Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 33 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
33
Dung lượng
1,27 MB
Nội dung
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tìm tất số nguyên dương n để n + 391 số phương Bài Tìm tất số nguyên n cho A = ( n − 2010 )( n − 2011)( n − 2012 ) số phương Bài Tìm số ngun x để 199 − x − 2x + số phương chẵn n ( 2n − 1) Bài Tìm số nguyên dương n cho 26 số phương Bài Tìm số tự nhiên n lớn không vượt 2012 cho M = 26n + 17 số phương Bài Tìm số nguyên tố p cho + p + p2 + p3 + p4 số hữu tỷ Bài Với số nguyên dương n, ký hiệu S n tổng n số nguyên tố ( S1 = 2, S = + 3, , S = + + 5, ) Chứng minh dãy số S1 ,S ,S , không tồn hai số hạng liên tiếp số phương Bài Tìm tất số nguyên tố p cho 2p + lập phương số tự nhiên Bài Tìm số nguyên x để x + x + số hữu tỉ Bài 10 Cho x, y số nguyên dương x + 2y số phương Chứng minh x + y tổng hai số phương Bài 11 Tìm số tự nhiên n để n + n + 30 số phương Bài 12 Tìm tất số tự nhiên n cho n + 2015 n + 2199 số phương Bài 13 Tìm số nguyên k để k − 8k + 23k − 26k + 10 số phương Bài 14 Tìm tất số nguyên x để x + x + số phương Bài 15 Tìm số ngun dương n cho n + n − n + số phương Bài 16 Tìm tất cặp số nguyên dương ( m; n ) cho m + 3n số phương Bài 17 Cho số tự nhiên n cho n2 − tích hai số tự nhiên liên tiếp Chứng minh n tổng hai số phương liên tiếp Bài 18 Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn điều kiện ( )( )( 1 1 + + = a b c abc ) Chứng minh + a + b + c số phương 109 Bài 19 Tìm cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn x + 3y y + 3x số phương Bài 20 Tìm tất số nguyên dương n cho 3n + n số phương Bài 21 Tồn hay khơng số tự nhiên n lẻ cho n11 + 199 số phương Bài 22 Cho số nguyên dương a, b, c thỏa mãn ( ab + 1)( bc + 1)( ca + 1) số phương Chứng minh ba số ab + 1; bc + 1; ca + số phương Bài 23 Tồn hay không số nguyên dương a, b, c cho a + b + c; b + c + a; c + a + b số phương Bài 24 Chứng minh 2p + 2q khơng thể số phương với p q số nguyên không âm Bài 25 Cho số nguyên dương n thỏa mãn 2n + 3n + số phương Chứng minh n chia hết cho 40 Bài 26 Chứng minh abc số nguyên tố b − 4ac khơng thể số phương Bài 27 Cho n số nguyên dương Chứng minh 2n tổng hai số phương n tổng hai số phương Bài 28 Cho a b số tự nhiên Chứng minh ab số chẵn ta ln tìm số nguyên c để a + b + c số phương Bài 29 Cho số nguyên dương n số nguyên tố p thỏa mãn ( p − 1) n (n ) − p Chứng minh 4p − số phương Bài 30 Chứng minh n lập phương n + 3n + lập phương Bài 31 Tìm tất số nguyên tố p cho p2 − p + lập phương số tự nhiên Bài 32 Cho số nguyên x, y dương thỏa mãn A = x + y + 30 số nguyên xy Chứng minh A lũy thừa bậc số Bài 33 Tìm số tự nhiên n để số 3n − lập phương tự nhiên 110 Bài 34 Tìm tất số nguyên tố p cho tồn số nguyên dương n mà số A sau lũy thừa bậc số nguyên dương: A = + n + n + n + + n p−1 Bài 35 Cho số nguyên dương n có k ước nguyên dương d1 ,d , ,d k thỏa mãn điều kiện d1 + d + + d k + k = 2n + Chứng minh n số phương Bài 36 Tìm số ngun tố p số nguyên dương n cho pn tổng lập phương hai số nguyên dương liên tiếp Bài 37 Với số tự nhiên n tùy ý cho trước Chứng minh số m = n ( n + 1) ( n + ) + ! biểu diễn dạng tổng hai số phương Bài 38 Cho x, y số nguyên thỏa mãn 2x + x = 3y + y Chứng minh số sau số phương: x – y; 2x + 2y + 1; 3x + 3y + ab + Bài 39 Cho a, b số hữu tỷ thoả mãn a + b = − Chứng minh a+b 2 ab + số hữu tỉ Bài 40 Giả sử m, n số tự nhiên thỏa mãn 4m + m = 12n + n Chứng minh m − n lập phương số nguyên Bài 41 Tìm tất số nguyên dương n có ước nguyên tố thỏa mãn n + 25 số phương Bài 42 Tìm tam giác vng có độ dài cạnh ngun dương diện tích tam giác vng số phương Bài 43 Chứng minh số 2n