Một số bài toán đưa về mô hình phương trình nghiệm nguyên

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— TRẦN THỊ THU HIỀN MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐƯA VỀ MƠ HÌNH PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khố luận: TS Hồng Nhật Quy Đà Nẵng, 5/2023 Mục lục MỞ ĐẦU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 1.1 Mở đầu 7 1.2 8 Phương pháp xét tính chia hết 1.2.1 Phát tính chia hết ẩn 1.2.2 1.2.3 1.3 1.4 1.5 1.6 Phương pháp đưa phương trình ước số Phương pháp biểu thị ẩn theo ẩn cịn lại dùng 11 tính chia hết Phương pháp xét số dư vế 16 18 Phương pháp dùng bất đẳng thức 1.4.1 Sử dụng bất đẳng thức cổ điển 19 19 1.4.2 Phương pháp thứ tự ẩn 22 1.4.3 1.4.4 Phương pháp nghiệm nguyên Sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm 24 25 Phương pháp dùng tính chất số phương 1.5.1 Dùng tính chất chia hết số phương 27 27 1.5.2 1.5.3 Tạo tổng số phương Xét số phương liên tiếp 30 31 1.5.4 1.5.5 Sử dụng điều kiện biệt số ∆ số phương Sử dụng tính chất: Nếu hai số ngun liên tiếp có tích 32 số phương hai số ngun liên tiếp 34 Phương pháp lùi vô hạn 36 1.7 Thuật tốn Euclid giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai ẩn 1.7.1 Phương trình bậc ẩn 37 37 1.7.2 39 Thuật toán Euclid MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN 44 2.1 Bài tốn số tự nhiên chữ số 45 2.2 2.3 Bài tốn tính chia hết số nguyên tố Ứng dụng phương trình nghiệm nguyên để giải số toán 47 thực tế 49 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên,em xin chân thành tri ân sâu sắc thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Sư Phạm- Đại học Đà Nẵng, đặc biệt thầy, khoa Tốn tạo điều kiện cho em thực Khóa Luận Tốt Nghiệp Thời gian vừa rồi, nhờ có hướng dẫn tận tình hết lịng TS Hồng Nhật Quy, em hiểu thêm nhiều kiến thức không xoay quanh Khóa Luận cịn vấn đề thú vị Toán học nữa! Một lần em xin chân thành cảm ơn thầy! Với vốn kiến thức hạn hẹp thân thời gian hạn chế, việc hồn thành khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Nên em mong nhận ý kiến đóng góp xây dựng q thầy để Khóa luận tốt nghiêp em hồn thành chỉnh chu Em xin chân thành cảm ơn MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Phương trình nghiệm nguyên chủ đề thú vị chương trình tốn học phổ thơng, lơi nhiều người, từ học sinh nhỏ tuổi với toán Trăm trâu trăm cỏ, chuyên gia toán học lớn với toán định lí lớn Fermat Được nghiên cứu từ thời Diophante kỉ III, phương trình nghiệm ngun mãi cịn đối tượng nghiên cứu thú vị toán học Ngồi phương trình bậc hai ẩn, phương trình nghiệm ngun thường khơng có cách giải tổng qt Mỗi tốn, với điều kiện riêng nó, địi hỏi cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng giúp học sinh hình thành phát triển lực tư lập luận toán học lực mơ hình hóa tốn học Chính mà phương trình nghiệm ngun thường có mặt kì thi học sinh giỏi Tốn tất cấp Phương trình nghiệm