Phân tích ổn định cho tấm chữ nhật bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn với 24 bậc tự do

Luận văn Thạc Sĩ LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan luận văn “PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CHO TẤM CHỮ NHẬT BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN VỚI 24 BẬC TỰ DO” cơng trình nghiên cứu Ngoại trừ tài liệu tham khảo trích dẫn luận văn này, tơi cam đoan toàn phần hay phần nhỏ luận văn chưa công bố sử dụng để nhận cấp nơi khác Khơng có sản phẩm/nghiên cứu người khác sử dụng luận văn mà khơng trích dẫn theo quy định Luận văn chưa nộp để nhận cấp trường đại học sở đào tạo khác Tai Lieu Chat Luong TP HCM, ngày 15 tháng 09 năm 2015 Nguyễn Lê Minh Trang i Luận văn Thạc Sĩ TÓM TẮT Luận văn sử dụng phần tử hữu hạn trơn MISQ24 (Phần tử tứ giác phẳng bốn nút với sáu bậc tự nút) để phân tích ổn định chữ nhật Mindlin – Reissner Ảnh hưởng đại lượng biến dạng, ứng suất chuyển vị tính tốn so với trạng thái ban đầu theo lý thuyết dày Reissner-Mindlin Nhiều loại tải trọng đưa vào tính tốn bao gồm tải phân bố lực cắt Tỷ lệ cạnh chứng minh có tác dụng gây ổn định Với lý thuyết phần tử hữu hạn trơn, ma trận độ cứng uốn xây dựng dựa tích phân biên phần tử, cho kết xác phần tử có dạng tứ giác lõm giảm sai số hệ lưới phần tử thô so với phần tử dựa kỹ thuật tích phân miền phần tử thơng thường Sử dụng phần mềm Matlab để lập trình mơ tính tốn cho số tốn điển hình Các kết phân tích so sánh với kết nghiên cứu khác để đánh giá độ tin cậy phương pháp T r a n g iii Luận văn Thạc Sĩ ABSTRACT The static buckling and the dynamic instability analysis of Reissner-Mindlin rectangular plates are studied in this thesis using MISQ24 (Mixed Integration Smoothed Quadrilateral Element with 24 drilling DOFs) The effects of transverse shear deformation and rotary inertia are also included following the Reissner-Mindlin plate theory Numerous kinds of loading are considered including uniform compressive loading, shearing force The aspect ratio of the plate is shown to have a destabilizing effect A finite element code, written in Matlab, has been developed and solved numerical examples which are compared to published outputs in other studies and good agreement was obtained throughout T r a n g iv Luận văn Thạc Sĩ MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ············································································· i LỜI CẢM ƠN ··················································································ii TÓM TẮT ····················································································· iii ABSTRACT ··················································································· iv MỤC LỤC ······················································································ v DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ····························································· vii DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU ·························································· ix  CHƯƠNG MỞ ĐẦU 1  1.1 Giới thiệu 1  1.2 Mục tiêu nghiên cứu 1  1.3 Phương pháp nghiên cứu 2  1.4 Ý nghĩa đề tài 2  1.5 Tóm tắt chương luận văn 3  CHƯƠNG TỔNG QUAN TÌ NH HÌNH NGHIÊN CỨU 4  2.1 Sự phát triể n các loa ̣i phầ n tử tấ m 4  2.2 Phân tı́ch tuyế n tính hı̀nh ho ̣c kế t cấ u tấ m 4  2.3 Phần tử hữu hạn trơn (Smoothed finite element method- SFEM) 5  2.4 Tổng quan tình hình nghiên cứu nước 6  CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 8  3.1 Lý thuyết biến dạng cắt bậc cho tính tốn 8  3.2 Công thức