Chương III QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC Chuyên đề 15 QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC A Kiến thức cần nhớ · Định lí Trong tam giác: – Góc đối diện với cạnh lớn góc lớn – Đảo lại, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Trong hình 15.1: ABC C AC AB B Suy ra, tam giác: – Góc đối diện với cạnh nhỏ góc nhọn; – Cạnh đối diện với góc tù (hoặc góc vng) · cạnh lớn Định lí Hai tam giác có hai cặp cạnh – Nếu cạnh thứ ba khơng góc đối diện với cạnh lớn góc lớn – Đảo lại, hai góc xen khơng cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn B Một số ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh tam giác vng có góc nhọn lớn 30o cạnh đối diện với góc lớn nửa cạnh huyền Giải (h.15.2) * Tìm cách giải Giả sử tam giác ABC vuông A, ABC 30o , ta phải chứng minh AC BC Muốn vậy, phải chứng minh 2AC BC Ta tạo đoạn thẳng 2AC cách lấy điểm D tia đối tia AC cho AD AC Khi đó, xét BDC cần chứng minh DC BC * Trình bày lời giải Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD AC ABD ABC (c.g.c) BD BC ABD ABC 30o Suy DBC 60o BCD cân có góc đỉnh lớn 60o nên góc đáy nhỏ 60o nên CD BC (quan hệ cạnh góc đối diện) Xét DBC có DBC D Do 2AC BC hay AC BC 45o ; C 45o Vẽ đường cao AH Hãy Ví dụ 2: Tam giác ABC có góc B, góc C góc nhọn, B so sánh HA, HB, HC Giải (h.15.3) * Tìm cách giải Ta thấy HA, HB, HC ba cạnh tam giác HA HB hai cạnh tam giác HAB HA HC hai cạnh tam giác HAC Vì ta dùng HA làm trung gian để so sánh HA, HB, HC * Trình bày lời giải 90o ; B 45o nên A 45o Xét ABH có H HB HA 1 (quan hệ góc cạnh đối diện) Vậy A1 B 90o ;C 45o nên A 45o Xét ACH có H A HA HC (quan hệ góc cạnh đối diện) Vậy C Từ (1) (2) suy HB HA HC Ví dụ 3: Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt trung điểm O AB Chứng minh AC BC BD AD Giải (h.15.4) * Tìm cách giải BDO ADO có hai cặp cạnh nhau, để chứng minh BD AD ta cần chứng minh BOD AOD * Trình bày lời giải AOC BOC có OA=OB; OC chung; AC BC suy AOC BOC (định lí 2) Do BOD AOD BOD AOD có OB OA, OD chung, BOD AOD suy BD AD (định lí 2) 90o AB AC Hãy xếp ba cạnh tam giác theo thứ tự tăng Ví dụ 4: Tam giác ABC có B dần Giải (h.15.5) * Tìm cách giải Vì góc B góc tù nên cạnh AC cạnh lớn Khai 1 thác điều kiện AB AC ta làm xuất yếu tố AC 2 cách vẽ trung điểm M AC Khi AB BC hai cạnh hai tam giác có hai cặp cạnh nhau, ta dùng định lí * Trình bày lời giải 90o nên cạnh AC cạnh lớn nhất, BC AC 1 Xét ABC có B M 90o , Gọi M trung điểm AC Xét ABM có AB AM AC nên ABM cân B 1 90o Vậy M M M 2 M nên AB BC (2) AMB CMB có: MA MC , MB chung M Từ (1) (2) suy AB BC CA C Bài tập vận dụng · Quan hệ cạnh góc đối diện tam giác 15.1 Cho tam giác ABC cân A Gọi M điểm đường thẳng BC Hãy so sánh AM với AB 15.2 Cho tam giác ABC, tia phân giác góc A cắt BC D Cho biết góc ADB góc nhọn, so sánh AB AC 15.3 Tam giác ABC có AB AC Trên cạnh AB lấy điểm M M B Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Mx//AC tia lấy điểm N cho MN MB