Chương I: TỨ GIÁC Chuyên đề TỨ GIÁC A Kiến thức cần nhớ Tứ giác ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, hai đoạn thẳng khơng nằm đường thẳng (h.1.1 a, b) Ta phân biệt tứ giác lồi (h.1.1 a) tứ giác lõm (h.1.1 b) Nói đến tứ giác mà khơng thích thêm, ta hiểu tứ giác lồi Tổng góc tứ giác 360° µ +B µ +C µ +D µ = 360° A B Một số ví dụ µ µ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD, A - B = 40° Các tia phân giác góc C góc D cắt O Cho biết · COD = 110° Chứng minh AB ^ BC Giải (h.1.2) * Tìm cách giải µ Muốn chứng minh AB ^ BC ta chứng minh B = 90° µ µ µ µ Đã biết hiệu A - B nên cần tính tổng A + B * Trình bày lời giải µ µ · ¶ +D ¶ = 180°- C + D COD = 180°- C 2 Xét D COD có ( ) ¶ ¶ ¶ ¶ (vì C1 = C2 ; D1 = D2 ) Xét tứ giác ABCD có: ( µ +D µ = 360°- A µ +B µ C ) , Trang · COD = 180°- ( µ 360°- µA + B ) =180°- 180°+ µA + Bµ µ +B µ A · COD = · µ +B µ = 220° = 110° nên A Theo đề COD Vậy µ = 220°- 40° : = 90° µ- B µ = 40° B ( ) A Mặt khác, nên Do AB ^ BC Ví dụ 2: Tứ giác ABCD có AB = BC hai cạnh AD, DC không Đường chéo DB đường phân giác góc D Chứng minh góc đối tứ giác bù Giải (h.1.3 a,b) * Tìm cách giải Để chứng minh hai góc A C bù ta tạo góc thứ ba làm trung gian, góc góc A chẳng hạn Khi cịn phải chứng minh góc bù với góc C * Trình bày lời giải - Xét trường hợp AD < DC (h.1.3a) Trên cạnh DC lấy điểm E cho DE = DA D ADB = D EDB (c.g.c) ả ị AB = EB v A = E1 ả Mt khỏc, AB = BC nên BE = BC Vậy D BEC cõn ị C = E2 ả ả à Ta có: E1 + E2 = 180°Þ A + C = 180° µ µ Do đó: B + D = 360°- 180°= 180° - Xét trường hợp AD > DC (h.1.3b) Trên tia DA lấy điểm E cho DE = DC µ µ µ µ Chứng minh tương tự trên, ta được: A + C = 180° ; B + D = 180° Ví dụ Tứ giác ABCD có tổng hai đường chéo a Gọi M điểm Tìm giá trị nhỏ tổng MA + MB + MC + MD Giải (h.1.4) * Tìm cách giải Để tìm giá trị nhỏ tổng MA + MB + MC + MD ta phải chứng minh MA + MB + MC + MD ³ k ( k số) Ghép tổng thành hai nhóm ( MA + MC ) +( MB + MD) Ta thấy dùng bất đẳng thức tam giác mở rộng Trang * Trình bày lời giải Xét ba điểm M, A, C có MA + MC ³ AC (dấu “=” xảy M Ỵ AC ) Xét ba điểm M, B, D có MB + MD ³ BD (dấu ‘=’ xảy M Ỵ BD ) Do đó: MA + MB + MC + MD ³ AC + BD = a Vậy ( MA + MB + MC + MD) = a M trùng với giao điểm O đường chéo AC BD C Bài tập vận dụng · Tính số đo góc 1.1 Chứng minh tứ giác, tổng hai góc ngồi hai đỉnh tổng hai góc hai đỉnh cịn lại µ µ 1.2 Cho tứ giác ABCD có A + B = 220° Các tia phân giác đỉnh C D cắt K Tính số đo góc CKD µ µ 1.3 Tứ giác ABCD có A = C Chứng minh đường phân giác góc B góc D song song với trùng µ µ 1.4 Cho tứ giác ABCD có AD = DC = CB ; C = 130° ; D = 110° Tính số đo góc A, góc B ( Olympic Tốn Châu Á - Thái Bình Dương 2010 ) · So sánh độ dài 1.5 Có hay khơng tứ giác mà độ dài cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ? 