Chuyên đề 16 ĐƠN THỨC – ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG A Kiến thức cần nhớ Đơn thức biểu thức đại số gồm số, biến, tích số biến Đơn thức thu gọn đơn thức gồm tích số với biến, mà biến nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương Số nói gọi hệ số, phần cịn lại gọi phần biến đơn thức thu gọn * Một số coi đơn thức thu gọn * Trong đơn thức thu gọn, biến viết lần Thông thường ta viết hệ số trước, biến viết thứ tự bảng chữ Bậc đơn thức có hệ số khác tổng số mũ tất biến có đơn thức Số thực khác đơn thức bậc Số coi đơn thức khơng có bậc Để nhân hai đơn thức ta nhân hệ số với nhân phần biến với Hai đơn thức đồng dạng hai đơn thức có hệ số khác có phần biến Các số khác coi đơn thức đồng dạng Để cộng (hay trừ) đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) hệ số với giữ nguyên phần biến B Một số ví dụ Ví dụ 1: Trong biểu thức sau, biểu thức đơn thức Thu gọn đơn thức Những đơn thức đồng dạng? a) 15 x x y b) 5,3 x 3 x y c) 25 x x y 2a 5bc 5bc x y z 1, 2bxy d) e) ; f) 3c 6a 6a 5bc a x y z 1, 2bxy x g) h) 25ax y 3bx y 0, 4cx y i) 6a 3c 4 k) 25ax y 3bx y 0, cx y k l) 25ax3 y 3bx y 0, 4cx y m) 25 x x y 2a 2a x y2 x y2 p) 3c 3c Tìm cách giải: Đơn thức thu gọn đơn thức gồm tích số với biến, mà biến nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương Do muốn thu gọn đơn thức ta thực nhân số với nhân lũy thừa biến (cơ số) với Giải Đơn thức: 5bc 5bc b2 c 3 b) 5,3x 3 x y 15,9 x y ; e) ; f) x y z 1, 2bxy x y z ; 6a 6a a 2a 2a 12 x ; h) 25ax y 3bx y 0, cx y 30abcx y ; l) ; m) 3c 3c 2a 2a x y x8 y n) 3c 3c 2a x y đồng dạng Bậc đơn thức 10 Hai đơn thức 15,9x8 y 3c 2a 5bc Hai đơn thức đồng dạng Bậc đơn thức: bậc 3c 6a Ví dụ 2: Tính tích đơn thức tìm bậc đơn thức, sau tính tổng đơn thức đồng dạng: 25 3 a) x y z x y z ; b) 0,5x y z 4t yz ; 36 5 n) c) 2,5x y z 8,4x y z ; Tìm cách giải: d) 3xy z 8xyz 4t Để nhân hai đơn thức ta nhân hệ số với nhân phần biến với n Lưu ý phép tính lũy thừa a m a n a mn a m a m.n Để cộng đơn thức đồng dạng, ta cộng hệ số với giữ nguyên phần biến Giải 25 9 9 a) x y z x y z x y z 0, 25 x y z Bậc 26 36 b) 0,5 x3 y z t yz 0,5 x3 y z t y z x3 y z13 t Bậc 22 9 c) 2,5 x y z 8, x y z 21x y z Bậc 26 d) xy z xyz t 4 x y z xyz t 32 x y z13t Bậc 22 Tổng đơn thức đồng dạng: 0, 25 x y z 21x9 y z 21, 25 x9 y z x y z13 t 32 x y z13t 36 x y z13t 2 n m m n m 2 n y với a; b; c số, m; n Ví dụ 3: Cho đơn thức: 3a x y ; b x y ; 2,5c x 15 số tự nhiên a) Tìm tích P ba đơn thức b) Tính giá trị tích P với a 1; b ; c 2; m 2; n 3; x 1; y 1 Giải m n 2 n m m 2 n y a) P 3a x y b x y 2,5c x 15 5 3a b c x m x 3n x m2 n y n y 3m y 15 2 2 m 5 n n 3 m a b c x y Thay a 1; b ; c 2; m 2; n 3; x 1; y 1 2 19 1 P a b c x y 1 22 1 111 1 2 Ví dụ 4*: Tìm tích B đơn thức B1 ; B2 ; B3 ; ; B2018 với 2018 1 1 1 B1 x; B2 x ; B3 x ; ; B2018 x 2 4 2019 3 