¬ng R-mỉ un HIt−1(M )/xHIt−1(M ) l minimax v I -cofinite Mt khĂc tứ dÂy khợp (*) cụng suy rơng HomR (R/I, HIt (M )) l hỳu hÔn sinh Cuối ta thĐy rơng vẳ R-mổ un (0 :H (M ) x) v HIi (M )/xHIi (M ) ·u l I -cofinite vợi mồi i < t nản tứ M»nh · 2.1.5 ta suy ÷đc HIi (M ) l I -cofinite vỵi måi i < t i+1 I i I nh lỵ 3.1.6 Cho R l vnh giao ho¡n Noether v I l i ¶an cõa R Cho M l R-mổ un hỳu hÔn sinh Khi õ cĂc iÃu kiằn sau ¥y l óng: i) R-mỉ un HIi (M ) l I -cofinite vỵi måi i < fI2(M ) ii) Vỵi måi mæ un minimax N cõa HIf (M )(M ), ta câ c¡c R-mæ un I f (M ) HomR (R/I, HI I (M )/N ) v f (M ) Ext1R (R/I, HI I (M )/N ) l hỳu hÔn sinh, mội fI2(M ) l số hỳu hÔn Chựng minh i) Theo nh nghắa cừa fI2(M ) (xem lÔi cổng thực (?) phƯn m Ưu), ta câ fI2 (M ) = inf{fIRp (Mp ) | p ∈ Supp(M/IM ), dim R/p ≥ 2} Khi â, vỵi mồi i < fI2(M ) thẳ HIi (Mp) hỳu hÔn sinh vỵi måi p ∈ Supp(M/IM ) m dim R/p ≥ p döng M»nh · 3.1.5 ta câ HIi (M ) l I -cofinite vỵi måi i < fI2 (M ) v Hom(R/I, HIt (M )) hỳu hÔn sinh vợi t = fI2 (M ) ii) Tữỡng tỹ chựng minh phƯn ii) cừa nh lỵ 2.2.8 33 Hằ quÊ 3.1.7 Cho R l v nh giao ho¡n Noether v I l i ảan cừa R Cho M l R-mổ un hỳu hÔn sinh v °t s = inf depth(IRp , Mp ) | p ∈ Supp(M/IM ) v dim R/p > Khi â c¡c i·u i»n sau l óng i) R-mỉ un HIi (M ) l I -cofinite vỵi måi i < s ii) Vỵi måi mỉ un minimax N cõa HIs(M ), ta câ c¡c R-mæ un HomR (R/I, HIs (M )/N ) v Ext1R (R/I, HIs (M )/N ) l hỳu hÔn sinh, mội s l hỳu hÔn Chùng minh p döng s ≤ fI2(M ) v ành lỵ 3.1.6 ta suy iÃu cƯn chựng minh Tiáp theo ta phĂt biu v chựng minh kát quÊ chẵnh sau Ơy, õ l mởt m rởng kát quÊ cừa Bahmanpour - Naghipour [7], v â cơng l k¸t qu£ cõa Delfino - Marley [9] v Yoshida [19] ối vợi vnh giao hoĂn Noether tũy ỵ Hằ qu£ 3.1.8 Cho R, I , M nh÷ H» quÊ 3.1.7 Cho t l số nguyản khổng Ơm cho dim Supp HIi (M ) ≤ vỵi måi i < t Khi â c¡c i·u ki»n sau óng i) R-mỉ un HIi (M ) l I -cofinite vỵi måi i < t ii) Vỵi måi mỉ un minimax N cõa HIt (M ), ta câ c¡c R-mæ un HomR (R/I, HIt (M )/N ) v l hỳu hÔn sinh 34 Ext1R (R/I, HIt (M )/N ) Chùng minh °t s = inf depth(IRp , Mp ) | p ∈ Supp(M/IM ) v dim R/p > Vỵi t ≤ s, theo k¸t qu£ cõa H» qu£ 3.1.7 ta câ i·u c¦n chùng minh H» qu£ 3.1.9 Cho R, I , M nh÷ H» qu£ 3.1.7 Gi£ sû dim(M/IM ) ≤ Khi â R-mæ un HIi (M ) l I -cofinite vợi mồi i Chựng minh Vẳ Supp HIi (M ) ⊆ Supp(M/IM ) v dim(M/IM ) ≤ nản dim Supp HIi (M ) vợi mồi i Do õ kát quÊ ữủc suy trüc ti¸p tø H» qu£ 3.1.8 3.2 Chi·u húu hÔn bêc hai v tẵnh chĐt Lasker yáu Trữợc trẳnh by kát quÊ chẵnh cừa mửc ny ta nhưc lÔi khĂi niằm mổ un FSF cừa P H Quy [18] ành ngh¾a 3.2.1 ([18, ành ngh¾a 2.1]) Mët R-mỉ un M ữủc gồi l F SF náu tỗn tÔi mởt mổ un hỳu hÔn sinh N cừa M cho têp giĂ cừa têp M/N l hỳu hÔn (tực l Supp(M/N ) l têp hỳu hÔn) Mằnh à sau Ơy ch rơng khĂi niằm khĂi niằm mổ un FSF trũng vợi khĂi niằm Lasker yáu Bờ à 3.2.2 ([3, nh lỵ 2.5]) Cho R l v nh giao ho¡n Noether v M l R-mỉ un Khi â M l mỉ un Lasker y¸u n¸u v ch¿ n¸u M l mỉ un FSF Ti¸p theo l mởt mằnh à cƯn chựng minh kát quÊ chẵnh mửc ny Nhưc lÔi rơng mởt vnh giao hoĂn Noether R ữủc gồi l vnh nỷa a phữỡng náu Max R l têp hỳu hÔn 35 nh lỵ 3.2.3 ([4, M»nh · 3.7]) Cho R l v nh Noether nûa a phữỡng, I l i ảan cừa R v M l R-mổ un hỳu hÔn sinh Khi õ fI2 (M ) = inf i ∈ N | HIi (M ) khæng l Lasker y¸u Chùng minh °t t = inf i ∈ N | HIi (M ) khæng l Lasker yáu Ta biát rơng mởt mổ un bĐt kẳ cõ giĂ hỳu hÔn Ãu cõ chiÃu giĂ khỉng qu¡ Do â vỵi måi i < t, ta câ HIi (M ) l Lasker y¸u Suy HIi (M ) l FSF theo Bê · 3.2.2 vỵi måi i < t Hìn núa HIi (M )p l hỳu hÔn sinh vợi mồi i < t, mồi p ∈ Supp(M/IM ) m dim R/p ≥ Chùng tä t ≤ fI2 (M ), tùc l fI2 (M ) ≥ inf i ∈ N | HIi (M ) khổng l Lasker yáu Ngữủc lÔi, tứ chựng minh cõa M»nh · 3.1.5 ta suy vỵi méi i < fI2(M ) tỗn tÔi mổ un hỳu hÔn sinh (0 :H (M ) I k ) (vợi k no õ) thọa mÂn i I dim Supp(HIi (M )/(0 :HIi (M ) I k )) ≤ Do õ theo nh lỵ 3.1.6 ta suy R-mổ un HIi (M )/(0 :H (M ) I k ) l I -cofinite Vẳ vêy têp hủp i I (Supp(HIi (M )/0 :HIi (M ) I k ))\ Max(R)) ⊆ AsshR (HIi (M )/0 :HIi (M ) I k )) l hỳu hÔn Vẳ têp Max(R) l hỳu hÔn nản tứ â ta suy tªp Supp(HIi (M )/(0 :HIi (M ) I k )) l hỳu hÔn Do õ, theo Bê · 3.2.2, ta suy c¡c R-mæ un HIi (M ) l FSF (hay l Lasker yáu) vợi mồi i < fI2(M ) Vẳ thá fI2 (M ) inf i ∈ N | HIi (M ) Ta câ iÃu cƯn chựng minh 36 khổng l Lasker yáu Tiáp theo trẳnh by thảm mởt số kát quÊ cừa Bahmanpour-Naghipour Bờ à 3.2.4 ([7, nh lỵ 3.1]) Cho (R, m) l v nh Noether àa ph÷ìng, I l mët i ảan cừa R v M l R-mổ un hỳu hÔn sinh Cho t l mởt số nguyản khổng Ơm cho dim Supp HIi (M ) ≤ vỵi måi i < t Khi â c¡c R-mæ un ExtjR (R/I, HI0 (M )), , ExtjR (R/I, HIt−1 (M )) v HomR (R/I, HIt (M )) l Lasker yáu vợi måi j ≥ °c bi»t, ta suy tªp AssR HIi (M ) l hỳu hÔn vợi mồi i ≤ t M»nh · 3.2.5 ([4, M»nh · 3.8]) Cho (R, m) l v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng, I l i ảan cừa R v M l R-mổ un hỳu hÔn sinh Cho t l số nguyản khổng Ơm cho dim Supp HIi (M ) ≤ vỵi måi i < t Khi â i) ExtjR(R/I, HIi (M )) l R-mổ un Lasker yáu vợi mồi i < t v mồi j ≥ ii) HomR(R/I, HIt (M )) v Ext1R(R/I, HIt (M )) l R-mổ un Lasker yáu iii) Vợi mồi mỉ un Lasker