nguyên giúp em học sinh bạn yêu toán rèn luyện phương pháp suy luận, phẩm chất cần thiết học tập, nghiên cứu làm việc Có nhiều người chưa gặp lần toán phương trình nghiệm nguyên trình bày đề tài suốt đời Nhưng kinh nghiệm để tìm cách giải tập đó, cách phân tích tốn, cách suy luận để tìm hướng giải, cách phân chia toán thành tốn nhỏ dễ giải hơn, cách "đưa khó dễ, đưa lạ quen", cách liên hệ tình giải với tình tương tự, cách dùng công cụ để giải vấn đề mới, cách chọn hướng phù hợp với tốn đặt ra, tất điều kĩ mà người cần có sống Với lí thú vị trên, với hướng dẫn khoa học giảng viên TS Hoàng Nhật Quy, em định chọn đề tài "Một số toán thực tế đưa mơ hình phương trình nghiệm ngun" cho khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài nghiên cứu số toán mà giải phải dụng đến cơng cụ phương trình nghiệm ngun Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài phương trình nghiệm ngun sộ số tốn thực tế đưa mơ hình phương trình nghiệm nguyên để giải vấn đề b Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài thuộc lĩnh vực đào sâu tốn học phổ thơng Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm phần sau đây: • Mở đầu: • Phần nội dung: Nội dung luận văn gồm có chương cụ thể sau: Chương I: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Nội dung chương hệ thống lại phương pháp giải số dạng phương trình nghiệm nguyên Chương II: Một số tốn đưa phương trình nghiệm ngun Nội dung chương tìm hiểu số tốn tốn học thực tế đưa mơ hình phương trình nghiệm ngun để giải vấn đề • Kết luận • Tài liệu tham khảo Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN Chương trình bày phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Trong phương pháp cố gắng giới thiệu sơ lược phương pháp, cho ví dụ minh họa, đặc biệt có đưa thêm bình luận nhằm rút kinh nghiệm giải tốn phương trình nghiệm ngun Các nội dung chương có tham khảo tài liệu [11], [12] 1.1 Mở đầu Giải phương trình nghiệm nguyên chứa ẩn x, y, z, tìm tất số nguyên (x0 , y0 , z0 , ) thỏa mãn phương trình Khi giải phương trình nghiệm nguyên, phải lợi dụng tính chất tập hợp Z nên ngồi cách biến đổi tương đương, ta dùng đến biến đổi mà giá trị ẩn thỏa mãn điều kiện cần (chứ chưa phải điều kiện cần đủ) nghiệm Trong trường hợp ta cần kiểm tra lại giá trị cách thử vào phương trình cho Do đó, việc giải phương trình nghiệm nguyên thường trải qua hai bước sau đây: Bước Giả sử phương trình cho có nghiệm nguyên (x0 , y0 , z0 , ), ta suy ẩn phải nhận giá trị Bước Thử lại giá trị ẩn để khẳng định tập nghiệm phương trình Để đơn giản, nhiều toán chương này, bước không tách riêng cách tường minh giá trị x0 , y0 , z0 , biểu thị x, y, z, Với tốn mà biến đổi tương đương, ta khơng cần bước Một phương trình nghiệm ngun vô nghiệm, hữu hạn nghiệm, vô số nghiệm Trong trường hợp phương trình có vơ số nghiệm ngun, nghiệm nguyên phương trình thường biểu thị cơng thức có chứa tham số số