Skkn toán phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậc hai thường gặp sau khi rút gọn

SKKN NGUYỄN ANH VĂN 0833703100 PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI THƯỜNG GẶP SAU KHI RÚT GỌN A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Trong trình phát triển, xã hội đề yêu cầu cho nghiệp đào tạo người Chính mà dạy tốn khơng ngừng bổ sung đổi để đáp ứng với đời đòi hỏi xã hội Vậy người giáo viên nói chung phải ln ln tìm tịi, sáng tạo, đổi phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi Đảng Nhà nước đặt Trong chương trình mơn tốn lớp THCS kiến thức : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai phần học quan trọng chương trình lớp THCS, phần mà đề thi học sinh giỏi tuyển sinh thường Đó tiền đề để học sinh tiếp tục học lên THPT Cơ sở thực tiễn SKKN NGUYỄN ANH VĂN 0833703100 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai loại toán mà học sinh THCS coi loại tốn khó, nhiều học sinh khơng biết tìm gtnn-gtln nào? Phương pháp giải sao? Học sinh không phân dạng nên giải theo cách chung chung dẫn đến lệch hướng không giải Các bái tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai đa dạng khó, có nhiều đề thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, tài liệu hành viết vấn đề mức độ chung chung chưa phân dạng phương pháp giải cụ thể gây nhiều khó khăn việc học tập học sinh, cơng tác tự bồi dưỡng giáo viên Vì việc nghiên cứu để Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai thường gặp sau rút gọn thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung kiến thức xác định phương pháp giảng dạy đạt hiệu cao, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt chất lượng học sinh giỏi – Thi lên lớp 10 THPT thi giáo viên giỏi cấp Khảo sát chất lượng ban đầu Trường THCS(Của chúng tôi) Loại Giỏi Số lượng HS(%) 0% Trường THCS Hùng Thành Khá 6% Trung bình 24% Yếu 70% Loại Giỏi Số lượng HS(%) 0% Trường THCS Mã Phúc Thành Khá 10% Trung bình 30% Yếu 60% Loại Giỏi Số lượng HS(%) 0% II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Khá 8% Trung bình 28% Yếu 64% Nghiên cứu “Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai thường gặp sau rút gọn” Giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp tri thức đó, mở rộng, đào SKKN NGUYỄN ANH VĂN 0833703100 sâu hồn thiện hiểu biết Từ có phương pháp giảng dạy phần đạt hiệu Nghiên cứu vấn đề để nắm thuận lợi, khó khăn dạy học phần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai bồi dưỡng học sinh giỏi, từ định hướng nâng cao chất lượng dạy học môn tốn Nghiên cứu vấn đề giúp giáo viên có tài liệu tham khảo dạy thành cơng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu tình hình dạy học vấn đề nhà trường Phân dạng tốn liên quan đến phương trình bậc hai ẩn Tìm hiểu mức độ kết đạt triển khai đề tài Phân tích rút học kinh nghiệm IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: a Các tài liệu có liên quan b Học sinh khối Trường THCS chúng tôi, Trường THCS Hùng Thành, Trường THCS Phúc Thành Phạm vi nghiên cứu: Các toán liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa thức bậc hai chương trình Tốn THCS V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1.Nêu giải vấn đề 2.Phương pháp vấn đáp Phương pháp nghiên cứu tài liệu Phương pháp