Tìm cách giải: Lưu ý nhân nhiều lũy thừa số: a m a n a p a m n p Và tổng n n n :2 Với n 2018 2018 2019.2018:2 2037171 Giải 1 2018 ; ; ; ; 2 3 4 2019 2019 2 3 2018 2018 2018 x .x.x x .x 2018 Do đó: B x x x 2019 2019 2018 Ta có: 2019 2019 123 2018 2037171 12018 2018 B x x Vậy 2018 1 3 2018 2037171 x.x x .x x x x 2019 2019 2 2 m 5 n n 3m 2 Ví dụ 5: Viết đơn thức sau dạng tích hai đơn thức đơn thức 2,5x y 6n a) 25x y ; b) 15 x y z n N Tìm cách giải: a) Gọi đơn thức nhân với 2,5x y để đơn thức 25x y B Ta có 25 x y 2,5 x y B B ax m y n , đó: a.2,5 25; x x m x ; y y n y Suy a 25 : 2,5 10; m 6 m 3; n 4 n 2 b) Ta có: 15 x y 6n z 2,5 x y bx d y e z g Suy b 15 : 2,5 6; d 3 d 0 ; e 6 n e 4 n g 3 Lại có x 1 Giải a) Ta có 25 x y 2,5 x y 10 x y 6 n 3 2 ; 4 n b) 15 x y z 2,5 x y y z Ví dụ 6: Xác định số a b để tổng đơn thức sau 1975x32 y 23 z 54 a) 68ax 32 y 23 z 54 ; 8ax 32 y 23 z 54 ; 86ax32 y 23 z 54 ; 67ax 32 y 23 z 54 32 50 23 32 23 54 23 23 51 b) ax z y z a b x y z 7bx y z x z với a 2b Tìm cách giải: Để cộng đơn thức đồng dạng, ta cộng hệ số với giữ nguyên phần biến Các đơn thức câu a) đơn thức câu b) sau thu gọn đơn thức đồng dạng Do 1975 tổng hệ số đơn thức Giải 32 23 54 32 23 54 32 23 54 32 23 54 32 23 54 a) 68ax y z 8ax y z 86ax y z 67ax y z 1975 x y z Do đó: 68a 8a 86a 67 a 1975 hay 79a 1975 a 25 32 50 23 32 23 54 23 23 51 32 23 54 b) ax z y z a b x y z 7bx y z x z 1975x y z 32 23 54 32 23 54 32 23 54 32 23 54 Hay ax y z a b x y z 28bx y z 1975 x y z Ta có: a a b 28b 1975 hay 2b 2b b 28b 25b 1975 b 79; a 158 C Bài tập áp dụng 16.1 Thu gọn đơn thức sau phần hệ số, phần biến bậc đơn thức thu gọn: (a; b; c số) a) xy 0,5 x y x yz ; b) 2,5ax 6a xy ; 2c a b ax3 y 6a bx y d) x yz 2cx y 3 16.2 Hãy xếp đơn thức sau thành nhóm đơn thức đồng dạng với sau tìm tổng đơn thức đồng dạng (với a, b số) 3x yz; 5axyz ; 7,5axy z; bxyz ; 18 x yz; 2,5 xy z; bxyz ; 2,5axy z 5 16.3 Tìm đơn thức A, B, C, D thích hợp trường hợp sau: a) 75 x y A 25 x xy ; c) 4 2 ax y z ax y z ax y z (a số); 3 4 c) C 4000b x y D 34b x y C 98b2 x3 y D 96b x3 y 16.4 1) Tính tích đơn thức, tìm bậc đơn thức tích vừa tìm (a, b số khác 0): 14 5 x y x3 y z t ; a) b) 0, 2ax3 y t 4,5abx3 yzt ; 15 b) B a 1 3 x zt ; x y t d) x y 6a 2b 16.5 Cho a, b, c số khác 0: a) Hai đơn thức 5a b 4a b5 có giá trị dương khơng Tại sao? Khi chúng có giá trị âm? b) Hai đơn thức 4a b 5a b6 dấu Tìm dấu a c) Xác định dấu c biết 3a b5 c 12a b5 c trái dấu 3 16.6 Cho ba đơn thức x y z ; x yz ; xy z Chứng minh x, y, z lấy giá trị khác ba đơn thức cho có đơn thức có giá trị âm 16.7 Cho M 10n 10n 1 10n 2 10n 3 10n 4 P 2n 4 2n3 2n2 2n1 2n với n N * a) Tính M P ; b) Tính M P 16.8* Tìm tích A đơn thức A1 ; A2 ; A3 ; ; A100 với 1 1 1 A1 1 x; A2 1 x ; A3 1 x ; : A100 1 x100 2 3 4 101 2015.2016 Sau tính giá trị A với x 2014.2016 2018 c) 5ax y 56 16.9 