phầ n tử hữu ̣n 9  3.2.1  Phần tử màng 9  3.2.2  Tấ m chịu uốn theo lý thuyết Mindlin-Reissner 12  3.3 Phân tích ổn định tĩnh 16  3.3.1  Xây dựng phần tử hữu hạn cho ma trận phần tử 16 Trang v Luận văn Thạc Sĩ 3.3.2  Phương trình phần tử hữu hạn chủ đạo 19  3.4 Phân tích ổn định động 20  3.5 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn MISQ24 22  3.5.1  Biến dạng màng trơn với bậc tự xoay (drilling DOF) 24  3.5.2  Biến dạng trơn uốn 26  3.5.3  Biến dạng trượt 27  3.5.4  Ma trận độ cứng trơn .28  3.5.5  Ma trận độ cứng trơn hình học 28  CHƯƠNG MÔ PHỎNG SỐ 30  4.1 Phân tích ổn định tĩnh chữ nhật chịu lực nén trục 30  4.2 Phân tích ổn định tĩnh chữ nhật chịu lực nén hai trục 35  4.3 Phân tích ổn định tĩnh Reissner-Mindlin chịu tác dụng lực cắt mặt phẳng 37  4.4 Phân tích ổn định tĩnh hình bình hành chịu lực nén trục 38  4.5 Phân tích ổn định tĩnh hình bình hành chịu lực nén hai trục 43  CHƯƠNG KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 45  5.1 Kết luận 45  5.2 Kiến nghị 45  TÀ I LIỆU THAM KHẢO 46  PHỤ LỤC 55  T r a n g vi Luận văn Thạc Sĩ DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Trang Hình 3.1: Ngun dạng biến dạng hình học cạnh theo lý thuyết biến dạng cắt bậc 08 Hình 3.2: Phần tử đẳng tham số nút với bậc tự xoay 09 Hình 3.3: Phần tử chịu uốn dạng tứ giác nút 13 Hình 3.4: Phần tử tứ diện bốn nút với bậc tự nút MISQ24 23 Hình 3.5: Sự chia nhỏ phần tử thành nc phần tử (subcells) giá trị hàm dạng nút 23 Hình 3.6: Trung điểm dùng để nội suy biến dạng trượt ngang 27 Hình 4.1: Tấm liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén trục 30 Hình 4.2: Tấm liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén trục với lưới không (a) 6x6, (b) 10x10, (c) 14x14, (d) 18x18 31 Hình 4.3: Sự hội tụ hệ số lực tới hạn 32 Hın ̀ h 4.4: Sự ổn định chữ nhật chia lưới không chịu lực nén trục với h/b=0.05 tỷ lệ: (a) a/b=0.5, (b) a/b=1, (c) a/b=1.5, (d) a/b=2, (e) a/b=2.5 34 Hình 4.5: Tấm chữ nhật chịu lực nén hai trục 35 Hın ̀ h 4.6: Tấm chữ nhật chia lưới không chịu lực nén hai trục 35 Hình 4.7: Sự ổn định chữ nhật chia lưới không chịu lực nén hai trục với a=b=10m, h=0.06m (a) tựa đơn, (b) ngàm 36 Hình 4.8: Tấm chữ nhật liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu tác dụng lực cắt mặt phẳng 37 Hình 4.9: Sự ổn định chữ nhật liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu tác dụng lực cắt với a=b=10m 38 Hình 4.10: Tấm hình bình hành liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén trục 38 T r a n g vii Luận văn Thạc Sĩ Hình 4.11: Tấm hình bình hành liên kết tựa đơn bốn cạnh chia lưới 14x14 không với tỷ lệ a/b=1 với góc xiên (a) 150, (b) 300, (c) 450 39 Hình 4.12: Sự ổn định hình bình hành chia lưới không với tỷ lệ h/b=0.05 góc xiên=450 (a) a/b=0.5, (b) a/b=1.0, (c) a/b=1.5, (d) a/b= 2, (e) a/b=2.5 42 Hình 4.13: Tấm hình bình hành liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén hai trục 43 Hình 4.14: Sự ổn định hình bình hành liên kết tựa đơn chịu lực nén hai trục chia lưới không với (a) a/b=1 góc xiên= 300 (b) a/b=1 góc xiên= 450, (c) a/b=2 góc xiên= 300 (d) a/b=2 góc xiên= 450 44 T r a n g viii Luận văn Thạc Sĩ DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU Trang Bảng 4.1: So sánh hệ số lực tới hạn liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén trục với a/b =1 h/b=0.05 32 Bảng 4.2: So sánh hệ số lực tới hạn liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén trục với tỷ số a/b h/b thay đổi 33 Bảng 4.3: So sánh hệ số lực tới hạn vuông chịu lực nén hai trục (a=b=10m, h=0.06m) 35 Bảng 4.4: Hệ số lực tới hạn