điều tra, khảo sát Phương pháp thử nghiệm Phương pháp đánh giá tổng kết kinh ngiệm VI GIẢ THUYẾT KHOA HỌC SKKN NGUYỄN ANH VĂN 0833703100 Nâng cao chất lượng dạy học củng sau nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu cao hơn, học sinh ham thích học dạng tốn B NỘI DUNG: I THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Về phía giáo viên: - Giáo viên chưa phân loại dạng toán kiến thức áp dụng Gặp giải - Giáo viên chưa thực tâm đến việc tìm tịi giải pháp phù hợp với đối tượng học sinh áp dụng triệt để học Về phía học sinh: - Mỗi gặp dạng toán học sinh thường bị lúng túng việc tìm lời giải dẫn đến tư tưởng e ngại - Chưa mạnh dạn hoạt động học tập, chưa phát huy tính động, tích cực, sáng tạo việc tiếp thu lĩnh hội kiến thức - Chưa tự giác việc tự học tự rèn luyện, cịn mang tính ỷ lại trơng chờ vào người khác II PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC THƯỜNG GẶP SAU KHI RÚT GỌN Đường lối chung tìm giá trị nhỏ (GTNN), giá trị lớn (GTLN) biểu thức a/ Cho biểu thức f( x ,y, ) a1/ Ta nói M giá trị lớn ( GTLN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M hai điều kiện sau thoả mãn: - Với x,y để f(x,y ) xác định : f(x,y )  M ( M số) (1) - Tồn xo,yo cho: SKKN NGUYỄN ANH VĂN 0833703100 f( xo,yo ) = M (2) a2/ Ta nói m giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu f = m hai điều kiện sau thoả mãn : - Với x,y để f(x,y ) xác định : f(x,y )  m ( m số) (1’) - Tồn xo,yo cho: f( xo,yo ) = m (2’) b/ Chú ý : Nếu có điều kiện (1) hay (1’) chưa nói cực trị biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x - 1)2 + ( x – 3)2 Mặc dù ta có A  chưa thể kết luận minA = khơng tồn giá trị x để A = ta phải giải sau: A = x – x + + x – x + = 2( x – x + 5) = 2( x – 2)2 +  A =  x -2 =  x = Vậy minA = khi x = Cách giải: Dạng Trường hợp biểu thức P sau rút gọn biến đổi thành biểu thức có dạng P ax  b x  c Bước Biến đổi biểu thức P dạng: P = k f ( x)  m ( f (x) > biểu thức chứa biến x k, m số) Bước Lập luận để có giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P Bước Tìm điều kiện để xảy dấu “=” Bước Kết luận *Trường hợp a, b khác dấu Ví dụ Hãy tìm giá trị nhỏ cuả biểu thức B = A(x-1) với A  x   x 1 (Trích câu c đề thi tuyển sinh vào lơp 10 tỉnh Nghệ An năm học 2010 – 2011) Hướng dẫn giải ĐK x > SKKN NGUYỄN ANH VĂN 0833703100 B= x  ( x  1) x   x 1 x ( đk x > 0) B x  1  x  x    2  B  - x : x > Đẳng thưc xẩy x = ( thoả mãn) Vậy giá trị nhỏ B Ví dụ 2: Tìm GTLN C = x = x -x+1 Hướng dẫn giải C= x - x + ( đk x > 0) Ta có C  x+ Do  ( x  x  1=  ( x  )  ) 0 nên C  ( x  5 )  <  x > Dấu “=” xẩy x = 4 Vậy GTLN C x = 4 Ví dụ 3: Tìm GTNN biểu thức P = x  x  Hướng dẫn giải ĐKXĐ: x > 3  P x  x   x    2  3  Do  x   > x > 2  3  P  x    >  x > Dấu “=” xẩy x = , thoả mãn 4 2  Vậy giá trị nhỏ P  x = 4 *Trường hợp a, b dấu ( a = ) Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức P = x  x  SKKN NGUYỄN ANH VĂN 0833703100 Hướng dẫn giải ĐK x > Ta có x + x >0x>0 => P = x  x  >  x > Dấu “=” xẩy x = (tmđk) Vậy GTNN P x = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức P = - a  a Hướng dẫn giải ĐKXĐ a > Với a > ta có P =  a  a 3  (2 a  a) mà  (2 a  a) <  a > => P = - a  a < Dấu “=” xẩy a = (tmđk) Vậy GTLN P a = Ví dụ 3: Tìm GTNN biểu thức P = x - Hướng dẫn giải ĐK x > Ta