tổng hai số phương(lớn 1) phân biệt n + 2n tổng bốn số phương(lớn 1) phân biệt Bài 44 Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn điều kiện a + b chia hết cho a + b2 ab + Chứng minh số phương ab + Bài 45 Cho a, b, c sô thực dương thỏa mãn a + b − abc c Khi a + b − abc số phương 111 Bài 46 Cho số nguyên thỏa mãn A = a + b + c − ab − ac − ab số phương Chứng minh a = b = c Bài 47 Cho a, b, c, d số nguyên dương đôi khác thỏa mãn điều kiện biểu thức A nhận giá trị nguyên với A = a b c d Chứng minh + + + a+ b b+c c+d d+a tích abcd số phương Bài 48 Viết số có chữ số từ 11111 đến 99999 sau xếp số theo mơt thứ tự ta số tự nhiên Chứng minh số tạo thành lũy thừa Bài 49 Tìm số nguyên x cho Bài 50 Tìm số nguyên dương x để x − 17 bình phương phân số x−9 x − 37 bình phương số hữu tỉ x + 43 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Đặt a = n + 391 với a số tự nhiên khác Khi ta ( a − n )( a + n ) = 391 , a − n; a + n ước tự nhiện 391 a + n = 391 a = 196 Mà a − n 0; a + n a − n , nên ta a − n = n = 195 Vậy giá trị cần tìm n = 195 Bài Ta xét trường hợp sau + Xét n = 2001 n = 2011 n = 2012 thỏa mãn thỏa mãn yêu cầu toán + Xét n 2001; n 2011; n 2012 , - Nếu n lẻ ( n − 2010; n − 2011) = ( n − 2011; n − 2012 ) = ( n − 2010; n − 2012 ) = Do để tích số phương n − 2001; n − 2011; n − 2012 ba số phương Nhưng n − 2011; n − 2012 hai số nguyên liên tiếp nên khơng thể cúng số phương Nếu n chẵn ( n − 2010; n − 2012 ) = 2; ( n − 2010; n − 2011) = ( n − 2011; n − 2012 ) = Do để tích la số phương 112 ( Suy c − a ) n − 2010 = 2a * n − 2011 = b , Với a, b,c N ;(a; c) = n − 2012 = 2c c − a = a = , trường hợp loại = ( c − a )( c + a ) = c + a = c = Vậy n = 2010; n = 2011; n = 2012 số cần tìm Bài Gọi số phương chẵn ( 2t ) với t N Ta có 199 − x − 2x + = ( 2t ) 200 − (x + 1)2 + = 4t 2 4t + 200 4t 16 t t Vì t N nên ta có trường hợp sau + Với t = phương trình (1) vô nghiệm + Với t = , giải phương trình (1) hai nghiệm x1 = 13; x = −15 + Với t = , giải phương trình (1) hai nghiệm x1 = 1; x = −3 Vậy số nguyên cần tìm x = −15; x = −3; x = 1; x = 13 n ( 2n − 1) Bài Đặt 26 = q n ( 2n − 1) = 26q với q số tự nhiên n = 2k ( k N ) Do vế phải số chẵn 2n − số lẻ nên n phải số chẵn Đặt k ( 4k − 1) = 13q ( k; 4k − 1) = nên ta đươc Từ ta Nhận thấy k = u k = 13u 2 4k − = 13v 4k − = v k = u 2 4k − = 13v + Xét trường hợp , ta 4k = 13v + = 12v + v + 2 Từ suy v + hay v chia dư 3, điều vơ lí Do trương hợp khơng xẩy k = 13u 4k − = v + Xét trường hợp , ta 4k = v + , tương tự thị trường hợp khơng xẩy Vậy khơng tìm n thỏa mãm u cầu tốn Bài Đặt 26n + 17 = k (k Z) n = Khi ta có trường hợp sau 227 − 17 +Với k = 227 , ta có n = 26 k − 17 2012 k 228 k số lẻ 26 (loại) 113 2252 − 17 (loại) 26 2232 − 17 + Với k = 223 , ta có n = = 1912 26 + Với k = 225 , ta có n = Vậy với số tự nhiên lớn n = 1912 M = 26n + 17 số phương + p + p2 + p3 + p4 số hữu tỷ + p + p2 + p3 + p4 = n , n Bài Ta có + 4p + 4p2 + 4p3 + 4p4 = 4n (1) p2 + 4p3 + 4p4 4n + 4p + 4p2 + 4p3 + 4p4 + 5p ( 2p2 + p ) ( 2n ) ( 2p 2 +p+2 ) 2p2 + p 2n 2p + p + Do ta 2n = 2p2 + p + Thế vào (1) ta ( ) + 4p + 4p2 + 4p3 + 4p4 = 2p2 + p + p2 − 2p − = Giải phương trình ta p = −1 (loại) p = Vậy với p = + p + p2 + p3 + p4 = 11 số hữu tỉ Bài Giả sử số nguyên tố thứ n pn Giả sử tồn số tự nhiên m để ( S m −1 = k ; S m = l k; l N * ) Vì S1 = 2, S = + = 5, S = + + = 10, S = + + + = 17 , khơng phải số phương nên m Ta có pm = S m − S m −1 = ( l − k )( l + k ) l − k = Vì pm số nguyên tố nên l + k = p m p +1 Suy pm = 2l − = S m − S m = m Vì m nên S m ( + + + + + pm ) + − − (* ) 2 2 p + pm − pm + pm + = − + − + − + + m − = −8 Điều mâu thuẫn với (*) Vậy không tồn số thự nhiên