Chuyên đề 3 chủ đề 7 tính chất đường trung trực

Toanhocsodo-ĐT:0945943199 CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa đường trung trực: Đường trung trực đoạn thẳng đường thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm Trên hình vẽ bên, d đường trung trực đoạn thẳng AB Ta nói: A đối xứng B qua d Định lí 1: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng Định lí 2: Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng MA = MB  M thuộc đường trung trực AB Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Vận dụng tính chất đường trung trực để giải toán Phương pháp giải: Sử dụng Định lí 1A Cho hai điểm A, B nằm đường trung trực đoạn thẳng MN, Chứng minh  MAB =  NAB 1B Cho  ABC cân B Lấy điểm D đối xứng với điểm B qua AC Chứng minh  ABD  = CBD  Tam giác ABC vng A có C = 30° Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho  AD = AC Tính số đo góc BDA 2A 2B Tam giác ABC có điểm A thuộc đường trung trực BC  Biết B = 40° Tính số đo góc  ABC 1.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 3A Tam giác DEF có DE < DF Gọi d đường trung trực EF M giao điểm d với DF a) Chứng minh DM + ME = DF b) Lấy điểm P nằm đường thẳng d (P M) Chứng minh DP + PE > DF c) So sánh chu vi hai tam giác DEM DEP 3B   Tam giác ABC có B  C = 30° Đường trung trực BC cắt AC K   a) Chứng minh KBC  KCB  b) Tính số đo góc ABK c) Biết AB = cm, AC = cm Tính chu vi tam giác ABK 4A Cho tam giác ABC Các đường trung trực AB AC cắt BC M N     a) Biết = B 30°, C = 45° Tính số đo góc BAC MAN   b) Chứng minh MAN = BAC - 180°  4B Cho tam giác ABC cân có A > 90° Các đường trung trực AB AC cắt cạnh BC theo thứ tự D E hai trung trực cắt F   a) Biết A = 110° Tính số đo góc DAE   b) Chứng minh BAC = DAE +180°  c) Tính góc DFE  5A Cho góc vng xOy Trên tia Ox, Oy lấy hai điểm A B (không trùng với O) Đường trưng trực đoạn thẳng OA OB cắt M Chứng minh: a) A, M, B thẳng hàng b) M trung điểm AB 5B Cho  ABC vuông A Đường trung trực đoạn thẳng AC cắt AC H, cắt BC D Nối A D   a) So sánh số đo góc DAB DBA b) Chứng minh D trung điểm BC Dạng Chứng minh điểm thuộc đường trung trực Chứng minh đường thẳng đường trung trực đoạn thẳng Phương pháp giải: 2.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 • Để chứng minh điểm M thuộc trung trực đoạn thẳng AB, ta dùng Định lí Định nghĩa đường trung trực • Để chứng minh đường thẳng d đường trung trực đoạn thẳng AB, ta chứng minh d chứa hai điểm cách A B, dùng định nghĩa đường trung trực 6A Cho đoạn thẳng AB = cm Vẽ đường tròn tâm A bán kính cm đường trịn tâm B bán kính cm Hai đường trịn cắt D, E Chứng minh: a) Điểm A thuộc đường trung trực DE; b) AB đường trung trực DE;  c) ADB = 90° 6B Cho đoạn thẳng AB Dựng tam giác cân MAB, NAB M N (M, N nằm khác phía so với AB) Chứng minh: a) Điểm M thuộc đường trung trực AB; b) MN đường trung trực AB 7A Cho  DEF có DE = DF Lấy điểm K nằm tam giác cho KE = KF Kẻ KP vng góc với DE (P  DE), KQ vng góc với DF (Q  DF) Chứng minh: a) K thuộc đường trung trực EF PQ; b) DK đường trung trực EF PQ Từ suy PQ//EF   7B Cho góc xOy khác góc bẹt Oz tia phân giác xOy Gọi M điểm thuộc tia Oz Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox A, cắt Oy C vẽ đường thẳng b vng góc với Oy B, cắt Ox D Chứng minh.: a) Điểm O thuộc đường trung trực AB; b) OM đường trung trực AB; c) Điểm M thuộc đường trung trực CD Dạng Xác định vị trí điểm thỏa mãn yêu cầu đề Phương pháp giải: Sử dụng Định lí để xác định điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng 8A Cho hai điểm A, B nằm phía với đường thẳng d Xác định vị trí điểm M đường thẳng d cho M cách hai điểm A B 8B Cho tam giác ABC Một đường thẳng d qua A khơng cắt đoạn thẳng BC Tìm vị trí điểm D đường thẳng d cho D cách hai điểm B C 3.