cho liên kết tựa đơn chịu lực cắt mặt phẳng bốn cạnh 37 Bảng 4.5: So sánh hệ số lực tới hạn hình bình hành liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén trục với h/b=0.001 40 Bảng 4.6: So sánh hệ số lực tới hạn hình bình hành liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén trục với h/b=0.05 41 Bảng 4.7: So sánh hệ số lực tới hạn hình bình hành liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén hai trục với h/b=0.001 43 T r a n g ix Luận văn Thạc Sĩ CHƯƠNG MỞ ĐẦU 1.1 Giới thiệu Ngày nay, cơng trình xây dựng ngồi việc đảm bảo khả làm việc kết cấu cịn địi hỏi kiến trúc phải có tính thẩm mỹ Trong thực tế, kết cấu có dạng cấu kiện sử dụng phổ biến ngành công nghiệp dân dụng Các nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn kết cấu thường phức tạp nhiều so với dạng kết cấu khác Do đó, phân tích ổn định vấn đề phức tạp đòi hỏi phải tính tốn lại nhiều lần độ cứng kết cấu với loại tải trọng khác Công việc nhiều thời gian với máy tính mạnh mẽ Vì vậy, việc tìm kiếm phương pháp tính tốn hiệu với độ tin cậy cao phân tích ổn định ln nhu cầu thiết yếu 1.2 Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu nhằm phân tích ổn định kết cấu phần tử MISQ24 Cụ thể phát triển phương pháp phân tích ổn định cho toán chữ nhật Mindlin – Reissner dựa phương pháp phần tử hữu hạn trơn với 24 bậc tự MISQ24 xây dựng Nguyễn Văn Hiếu [17] với đặc điểm sau: (i) áp dụng cho vật liệu đẳng hướng (ii) chịu uốn tốt, (iii) không bị “Shear locking” bề dày phần tử mỏng, (iv) nhạy cảm với phần tử bị méo, (v) xác dùng lưới thơ, (vi) đơn giản dễ tích hợp luật ứng xử tuyến tính (vii) hiệu đáng tin cậy Qua kiểm tra đánh giá ưu điểm kể phần tử MISQ24 phân tích ổn định kết cấu từ mỏng đến dày vừa phải T r a n g | 59 Luận văn Thạc Sĩ 1.3 Phương pháp nghiên cứu Để đánh giá tính hiệu phần tử MISQ24 cho phân tích phân tích ổn định kết cấu dày Mindlin - Reissner, số lý thuyết sau cần sử dụng: Trước tiên, đề tài sử dụng công thức ma trận độ cứng phần tử ma trận độ cứng hình học phần tử MISQ24 để xây dựng ma trận độ cứng tổng thể phần tử dựa tích phân biên phần tử Tiếp theo lý thuyết biến dạng cắt bậc Mindlin- Reissner (First-order shear deformation theory - FSDT) áp dụng việc xây dựng phần tử đơn giản công thức khả linh động tính tốn loại từ dày tới mỏng tương đối Cuối cùng, lập trình tính tốn để mơ tốn điển hình phân tích ổn định kết cấu Kết đem so sánh với kết nghiên cứu trước để đánh giá tính hiệu xác dùng phần tử MISQ24 1.4 Ý nghĩa đề tài Tính mới: Các phương pháp phần tử hữu hạn trơn trước chưa kể đến bậc tự xoay dạng tốn phân tích ổn định kết cấu Vì điểm đề tài việc nghiên cứu cải tiến cho kỹ thuật phần tử trơn MISQ24 để phân tích tốn tính tốn ổn định kết cấu có lưới đều/khơng cách tổng qt Tính thời sự: Việc đề xuất mơ hình phần tử hữu hạn xác, hiệu đáng tin cậy phân tích kết cấu ln thách thức tính tốn học Chính mà việc nghiên cứu lĩnh vực ln mang tính thời nhận nhiều quan tâm nhiều nhà nghiên cứu giới suốt nhiều năm qua Ý nghĩa khoa học: Kết nghiên cứu tạo sở làm tiền đề cho nghiên cứu sâu thêm ổn định động ứng xử sau ổn định cho kết cấu Điều góp phần cho việc tiếp tục cải tiến không ngừng cho nghiên cứu áp dụng phần tử hữu hạn trơn MISQ24 T r a n g | 59 Luận văn Thạc Sĩ Bảng 4.5 So sánh hệ số lực tới hạn hình bình hành liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén trục với h/b=0.001 ࢇ ࢈ 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Góc MISQ24 MISQ24 Kitipornchai xiên RE IR (1993) 150 6.9516 6.9884 6.9782 300 9.8447 9.9317 9.9166 450 18.9376 19.0702 19.2473 150 4.3529 4.3559 