thỏa mãn yêu cầu 2 2 2 toán Bài Nếu 2p + lập phương số tự nhiên số phải số lẻ Giả sử ( 2p + = ( 2m + 1) 2p + = 8m + 12m + 6m + p = m 4m + 6m + 3 ) Rõ ràng để p số nguyên tố m = hay p = 13 Thử lại 2.13 + = 27 = 33 Vậy có số nguyên tố thoả điều kiện đề p = 13 Bài Ta có x + x + số hữu tỉ x + x + số phương x nguyên Đặt x + x + = k ,(k ) Suy 4x + 4x + 12 = 4k ( 2k + 2x + 1)( k − x − 1) = 11 Vì số 11 số nguyên tố nên ta có trường hợp sau 114 2k + 2x + = 11 x = + Trường hợp 1: 2k − 2x − = k = 2k + 2x + = x = −3 + Trường hợp 2: 2k − 2x − = 11 k = 2k + 2x + = −11 x = −3 + Trường hợp 3: 2k − 2x − = − k = −3 2k + 2x + = −1 x = + Trường hợp 4: 2k − 2x − = −11 k = −3 Vậy giá trị cần tìm x = 2; x = −3 ( ) Bài 10 Đặt x + 2y = k ( k N ) suy x + y = k + x Do k + x số chẵn nên k x tính chẳn, lẻ hay k x tính chẳn, lẻ Suy x + k; x − k chẳn, lẻ Đặt k + x = 2p; k − x = 2q ( p; q N ) tự nhiên) Từ ta k = p + q; x = p − q ( ) ( ) Do ta x + y = ( p + q ) + ( p − q ) = p2 + q x + y = p2 + q 2 Vậy x + y tổng hai số phương Bài 11 Đặt n + = x ; n + 30 = y ( x; y , x; y ) , y − x = 25 ( y − x )( y + x ) = 1.25 y − x = y = 13 Lại có y − x y + x nên y + x = 25 x = 12 Thay vào ta tính n = 139 thoả mãn yêu cầu toán Bài 12 Giả sử a b số tự nhiên cho n + 2015 = a ; n + 2199 = b Suy ( b − a )( b + a ) = 184 hay ( b − a )( b + a ) = 3.23 Vì b − a b + a số có tính chẵn lẻ b − a b + a nên xảy hai trường hợp b − a = b − a = I ) ( ( II ) b + a = 92 b + a = 46 a = 45 + Trường hợp thứ ( I ) n = 10 Thỏa mãn b = 47 a = 21 n = −1574 Không thỏa mãn + Trường hợp thứ hai ( II ) b = 25 Vậy n = 10 số cần tìm Bài 13 Tìm số nguyên k để k − 8k + 23k − 26k + 10 số phương 115 Đặt M = k − 8k + 23k − 26k + 10 Ta có ( = (k ) ( ) M = k − 2k + − 8k k − 2k + + 9k − 18k + ) 2 2 − − 8k ( k − 1) + ( k − 1) = ( k − 1) ( k − ) + 1 M số phương ( k − 1) = ( k − ) + số phương 2 + Trường hợp 1: ( k − 1) = k = + Trường hợp 2: ( k − ) + số phương, đặt ( k − ) + = m ( m 2 ) m − ( k − ) = ( m − k + )( m + k − ) = Vì m, k m − k + , m + k − m − k + = m − k + = −1 nên m + k − = m + k − = −1 Giải ta k = Vậy k = k = k − 8k + 23k − 26k + 10 số phương Bài 14 Đặt x + x + = y ( y Z ) Phương trình viết lại thành x + x + − y = Xem phương trình phương trình bậc hai ẩn x, ta có = 4y − Để phương trình có nghiệm ngun phải số phương Nên 4y − = k ( k N ) ( 2y − k )( 2y + k ) = , mà 2y + k 2y − k nên ta có trường hợp sau 2y + k = y = + Với 2y − k = k = 2y + k = −1 y = −1 + Với 2y − k = −3 k = Thay y = 1; y = −1 vào phương trình ta x = 0; x = −1 Bài 15 Xét n = ta A = n = ta A = 73 khơng phải số phương Xét n ta có A = n + n − n + số phương nên 4A = n + 4n − 4n + ( ) số phương Ta có 4A = 2n + n − + − ( n − 1) 2 2n + n − + Nếu n = − ( n − 1) = nên A = = 28 số phương ( + Nếu n ta có − ( n − 1) nên 4A 2n + n − ( Mà 4A − 2n + n − ) = 4n – n + 4n nên ( 2n 116 ) ( + n − 4A 2n + n − Do với n A khơng thể số phương Vậy với n = A số phương ) ) Bài 16 Giả sử m + 3n = a với a Z Dễ dàng nhận a số lẻ nên a chia dư dư Ta lại có m + 3n m ( −1) m ( mod ) nên a ( −1) ( mod ) m Từ suy m phải số chẵn Do ta suy m Ta có m + 3n 3n ( −1) ( mod ) mà a chia dư dư nên suy n n số chẵn ( )( Đặt n = 2k, k N* Khi ta m + 3n = a m = a − 32k m = a − 3k a + 3k ) Từ ta suy a − 3k = s ; a + 3k = r với r s 1,r + s = m ( ) Suy 2.3k = 2r − s = s r −s − , ta s = nên 2r −1 − = 3k Ta có r + = m nên r số lẻ, suy r − số chẵn r −1 r −1 Do r −1 − = 3k 2 − 2 + = 3k r −1 r −1 Ta có 2 + − 2 − = nên hai thừa số không chia hết cho Từ ta suy r −1 − = r = Đến ta k = Vậy cặp số nguyên dương ( m; n ) = ( 4; ) thỏa mãn yêu cầu toán Bài 17 Giả sử n2 − = a ( a + 1) với a số tự nhiên Từ ta n = 3a + 3a + 4n − = 12a + 12a + ( 2n − 1)( 2n + 1) = ( 2a + 1) Do 2n − 2n + hai số tự nhiên lẻ liên tiếp nên ta có hai trường hợp sau 2n − = 3p2 • Trường hợp 1: 2n + = q Từ ta q = 3p2 + hay q chia dư 2, điều vơ lí số phương chia dư dư Do trường hợp khơng xẩy 2n − = p2 • Trường hợp 2: 2n + = 3q Từ ta p số lẻ, nên ta đặt p = 2k + , với k số tự nhiên Khi 2n − = ( 2k + 1) 2n = 4k + 4k + n = 2k + 2k + n = k + ( k + 1) 2 117 Vậy ta có n tổng hai số phương liên tiếp Bài 18 Từ giả thiết 1 1 ta ab + bc + ca = + + = a b c abc Ta có a + = a + ab + bc + ca = ( a + b )( a + c ) Hoàn toàn tương tự ta b + = ( b + c )( a + b ) ; c + = ( c + a )( b + c ) ( )( )( ) Do ta + a + b + c = ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ( )( )( 2 ) Do + a + b + c số phương Bài 19 Ta xét trường hợp sau: • Nếu x = y , ta cần tìm x cho x + 3x = k với k số nguyên dương Ta có x + 3x = k 4x + 12x + = 4k + ( 2x + ) − ( 2k ) = 2 Hay ta ( 2x − 2k + )( 2x + 2k + ) = Chú ý 2x + 2k + 2x − 2k + nên từ phương trình ta 2x + 2k + = x = 2x − 2k + = k = Từ ta ( x; y ) = ( 1;1) thảo mãn u cầu tốn • Nếu x y , khơng tính tổng qt ta giả sử x y Đặt y + 3x = a , với a số nguyên dương Khi ta có y y + 3x = a y + 3y ( y + ) Do ta a = ( y + 1) hay y + 3x = ( y + 1) 3x = 2y + y = 2 3x − Lại x + 3y số phương nên ta đặt x + 3y = b với b số nguyên dương Từ ta x + 3x − = b 2x + 9x − = 2b ( 4x − 4b + )( 4x + 4b + ) = 105 Chú ý 4x + 4b + 4x − 4b + nên giải phương trình ta x = x = 11 + Với x = ta suy y = , trường hợp loại x y + Với x = 11 ta suy y = 16 , trường hợp ta ( x; y ) = ( 11;16 ) thỏa mãn Vậy cặp số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán ( x; y ) = (1;1) , (11;16 ) , (16;11) 118 Do ( x0 ; y ) thỏa mãn yêu cầu toán nên y nghiệm phương trình y − Ax0 y + x 02 + 30 = Do phương trình phương trình bậc hai nên ngồi nghiệm y phương trình y + y1 = Ax cịn có nghiệm y1 Khi theo hệ thức Vi – et ta có y y1 = x + 30 Do y ; x ; A số nguyên y1 số nguyên Như ( x0 ; y ) ( x0 ; y1 ) thỏa mãn phương trình bậc hai theo cánh chọn x0 + y có giá trị nhỏ ta x0 + y x0 + y1 y y1 Do x0 y y1 Ta xét trường hợp sau: • Trường hợp 1: Xét x0 = y , thay vào A ta A = x 02 + c 02 + 30 30 = + Z x x x0 Từ suy 30 x 02 x 02 = x = , A = 32 • Trường hợp 2: Xét y = y1 , từ y y1 = x02 + 30 ta x02 + 30 = y 02 ( y − x )( y + x ) = 30 Dễ thấy y − x0 y + x0 có tính chẵn lẻ, mà 30 = 1.30 = 2.15 = 3.10 = 5.6 nên khơng có x0 y thỏa mãn y x0 + • Trường hợp 3: Với x0 y y1 , ta y1 y + x + Do từ y y1 = x02 + 30 ta 30 + x 02 ( x + 1)( x + ) x Khi x0 = ta y y1 = + 30 = 111 = 1.111 = 3.37 Do y y1 nên ta suy (y ; y1 ) = ( 1;111) , ( 3; 37 ) , loại không thỏa mãn x0 y Khi x0 = ta y y1 = + 30 = 94 = 1.94 = 2.47 Do y y1 nên ta suy (y ; y1 ) = ( 1; 94 ) , ( 2; 47 ) , loại không thỏa mãn x0 y Khi x0 = ta y y1 = + 30 = 79 = 1.79 Do y y1 nên ta suy (y ; y1 ) = ( 1; 79 ) , loại không thỏa mãn x0 y Hoàn toàn tương tự cho trường hợp cịn lại ta khơng tìm ( y ; y1 ) thỏa mãn 127 Như ta A = 32 = lũy thừa bậc số nguyên dương x = y = Bài 33 Đặt 3n − = a với a số tự nhiên Khi ta ( n = a + n = ( a + 1) a − a + ) a + = 3x Do a + a − a + ước 3n Suy , x, y N y a − a + = x + y = n Từ a + = 3x a = 3x + , thay vào phương trình thứ hai hệ ta (3 x ) ( ) + − 3x + + = y 32x − 3x +1 + = y • Nếu x , 32x − 3x +1 chia hết cho 9, 32x − 3x +1 + chia dư nên 3y chia dư Do x nên a = 3x − Do từ a − a + = y ta 3y = a ( a − 1) + 8.7 + = 57 Suy y , 3y chia hết cho Mâu thuẫn với Như trường hợp khơng có n thỏa mãn • Nếu x = , từ a + = 3x ta a = , 3n = a + = + = nên n = • Nếu x = , từ a + = 3x ta a = , 3n = a + = + = nên n = Vậy số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán n = n = Bài 34 Nhận