nguyên Sau ta tìm hiểu số phương pháp giải phương trình nghiệm ngun 1.2 Phương pháp xét tính chia hết 1.2.1 Phát tính chia hết ẩn Ví dụ 1.2.1.1 Tìm nghiệm ngun phương trình 2x + 13y = 156 (1) Lời giải: Lời giải 1: Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn phương trình (1) Vì 156, 13y chia hết cho 13 nên từ phương trình suy 2x 13 Do (2, 13) = Suy x 13 Đặt x = 13k(k ∈ Z) Thay vào phương trình (1) ta được: y = −2k + 12 Vậy ta có:  x = 13k y = −2k + 12 , k ∈ Z (2) Thử lại: Thay biểu thức x y (2) vào (1) phương trình nghiệm Vậy phương trình (1) có vơ số nghiệm ngun (x, y) biểu thị công thức (2) với k số nguyên tùy ý Lời giải 2: 156 − 13y 13 Từ phương trình (1) ⇒ x = = 78 − y 2 13y ∈ Z Mà (13, 2) = nên y Đặt y = 2t, (t ∈ Z) Để x ∈ Z ⇒ ⇒ x = 78 − 13t  x = 78 − 13t Vậy nghiệm nguyên phương trình là: y = 2t , (t ∈ Z) Kinh nghiệm giải: Để giải phương trình dạng ax + by = c(a, b, c ∈ Z) ta có định hướng sau đây: - Rút gọn phương trình ý đến tính chia hết ẩn - Biểu thị ẩn mà hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn - Tách riêng giá trị nguyên biểu thức chứa x - Đặt điều kiện để phân số biểu thức chứa x số nguyên t0 ta phương trình bậc hai ẩn y t0 Cứ tiếp tục làm ẩn biểu diễn dạng đa thức với hệ số ngun Ví dụ 1.2.1.2 Tìm nghiệm ngun phương trình 11x + 18y = 120 (1) Lời giải: Ta thấy 18y , 120 6, nên từ phương trình (1) ta suy 11x ⇒ x 6, (11, 6) = Đặt x = 6k , k ∈ Z Thay vào (1) rút gọn ta phương trình: 11k + 3y = 20 Từ ta suy 20 − 11k k−1 y= = − 4k + 3 Đặt k−1 (t ∈ Z) ⇒ k = 3t + t=  x = 18t + Vậy nghiệm phương trình là: (t số nguyên tùy ý) y = − 11t Chú ý: - Nếu đề yêu cầu tìm nghiệm nguyên dương (1) sau tìm nghiệm tổng qt ta giải điều kiện  18t + > 3 − 11t > ⇔ −1 nên trường hợp thứ cho n − = Suy n = 2, p = Trường hợp thứ cho n − = 2, suy n = 3, p = Ví dụ 2.2.2 Giả sử p số nguyên tố cho hai nghiệm phương trình x2 + px − 444p = 0.(1) số nguyên Hãy tìm p nghiệm phương trình Lời giải: Ta có x2 + px − 444p = ⇔ x2 = p(444 − x) Số x2 chia hết cho p nên x chia hết cho p Đặt x = kp Ta k p2 = p(444 − kp) ⇔ k p = 444 − kp ⇔ k(k + 1)p = 444 = 3.4.37 Do p nguyên tố nên p = 2, 3, 37 Chỉ có trường hợp p = 37 tích cịn lại tích hai số ngun liên tiếp thay p = 37 vào phương trình (1) ta x2 + 37x − 16428 = ta x = 111, x = −148 p= 47 Ví dụ 2.2.3 Tìm số nguyên dương x y cho x + chia hết cho y y + chia hết cho x Lời giải: Không tính tổng quát, giả sử ≤ x ≤ y Đặt x + = ky (1) với k nguyên dương Ta có: ky = x + ≤ y + ≤ 2y ⇒ k ≤ + Xét k = 1, thay vào (1) ta x + = y Từ (y + 1) x ⇒ (x + 2) x ⇒ x nên x ∈ {1, 2} + Với x = y = thỏa mãn + Với x = y = 3, thử lại + Xét k = 2, thay vào (1) ta x + = 2y Từ (y + 1) x ⇒ (2y + 2) x ⇒ (x + 3) x nên x ∈ {1, 3} + Với x = y = 1, thỏa mãn + Với x = y = 2, loại x ≤ y Đáp số: Các cặp số (x; y) (1; 1), (1; 2), (2, 1), (2; 3), (3; 2) Kinh nghiệm giải: Khi có quan hệ chia hết (x + 1) y ta nên viết thành