PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 MƠN: TỐN Câu (2,0 điểm) a) Tìm x biết B 1 x x 1 2016 3 x 2017 1 1 3 x x b) Cho Tìm số nguyên dương x để B 115 Câu (2,0 điểm) y z 1 x z x y x y z xyz a) Cho x, y, z số thực thỏa mãn 2017 2017 Tính giá trị biểu thức A 2016.x y z b) Cho x, y, z số thực thỏa mãn: x 3 y 5 z x y 5 Tìm giá trị lớn 3x z Câu (2,0 điểm) a) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M 2016 x 2016 3x có giá trị nhỏ 2 b) Cho đa thức f ( x ) 2016.x 32 25k x k 100 (với k số thực dương cho trước) Biết đa thức f ( x) có ba nghiệm phân biệt a, b, c với a b c Tính hiệu a c Câu (2,5 điểm) Cho đoạn thẳng BC cố định, M trung điểm đoạn thẳng BC Vẽ góc CBx cho CBx 45 , tia Bx lấy điểm A cho độ dài đoạn thẳng BM BA tỉ lệ với Lấy điểm D thuộc đoạn thẳng BM Gọi H I hình chiếu B C đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng: a) DN vng góc với AC 2 b) BH CI có giá trị không đổi D di chuyển đoạn thẳng BM c) Tia phân giác góc HIC ln qua điểm cố định Câu (1,5 điểm) p a) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p số nguyên tố b) Trong bảng vng gồm có 5 vng, người ta viết vào ô vuông chir số 1;0; Chứng minh tổng số theo cột, hàng, đường chéo phải có hai tổng số ĐÁP ÁN ĐỀ HSG TOÁN TAM DƯƠNG 2016-2017 Câu x x 1 a) 2016 3 x 2017 x x 3 x 1(*) Điều kiện để x thỏa mãn tốn Khi x 3x 0 x 1 1 x 0 nên (*) trở thành x x 3 x x x Nếu x 1 ta có 3x x nên (điều kiện x 0) x Nếu x 1 ta có 3x x nên (thỏa mãn) x (thỏa mãn) 3 3 x ; 2 4 Vậy 2.3 3.4 4.5 x x 1 B 1 2 3 x x 1 1 x( x 3) 1 ( x 1) 2 2 b) x( x 3) 115 x( x 3) 460 Từ B = 115 Mà x số nguyên dương nên x x+3 ước dương 460 nên x 20 Vậy x=20 Câu a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : y z 1 x z x y 2 x y z xyz 0,5 x 0,5 y 0,5 z 2 x y z 5 x ;y ;z 6 2016.x y 2017 z 2017 2016 1008 Khi ta có x y z 0,5 2016 1008 Khi ta có y z 1 x z x y y z xyz Vậy với x, y, z số thực thỏa mãn x 2017 2017 Thì giá trị biểu thức 2016.x y z 1008 x 2y x 2y , y 5 z 1 b) Ta có: Nếu x y 5 x 15, y 10, z Khi 3x z 45 12 33 Nếu x y x 15; y 10; z 6 Khi 3x z 45 12 33 Vậy giá trị lớn 3x z 33 Câu a) M 2016 x 2016 672 x 2016 1344 3360 672 3x 3x 3x M nhỏ 3360 3x lớn 3360 (1) * Xét 3x x 3360 0 * Xét 3x 3x 3360 3x lớn 3x nhỏ Mà x nguyên, 3x dương 3x chia dư nên 3x 2 x 0 3360 3360 1680 (2) Khi 3x 3.0 3360 So sánh (1) (2) 3x có giá trị lớn 1680 Vậy M 1008 x 0 b) Ta thấy đa thức f ( x) có nghiệm x a (a khác 0) x a nghiệm f ( x) nên f ( x) có 2m nghiệm Mà đa thức f ( x) có ba nghiệm phân biệt nên ba nghiệm Thay x 0 vào đa thức cho ta được: k 100 0 nên k 10 (vì k dương) 2 Với k 10 ta có f ( x) 2016 x 8064 x 2016 x ( x 4) 0 Từ f ( x ) có nghiệm phân biệt a 2; b 0; c 2 nên a c Câu B H D M I N A C a) Từ M kẻ tia My vng góc với BC cắt tia Bx A’ Tam giác BMA’ vuông cân M nên MB : BA ' 1: Suy A A ' nên AM vuông góc với BC Tam giác ADC có AM CI đường cao nên N trực tâm tam giác ADC Suy DN vng góc với AC b) Ta có AMB AMC (c.g.c) nên AB = AC góc ACB 45 Tam giác ABC vng cân A có BAH ACI 90 CAH H, I hình chiếu B C AD nên H=I=90 Suy AIC BHA (c.h g.n) BH AI BH CI BH AH AB (không đổi) 0 c) BHM AIM HM MI BMH BMI 90 HMI vuông cân HMI 45 0 Mà HIC 90 HIM MIC 45 IM tia phân giác HIC Vậy tia phân giác HIC qua điểm M cố định Câu p a) Với p 2 p 4 8 không số nguyên tố p Với p 3 p 8 17 số nguyên tố p k 1 Vơi p p số nguyên tố nên p lẻ nên 2 2 (mod 3) p Và p 1(mod 3) nên p 3 p p Mà p nên p hợp số p Vậy với p 3 p hợp số p Vậy với p 3 p số nguyên tố b) Ta có cột, hàng đường chéo nên có 12 tổng Mỗi vng nhận số 1;0 – nên tổng nhận giá trị từ - đến Ta có 11 số nguyên từ - đến – 5; - ; ….;0;1;….5 Vậy theo nguyên lý Dirichle phải có hai tổng (đpcm)