xét: Nếu p, q hai số nguyên tố n số nguyên dương thỏa np − mãn q p = q q ( mod p ) n −1 Chứng minh: Từ giả thiết ta suy n p − q Gọi k số nguyên dương nhỏ thỏa mãn nk − q Khi p chia hết cho k Do p số nguyên tố nên k 1; p • Nếu k = n ( mod q ) Khi n p−1 + Vậy p ( mod q ) nên p = q 128 + n + p ( mod q ) • Nếu k = p Theo định lý Fermat nhỏ n q −1 − q (hiển nhiên q khơng chia hết cho n) Do q − p hay q ( mod p ) Nhận xét chứng minh Trở lại toán: Đặt A = a với a Ở ta xét với n ta có * np − = a − = ( a − 1) a + a + a + a + n −1 ( ) Nếu q ước nguyên tố a − theo bổ đề ta suy q = p q ( mod p ) Vậy tất ước nguyên dương A chia hết cho p chia p dư + Nếu a − p nên a ( mod p ) Khi a + a + a + a + ( mod p ) Vậy p 5; 2 + Nếu a − ( mod p ) a ( mod p ) Khi a + a + a + a + 31 ( mod p ) Vậy p 2; 3; 5; 31 Với p = hiển nhiên có vơ số giá trị n thỏa mãn Với p = n = thỏa mãn Với p = 31 n = thỏa mãn Với p = n = thỏa mãn Vậy p 2; 3; 5; 31 Bài 35 Trước hết, ta có nhận xét: Nếu số n = s t với t lẻ, có số ước lẻ số lẻ t số phương a a a a Thật vậy, ta phân tích t = p11 p22 p33 pkk số ước lẻ n số ước t ( a1 + 1)( a + ) ( a k + 1) Do số lượng lẻ nên tất đại lượng a i + 1,i = 1; 2; 3; ; k lẻ hay a i chẵn, suy t số phương, điều phải chứng minh Trở lại toán: Ta xét hai trường hợp: • Trường hợp 1: Nếu k số chẵn ta p1 + p2 + + d k = 2n + − k lẻ Do đó, số lượng ước lẻ n lẻ Ta viết n = s.u với u số lẻ Giả sử số ước u m lẻ Ta cần chứng minh s lẻ 129 Do k chẵn số lượng ước lẻ n lẻ nên số lượng ước chẵn n lẻ Các ước chẵn s 2; 21 ; 2 ; ; s có tất s ước Mỗi ước kèm với m ước u tạo thành thêm ước chẵn n ms Do ms lẻ, mà số lượng ước chẵn lẻ nên buộc s lẻ Từ suy n số phương • Trường hợp 2: Nếu k lẻ lập luận tương tự ta số lượng ước lẻ chẵn số lượng ước chẵn lẻ Đến dễ thấy điều vơ lí nên trường hợp khơng thể xảy Vậy ta ln có n số phương Bài 36 Ta xét trường hợp sau: + Với p = , dễ thấy n = m + ( m + 1) với m số nguyên dương Dễ thấy n số chẵn m + ( m + 1) số lẻ nên n = m + ( m + 1) vô nghiệm 3 + Với p = , với n = ta có p2 = 32 = 13 + ( + 1) + Với p , giả sử tồn số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện pn = m + ( m + 1) với m số nguyên dương ( Ta có pn = m + ( m + 1) = ( 2m + 1) m + m + ) Do m số nguyên dương nên 2m + 1; m + m + 2m + = pr Từ ta , với r; s N* s m + m + = p ( ) Dễ thấy m + m + 2m + nên ps pr , suy 2m + 1, m + m + = pr 2m + d m ( 2m + 1) d Mặt khác gọi d = 2m + 1, m + m + ta có m + m + d 2 m + m + d ( ) ( ( ) Do suy m + m + − m ( 2m + 1) d m + d Nên ta ( m + 1) − ( 2m + 1) d d , suy d = d = ( ) Điều mâu thuẫn với 2m + 1, m + m + = pr 130 ) Do với p pn khơng thể tổng lập phương hai số nguyên dương liên tiếp Bài 37 Dễ thấy 128 = 3.2 2.2.2 , mà số nguyên liên tiếp tồn số chia hết cho 8, số chia hết cho 6, số chia hết cho số chia hết cho Do tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 128 = 3.2 2.2.2 Từ suy n ( n + 1) ( n + ) + ! = 128 k, k Z Giả sử m = a + b , ta a + b = 128k + ! Dễ thấy 128k + ! chia hết m = a + b chia hết cho Suy a, b số chẵn Đặt a = 2c; b = 2d với c, d số tự nhiên Từ ta c + d = 32k + 1260 Ta lại suy suy c, d số chẵn Đặt c = 2p; d = 2q với p, q số tự nhiên Đến ta lại p2 + q = 8k + 315 Vì số phương chia có số dư 1, nên p2 + q chia cho dư hoặc Mà 8k + 315 chia dư Nên p2 + q = 8k + 315 không xảy Vậy biểu diễn số m = n ( n + 1) ( n + ) + ! dạng tổng hai số phương Bài 38 Từ 2x + x = 3y + y 2x – 2y + x – y = y ( x − y )( 2x + 2y + 1) = y Mặt khác từ từ 2x + x = 3y + y ta 3x – 3y + x – y = x ( x – y )( 3x + 3y + 1) = x Do ta ( x – y ) ( 2x + 2y + 1)( 3x + 3y + 1) = x y 2 Suy ( 2x + 2y + 1)( 3x + 3y + 1) số phương Gọi ( 2x + 2y + 1, 3x + 3y + 1) = d , ta 2x + 