đẳng thức x + = ky Trong cách giải trên, việc xếp thứ tự ẩn x ≤ y góp phần quan trọng để đến k ≤ Sau ta biến đổi khơng tương đương nên sau tìm giá trị x y cần phải thử lại Ví dụ 2.2.4 Tìm ba số nguyên dương x, y, z lớn cho: xy + chia hết cho z xz + chia hết cho y yz + chia hết cho x Lời giải: Từ giả thiết suy (xy + 1)(xz + 1)(yz + 1) xyz (1) Rút gọn ta (xy + xz + yz + 1) xyz Vì vai trị bình đẳng x, y, z giả sử x ≥ y ≥ z ≥ Ta có: xyz ≤ xy + xz + yz + ≤ 3xy + < 4xy , ⇒ z < 4, z ∈ {2; 3} Xét hai trường hợp sau: a Với z = 2, thay vào (1) ta được: 48 (xy + 2x + 2y + 1) 2xy (2) ⇒ 2xy ≤ xy + 2x + 2y + ⇒ xy ≤ 2x + 2y + ≤ 4x + < 4x + x = 5x ⇒ y < Do y ≥ z nên y ∈ {2; 3; 4} + Thay y = vào (2) ta (2x + 2x + + 1) 4x ⇒ 4x, điều khơng xảy x ≥ y ≥ z + Thay y = vào (2) ta (3x+2x+6+1) 4x ⇒ (5x+7) 6x ⇒ x Do x ≥ y = nên x = Thử lại số (x; y; z) (7;3;2) thỏa mãn + Thay y = vào (2) ta : (8x + 2x + + 1) 8x ⇒ (10x + 9) 8x ⇒ 2x không xảy b Với z = 3, thay vào (1) ta (xy + 3x + 3y + 1) 3xy Suy ra: 3xy ≤ xy + 3x + 3y + ⇒ 2xy ≤ 3x + 3y + ≤ 6x + < 7x ⇒ 2y < ⇒ y ≤ Kết hợp y ≤ z = ⇒ y = Thay y = vào (3) ta (3x + 3x + + 1) 9x ⇒ (6x + 10) 9x ⇒ 10 3x không xảy Đáp số: Nghiệm (x; y; z) (7;3;2) hốn vị 2.3 Ứng dụng phương trình nghiệm nguyên để giải số tốn thực tế Ví dụ 2.3.1 Tìm năm sinh Bác Hồ biết 1911 Bác tìm đường cứu nước tuổi Bác tổng chữ số năm Bác sinh cộng thêm Phân tích tốn: Nếu gọi năm sinh Bác Hồ số có số từ giả thiết tốn ta dễ dàng lập phương trình nghiệm nguyên Tuy nhiên, thời điểm Bác tìm đường cứu nước 1911 năm sinh Bác phải biện luận trường hợp năm sinh rơi vào kỷ 19 kỷ 20 Lời giải: 49 Ta thấy Bác Hồ sinh vào kỷ 20 năm 1911 Bác nhiều 11 tuổi Trong đó, giả sử gọi năm sinh Bác 19ab với a ∈ {0, 1}, b ∈ {0, 1, 2, , 9} ta có + + a + b + ≥ + + + + = 13 Từ suy Bác sinh thể kỷ 20 Và Bác sinh kỷ 19 Gọi năm sinh Bác Hồ 18xy (x, y nguyên dương x, y ≤ 9) Theo đề ta có: 1911 − 18xy = + + x + y + ⇒ 11x + 2y = 99 Suy 2y 11 mà (2; 11) = ⇒ y 11 Mà ≤ y ≤ ⇒ y = ⇒ x = > Vậy năm sinh Bác Hồ 1890 Nhận xét: Phương trình nghiệm nguyên lập toán giải phương pháp phát tính chia hết ẩn Ví dụ 2.3.2 Hãy dựng tam giác vng có số đo ba cạnh a, b, c số nguyên có cạnh đo đơn vị Lời giải: Nhận xét: Một số phương chia cho có số dư số: 0, 1, 2, Thật vậy: Lấy n ∈ N Giả sử n = 7k + r, r ∈ {0; 1; 2; ; 6} Khi ta có: n2 = (7k + r)2 = 49k + 14kr + r2 - Nếu r = n2 chia cho dư - Nếu r = n2 chia cho dư - Nếu r = n2 chia cho dư - Nếu r = n2 chia cho dư - Nếu r = n2 chia cho dư - Nếu r = n2 chia cho dư - Nếu r = n2 chia cho dư Vậy n2 chia cho số dư số 0, 1, 2, ˆ Giả sử cạnh đo đơn vị cạnh huyền (a = 7) 50 ⇒ b2 + c2 = 72 ⇒ b2 + c2 Mặt khác, áp dụng Nhận xét ta có b2 , c2 chia cho số dư số 0, 1, 2, Từ suy b 7, c Lại có < b, c < nên khơng có số b, c thỏa mãn toán ˆ Suy cạnh đo cạnh góc vng, giả sử b = Ta có a2 − c2 = 49⇔ (a − c)(a + c) = 49  a = 25 a + c = 49 ⇒ ⇒ c = 24 a − c = Vậy tam