Chứng minh BC NC 75o Trong tam giác lấy điểm O cho OAC 15.4 Cho tam giác ABC, A 60o ; B OCA 15o Chứng minh OA OB 15.5 Cho tam giác ABC Vẽ AH BC H BC BK AC K AC Biết AH BC; BK AC Tính số đo góc tam giác ABC 15.6 Trong tam giác ABC có AB AC Tia phân giác góc A cắt BC D Gọi M điểm đoạn thẳng AD Hãy so sánh MB với MC 15.7 Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy E F cho BAE Chứng minh EAF FAC đoạn thẳng EF có độ dài nhỏ ba đoạn thẳng BE, EF FC 15.8 Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M N cho BM MN NC Chứng minh góc MAN góc lớn ba góc BAM NAC ,MAN 15.9 Chứng minh tam giác có góc lớn 60o cạnh đối diện với góc lớn trung bình cộng hai cạnh cịn lại 15.10 Cho tam giác ABC vuông cân B Gọi M điểm nằm tam giác cho BMC 105o Chứng minh MA · MB MC Hai tam giác có hai cạnh 15.11 Tam giác ABC có AB AC Trên tia đối tia BA lấy điểm E E B , tia đối tia CA lấy điểm F F C cho BE CF Gọi D trung điểm BC Chứng minh DEF DFE 15.12 Cho tam giác ABC cân A Gọi M điểm nằm tam giác cho ABM ACM Hãy so sánh góc AMB AMC 15.13 Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm M nằm A B Gọi O trung điểm CM Tia AO cắt BC D Chứng minh BD CD 15.14 Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm M nằm tam giác cho AMB AMC Tia AM cắt BC D Chứng minh BD CD 15.15 Cho tam giác ABC, AB AC Gọi M trung điểm BC Lấy điểm D nằm A C cho AMD 90o Chứng minh MD MB 15.16 Cho tam giác ABC, A 60o , tổng AB AC 10cm Tìm giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC Hướng dẫn giải 15.1 · Trường hợp M B M C : Khi AM AB · Trường hợp M nằm B C (h.15.6) Ta có AMB ACB (tính chất góc ngồi tam giác) Do AMB ABC (vì ACB ABC ) Xét ABM có ABM AMB Suy AM AB (quan hệ góc cạnh đối diện) · Trường hợp M tia Bx tia đối tia BC M B (h.15.7) Ta có ABC ACB 90o (tính chất tam giác cân) Do ABM 90o Xét ABM có ABM góc tù nên AM cạnh lớn Vậy AM AB Chứng minh tương tự, M tia Cy tia đối tia CB M C AM AB 15.2 (h.15.8) Góc ADB góc nhọn nên góc ADC góc tù ;D D ABD ACD có A1 A 2 C nên B C AC AB (định lí 1) ABC có B 15.3 (h.15.9) Ta có MN //AC MNC ACN (so le trong) Mặt khác, ACN ACB nên MNC ACB ABC có AB AC nên ACB ABC Từ (1) (2), suy MNC ABC (3) MBN 4 Tam giác MNB cân MNB Từ (3) (4), suy MNC MNB ABC MBN Do BNC NBC BC NC (định lí 1) 15.4 (h.15.10) o ABC 180o 60o 75o 45o Ta có ACB 180 BAC 15o (giả thiết) nên Mặt khác, A1 C A 60o 15o 45o , C 45o 15o 30o 2 Giả sử OA OB khơng vng góc với nhau, Tức AOB 90o · Xét trường hợp AOB 90o Ta có 180o AOB A 180o AOB 45o 45o B 2 A OA OB (định lí 1) Vậy B 2 C (định lí 1) Mặt khác, AOC cân nên OA OC suy OC OB B B A C 45o 30o hay ABC 75o (trái giả thiết) Từ ta B 2 · Xét trường hợp AOB 90o , chứng minh tương tự ta ABC 75o (trái giả thiết) Vậy AOB 90o OA OB 15.5 (h.15.11) Xét AHC vuông H, BKC vuông K, Ta có: AH AC ; BK BC (1) Mặt khác BC AH ; AC BK (giả thiết) (2) Từ (1) (2), suy BC AH AC BK BC Do BC AH AC BK Vậy ABC phải tam giác vuông cân C 90o , A B 45o Suy C 15.6 (h.15.12) Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE AB Vì AE AC nên điểm E nằm A C ABM AEM c.g.c M MB ME M Xét AME có MEC góc ngồi nên MEC M ;M D ;D ACD Do MEC M ; ACD ECM 2 1 Xét MEC có MEC ECM MC ME (định lí 1) Do MC MB (vì MB ME ) 15.7 (h.15.13) ABE ACF c.g.c AE AF BE CF (1) AEF cân AEF 90o AEB 90o Xét AEB có AEB 90o nên AB AE Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD AE ADE AFE c.g.c ED EF góc tù ADE cân ADE góc nhọn BDE Xét BDE có BDE góc tù BE cạnh lớn Do BE DE BE EF (2) Từ (1) (2) suy EF có độ dài nhỏ ba đoạn thẳng BE, EF FC 15.8 (h.15.14) Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD MA D AN BD AMN DMB c.g.c A Ta có ANC ABC ANC C Do AC AN (định lí 1) Suy A A A AB BD D Dễ thấy A1 A3 A2 góc lớn ba góc A1 , A2 , A3 15.9 (h.15.15) AB BC Giả sử tam giác ABC có ABC 60o , ta phải chứng minh AC Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD BA Vẽ CH AD D ABC Tam giác ABD cân B ABC 2 D 30o Vì ABC 60o nên D Xét HCD vuông H, 30o nên CH CD có D (xem ví dụ 1) Mặt khác AC CH nên 1 AC CD DB BC AB BC 2 15.10 (h.15.16) Trên nửa mặt phẳng bờ MB không chứa C, vẽ tam giác BDM vuông cân B ABD CBM c.g.c AD CM ADB BMC 105o BDM vuông cân B BDM 45o ADM 60o Xét ADM có ADM 60o nên MA AD DM (xem 15.9) Mặt khác, DM MB (vì BDM vng) suy MA MC MB 15.11 (h.15.17) ABC có AB AC ACB ABC Do FCB EBC FCD EBD có: CF BE , CD BD FCB EBC nên DF DE (định lí 2) Xét DEF có DF DE nên DEF (định lí 1) DFE 15.12 (h.15.18) Tam giác ABC cân A ABC ACB C (giả thiết) B C Ta có B 1 2 MC MB (định lí 1) Xét ABM ACM có: AB AC ; AM chung; MB MC (định lí 2) MAB MAC C nên MAB MAC Mặt khác B B C 1 1 M Do M 15.13 (h.15.19) Trên tia đối tia OA lấy điểm N cho ON OA AMO NCO c.g.c AM NC A1 N Ta có AB AM AC NC A A A Xét ACN có AC NC N 2 ABD ACD có: AB AC; AD chung A1 A2 nên BD CD (định lí 2) 15.14 (h.15.20) Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, vẽ tia Ax x BAM cho CA Trên tia Ax lấy điểm N cho AN AM AMB ANC c.g.c BM CN AMB ANC Mặt khác, AMB AMC nên ANC AMC (1) AMN cân A nên ANM AMN (2) Từ (1) (2), suy MNC NMC MC NC AMC ANC có: AM AN , AC chung MC NC nên MAC (định lí 2) MAC NAC MAB DAC DAB có AC AB, AD chung, DAC nên DC DB (định lí 2) DAB 15.15 (h.15.21) AMB AMC có: MB MC ; MA chung AB AC góc nhọn nên AMB AMC (định lí 2) M AMD M Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có: MDC M M ;M C nên MDC Mặt khác, M C 2 MC MD (định lí 1) Xét MDC có MDC C Lại MC MB nên MB MD hay MD MB 15.16 · Xét trường hợp AB AC ABC tam giác cân, có A 60o nên tam giác Suy AB BC CA 5cm Chu vi tam giác ABC 3 15 (cm) (1) · Xét trường hợp AB AC Khơng tính tổng qt, giả sử AB AC (h.15.22) Trên tia AB, AC lấy điểm M N cho AM AN 5cm Khi AMN tam giác MN 5cm Vì AM AN AB AC (= 10 cm) nên AB BM AN AB AN CN BM CN Ta có BMC (tính chất góc ngồi tam giác) suy BMN ; BMN ANM ; ANM NCM BMC NCM BMC NCM có: BM CN , MC chung BMC suy BC MN (định lí 2) NCM Chu vi ABC AB BC CA 10 BC 10 MN 15 (cm) Từ (1) (2), suy chu vi ABC nhỏ 15cm, AB AC 5cm (2)