2y + d ( 3x + 3y + 1) − ( 2x + 2y + 1) = ( x + y ) d 3x + 3y + d Từ ta lại có ( x + y ) d ( 2x + 2y + 1) − ( x + y ) = d nên d = Suy ( 2x + 2y + 1, 3x + 3y + 1) = Do 2x + 2y + 3x + 3y + số phương Lại có ( x − y )( 2x + 2y + 1) = y nên suy x − y số phương 131 Vậy x – y; 2x + 2y + 1; 3x + 3y + số phương Bài 39 p = ab s = a + b Đặt Ta có ( ab + ) = ab + a + b = 4− ( a + b ) − 2ab + a+b (a + b) 2 s 2 (p + 2) − 2p + s2 = s − 2ps + ( p + ) = 4s 2 ( s − 2s ( p + ) + ( p + ) = s − p − 2 ) =0 s − p − = p + = s p + = s ab + = a + b ab + số hữu tỉ Vị a, b số hữu tỉ nên a + b số hữu tỉ Vây ( ) Bài 40 Ta có 4m + m = 12n + n m − n + ( m − n ) = 8n ( ) Hay ta ( m − n ) 4m + 4mn + 4n + = 8n (1) Giả sử p ước nguyên tố chung m − n 4m + 4mn + 4n + Do 4m + 4mn + 4n + số lẻ nên p số lẻ Từ (1) suy 8n p mà p số nguyên tố lẻ nên n p suy m p Mặt khác p ước 4m + 4mn + 4n + nên ta p = , điều vơ lí p số nguyên tố Do m − n 4m + 4mn + 4n + khơng có ước nguyên tố chung ( ) Từ suy m − n, 4m + 4mn + 4n + = Do 8n = ( 2n ) nên suy m − n lập phương số nguyên Bài 41 Giả sử x số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu tốn Khi ta đặt x + 25 = y với y N Theo giả thiết ta biểu diễn x = 2a.5b = y − 24 với a, b N Từ ta ( y − )( y + ) = 2a.5 b ( 1) • Nếu b = từ (1) ta ( y − )( y + ) = 2a y − = u Suy , với u, v N; u v u + v = a v y + = 132 Do ta − = 10 v u u (2 v −u 2 u = 2 u = , trường hợp − = 10 v − u v −u 2 − 2 = ) loại • Nếu b , ta ( y − )( y + ) Mà ta có ( y + ) − ( y − ) nên ta y Đặt y = 5t , với t N Khi ta ( t − 1)( t + 1) = 2a.5 b − ( ) Mà ta lai có ( t − 1) + ( t + 1) = 2t số chẵn nên kết hợp với (2) ta ( t − 1) , ( t + 1) số chẵn Đến ta xét trường hợp sau: t − = + Trường hợp 1: , với m, n N; m + n = a Suy n.5b − − m = n b−2 t + = m - Nếu n m m = n.5b − = , suy n = b = Khi ta a = Từ ta x = 3.52 = 200 nên x + 25 = 225 = 152 thỏa mãn toán - Nếu m n n = 5b − − m −1 = ( ) Vì ( mod ) 2, không chia hết 5b − ( mod ) m −1 ( mod ) , ta b − số lẻ Đặt b = 2k + ( k N ) , suy 5b − = 25k −1.5 ( mod ) Do từ (3) ta suy m −1 ( mod ) nên m = 3; b = 3; a = Khi x = 4.53 = 2000 nên x + 25 = 2025 = 452 thỏa mãn yêu cầu toán t + = + Trường hợp 1: , với m, n N; m + n = a Suy m − n.5b − = n b−2 t − = m - Nếu n m m = n.5b − = , trường hợp loại - Nếu m n n = m −1 − b − = ( ) Lập luận tương tự ta 5b − ( mod ) nên b số chẵn Đặt b = 2k ( k N ) Khi ta 5b − = 25k −1 ( mod ) nên kết hợp với (4) ta m −1 ( mod ) Do ta m = 2; b = 2; a = , x = 3.52 = 200 nên x + 25 = 225 = 152 thỏa mãn yêu cầu tốn 133 Vậy có hai số ngun dương thỏa mãn yêu cầu toán 200 2000 Bài 42 Giả sử tồn tam giác vng có cạnh a, b, c(với a cạnh huyền) thỏa mãn yêu cầu tốn Khi ta có a = b + c diện tích ta giác vng S = bc = k 2 hay 2S = bc = 2k , với k số ngun dương Trong tam giác vng ta xét tam giác vng có cạnh huyền bé a, b, c đôi nguyên tố Ta xẽ chứng minh tồn m n để a = m + n ; b = m − n ; c = 2mn với m, n khác tính chẵn lẻ nguyên tố Thật vậy, ( ) Khi từ 2S = bc = 2k ta m − n mn = k hay ( m − n )( m + n ) mn = k Do m, n khác tính chẵn lẻ nguyên tố nên ta ( m + n, m ) = ( m + n, n ) = ( m − n, m ) = ( m − n, n ) = Gọi d = ( m + n, m − n ) , d số lẻ ước 2m, 2n, suy d = Như bốn số m + n, m − n, m, n nguyên tố theo đơi Mà ta lại có ( m − n )( m + n ) mn = k nên m + n, m − n, m, n số phương Đặt m + n = x ; m − n = y ; m = z ; n = t với x, y, z, t số nguyên dương ( ) ( x + y )2 + ( x − y )2 = x + y = 4m = ( 2z )2 1 Khi ta có ( x + y )( x − y ) = x − z = n = t 2 2z = m m m + n = a ( ) Như tam giác vng có cạnh x + y; x − y; 2z thỏa mãn diện tích số phương, nhiên cạnh huyền 2z a , mâu thuẫn với cách chọn tam giác vng có cạnh huyền nhỏ Vậy diện tích tam