1.6 Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc Biết AB = 3; BC = 6,6; CD = Tính độ dài AD 1.7 Chứng minh tứ giác tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi nhỏ chu vi tứ giác 1.8 Cho bốn điểm A, B, C, D khơng có ba điểm thẳng hàng, hai điểm có khoảng cách lớn 10 Chứng minh tồn hai điểm cho có khoảng cách lớn 14 1.9 Cho tứ giác ABCD có độ dài cạnh a , b , c , d số tự nhiên Biết tổng S = a + b + c + d chia hết cho a , cho b , cho c , cho d Chứng minh tồn hai cạnh tứ giác · Bài tốn giải phương trình tơ màu 1.10 Có chín người ba người có hai người quen Chứng minh tồn nhóm bốn người đơi quen Trang Hướng dẫn giải 1.1 · Trường hợp hai góc ngồi hai đỉnh kề (h.1.5) Gọi C1 , D1 số đo hai góc trong; D2 , D2 số đo hai góc ngồi hai đỉnh kề C D Ta có: D 180 C 180 D 360 C D C 2 1 1 Xét tứ giác ABCD có: A B 360 C D 1 (1) (2) Từ (1) (2) suy ra: C2 D2 A B · Trường hợp hai góc ngồi hai đỉnh đối (h.1.6) Chứng minh tương tự, ta A2 C2 B D 1.2 (h.1.7) Ta có: CDx DCy A B 220 (bài 1.1) CDx CDy 110 Do D2 C2 110 Xét CKD có: C 180 110 70 CKD 180 D 2 1.3 (h.1.8) Xét tứ giác ABCD có: D 360 A C 360 2C B Vì B1 B2 , D1 D2 nên B1 D1 180 C B1 D1 C 180 (1) Xét BCM có B1 M C 180 (2) Từ (1) (2) suy D1 M Do DN // BM 1.4 (h.1.9) Vẽ đường phân giác góc C D chúng cắt E 110 130 CED 180 60 Xét ECD có ADE CDE (c.g.c) AED CED 60 DEC 60 BCE DCE (c.g.c) BEC Suy AEB 180 ba điểm A, E, B thẳng hàng ABC 360 65 110 130 55 Vậy BAD EAD ECD 65 Do Trang 1.5 (h.1.10) Giả sử tứ giác ABCD có CD cạnh dài Ta chứng minh CD nhỏ tổng ba cạnh cịn lại (1) Thật vậy, xét ABC ta có: AC AB BC Xét ADC có: CD AD AC Do CD AD AB BC Ta thấy cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 khơng thỏa mãn điều kiện (1) nên khơng có tứ giác mà cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 1.6 (h.1.11) Gọi O giao điểm hai đường chéo Xét AOB , COD vng O, ta có: AB CD OA2 OB OC OD Chứng minh tương tự, ta được: BC AD OB OC OD OA2 2 2 Do đó: AB CD BC AD 2 2 Suy ra: 6, AD AD 9 36 43,56 1, 44 AD 1, 1.7 (h1.12) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD tứ giác ABCD Gọi độ dài cạnh AB, BC, CD, DA a, b, c, d Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được: OA OB a; OC OD c Do OA OC OB OD a c hay AC BD a c (1) Chứng minh tương tự, ta được: AC BD d b (2) Cộng vế (1) (2), ta được: AC BD a b c d AC BD a b c d Xét ABC ADC ta có: AC a b; AC c d 