có: x >  x > => P = x - > -5  x > Dấu “=” xẩy x = (thoả mãn ) Vậy GTNN biểu thức P – x = Lưu ý: Từ ví dụ ta có nhận xét sau: Để tìm cực trị biểu thức sau thu gọn đưa dạng P ax  b x  c P Cã GTNN nÕu a > 0; cã GTLN nÕu a < Khi hướng dẫn học sinh làm cần ý vào hai trường hợp SKKN NGUYỄN ANH VĂN 0833703100 Trường hợp 1: Nếu a, b khác dấu tìm cực trị HS cần nắm vững đẳng thức bình phương tổng, bình phương hiệu kỹ biến  m  k f ( x) đổi tách, thêm bớt để biến đổi biểu thức P dạng P =   m  k f ( x) Trường hợp 2: Nếu a, b dấu( a = 0) biểu thức P có GTNN GTLN c tránh trường hợp sai lầm học sinh làm ví dụ sau: Tìm GTNN A = x  x + 1 3  Lời giải : Ta có A = x  x + 1=  x     2 4  Vậy GTNN A = ( sai lầm chỗ ta không ĐK xẩy dấu “=”) Dạng Trường hợp biểu thức P sau rút gọn biến đổi thành biểu thức có dạng P  k ( a, b, k số, a > 0, b > 0, x 0 ) a x b Cách giải Bước Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ mẫu thức: f ( x) a x  b Bước 2.Căn vào dấu số k để suy giá trị lớn nhỏ P +) Nếu k  P đạt giá trị lớn  f (x) đạt giá trị nhỏ ngược lại ( f ( x) > 0) +) Nếu k  P đạt giá trị nhỏ  f (x) đạt giá trị nhỏ ngược lại ( f ( x) > 0) Bước Tìm điều kiện để xảy dấu “=” Bước Kết luận Ví dụ Tìm x để biểu thức M  đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn x 3 ( Trích câu c 1kì thi tốt nghiệp THCS tỉnh Nghệ An năm học 2002 – 2003) Hướng dẫn giải ĐKXĐ x > SKKN NGUYỄN ANH VĂN 0833703100 đạt giá trị lớn x 3 Để biểu thức M đạt giá trị lớn Do > nên ta có đạt giá trị lớn x 3 x >  x > => => GTNN x + đạt GTNN x +3>3x>0 x + dấu “=” xẩy x = (tmđk) Vậy giá trị lớn biểu thức M = 2  x = 03 Ví dụ 2:Tìm giá trị nhỏ P  3 x 3 Hướng dẫn giải ĐKXĐ : x  3 đạt giá trị nhỏ x 3 Để biểu thức P đạt giá trị nhỏ Do -3 > nên ta có 3 đạt giá trị nhỏ x 3 x >  x > 0; x  => => GTNN x + đạt GTNN x + >  x > 0; x  x + dấu “=” xẩy x = (tmđk) Vậy giá trị lớn biểu thức P = 3 3   x = 03 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn P = 2x   Hướng dẫn giải Để P đạt GTLN Do > nên ta có đạt GTLN 2x   đạt GTLN 2x   x  >  x  ; x  13 => => GTNN x   đạt GTNN x  + >  x  ; x  13 2 x  + SKKN NGUYỄN ANH VĂN 0833703100 (TMĐKXĐ) Dấu “=” xẩy x  = => x = Vậy GTLN P = 2  x = 05 Lưu ý: Từ ví dụ để tìm cực trị biểu thức sau thu gọn đưa dạng P k cần lưu ý học sinh ta nên đưa biểu thức P dạng có mẫu dương a x b ta có - Nếu k > biểu thức P đạt GTLN - Nếu k < biểu thức P đạt GTNN Cần lưu ý HS tránh sai lầm sau: Ví dụ: Tìm GTLN biểu thức B = x Lời giải: Do B có tử khơng đổi > nên B đạt GTLN ta có x  có GTNN x  > - Dấu “=” xẩy x = (tmđk) Vậy GTLN B 1 x = Điều sai ví dụ x = 25 ta có B = > 1 Để giúp học sinh tránh mắc sai lầm ta cần nhấn mạnh cho học sinh ý sau + C lớn  C nhỏ (C > 0) +Ta tìm GTLN biểu thức + Để tìm GTNN biểu thức A > với giá trị biến A 1 ta tìm GTLN biẻu thức ( A > 0) A A Dạng Trường hợp biểu thức P sau rút gọn biến đổi thành biểu thức có dạng P  a x b (a,b,c,d số c > 0, d > 0, x 0 ) c x d Bước Biến đổi biểu thức P dạng: 10 SKKN NGUYỄN ANH VĂN 0833703100 Dạng Trường hợp biểu thức P sau rút gọn biến đổi thành biểu thức có dạng P  m x n ( a, b, c, m, n số, x 0 ) ax  b x  c a,Cách giải: Bước Nhân chéo đặt x  y ( y 0) để đưa biểu thức P dạng phương trình bậc có ẩn y ( y  x ) tham số P Bước Tìm P để phương trình ẩn y có nghiệm khơng