y¸u N cõa HIt (M ), ta câ R-mæ un HomR (R/I, HIt (M )/N ) v Ext1R (R/I, HIt (M )/N ) l Lasker y¸u Chùng minh Ta t l têp tĐt cÊ cĂc mổ un ExtjR(R/I, HIi (M ) v ExtsR (R/I, HIt (M ) â j = 0, 1, 2, ; i = 0, 1, , t − v s = 0, Khi â k¸t qu£ cừa PhƯn i) v ii) ữủc suy tứ cĂch chùng t÷ìng tü chùng minh Bê · 3.2.4 º chùng minh iii) ta sỷ dửng dÂy khợp sau v ii) HomR (R/I, HIt (M )) → HomR (R/I, HIt (M )/N ) → Ext1I (R/I, N ) → Ext1R (R/I, HIt (M )) → Ext1R (R/I, HIt (M )/N ) Ext2I (R/I, N ) 37 nh lỵ 3.2.6 ([4, nh lỵ 3.9]) Cho (R, m) l vnh Ưy ừ a phữỡng Noether, I l i ảan cừa l số hỳu hÔn Khi õ R v M l R-mổ un hỳu hÔn sinh Gi£ sû fI3 (M ) i) ExtjR(R/I, HIi (M )) l Lasker yáu vợi mồi i < fI3(M ) v måi j ≥ ii) Vỵi måi mỉ un Lasker y¸u N cõa HIf (M )(M ), ta câ c¡c R-mæ un I f (M ) Hom(R/I, HI I (M )/N ) v f (M ) Ext1R (R/I, HI I (M )/N ) l Lasker y¸u Chùng minh ối vợi chựng minh i), ta lĐy t = fI3(M ) v lĐy l têp tĐt cÊ cĂc mæ un ExtjR(R/I, HIi (M )) v Hom(R/I, HIt (M )) vỵi j ≥ v i = 0, 1, 2, , t − L§y L ∈ Φ v L0 l mæ un cõa L Gi£ sû trĂi lÔi rơng (i) khổng úng Khi õ tỗn tÔi L ∈ Φ cho L khỉng l Lasker y¸u Tø â suy tªp {q ∈ Ass(L) | dim R/q 1} l vổ hÔn Khi õ tỗn tÔi têp vổ hÔn ám ữủc {qk }k=1 cừa T cho khỉng ph¦n tû l m Theo [14, Bê · 3.2], suy −1 ∞ m 6⊆ ∪∞ k=1 qk LĐy S l têp õng nhƠn R \ k=1 qk Khi õ ta thĐy rơng S Rmổ un S 1L l hỳu hÔn sinh, v õ AssS R(S 1L) l hỳu hÔn Những S q AssS R (S −1 L) vỵi måi k = 1, 2, 3, , iÃu ny l vổ lỵ 1 38 Kát luên Luên vôn  trẳnh by v chựng minh chi tiát cĂc kát quÊ chẵnh sau Ơy: Nhưc lÔi cĂc kián thực cõ liản quan án luên vôn: Têp giĂ, I ảan nguyản tố liản kát, mổ un Nother, mổ un nởi xÔ, mổ un xÔ Ênh, mổ un Ext, biu diạn thự cĐp, mổ un ối ỗng iÃu a phữỡng v mởt số tẵnh chĐt cừa cĂc mổ un ny Chựng minh ữủc kát quÊ chẵnh chữỡng 2: Cho v I l i ¶an cõa R Cho M l R l mởt vnh Noether R-mổ un hỳu hÔn sinh Khi õ c¡c i·u ki»n sau óng: i) ii) R-mỉ un HIi (M ) f (M ) R-mæ un HI I l minimax v (M ) f (M ) HomR (R/I, HI I R-mæ un N R cõa fI1 (M ) HI (M )/N ) fI1 (M ) Chùng minh ÷đc: Cho v < fI1 (M ) fI1 (M ) (M ), l hỳu hÔn õ cĂc R-mổ un f (M ) ExtR (R/I, HI I (M )/N ) l hỳu hÔn l vnh Noether, I l mởi i ảan cừa Chùng minh ÷đc: Cho R khỉng l minimax v M l l v nh Noether v I l i ¶an cõa Cho M l R - mỉ un hỳu hÔn sinh Khi õ cĂc iÃu kiằn sau Ơy l úng: i) R hỳu hÔn sinh Khi õ fI1 (M ) = inf i ∈ N0 | HIi (M ) R vỵi måi khỉng l minimax iii) Måi mổ un minimax l hỳu hÔn sinh I -cofinite R-mỉ un HIi (M ) l I -cofinite vỵi måi 39 i < fI2 (M ) ii) Måi mæ un minimax f (M ) HomR (R/I, HI