BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM QUANG THIỆU MÔ HÌNH ĐỒ THỊ CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM QUANG THIỆU MƠ HÌNH ĐỒ THỊ CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM QUANG THIỆU MÔ HÌNH ĐỒ THỊ CHO MỘT SỐ BÀI TỐN THỰC TẾ Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 46 01 13 : LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS Lâm Thị Thanh Tâm Bình Định - 2022 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn "Mơ hình đồ thị cho số toán thực tế" trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực, xác Quy Nhơn, tháng 07 năm 2022 Học viên Phạm Quang Thiệu Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm đồ thị 1.2 Bậc đỉnh đồ thị 1.3 Đường đi, chu trình 1.4 Đồ thị liên thông 1.5 Đường Euler - Chu trình Euler 1.6 Đường Hamilton - Chu trình Hamilton 1.7 Số ổn định trong, số ổn định 1.8 Nhân đồ thị 10 1.9 Cây bụi 11 Một số thuật toán đồ thị 2.1 13 Các thuật toán xây dựng khung đồ thị 13 2.1.1 Thuật tốn tìm kiếm ưu tiên chiều sâu 13 2.1.2 2.2 2.3 Thuật tốn tìm kiếm ưu tiên chiều rộng 15 Thuật tốn tìm khung bé 16 2.2.1 Thuật toán Kruskal 17 2.2.2 Thuật toán Prim 17 Các thuật tốn tìm số ổn định trong, số ổn định ngoài, nhân đồ thị 21 2.3.1 Thuật tốn tìm số ổn định 21 2.3.2 Thuật tốn tìm số ổn định ngồi 21 2.3.3 Thuật tốn tìm nhân bé (hay tất nhân đồ thị G) 22 2.4 Thuật toán Dịjkstra tìm đường ngắn 27 2.5 Thuật tốn Fleury tìm chu trình Euler 30 2.6 Quy tắc tìm chu trình Hamilton 31 Mô hình đồ thị cho số tốn thực tế 3.1 33 Quy trình giải tốn phương pháp đồ thị 33 3.1.1 Xây dựng đồ thị G mô tả quan hệ 33 3.1.2 Dựa vào kết lý thuyết đồ thị lý luận trực tiếp suy đáp án toán D 34 3.2 Bài tốn đường Euler - chu trình Euler 34 3.3 3.4 3.2.1 Bài toán cầu Konigsberg 34 3.2.2 Bài toán vẽ bàn cờ 3.2.3 Bài toán Người đưa thư Trung Hoa 36 39 Bài toán đường Hamilton - chu trình Hamilton 45 3.3.1 Trò chơi “Vòng quanh giới” 45 3.3.2 Bài toán xếp chỗ ngồi 46 3.3.3 Bài toán người du lịch 47 Bài toán số ổn định trong, số ổn định nhân đồ thị 51 3.4.1 Bài tốn tổng qt(trị chơi Nim) 51 3.4.2 Thuật toán chơi dựa vào nhân đồ thị 51 3.5 Bài tốn tìm khung bé 57 3.6 Bài toán đỉnh - cạnh đồ thị 60 3.7 Bài tốn đường đi, chu trình đồ thị liên thông 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 Lời nói đầu Lý thuyết đồ thị ngành khoa học đời sớm Lý thuyết đồ thị giúp mơ tả hình học giải nhiều toán thực tế phức tạp Một kết lý thuyết đồ thị xuất báo Leonhard Euler v By cõy cu Kăonigsberg, xut bn nm 1736 Bài báo xem kết topo hình học Đồ thị biểu diễn nhiều cấu trúc, nhiều tốn thực tế biểu diễn đồ thị Do đó, lý thuyết đồ thị có nhiều ứng dụng việc giải toán thực tế, chẳng hạng như: Bài tốn điều khiển giao thơng, tốn lập kế hoạch, tốn hành trình ngắn nhất, Với mong muốn tìm hiểu ứng dụng lý thuyết đồ thị việc giải số tốn thực tế, tơi chọn đề tài "Mơ hình đồ thị cho số tốn thực tế" để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Ngoài phần mở đầu kết luận luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tơi