âm Bước Tìm miền giá trị P Bước Tìm điều kiện x để có dấu “=” xảy Bước Dựa vào miền giá trị P để suy giá trị lớn giá trị nhỏ P, kết luận b, Kiến thức liên quan Các TH có nghiệm khơng âm phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = ( a  0) là: * TH 1: Phương trình có nghiệm không âm : a.c <   0( ' 0)   b * TH 2:Phương trình có nghiệm không âm :  0 a c  a 0 Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN P  x1 x  x 1 Hướng dẫn giải Với x > P x1  P ( x  x  1) 2 x  x  x 1  Px  P x  P  x  0  P.x  2( P  1) x  P  0 (1) Đặt x  y ( y 0 ) phương trình (1) trở thành: 13 SKKN NGUYỄN ANH VĂN 0833703100 P y  2( P  1) y  P  0 (2) Ta có: a P ; b 2( P  1) ; c P  ; b ' P  Và  ' (b ')  ac ( P  1)  P ( P  1) P  P   P  P 1  3P * TH Nếu P 0 (*) y  0  y   1 x   x  (tmđkxđ) * TH Nếu P 0 Khi phương trình (2) mơt phương trình bậc hai Phương trình (1) có nghiệm  Phương trình (2) có nghiệm khơng âm + TH2.1: Ta có PT(2) có nghiệm khơng âm P.( P  1) 0   P  (**) + TH2.2: Phương trình (2) có nghiệm khơng âm khác   ' 0   b   0  a c 0  a  1  3P 0    2( P  1) 0   P   P 1  P 0   3P 1  P  0   P   P 1  P 0 Kết hợp (*);(**);(***) ta có -1 < P < 1 1 P   y2  2  3 3  P    0  P 1   P  (***)  P       P   1 y   0  y  y  0  ( y  2) 0   y  0  y 2  x 2  x 4 (tmđkxđ)  y 0(tm) P = -1 ta có –y2 + 2( -1-1)y + (-1) + = => –y2 - 4y = =>   y  4(ktm) Với y = => x = (tmđkxđ) Vậy giá trị lớn biểu thức P đạt x 4 Giá trị nhỏ P -1 đạt x = 14 SKKN NGUYỄN ANH VĂN 0833703100 Ví dụ 2: Tìm GTNN P   x1 x  x 1 Hướng dẫn giải Với x > ta có P  x1  P.( x  x  1)  x  x  x 1  Px  ( P  1) x  P  0(1) Đặt x  y ( y 0 ) phương trình (1) trở thành: P y  ( P  1) y  P  0 (2) Ta có: a  P ; b P  ; c P  Và  b2  4ac ( P  1)  P( P  1) P  P   P  P  3P  P  * TH Nếu P 0  x  0  x  (Không thoả mãn) * TH Nếu P 0 Khi phương trình (2) mơt phương trình bậc hai Phương trình (1) có nghiệm  Phương trình (2) có nghiệm khơng âm + TH2.1 Ta có PT(2) có nghiệm khơng âm ta có P.(P + 1) < - < P < (*) + TH2.2 Phương trình (2) có nghiệm không âm   0   b   0  a c  a 0   3P  P  0   P  0   P   P 1 0  P  ( P  1).( 3P  1) 0   P 1 0   P   P 1  P 0   P      P   P     P   P  (**) Kết hợp (*);(**);ta có -1 < P <  y 0(tm) P    y     1 y   0   y  y 0   (thayP=-1 vào  y  2(ktm) pt (2)) Với y 0  x 0  x 0 (tmđkxđ) Vậy giá trị nhỏ P -1 đạt x = 15 SKKN NGUYỄN ANH VĂN 0833703100 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn P = x  x 1 Hướng dẫn giải ĐK x > Ta có P = Đặt  P.x  P x  P  0 (1) x  x 1 x  y ( y 0 ) phương trình (1) trở thành: Py  Py  P  0 (2) *TH Nếu P 0 -3 = (không thoả mãn) *TH Nếu P 0 Khi phương trình (2) mơt phương trình bậc hai Phương trình (1) có nghiệm  Phương trình (2) có nghiệm khơng âm + TH 2.1 Ta có PT(2) có nghiệm khơng âm ta có P.(P – 3) < 0 < P < (*) + TH 2.2 Phương trình (2) có nghiệm khơng âm   0   b   0  a c  a 0   3P  12 P 0    ( P ) 0   P  P   P 0  3P( P  4) 0   1 0 1 0  0  P 4    P 3  P 4 (**)  P   Kết hợp (*);(**);ta có < P < P 4  y  y   0  y  y  0 => y = Với y   (thay D vào pt (2)) 1 x   x  (tmđkxđ) Vậy giá trị lớn P đạt x = Lưu ý: Để tìm cực trị biểu thức sau thu gọn đưa dạng: P m x n cần lưu ý học sinh ax  b x  c - Biết chuyến biểu thức cho dạng phương trình ay2 + by + c = - Biết phân chia trường hợp để giải phương trình đưa dạng ay2+by+c=0 - Biết vận dụng thành thạo trường hợp có nghiệm khơng âm phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = ( a  0) 16 SKKN NGUYỄN ANH VĂN 0833703100 - Học sinh biết cách kết hợp thành thạo trường hợp để tìm miền giá trị biểu thức P (GV nên hướng dẫn HS tìm miền giá trị cách biểu diễn trục số) Dạng Trường hợp biểu thức P sau rút gọn biến đổi thành biểu thức có dạng P  a.x  b x  c ( a, b, c, m, n số, x 0 ) m x n a.Cách giải Bước Biến đổi biểu thức P dạng:  k  P =  p f ( x)    m ( f (x) biểu thức chứa biến x p,q, k ; f ( x)  ) q f ( x )   Bước áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương p f (x) k từ q f ( x) tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P Bước Tìm điều kiện để xảy dấu “=” Bước Kết luận b.Kiến thức liên quan Bất đẳng thức CơSi: + Với a ≥ 0, b ≥ a + b ≥ ab (1) Dấu ‘ = ‘ xảy a = b + Tổng quát với a1, a2, a3, …., an ≥ a1+ a2 + a3 + ….+ an ≥ n n a1 a a a n ( 2) Dấu ‘ = ‘ xảy a1 = a2 = a3 = … = an Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = x x 7 x 2 Hướng dẫn giải: Với x > Ta có Q = x x 7 9  x  1  x 2 3 x 2 x 2 x 2 Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương ( x  2) ta được: x 2 17 SKKN NGUYỄN ANH VĂN 0833703100 ( x  2)  9 2 ( x  2) 2 6 x 2 ( x  2) Dấu “=” xảy ( x  2)   ( x  2) 9  x 2  ( x  2)  x  3  x 1  x 1 (tmđkxđ)  6  3 x 2  Q 3 Vậy: Giá trị nhỏ Q 3, đạt x = Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức P = x 3 Với x > x1 Hướng dẫn giải Với x > ta có P  x 3 4  x 1   x  1 2 x1 x1 x1 Do x > áp dụng BĐT CôSi cho số khơng âm x1+ x  ta có: x1 4 ) 2 4 > ( x  1).( x1 x1 Dấu “=” xẩy => P  x   x1= x = ( tmđk) x1 2 > + = x1 Vậy GTNN P x = Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức P = A - ( Với A = ) (Trích câu c kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Nghệ An năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn giải ĐK x > 18 SKKN NGUYỄN ANH VĂN 0833703100 x1 - P= 1-9 x x Ta có P = A -  P = P=1-( +9 ) x Áp dụng BĐT CôSi cho số không âm Ta có: x x > = x +  Dấu “=” xảy x = (tmđkxđ) Suy P = - ( + ) < – = -5 Vậy giá trị lớn P - x = Ví dụ 4: Tìm GTLN biểu thức P =  x x  x Hướng dẫn giải ĐK x > Với x > ta có P =  x x  2  x    ( x  ) x x x Do x > áp dụng BĐT cô si cho số không âm x + >2 x x Dấu “=” xẩy => P=  ( x  x ta có: x 2 x x = x = ( tmđk) x )  < -2 - x Vậy GTLN P -2 - x = 19 SKKN NGUYỄN ANH VĂN 0833703100 Lưu ý: - Để sử dụng BĐT Cơsi tìm cực trị trường hợp biểu thức P sau rút gọn biến đổi thành biểu thức có dạng P  a.x  b x  c ( a, b, c, m, n m x n số, x 0 ) phải hướng dẫn học sinh biến đổi biểu thức cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số - Đối với dạng toán ngồi cách sử dụng BĐT Cơsi để timg cực trị giáo viên cịn hướng dẫn học sinh tìm cực trị bàng cách vận dụng điều kiện có nghiệm khơng âm phương trình bậc (cách giải tương tự dạng trên) III Bài tập đề nghị Bài 1: Tìm GTNN C = 2x - x + Bài 2: Tìm GTLN M = - x + x + Bài 3: Tìm GTNN C = 4x + x - Bài 4: Tìm GTLN M = -2x - x + Bài 5: Tìm GTLN N = - x + Bài 6: Tìm GTLN biểu thức P = 14 3( x  2) 5 a 2 Bài 7: Tìm GTNN biểu thức P = Bài 8: Tìm GTNN biểu thức P =  a x 4 x 2 Bài 9: Tìm GTLN biểu thức A = Bài 10: Tìm GTNN biểu thức Y = Bài 11: Tìm GTNN biểu thức P = x x 2 x 1 x 4 Bài 12: Tìm GTNN, GTLN biểu thức: P = x x  x 1 20