4.3938 300 5.8077 5.8136 5.8969 450 9.7154 9.7527 10.1032 150 4.6041 4.6158 4.6783 300 5.8259 5.8441 5.9226 450 8.9779 9.0373 9.1658 150 4.1878 4.1926 4.3417 300 5.401 5.4061 5.6206 450 8.6067 8.6228 8.9046 150 4.2361 4.2506 4.4365 300 5.2837 5.3026 5.5556 450 8.0480 8.1028 8.5024 T r a n g 40 | 59 Luận văn Thạc Sĩ Bảng 4.6 So sánh hệ số lực tới hạn hình bình hành liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén trục với h/b=0.05 Góc MISQ24 MISQ24 Kitipornchai ࢇ ࢈ xiên RE IR (1993) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 150 6.4770 6.4776 6.7238 300 9.0673 9.070 9.4599 450 16.9964 16.9997 17.8531 150 4.1730 4.1781 4.3280 300 5.5145 5.5252 5.7784 450 9.0555 9.0691 9.7063 150 4.4284 4.4347 4.5836 300 5.5713 5.5851 5.7774 450 8.4760 8.5300 8.8230 150 4.0675 4.0725 4.2776 300 5.2270 5.2332 5.5160 450 8.2354 8.2731 8.5781 150 4.1119 4.1237 4.3579 300 5.1102 5.1232 5.4378 450 7.7168 7.7652 8.2399 Kết bảng 4.5 bảng 4.6 cho thấy hệ số lực tới hạn giảm tỷ lệ h/b tăng lên thấy rõ ràng với có tỷ lệ a/b nhỏ so với có a/b lớn Ngoài ra, hệ số lực tới hạn tăng lên góc xiên tăng lên Ngồi ra, kết cịn cho thấy tầm quan trọng biến dạng trượt xiên bỏ qua Hơn nữa, kết phân tích chia lưới méo ngẫu nhiên có chênh lệch bé so với phần tử lưới T r a n g 41 | 59 Luận văn Thạc Sĩ (a) (b) (c) (d) (e) Hı̀nh 4.12 Sự ổn định hình bình hành với tỷ lệ h/b=0.05 góc xiên = 450 (a) a/b=0.5, (b) a/b=1.0 , (c) a/b=1.5 (d) a/b= (e) a/b=2.5 T r a n g 42 | 59 Luận văn Thạc Sĩ 4.5 Phân tích ổn định tĩnh hình bình hành chịu lực nén hai trục P y b P P a x P Hı̀nh 4.13 Tấm hình bình hành liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén hai trục Hệ số ổn định hình bình hành tính tốn với hệ lưới 14x14 phần tử cho phương pháp MISQ24 so sánh với nghiên cứu Wang et al [53] sử dụng phương pháp Ritz với h/b=0.001 tỷ lệ a/b với góc xiên thay đổi sau Bảng 4.7 So sánh hệ số lực tới hạn hình bình hành liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén hai trục với h/b=0.001 ࢇ Wang et al Góc xiên MISQ24 RE MISQ24 IR (1993) ࢈ 300 2.492 2.493 2.544 450 3.467 3.471 3.684 300 1.570 1.571 1.616 450 2.245 2.247 2.356 Kết từ bảng 4.7 cho thấy giá trị hệ số lực tới hạn phương pháp MISQ24 tương đồng (chênh lệch lớn 4.7%) so với phương pháp Ritz Wang et al (1993) cho hai trường hợp lưới không Đồng thời rút kết luận tương tự trường hợp nén trục: hệ số lực tới hạn tăng lên góc xiên tăng lên T r a n g 43 | 59 Luận văn Thạc Sĩ (a) (b) (c) (d) Hı̀nh 4.14 Sự ổn định hình bình hành liên kết tựa đơn chịu lực nén hai trục chia lưới khơng với (a) a/b=1 góc xiên = 300 (b) a/b=1 góc xiên = 450, (c) a/b=2 góc xiên = 300 (d) a/b=2 góc xiên = 450 T r a n g 44 | 59 Luận văn Thạc Sĩ CHƯƠNG KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 5.1 Kết luận Qua sở lý thuyết trình bày Chương số ví dụ phân tích tốn tiêu biểu ổn định tấm, rút số kết luận sau: - Việc sử dụng phần tử hữu hạn trơn MISQ24 để phân tích tốn ổn định kết cấu dày mỏng vừa phải cho kết sát với nghiên cứu thực trước - Kết phân tích chia lưới chia lưới phần tử tứ giác méo ngẫu nhiên gần không chênh lệch giảm mật độ chia lưới từ 14x14 xuống 6x6 kết chấp nhận - Qua thí dụ số khảo sát chữ nhật với tỷ số chiều dài độ dày phạm vi mỏng cho thấy phần tử MISQ24 tránh tượng “shear locking” xảy sử dụng phần tử đẳng tham số theo lý thuyết Reissner-Mindlin Trong bảng 4.3, cho ta thấy phần tử MISQ24 giải tượng “shear locking” triệt để phương pháp “Reduce intergation” ứng dụng phần tử đẳng tham số nút mà Phạm Mỹ (2006) sử dụng Như phần tử MISQ24 sử dụng tốt tốn phân tích ổn định chữ nhật - Khảo sát ứng xử hình bình hành rút thêm số kết luận mà trước chưa có nghiên cứu mơ số khảo sát, giúp tăng độ ổn định từ việc thay đổi góc xiên mà khơng cần phải thay đổi vật liệu 5.2 Kiến nghị Các kết cấu phân tích luận văn giả định làm vật liệu đồng đẳng hướng Do đó, việc phân tích sâu thêm ổn định làm vật liệu trực hướng, vật liệu composite (vật liệu hỗn hợp), vật liệu biến đổi chức (grade material) nghiên cứu thú vị Ngồi cịn phân tích ổn định động khảo sát ứng xử kết cấu sau ổn định (post-buckling) T r a n g 45 | 59 Luận văn Thạc Sĩ TÀ I LIỆU THAM KHẢO   [1] Bathe, K-J & Bolourchi, S., A, “Geometric and material nonlinear plate and shell element,” Computers & Structs., 11, pp 23-48, 1980 [2] Bathe, K J and Dvorkin, E N., “A four node plate bending element based on Mindlin-Reissner plate theory and a mixed interpolation,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 21, pp 367-383, 1985 [3] Beer, G “Programming the Boundary Element Method.” John Wiley & Sons Ltd, Chichester, 2001 [4] Bergan, P G & Felippa, C A., “Efficient implementation of a triangular membrane element with drilling freedoms”, Finite Element Methods for Plate and Shell Structures, pp 128-152, 1986 [5] Nguyễn Thái Bình, “Phân tích dao động tự ổn định Reissner- Mindlin sử dụng phần tử MITC4”, Luận văn Thạc sĩ, 2008 [6] Bolotin, V V “The Dynamic Stability of Elastic Systems.”, Holden-Day, San Francisco, 1964 [7] Carpenter, N., Stolarski, H & Belytschko, T., “A flat triangular shell element with improved membrane interpolation,” Comp Appl Num Meth, pp 161-168, 1985 T r a n g 46 | 59 Luận văn Thạc Sĩ [8] Chien Thai Hoang, Nhon Nguyen-Thanh, Hung Nguyen-Xuan, Timon Rabczuk, and Stephane Bordas, “A cell-based Smoothed Finite Element Method for Free Vibration and Buclkling Analysis of Shells,” Journal of Civil Engineering, 347376, 2011 [9] C.-K Choi, T.-Y Lee, “Efficient remedy for membrane locking of 4-node flat shell elements by non-conforming modes,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 192, pp 1961-1971, 2003 [10] Clough, R W & Tocher, J L, “Analysis of thin arch dams by the finite element method,” Proc Symp Theory of Arch Darns, Southampton University, 1964 [11] M A Crisfield, “Shear-constraints and folded-plated structures,” Engng Comp, pp 237-246, 1985 [12] X.Y Cui, G R Liu, G Y Li, X Zhao, T.T Nguyen, G.Y Sun, “A Smoothed Finite Element Method (SFEM) for Linear and Geometrically Nonlinear Analysis of Plates and Shells,” Computer Modeling in Engineering & Sciences, 28, pp 109126, 2008 [13] Deolasi, P J and P K Datta, “Parametric instability characteristics of rectangular plates subjected to localized edge loading (compression or tension),” Computers and Structures 54, 73-82, 1995 [14] A.J.M Ferreira, “MATLAB Codes for Finite Element Analysis” T r a n g 47 | 59 Luận văn Thạc Sĩ [15] Frey, F & Cescotto, S, “Some new aspects of the incremental total Lagrangian description in nonlinear analysis”, Finite Elements in Nonlinear Mechanics Vol 1, 1977, ch 5.1-5.20 [16] Phan Đào Hồng Hiệp, “Phân tích tĩnh dao động tự kết cấu Composite nhiều lớp có chứa lớp áp điện phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa cạnh ES-FEM”, 2010 [17] Nguyen Van Hieu, “Development and application of assumed strain smoothing finite element technique for composite plate/shell structures,” Ph.D Thesis, University of Southern Queensland’s dissertation, Australia, 2009 [18] Nguyen Van Hieu, Luong Van Hai, Nguyen Hoai Nam Phân tích ứng xử phi tuyến hình học kết cấu vỏ chịu tải trọng tĩnh phương pháp phần tử hữu hạn