giác cần dựng có số đo cạnh 7, 25, 24 Nhận xét: Phương trình nghiệm nguyên lập giải phương pháp đưa phương trình tích Ví dụ 2.3.3 Hai đội cờ thi đấu với nhau, đối thủ đội phải đấu với đối thủ đội Biết tổng số ván cờ đấu lần tổng số đối thủ hai đội biết số đối thủ đội số lẻ Hỏi đội có đấu thủ? Lời giải: Gọi x, y số đấu thủ đội đội (x, y ∈ Z) Theo đề ta có phương trình xy = 4(x + y) ⇒ xy − 4x − 4y + 16 = 16 ⇒ (x − 4)(y − 4) = 16 Mà 16=1.16=2.8=4.4 Lại có đội có số đối thủ lẻ ta có hệ phương trình   x − = x = ˆ Trường hợp ⇔ y − = 16 y = 20  y − = ˆ Trường hợp x − = 16  y = ⇔ x = 20 Vậy số đối thủ đội đội 20 số đối thủ đội 20 đội Nhận xét: Phương trình nghiệm nguyên lập giải phương pháp đưa phương trình tích 51 Ví dụ 2.3.4 Ba người câu số cá Trời tối mệt cả, họ vứt cá bờ sông, người tìm nơi lăn ngủ Người thứ thức dậy, đến bờ sông, đếm số cá thấy chia ba thừa con, vứt bớt xuống sông xách số cá nhà Người thứ hai thức dậy tưởng hai bạn cịn ngủ, đến bờ sông, đếm số cá thấy chia ba thừa con, vứt xuống sông xách số cá nhà Người thứ ba thức dậy, nghĩ dậy sớm nhất, đến bờ sông, đếm số cá thấy chia ba thừa con, vứt bớt xuống sông xách số cá nhà Cho biết họ ba chàng câu tồi, bạn tính xem họ câu cá Phân tích tốn: Mỗi quan hệ giả thiết toán rõ ràng, nên việc lập mơ hình phương trình nghiệm nguyên đơn giản Tuy nhiên toán gây chút "hoang mang" với giả thiết "họ ba chàng câu tồi" Giả thiết hiểu tổng số cá câu tối thiểu theo ngĩa dùng để biện luận giải phương trình nghiệm nguyên lập Lời giải: Gọi x số cá câu y số cá lại sau ba người lấy phần cá mình, với (x, y ∈ Z+ ) x−1 2(x − 1) , số cá lại 3   Số cá người thứ hai mang (x − 1) − ,   2 (x − 1) − số cá lại 3     1 Số cá người thứ ba mang (x − 1) − − , 3     2 (x − 1) − − số cá lại 3 Khi số cá người thứ mang Do ta có phương trình:     2 (x − 1) − − = y 3 ⇔ 8x − 27y = 38 52 Giải phương trình ta nghiệm tổng quát  x = −380 + 27t , (t ∈ Z+ ) y = −114 + 8t Do giả thiết "họ ba chàng câu cá tồi" nên giá trị x tối thiểu tương ứng với giá trị nhỏ tham số nguyên t Từ suy t = 15 Khi x = 25 y = Vậy số cá ba người câu 25 Nhận xét: Phương trình nghiệm ngun lập tốn phương trình bậc hai ẩn Đây phương trình tổng quát đường thẳng mặt phẳng Việc giải chuyển từ phương trình tổng quát phương trình tham số việc vectơ phương và tìm điểm có có tọa độ nguyên Ví dụ 2.3.5 Để chuyên chở gạo cần số bao tải gạo loại 50kg 100kg Cần chuẩn bị vỏ bao loại để chuyên chở gạo cho tất bao tải đóng đầy Số lượng khả dùng bao tải Lời giải: Gọi x số lượng bao tải loại 50kg y số lượng bao tải loại 100kg Ta có phương trình nghiệm nguyên 50x + 100y = 1000 ⇔ x + 2y = 20 Ta dễ thấy phương trình sau có nghiệm nguyên x = 10, y = Vậy nghiệm phương trình x = 10 + 2t, y = − t Nhưng x, y số nguyên không âm nên 10 + 2t ≥ 0, − t ≥ Do ≤ t ≤ Vậy ta có khả sau t -5 -4 -3 -2 -1 x 10 12 14 16 18 20 y 10 3 Nhận xét: Phương trình nghiệm ngun lập tốn