Cho C 1 1 1 1 x y z t 2 3 4 10 13 19 25 31 37 43 D x y z t 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 17.20 202 CD 11 x8 y z10 ; Q2 x y z10 ; Q3 x y z10 ; 16.10* Cho Q1 10.15 15.21 21.28 14 10 Q4 x8 y z10 ; Q5 x y z 28.36 36.50 Tính T Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Tính tích E 16.11* Cho G H Tính G H m 1 m m 3 1 1 1 x y z ; 10 15 n n m với m, n N ; n 2; m 3 ; 1 1 1 x y z 21 28 36 45 HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 16.1 a) xy 0,5 x y 3x yz x8 y z Hệ số: ; phần biến: x8 y z ; bậc: 13 b) 2,5ax 6a xy 15a x y 2c ax y 6a bx y 4a bcx8 y11 c) 2 a b 2 4c a b 11 3 d) x y z 2cx y x y z 3 2 16.2 Nhóm 1: 3x yz 18 x yz 15 x yz Hệ số: 15a ; phần biến: x3 y ; bậc: Hệ số: 4a bc ; phần biến: x8 y11 ; bậc: 19; Hệ số: 4c a b ; phần biến: x11 y z ; bậc: 20 2 Nhóm 2: 5axyz bxyz bxyz 5a b xyz 2 2 Nhóm 3: 7,5axy z 2,5 xy z 2,5axy z 10a 2,5 xy z 16.3 a) A 25 x3 y 75 x3 y 100 x y ; 4 2 4 b) B ax y z ax y z ax y z ax y z 3 c) C D 4034b x y C D 2b x3 y Tìm C 2018b x y D 2016b x3 y 14 5 10 4 10 x y x y z t x y z t Bậc 26 16.4 a) 15 3 b) 0, 2ax y t.4,5abx yzt 0,9a bx y zt Bậc 13 6 c) 5ax y x zt x y zt Bậc 16 6a a 1 a 12 14 d) x y t x y x y t Bậc 32 20b 2b 16.5 a) 5a b với giá trị a b nên có giá trị dương Do hai đơn thức 5a b 4a b5 có giá trị dương Xét 4a b5 nhận giá trị âm b nên hai đơn thức 5a b 4a b5 có giá trị âm b b) Hai đơn thức dấu nên 4a b 5a b 20a b b8 ; a Khi a c) 3a b5 c 12a b5 c trái dấu nên 3a b5 c 12a b5 c 36a b10 c3 mà a b10 c c 16.6 3 2 10 Xét tích ba đơn thức x y z x yz xy z x y z với giá trị khác x, y, z Do có đơn thức có giá trị âm 16.7 M 10000.10n 1000.10n 100.10n 10.10n 10n 8889.10n P 2n 4 2n 3 2n2 2n 1 2n 16.2n 8.2n 4.2n 2.2n 2n 9.2n a) M P 8889.10n 9.2n ; b) M P 80001.20n 16.8* Lưu ý: a m a n .a p a m n p ; Ta có 100 100 100 : 5050 ; 1 100 ; ; ; ; 2 3 4 101 101 100 100 Do A x.x x .x 101 123 100 5050 x x Tích có 100 thừa số âm nên tích dương A 101 101 2014 1 2016 2014.2016 2018 2015.2016 x 2014.2016 2018 2014.2016 2018 2014.2016 2018 1 5050 Vậy A 1 101 101 16.9 Ta thấy tích P 1 1 1 1 có thừa số âm nên tích âm Do đó: 2 3 4 10 15 80 99 1.3 2.4 3.5 8.10 9.11 P 16 81 100 2.2 3.3 4.4 9.9 10.10 1.2.3 8.9 3.4.5 10.11 11 2.3.4 9.10 2.3.4 9.10 20 13 19 25 31 37 Xét Q 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 17.20 a b 1 số hạng có dạng a.b b a 1 1 1 1 1 1 Q 11 14 11 14 17 20 17 1 20 20 Do E 9 x9 y z t 14 10 16.10* T x y z 10.15 15.21 21.28 28.36 36.50 1 1 1 10 1 1 x y z 10 15 15 21 21 28 28 36 36 50 10 10 x y z x y z 25 10 50 16.11* Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 21 28 10 15 1 1 1 1 1 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 1.4 2.5 3.6 4.7 5.8 6.9 7.10 8.11 11 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 27 11 m n m n m Vậy G H x y z 27 1 36 1 7.8 45 1 8.9 9.10