trơn Tạp chí Xây Dựng, số 1, trang 105 – 108, 2013 [19] Nguyen Van Hieu, Nguyen Hoai Nam, Chau Dinh Thanh, Nguyen Thoi Trung Geometrically nonlinear analysis of composite plates and shells via a quadrilateral element with good coarse – mesh accuracy Composite Structures, Vol 112, pp 327 – 338, 2014 [20] Nguyen Van Hieu, Vo Anh Vu, Nguyen Hoai Nam, Chau Dinh Thanh, Nguyen Ngoc Duong “Analysis of shell structure via a smoothed four – node flat element.” Proceeding of the International Conference On Advances In Computational Mechanics (ACOME), 2012, Ho Chi Minh City, Viet Nam, pp 219-233 T r a n g 48 | 59 Luận văn Thạc Sĩ [21] Hughes, T J R., “The Finite Element Method: Lineur Static and Dynamic Finite Element Analysis,” 1987 [22] H Nguyen-Xuan, T Rabczuk, Ste´phane Bordas, J.F Debongnie, “A smoothed finite element method for plate analysis,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 197, pp 1184–1203, 2008 [23] Hutt, M and A E Salam, “Dynamic stability of plates by finite element method.” Engineering mechanics division, ASCE 97, 879-899, 1971 [24] Jetteur, P & Frey, F.,, “A four node Marguerre element for non-linear shell analysis,” Engng Comput., 3, pp 276-282, 1986 [25] P Jetteur, “Improvement of the Quadrangular ‘Jet’ Shell Element for a Particular Class of Shell Problems,” 1987 [26] L Kang, Q Zhang, Z Wang, “Linear and geometrically nonlinear analysis of novel flat shell elements with rotational degrees of freedom,” Finite Element in Analysis and Design 45, pp 386-392, 2009 [27] K D Kim, G R Lomboy, G Z Voyiadjis, “A 4-node assumed strain quasiconforming shell element with degrees of freedom,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, pp 2177-2200, 2003 T r a n g 49 | 59 Luận văn Thạc Sĩ [28] S Kitipornchai and Y Xiang, C M Wang, K W Liew, “Buckling of thick skew plates,” Int J Num Meth Engng, vol.36, pp 1299-1310, 1993 [29] Liew, K M., Wang, J., Ng, T Y., and Tan, M J (2004) “Free vibration and buckling analyses of shear-deformable plates based on FSDT meshfree method.” Journal of Sound and Vibration, Vol 276, Nos 3-5, pp 997-1017 [30] G R Liu, Nguyen Thoi Trung, “Smoothed Finite Element Methods” NewYork: CRC Press Taylor and Francis Group, 2010 [31] G R Liu, K Y Dai, T.T Nguyen, “A smoothed finite element method for mechanics problems,” Computational Mechanics, pp 859-877, 2007 [32] Liu GR, Nguyen TT, Dai KY, Lam KY, “Theoretical aspects of the smoothed Theoretical aspects of the smoothed,” International journal for numerical methods in Engineering, pp 902-930, 2007 [33] G R Liu, T Nguyen-Thoi, H Nguyen-Xuan, K.Y Dai, K.Y Lam, “On the essence and the evaluation of the shape functions for the smoothed finite element method (SFEM),” International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2009 [34] G R Liu, T Nguyen-Thoi, H Nguyen-Xuan, K.Y Lam, “A node-based smoothed finite element method (NS-FEM) for upper bound solution to solid mechanics problems,” Computers and Structures, pp 14-26, 2009 T r a n g 50 | 59 Luận văn Thạc Sĩ [35] G R Liu, T Nguyen-Thoi, K.Y Lam, “An edge-based smoothed finite element method (ES-FEM) for static, free and forced vibration analyses in solids”, Journal of Sound and Vibration, pp 1100-1130, 2009 [36] Liu, G R and X L Chen, “A mesh-free method for static and free vibration analyses of thin plates of complicated shape”, Journal of Sound and Vibration 241, 839-855, 2001 [37] Milford, R V & Schnobrich, W C, “Degenerated isoparametric finite elements using explicit integration,” Int J Num Meth Engng 23, pp 133-154, 1986 [38] Mindlin, R.d., “Influence of rotary inertia and shear in flexural motion of isotropic, elastic plates”, Journal of Applied Mechanics, Vol 18, pp 31-38, 1951 [39] Phạm Mỹ, “Parametric vibration of rectangular plate using finite element method”, Luận văn thạc sĩ EMMC9 trường Đại Học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh, 2006 [40] Nguyen Hoai Nam A smoothed strain based element for geometrically nonlinear analysis of plate/shell structures Thesis, Bach Khoa University, Ho Chi Minh City, 2013 [41] N.Nguyen-Thanh, Timon Rabczuk, H.Nguyen-Xuan, Stephane Bordas, “A smoothed finite element method for shell analysis,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 198, pp 165-177, 2008 T r a n g 51 | 59 Luận văn Thạc Sĩ [42] M K Nygard, “The free formulation for non-linear finite elements with applications to shells,” The University of Trondheim Norway, Report 86-2, Div of Struct Mechs., 1986 [43] Pawsey, S E & Clough, R W, “Improved numerical integration of thick shell finite elements,” Int Num Meth Engng, pp 545-586, 1971 [44] P Phung – Van, T Nguyen – Thoi, H Luong – Van, Q Lieu – Xuan Geometrically nonlinear analysis of functionally graded plates using a cellbased smoothed threenode plate element (CS-MIN3) based on the C0-HSDT Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering Vol 270, pp 15-36, 2014 [45] E Providas, M A Kattis, “An assessment of two fundamental flat triangular shell elements with drilling rotations,” Computers and Structures 77, pp 129-139, 2000 [46] E Reissner The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates ASME Journal of Applied Mechanis, Vol 12, pp A68-77, 1945 [47] Stolarski, H., Belytschko, T., Carpenter, N & Kennedy, J M, “A simple triangular curved shell element for collapse analysis,” Engng Comp., 1, pp 210-218, 1984 [48] Syngellakis, S and A Elzein, “Plate buckling loads by the boundary element method”, International Journal for Numerical Methods in Engineering 37, 17631778, 1994 T r a n g 52 | 59 Luận văn Thạc Sĩ [49] Taylor, R L & Simo, J C, “Bending and membrane elements for analysis of thick and thin shells,” Proc N U M E T A '85, 1985 [50] S Timoshenko, S W Krieger, Theory of plates and shells, McGraw-Hill Book Company, 1959 [51] Bạch Quang Trung, “Nghiên cứu phân tích phi tuyến hình học kết cấu tấm/vỏ”, Luận văn thạc sĩ Đại học Sư phạm Kỹ thuật thành phố Hồ Chí Minh [52] T Nguyen – Thoi, P Phung – Van, H Nguyen – Xuan, Chien H Thai “A cellbased smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) using triangular elements for static and free vibration analyses of Reissner – Mindlin plates.” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol 97, pp 705-741, 2012 [53] Wang, C.M., Kitipornchai, S., Xiang, Y., Liew, K.M “Stability of skew Mindlin plates under isotropic inplane pressure,” Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 119(2), 393-401, 1993 [54] H T Y Yang, S Saigal, A Masud, R K Kapania, “A survey of recent shell element,” International Journal for Numerical Methods in Engineering 47, pp 101127, 2000 [55] Y X Zhang, C H Yang, “Recent developments in finite element analysis for laminated composite plates,” Composite Structures 88, vol 1, pp 147-157, 2009 T r a n g 53 | 59 Luận văn Thạc Sĩ [56] Zienkiewicz, O C Parekh, C J & King, I P, “Arch dams analysed by a linear finite,” Proc Symp Arch Dams, Pergamon Press, Oxford, 1965 [57] Zienkiewicz, O C., Taylor, R L & Too, J M, “Reduced integration techniques in general analysis of plates and shells,” Int J Num Meth Engng, pp 275-290, 1971 T r a n g 54 | 59