phương trình bậc hai ẩn Ví dụ 2.3.6 Tân Hùng gặp hội nghị học sinh giỏi Toán Tân hỏi số nhà Hùng, Hùng trả lời: 53 - Nhà đoạn phố, đoạn phố có tổng chữ số nhà 161, khơng có số nhà đánh số a, b Nghĩ chút, Tân nói: - Bạn số nhà 23 gì? Hỏi Tân tìm Lời giải: Gọi x số nhà nhỏ giả sử đoạn phố nhà Hùng có n nhà (x, n ∈ N).Khi ta có dãy số nhà là: x + 2, x + 4; , x + 2n Theo giả thiết ta có phương trình: (x+2)+(x+4)+(x+6)+ +(x+2n) = 161 (x + + x + 2n)n = 161 ⇔ ⇔ (x + n + 1)n = 161 Do x + n + > n + 161 = 7.23 nên ta có   x + n + = 23 x = 15 ⇔ n = n = Vậy số nhà đoạn phố là: 17,19,21,23,25,27,29 Suy số nhà 23, tức nhà Hùng đánh số 23 Nhận xét: Phương trình nghiêm ngun lập tốn giải phương pháp đưa phương trình tích 54 Kết luận Đề tài nghiên cứu "Một số tốn đưa mơ hình phương trình nghiệm ngun" đạt số kết sau đây: • Hệ thống lại số kiến thức phương trình nghiệm nguyên phương pháp giải tương ứng • Phân loại số tốn đưa mơ hình phương trình nghiệm ngun để giải vấn đề Tương ứng với tốn có nhiều ví dụ minh họa Các phương pháp ví dụ khóa luận tham khảo chọn lọc từ tài liệu tham khảo đáng tin cậy Sau thời gian nghiên cứu, có nhiều cố gắng chắn cịn có nhiều khiếm khuyết Em mong nhận nhiều ý kiến góp ý Hội đồng đánh giá để khóa luận hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn Hội đồng! 55 Tài liệu tham khảo [1] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số 149, 150 (1986), Nhà xuất Giáo dục Tạp chí Tốn học tuổi trể số 164 (2016), Nhà suất Đại học Sư phạm [2] Các đề thi Olympic, đề thi học sinh giỏi Quốc gia, đề thi học sinh giỏi tỉnh đề thi đại học (từ năm 1994 đến 2018), Bộ Giáo dục Đào tạo [3] Phan Huy Khải (1996), Tuyển tập toán Bất đẳng thức tập 1, Nhà xuất giáo dục [4] Nguyễn Cam (2006), Phương pháp giải toán lượng giác, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Tài Chung (2013), Sáng tạo phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Nhà xuất tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh [6] Lê Văn Đồn (2015), Tư sáng tạo tìm tịi lời giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vơ tỉ, Nhà xuất Quốc gia Hà Nội [7] Nguyễn Văn Mậu, Đặng Thủy Thanh, Đặng Huy Ruận (1999), Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình, Nhà xuất giáo dục [8] Đặng Thành Nam (2018), Kĩ thuật giải nhanh hệ phương trình, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [9] Nguyễn Đức Tấn (2006), Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình bất đẳng thức, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia TP.Hồ Chí Minh 56 [10] Mai Xn Vinh (2017), Tư logic tìm tịi lời giải hệ phương trìnhNhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [11] Mordell L J (1969), Diopantine equations, Academic Press Academic Press ISBN 0-12-506250-8 [12] Smart N P (1998), The algorithmic resolution of Diophantine equations, London Mathematics Society Student Texts 41, Cambridge Uni Press 57