giác vng có cạnh số nguyên số phương Bài 43 Giả sử 2n = a + b với a, b số tự nhiên thỏa mãn a b ( Khi ta có 4n = a + b 134 ) ( = a + b + 2a b = a − b ) + 4a b a − b2 Do ta n = + ( ab ) Khi ta 2 a − b2 2 n + 2n = + ( ab ) + a + b Do a b nên suy ( ab ) ; a ; b số phương phân biệt lớn 2 a − b2 Như ta cần chứng minh số phương lớn khác với ba số phương Thật vậy, 2n = a + b số chẵn nên a b tính chẵn lẻ Lại có a b nên suy a − b2 số nguyên dương 2 a − b2 a − b2 • Nếu = , suy a = b + b + 2b + = ( b + 1) = Do b a ( b + 1) , điều vơ lí a số phương Từ suy 2 a − b2 a − b2 a − b2 • Nếu = a , suy b = a − 2a = a 2 Do a b nên a , suy a − 4a + a − 2a Từ ta ( a − ) b ( a − 1) , điều vơ lí b số phương 2 a − b2 Từ suy a a − b2 a − b2 • Nếu = b , suy a = b + 2b ( b + 1) = b Từ ta b a ( b + 1) , điều vơ lí b số phương 2 a − b2 Từ suy b a − b2 2 a − b2 • Nếu = ab , suy a + b − 2ab = 2b ( a − b ) = 2b = ab ( ) 135 Do ta a − b = b , điều vơ lí a − b số nguyên dương b số vô tỷ a − b2 Từ suy ( ab ) Từ kết ta suy n + 2n tổng bốn số phương(lớn 1) phân biệt Bài 44 Do a + b chia hết cho ab + Khi tồn số nguyên dương k để a + b2 = k ta cần chứng minh k số phương ab + Cố định k, ta quy toán tìm nghiệm ( a; b ) phương trình a + b2 = k ( 1) ab + Giả sử cặp số nguyên dương ( a ; b0 ) thỏa mãn (1) a + b0 nhỏ Khơng tính tổng qt ta giả sử a b0 Xét phương trình x + b02 = k x − kb0 x + b02 − k = có ẩn x xb0 + Khi a nghiệm phương trình Do theo định lý Vi – et phương trình cịn có nghiệm Gọi nghiệm a1 ta a + a1 = kb0 a a1 = b0 − k Từ ta a1 số nguyên Nếu a1 số nguyên âm ta a12 − kb0a1 + b02 − k a 12 − k + b02 − k , điều vơ lý Do a1 , ( a1 ; b0 ) cặp số thỏa mãn (1) Khi a1 ta có a + b0 a1 + b0 nên a a1 , suy a 02 a 0a1 = b02 − k b02 nên ta a b0 , điều mâu thuẫn với a b0 Từ ta suy a1 = , ta k = b02 số phương Tóm lại a = ta k = b b = ta k = a số phương Vậy toán chứng minh 136 Bài 45 Giả sử tồn số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a + b − abc c mà k = a + b − abc khơng phải số phương Khi ta có k c Khơng tính tổng quát ta giả sử a b Xét phương trình bậc hai ẩn x x − bcx + b − k = Khi a nghiệm phương, theo định lí Vi – et phương trình cịn có nghiệm x = a1 a + a1 = bc Từ ta a.a1 = b − k Từ ta suy a1 số nguyên + Nếu a1 = , từ hệ thức a.a1 = b − k ta k = b số phương, điều mâu thuẫn với giả sử + Nếu a1 , k = a12 + b − a1 bc a12 + b + bc c , mâu thuẫn k c Như ta a1 số nguyên dương Cũng theo định lí Vi – ét ta có a1 = b2 − k b2 − k a nên ta a1 a a a Ta thấy cặp số ( a1 ; b ) nghiệm Khi ta có a1 + b a + b , điều vơ lí ta chọn cặp số ( a; b ) với a + b bé Từ ta thấy khơng thể tồn k để k = a + b − abc khơng phải số phương Như a + b − abc phải số phương Bài 46 Từ A = 2 a + b + c − ab − ac − ab ta 4A = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) Do vai trò a, b, c nên khơng tính tổng qt ta giả sử a b c Đặt x = a − b 0; y = b − c , suy a − c = ( a − b ) + ( b − c ) = x + y Từ ta 4A = x + y + ( x + y ) 2A = x + y + xy Nếu x y tính lẻ khác tính chẵn lẻ x + y + xy số lẻ, 2A số chẵn Do x y phải số chẵn Ta xét trường hợp sau: • Trường hợp 1: Nếu A = , ta suy x = y = , a = b = c 137 • Trường hợp 2: Nếu A = k , hai số x y lớn Đặt x = 2x1 ; y = 2y1 Khi x + y + xy chia hết cho Khi A = k số chẵn nên k số chẵn, đặt k = 2k1 Do từ 2A = x + y + xy ta 3.k12 = 4x12 + 4y12 + 4x1 y1 hay 2.k12 = x12 + y12 + x1 y1 Lập luận tương tự lúc A = k = n ta 2n +1.k 2n = n x 2n + n y 2n + n x n y n , k n số nguyên dương đẳng thức xẩy Khi ta n = n.k n2 , điều vơ lí a + b + c − ab − ac − ab Vậy số A = số phương a = b = c Bài 47 Ta có nhận xét x, y, z số dương x y x x+z y y+z Áp dụng bất đẳng thức cho số dươg a, b, c, d ta a