Bài toán tựa điểm bất động của tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀO THỊ THU TRANG BÀI TOÁN TỰA ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TỔNG HAI ÁNH XẠ ĐA TRỊ NỬA LIÊN TỤC DƯỚI VÀ NỬA LIÊN TỤC TRÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀO THỊ THU TRANG BÀI TOÁN TỰA ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TỔNG HAI ÁNH XẠ ĐA TRỊ NỬA LIÊN TỤC DƯỚI VÀ NỬA LIÊN TỤC TRÊN Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên, năm 2021 i Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Tôi không chép từ cơng trình khác Các tài liệu luận văn trung thực, kế thừa phát huy thành khoa học nhà khoa học với biết ơn chân thành Thái Nguyên, tháng năm 2021 Người viết luận văn Đào Thị Thu Trang ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS Nguyễn Xuân Tấn Do kiến thức mẻ khoảng thời gian nghiên cứu hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q thầy người để luận văn hoàn thiện Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS Nguyễn Xuân Tấn trực tiếp giao đề tài, hướng dẫn giúp đỡ tận tình suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán q thầy quan tâm, nhiệt tình giảng dạy suốt khóa học Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! iii Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv LỜI MỞ ĐẦU Chương Một số kiến thức 1.1 Những không gian thường dùng 1.1.1 Không gian tơ pơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 3 1.2 Nón ánh xạ đa trị 1.2.1 Nón 1.2.2 Ánh xạ đa trị 1.2.3 Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.2.4 Tính lồi ánh xạ đa trị 13 Chương Bài toán tựa điểm bất động tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục nửa liên tục 2.1 Đặt toán 2.2 16 16 Sự tồn điểm bất động tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục nửa liên tục 17 2.3 Một số ứng dụng 21 iv 2.3.1 Bài toán cân tổng quát tồn nghiệm toán 25 Tài liệu tham khảo 31 iv LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động đóng vai trị quan trọng hình thành từ 100 năm Năm 1912, Browwer rằng: ánh xạ liên tục f từ đơn hình S ⊂ Rm vào ln có điểm bất động Sau đó, kết mở rộng: Ánh xạ liên tục f từ tập compact, lồi C khơng gian tơ pơ tuyến tính lồi địa phương Hausdoff X vào ln có điểm bất động Năm 1972, Ky Fan mở rộng cho ánh xạ đa trị: Cho ánh xạ đa trị nửa liên tục f : C → 2C với 2C tập lồi compact khác rỗng Kí hiệu tập tập C, F (x) ̸= ∅, lồi, compact Khi tồn x¯ ∈ C, x¯ ∈ F (¯ x) Điểm x¯ gọi điểm bất động ánh xạ đa trị F Năm 1968, Ky Fan Browder chứng minh ánh xạ đa trị F : C → 2C Với y ∈ C, F (−1) (y) = {x ∈ C, y ∈ F (x)} tập mở, F (x) ̸= ∅ Khi F có điểm bất động Ánh xạ đa trị có lát cắt mở Người ta rằng: Ánh xạ đa trị có lát cắt mở ánh đa trị nửa liên tục Cho P : C → 2C , F : C → 2X Bài tốn tìm x¯ ∈ C cho x¯ ∈ P (¯ x) x¯ ∈ F (¯ x) gọi tốn tìm điểm bất động chung P F hay toán tựa bất động F Năm 1922, Banach chứng minh ánh xạ f co từ không gian metric đầy đủ X vào nó, tức tồn k ∈ (0; 1) để: d(f (x), f (y)) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ X (d metric X) Khi f có điểm bất động Hơn vậy, với x0 ∈ X bất kỳ, ta xây dựng dãy lặp {xn }n∈N , xn+1 = f (xn ), dãy lặp hội tụ tới điểm bất động f Định lý Nadler mở rộng cho ánh xạ đa trị Mục đích luận văn nhằm trình bày kết mở rộng Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh Nguyễn Quỳnh Hoa cho toán tựa điểm bất động cho ánh xạ đa trị F tổng ánh xạ đa trị G H , F = G+H , G ánh xạ đa trị nửa liên tục từ C vào 2X H ánh xạ nửa liên tục từ C vào 2X Kết nối kết KyFan Browder KyFan với Tất nhiên, giống hai định lý Ky Fan Browder KyFan ứng dụng nhiều toán khác lý thuyết tối ưu lý thuyết phương trình đa trị, kinh tế Nội dung luận văn dựa báo “Quai - Equilibrium problrm and Fixed point Theorem of the sum L.S.C and U.S.C mappings” N.X.Tan, N.Q.Hoa N.B.Minh đăng tạp chí Minimax Theory Apl.3.