xin trình bày định nghĩa, định lí lý thuyết thuyết đồ thị Chương Một số thuật toán đồ thị Trong chương này, tơi xin trình bày số thuật tốn lý thuyết đồ thị ví dụ Chương Mơ hình đồ thị cho số tốn thực tế Trong chương này, tơi xin trình bày số tốn thực tế giải mơ hình đồ thị như: tốn cầu Konigsberg, toán người đưa thư trung hoa, tốn người du lịch Luận văn hồn thành hướng dẫn trực tiếp TS Lâm Thị Thanh Tâm Tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến hướng dẫn tận tâm, nhiệt tình suốt q trình thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu thầy giáo khoa Tốn, Trường Đại học Quy Nhơn tạo điều kiện, dạy bảo dìu dắt tơi năm học vừa qua Xin chân thành cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân thời gian học tập làm luận văn Mặc dù cố gắng nghiên cứu song thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân thành q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Bình Định, tháng năm 2022 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tơi xin trình bày định nghĩa, định lí lý thuyết thuyết đồ thị, kết chương tham khảo từ tài liệu [1], [3], [5] 1.1 Khái niệm đồ thị Trong nhiều tình thực tế, thường vẽ sơ đồ, gồm điểm biểu thị đối tượng xem xét (người, tổ chức, đội bóng, thành phố ) nối số điểm với đoạn đường cong (thẳng) hay mũi tên, tượng trưng cho quan hệ đối tượng Các sơ đồ dùng khắp nơi: sơ đồ mạng điện, sơ đồ tổ chức, sơ đồ giao thơng, Đó thí dụ đồ thị Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp X 6= ∅ đối tượng E cặp thứ tự không thứ tự phần tử X gọi đồ thị, ký hiệu G(X, E) (hoặc G = (X, E) G(X)) Các phần tử X gọi đỉnh Cặp đỉnh khơng thứ tự Hình 1.1: Ví dụ mơ hình đồ thị gọi cạnh, cặp đỉnh thứ tự gọi cạnh có hướng hay cung Đồ thị chứa cạnh gọi đồ thị vơ hướng, cịn đồ thị chứa cung gọi đồ thị có hướng Nếu đồ thị chứa cạnh lẫn cung họi đồ thị hỗn hợp hay đồ thị hỗn tạp Một cặp đỉnh nối với hai nhiều hai cạnh (hai nhiều hai cung hướng) Các cạnh (cung) gọi cạnh (cung) bội Một cung (hay cạnh) bắt đầu kết thúc đỉnh Cung (cạnh) loại gọi khuyên hay nút Cặp đỉnh x, y nối với cạnh (cung) a a gọi cạnh (cung) thuộc đỉnh x, đỉnh y Nếu cung b xuất phát từ đỉnh u vào đỉnh v u gọi đỉnh đầu, v gọi đỉnh cuối cung b Cặp đỉnh x, y gọi hai đỉnh kề x 6= y hai đầu cạnh hay cung Đối với đỉnh x dùng D (x) để tập đỉnh, mà đỉnh nối với x cạnh; D+ (x) để tập đỉnh mà đỉnh từ x có cung tới; D− (x) để tập đỉnh mà đỉnh có cung ... lí lý thuyết thuyết đồ thị 2 Chương Một số thuật tốn đồ thị Trong chương này, tơi xin trình bày số thuật tốn lý thuyết đồ thị ví dụ Chương Mơ hình đồ thị cho số toán thực tế Trong chương này,... Với mong muốn tìm hiểu ứng dụng lý thuyết đồ thị việc giải số toán thực tế, tơi chọn đề tài "Mơ hình đồ thị cho số toán thực tế" để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Ngồi phần mở đầu kết luận... 31 Mơ hình đồ thị cho số tốn thực tế 3.1 33 Quy trình giải toán phương pháp đồ thị 33 3.1.1 Xây dựng đồ thị G mô tả quan hệ 33 3.1.2 Dựa vào kết lý thuyết đồ thị lý luận trực