a a+c+d a+ b+c+d a+ b a+ b+c+d b b b+d+a a+ b+c+d b+c a+ b+c+d c c c+a+ b a+ b+c+d c+d a+ b+c+d d d d+b+c a+ b+c+d d+a a+ b+c+d Từ ta a b c d + + + 3 a+ b b+c c+d d+a Do A nhận giá trị nguyên nên ta A = hay a b c d + + + =2 a+ b b+c c+d d+a a b c d − 1 + + − 1 + =0 Từ dẫn đến a+ b b+c c+d d+a b d − Hay ( a − c ) =0 ( b + c )( a + b ) ( a + d )( c + d ) Do a d nên ta suy b = d ( b + c )( a + b ) ( a + d )( c + d ) Biến đổi thu gọn ta bd − db + abc − acd = hay ( b − d )( ac − bd ) = ac = bd 138 Do abcd = ( ac ) số phương Bài 48 Gọi A số tạo thành Số A tao từ việc xếp số có chữ số từ 11111 đến 99999 nên A có tất 99999 − 11111 + = 88889 số có chữ số Tách số tự nhiên A thành tổng số hạng có dạng abcde.10 5n với n = 0;1; 2; 3; ; 88888 Đặt s = abcde , abcde.10 5n = s ( 9.11111 + 1) = s ( 9m + 1) = s ( km + 1) = skm + s n n Chú ý m = 11111 k N* Khi abcde.10 5n s có số dư chia cho m = 11111 Như số A chia cho M có số dư với B tổng số có chữ số từ 11111 đến 99999 Ta có B = 11111 + 11112 + + 99999 = (11111 + 99999 ) 88889 Do 2B = 11111.888890 , 2B chia hết cho m nên B chia hết cho m Từ ta A chia hết cho m hay m = 11111 ước A Mà lũy thừa khơng có ước số lẻ, A khơng thể lũy thừa 2 x − 17 a = Bài 49 Giải sử với a , b x − b * Khi ta xét trường hợp sau: • Trường hợp 1: Nếu a = , ta x = 17 • Trường hợp 2: Nếu a , khơng tính tổng qt ta giả ( a, b ) = ( ) Do a , b = nên ta có x − 17 = a k x − = b k với k nguyên ( ) Từ ta ( x − ) − ( x − 17 ) = b − a k = ( b + a )( b − a ) k Ta thấy a + b b − a ước Chú ý ( b + a ) – ( b – a ) = 2a nên a + b b − a tính chẵn lẻ Ta lại có b + a b – a a + b Từ ta có trường hợp sau b+a b−a k b a x = b2 k + 18 −2 −1 −2 −2 0(loại) 139 −1 −4 − 1(loại) Như vây ta có kết + Với x = 17 17 − 17 = = 02 17 − 18 − 17 = = + Với x = 18 18 − 9 + Với x = − 17 = = 32 8−9 x − 37 a = Bài 50 Giả sử với a, b số nguyên dương ( a, b ) = x + 43 b Từ ta x − 37 = ka x + 43 = kb với k số nguyên dương Do ta kb − ka = 80 k ( b − a )( b + a ) = 80 Chú ý 80 = 1.2 4.5 Do ( a, b ) = nên ta xét trường hợp sau: • Trường hợp 1: Trong hai số a b có số chẵn số lẻ Khi b − a b + a số lẻ Từ ta a + b = 5; b − a = k = 16 Do ta có a = 2; b = nên x − 37 = 16.2 x = 101 • Trường hợp 2: Hai số a b số lẻ Khi ta đặt a = 2m − 1; b = 2n − với m, n số nguyên dương Khi từ k ( b − a )( b + a ) = 80 ta k ( n − m )( m + n − 1) = 1.2 2.5 Chú ý m + n − n − m , lại thấy m + n − n − m khác tính chẵn lẻ Do ta ( n − m; m + n − 1) = ( 1; ) , (1; ) , (1; 20 ) , ( 5; 20 ) , ( 2; ) , ( 4; ) Giải trường hợp ta tìm ( m; n ) = (1; ) , ( 2; ) , (10;11) , ( 8;13 ) , ( 2; ) , (1; ) Từ ta suy ( a; b ) = ( 1; ) , ( 3; ) , (19; 21) , (15; 25 ) , ( 3; ) , (1; ) Đến ta tìm giá trị x x 38; 47; 55; 82;199; 398 Vậy số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán x 38; 47; 55; 82;101;199; 398 Bài Cho số nguyên a, b,c thỏa a b + b c + c 2a = 3abc (1) 140 a) Hãy ba số nguyên a, b,c đôi khác thỏa mãn (1) b) Chứng minh abc lập phương số nguyên Lời giải a) Ta chọn ( a; b; c ) = ( 4; −2;1) thỏa mãn đẳng thức (1) b) Từ phương trình ta suy ( a, b,c ) = Giả sử p ước nguyên tố abc nên ba số a, b,c có số chia hết cho p, Khơng tính tổng quát ta giả sử số a Suy ta a = pm a1 với a1 N* ; ( a1 , p ) = Khi đẳng thức trở trở thành p2m a12 b + b c + c pm = 3pm a 1bc (*) Do b c p Ta giả sử b p b = pk b1 ; ( b1 , p ) = , thay vào (*) ta p2m + ka12 b1 + p2k b12 c + c pm = 3pm + ka 1b1c + Nếu 2k m , ta suy c p vơ lí + Nếu 2k m , ta suy b12 c p c p vơ lí Do m = 2k abc = p3ka b1c với ( a1 , p ) = ( b1 , p ) = ( c, p ) = Giả sử abc có ước nguyên tố phân biệt p1 , p2 , , pk Khi đó, theo chứng minh ta có ( abc = p131 p23 pk3 k = p1 p2 pk k ) 141