2AC a b c d (3) Tương tự có: 2BD a b c d (4) Cộng vế (3) (4) được: AC BD a b c d AC BD a b c d Từ kết ta điều phải chứng minh 1.8 Trước hết ta chứng minh toán phụ: Trang 2 Cho ABC , A 90 Chứng minh BC AB AC Giải (h.1.13) Vẽ BH AC Vì A 90 nên H nằm tia đối tia AC Xét HBC HBA vng H, ta có: BC HB HC AB HA2 HA AC AB HA2 HA2 AC HA AC AB AC HA AC 2 Vì HA AC 0 nên BC AB AC ( dấu “=” xảy H A tức ABC vuông) Vận dụng kết để giải toán cho Trường hợp tứ giác ABCD tứ giác lồi (h.1.14) Ta có: A B C D 360 Suy bốn góc phải có góc lớn 90 , giả sử A 90 2 2 Xét ABD ta có BD AB AD 10 10 200 suy BD 200 , BD 14 Trường hợp tứ giác ABCD tứ giác lõm (h.1.15) Nối CA, Ta có: ACD ACB BCD 360 Suy ba góc phải có góc lớn 120 Giả sử ACB 120 , ACB góc tù 2 2 Xét ACB có AB AC BC 10 10 200 Suy AB 200 AC 14 Vậy tồn hai điểm cho có khoảng cách lớn 14 1.9 (h.1.16) Ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử hai cạnh tứ giác Ta giả sử a < b < c < d Ta có: a + b + c > BD + c > d Trang Do a + b + c + d > 2d Ta đặt a + b + c + d = S S > 2d (*) Ta có: S Ma ị S = ma ( m ẻ N ) (1) S Mb ị S = nb ( n ẻ N ) (2) S Mc Þ S = pc ( p ẻ N ) (3) S Md ị S = qd ( q Ỵ N ) (4) Từ (4) (*) Þ qd > d q > Vì a < b < c < d nên từ (1), (2), (3), (4) suy m > n > p > q > Do q ³ 3; p ³ 4; n ³ 5; m ³ a b c d = ; = ; = ; = m S n S p S q S Từ (1), (2), (3), (4) suy 1 1 1 1 a +b +c +d + + + ³ + + + = =1 m n p q S Ta có: 19 ³ Từ đó: 20 , vơ lí Vậy điều giả sử sai, suy tồn hai cạnh tứ giác 1.10 Coi người điểm, ta có chín điểm A, B, C,… Nối hai điểm với ta đoạn thẳng Ta tô màu xanh hai người không quen nhau, ta tô màu đỏ hai người quen Ta chứng minh tồn tứ giác có cạnh đường chéo tơ màu đỏ · Trường hợp có điểm đầu mút bốn đoạn thẳng màu xanh AB, AC, AD, AE vẽ nét đứt (h.1.17) Xét D ABC có hai đoạn thẳng AB, AC màu xanh nên đoạn thẳng BC màu đỏ tam giác có đoạn thẳng màu đỏ Tương tự đoạn thẳng CD, DE, EB, BD, CE có màu đỏ (vẽ nét liền) (h.1.18) Do tứ giác BCDE có cạnh đường chéo tơ đỏ nghĩa tồn nhóm bốn người đơi quen Trang · Trường hợp điểm đầu mút nhiều ba đoạn thẳng màu xanh Không thể điểm 9.3 Ï N đầu mút ba đoạn thẳng màu xanh số đoạn thẳng màu xanh Như tồn điểm đầu mút nhiều hai đoạn thẳng màu xanh, chẳng hạn điểm A, A đầu mút sáu đoạn thẳng màu đỏ, giả sử AB, AC, AD, AE, AF, AG (h.1.19) Trong sáu điểm B, C, D, E, F, G tồn ba điểm đỉnh tam giác có ba cạnh màu (đây toán phương pháp tơ màu) chẳng hạn D BCD (h.1.20) Trong D BCD có cạnh màu đỏ (theo đề bài) nên ba cạnh D BCD màu đỏ Khi tứ giác ABCD tứ giác có cạnh đường chéo tô đỏ, nghĩa tồn nhóm bốn người đơi quen Trang Trang