I l hỳu hÔn sinh N cừa (M )/N ) fI2 (M ) f (M ) HI I v â c¡c R-mæ un f (M ) Ext1R (R/I, HI I l hỳu hÔn 40 (M ), (M )/N ) T i li»u tham kh£o [1] Abazari R and Bahmanour K (2011), "Cofiniteness of extension functors of cofinite modules", J Algebra, 330, 507-516 [2] Azami J., Naghipour R and Vakili B (2009), "Finiteness properties of local cohomology modules for a - minimax modules", Proc Amer Math Soc 137, 439-448 [3] Bahmanpour K and Khojali A (2011), "On the equivalence of FSF and weakly Laskerian classes", preprint [4] Bahmanpour K., Naghipour R and Sedghi M (2013), "Minimaxness and Cofinite properties of local cohomology modules", Communications in Algebra, Vol 41, 2799-2841 [5] Bahmanpour K and Naghipour R (2008), "On the cofiniteness of local cohomology modules", Proc Amer Math Soc 136, 2359-2363 [6] Bahmanpour K and Naghipour R (2008), "Associated primes of local cohomology modules and Matlis duality", J Algebra, 320, 2632-2641 [7] Bahmanpour K and Naghipour R (2009), "Cofiniteness of local cohomology moduls for ideanls of small dimension", J Algera, 321, 1997-2011 [8] Brodman M P and Sharp R Y (1998), Local cohomology; an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [9] Delfino D and Marley T (1997), "Cofinite modules and local cohomology", J Pure and Appl Algebra, 121, 45-52 41 [10] Faltings G (1981), "Der endlichkeitssatz in der lokalen kohomologic, Math Ann 255, 45-56 [11] Grothendieck A (1966), Local cohomology, Notes by R Hartshorne, Lecture Notes in Math 862 [12] Hartshorne R (1970), "Affine duality and cofiniteness", Invent Math 9, 145-164 [13] Kawasaki K I (1996), "On the finiteness of Bass numbers of local cohomology modules", Proc Amer Math Soc 124, 3275-3279 [14] Khashayarmanesh K (2007), "On the finiteness properties of extension and torsion functors of local cohomology modules", Proc Amer Math Soc 135, 1319-1327 [15] Matsumura H (1986), Commutative ring theory , Cambridge Univ Press, Cambridge [16] Melkersson L (1990), "On asymptotic stability for sets of primes ideals connected with the powers of an ideals", Math Proc Cambridge Philos Soc 107, 267-292 [17] Melkersson L (2005), "Modules cofinite with respect to an ideal", J Algebra, 285, 649-668 [18] Quy P H (2010), "On the finiteness of associated primes of local cohomology modules", Proc Amer Math Soc 138, 1965-1968 [19] Yoshida K I (1997), "Cofiniteness of local cohomology modules for ideals of dimension one", Nagoya Math J 147, 179-191 oă [20] Z schinger H (1986), "Minimax modules", J Algebra, 102,1-32 42