(2018) No.1, 57-72 Chương Một số kiến thức Trước nghiên cứu toán nêu luận văn, ta cần nhắc lại không gian, kiến thức cần dùng chương luận văn Ta bắt đầu việc nhắc lại khơng gian tơ pơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff thường gặp toán lý thuyết tối ưu đơn trị lẫn đa trị vô hưỡng lẫn véc tơ 1.1 Những không gian thường dùng 1.1.1 Khơng gian tơ pơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Trong mục này, ta xây dựng lớp khơng gian có cấu trúc, ta gọi cấu trúc tô pô Các khái niệm giới hạn, lân cận, tập đóng, tập mở sinh từ cấu trúc Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp X Một họ G tập X tôpô X nếu: (i) Hai tập ∅, X thuộc họ G ; (ii) G kín phép giao hữu hạn, tức giao số hữu hạn tập thuộc họ G thuộc họ G; (iii) G kín phép hợp bất kì, tức hợp số hữu hạn hay vơ hạn tập thuộc họ G thuộc họ G Khi 1) Tập X với tôpô G X, gọi không gian tôpô (X, G) (hay không gian tôpô X ) 2) Các tập thuộc họ G gọi tập mở 3) Khi có hai tôpô G, G ′ X, G ⊆ G ′ , ta nói tơpơ G yếu (thơ hơn) tôpô G ′ hay tôpô G ′ mạnh (mịn hơn) tơpơ G Trường hợp khơng có quan hệ đó, ta nói hai tơpơ khơng so sánh Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian tôpô (X, G), A ⊆ X Tập U không gian X gọi lân cận A U bao hàm tập mở chứa A; Lân cận phần tử x ∈ X lân cận tập {x}; Họ tất lân cận điểm gọi hệ lân cận điểm Cho X, Y hai không gian tôpô, Định nghĩa 1.1.3 (i) Một ánh xạ f : X → Y gọi liên tục điểm x ∈ X với lân cận U f (x) Y, tồn lân cận V x X thỏa mãn f (V ) ⊆ U (ii) Ánh xạ f gọi liên tục không gian tôpô X f liên tục điểm thuộc X Ta đưa định nghĩa sở tôpô sau: Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian tôpô (X, G), (i) Cho x ∈ X, họ Vx gồm lân cận điểm x gọi sở địa phương tôpô G điểm x (hay sở lân cận x), với lân cận U điểm x tồn tập V ∈ Vx cho x ∈ V ⊆ U (ii) Họ V phần tử G gọi sở tôpô G X phần tử G hợp phần tử thuộc V 2.2 Sự tồn điểm bất động tổng hai ánh xạ đa trị nửa liên tục nửa liên tục Trong mục này, xét số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán tựa điểm bất động liên quan tới ánh xạ đa trị nửa liên tục yếu vô hướng G : D × K → 2X H : D × K → 2X ánh xạ nửa liên tục yếu vơ hướng, tốn: Tìm (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ P (x, y); y ∈ Q(x, y); x ¯ ∈ G(x, y) + H(x, y) Ta có định lý: Định lý 2.2.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: D, K tập khác rỗng, lồi, compact; P : D × K → 2D ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; Q : D × K → 2K ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; G ánh xạ l.s.c yếu vơ hướng với giá trị khác rỗng; H ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), H(x, y) tập khác rỗng, lồi, đóng ∅ ̸= G(x, y) + (H(x, y) ∩ TP (x,y) (x)) ⊂ TP (x,y) (x) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ P (x, y); y ∈ Q(x, y); x ¯ ∈ G(x, y) + H(x, y), tức là: ∈ G(x, y) + H ∗ (x, y), với H ∗ (x, y) = H(x, y) − x¯ 17 Chứng minh Ta đặt B = {(x, y) ∈ D × K|x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y)} Xây dựng ánh xạ T : D × K → 2D×K , xác định T (x, y) = P (x, y) × Q(x, y), (x, y) ∈ D × K Dễ thấy T ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, compact Theo định lý điểm bất động Ky Fan, tồn (x, y) ∈ D × K cho: (x, y) ∈ T (x, y) Do đó, B tập khác rỗng Hơn nữa, T u.s.c có giá trị đóng nên B tập đóng tập compact Giả sử với (x, y) ∈ B, ∈ / G(x, y) + H ∗ (x, y) Lấy v ∈ G(x, y) Do H(x, y) tập khác rỗng, lồi, đóng nên H(x, y) − v¯ tập khác rỗng, lồi, đóng ∈ / (H ∗ (x, y)) Theo định lý Hahn - Banach, tồn p ∈ X ∗ cho: p(v) + sup p(w) < w∈H ∗ (x,y) Suy inf p(v) + v∈co(G(x,y)) sup p(w) < w∈H ∗ (x,y) Khi đó, ta xác định ánh xạ c1p (., ) : D × K → R, c2p (., ) : D × K → R c1p (x′ , y ′ ) = c2p (x′ , y ′ ) = inf p(v); sup p(w) v∈co(G(x′ ,y ′ )) w∈H ∗ (x′ ,y ′ ) Khi đó, c1p , c2p ánh xạ u.s.c D × K , tập Up (x, y) = {(x′ , y ′ ) ∈ D × K|c1p (x′ , y ′ ) + c2p (x′ , y ′ ) < 0} tập mở Vì (x, y) ∈ Up (x, y) nên Up lân cận mở khác rỗng (x, y) Do đó, với (x, y) ∈ B , tồn p ∈ X ∗ cho: Up (x, y) = {(x′ , y ′ ) ∈ D × K|c1p (x′ , y ′ ) + c2p (x′ , y ′ ) < 0} 18 tập mở khác rỗng Suy {Up }p∈X ∗ họ phủ mở tập B Mặt khác, B tập compact nên tồn hữu hạn ánh xạ p1 , , ps ∈ X ∗ cho: B⊆ s [ Upj j=1 Hơn nữa, B tập đóng D × K , Up0 = D × K\B tập mở D × K nên {Up0 , Up1 , , Ups } họ phủ mở tập compact D × K Theo định lý phân hoạch đơn vị, tồn hàm ψi : D × K → R, (i = 0, 1, , s) cho: ≤ ψi (x, y) ≤ 1; s P ψi (x, y) = 1, với (x, y) ∈ D × K; i=1 Với i ∈ {0, 1, , s}, tồn j(i) ∈ {0, 1, , s} cho suppψi ⊂ Upj(i) Mặt khác, ta định nghĩa ánh xạ ϕ : K × D × D → R ϕ(y, x, t) = s X ψi (x, y).pj(i) (t − x), i=0 với t, x ∈ D, y ∈ K Khi đó, ϕ hàm liên tục K × D × D Ngoài ra, với điểm (x, y) ∈ D × K cố định, ϕ(y, x, ) : D → R hàm tuyến tính ϕ(y, x, x) = với (x, y) ∈ D × K Vì D, K, P, Q ánh xạ ϕ thỏa mãn điều kiện định lý 2.1 nên dễ dàng tồn (x, y) ∈ D × K cho (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y) ϕ(y, x, t) ≥ với t ∈ P (x, y) Suy s X ψi (x, y).pj(i) (t − x) ≥ với t ∈ P (x, y) i=0 Đặt p∗ = s P ψi (x, y).pj(i) , ta có i=0 p∗ (t − x) ≥ với t ∈ P (x, y) 19 (2.3.1) Hơn nữa, p∗ (u) ≥ 0, với u ∈ TP (x,y) (x) Từ giả thiết (5) có ∅ ̸= G(x, y) + (H(x, y) ∩ TP (x,y) (x)) ⊂ TP (x,y) (x), nên p∗ (v) + p∗ (w) ≥ 0, với v ∈ coG(x, y), w ∈ H(x, y) ∩ TP (x,y) (x) Suy p∗ (v + w) ≥ inf (2.3.2) v+w∈coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (x,y) (x)) Mặt khác, đặt I(x, y) = {i ∈ {0, 1, , s}|ψi (x, y) > 0} s P Vì ψi (x, y) ≥ ψi (x, y) = nên I(x, y) ̸= ∅ Do đó, với i ∈ i=1 I(x, y), (x, y) ∈ suppψi ⊂ Upj(i) ta có c1pj(i) (x, y) + c2pj(i) (x, y) < (2.3.3) Với v ∈ coG(x, y), w ∈ H(x, y), ta có ∗ p (v + w) = s X ψi (x, y).[pj(i) (v) + pj(i) (w)] i=0 = X ψi (x, y).[pj(i) (v) + pj(i) (w)] i∈I(x,y) ≤ X ψi (x, y) max {pj(i) (v) + pj(i) (w)} i∈I(x,y) i∈I(x,y) = max {pj(i) (v) + pj(i) (w)} i∈I(x,y) Hơn {p∗ (v + w)} inf v+w∈coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (x,y) (x)) ≤ inf max {pj(i) (v) + pj(i) (w)} (2.3.4) v+w∈coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (x,y) (x)) i∈I(x,y) Đặt C = co{pj(1) , , pj(s) }, E = co(G(x, y)) + H(x, y), f (p, u) = p(v) + p(w), u = v + w sử dụng tô pô yếu* X ∗ , ta thấy thỏa mãn 20 điều kiện định lý minimax Sion [5] Do đó, inf max pj(i) (u) u∈coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (x,y) (x)) i∈I(x,y) = max inf i∈I(x,y) v+w∈coG(x,y)+(H(x,y)∩TP (x,y) (x)) ≤ max { inf i∈I(x,y) v∈coG(x,y) ≤ max i∈I(x,y) sup pj(i) (w)} pj(i) (v) + {c1pj(i) (x, y) {pj(i) (v) + pj(i) (w)} w∈H(x,y) + c2pj(i) (x, y)