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm khơng nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 Dạng Sử dụng tính chất đường trung trực vào tốn cực trị (tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất) Phương pháp giải: • Sử dụng tính chất đường trung trực để thay đổi độ dài đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng khác • Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn 9A Hai điểm A, B nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d Tìm vị trí điểm C đường thẳng d cho giá trị tổng CA + CB nhỏ 9B Hai nhà máy xây dựng hai địa điểm A B nằm phía khúc sơng thẳng Tìm bờ sơng địa điểm C để xây trạm bơm cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A đến B nhỏ III BÀI TẬP VỀ NHÀ  10 Cho góc xOy = 35° Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B Gọi C điểm đối xứng với A qua Oy a) Chứng minh  OAB =  OCB  b) Tính số đo góc AOC 11 AB  Cho tam giác ABC vng A có góc C = 60° Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua a) Chứng minh  BCD tam giác b) Biết BC = Tính độ dài cạnh AB, AC 12 Cho  ABC, đường phân giác AD Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Chứng minh: a) DB = DE; b) AD đường trung trực BE 13 Cho  ABC cân A, M trung điểm BC ME vng góc với AB, MF vng góc với AC Chứng minh: a) AM trung trực của BC; b) ME = MF AM trung trực EF; c) EF// BC 4.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 14 Cho tam giác ABC có AB < AC Trên cạnh AC lấy điểm D cho CD = AB Hai đường trung trực BD AC cắt E Chứng minh: a)  ABE =  CDE; b) Điểm E cách hai cạnh AB AC  15 Cho tam giác ABC cân A ( A < 90°) Đường trung trực cạnh AC cắt tia CB điểm D Trên tia đối tia AD lấy điểm E cho AE = BD Chứng minh.: a) Chứng minh  ADC cân;   b) Chứng minh DAC  ABC ; c) Chứng minh AD = CE; d) Lấy F trung điểm DE Chứng minh CF đường trung trực DE 16 Cho  ABC nhọn, đường cao AH Lấy điểm P Q đối xứng với H qua AB; AC a) Chứng minh AP = AQ   b) Cho BAC = 60° Tính số đo góc PAQ   c) Gọi I , K giao điểm PQ với AB, AC Chứng minh API  AHI AHK  AQK  d) Chứng minh HA tia phân giác IHK  17 Cho xOy = 90° Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B Kẻ đường trung trực HM đoạn thẳng OA (H  OA, M  AB) Chứng minh M thuộc đường trung trực OB 18 Cho tam giác ABC cố định, đường phân giác AI ( I  BC ) Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H Từ H kẻ đường thẳng song song với AI, cắt AB kéo dài E cắt AC F Chứng minh: a) Đường trung trực EF qua đỉnh A tam giác ABC; b) Khi H di động đoạn thẳng ỈC đường trung trực đoạn thẳng EF cố định 19 Cho tam giác ABC có AB < AC Xác định điểm D AC cho DA + DB = AC  20 Cho góc xAy , B C hai điểm thuộc hai tia Ax Ay Tìm điểm M cách hai cạnh góc cách hai điểm B C 5.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 21 Cho bốn điểm A, B, C, D tạo thành hình có AB / / CD BC//AD hình vẽ Giao điểm AC BD O Từ O vẽ vng góc với AC cắt cạnh BC, AD M, N Chứng minh AC trung trực MN AM = MC = CN = NA 22 Cho  ABC có AB = 10 cm, AC = 13 cm, Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AB Qua A kẻ đường thẳng d vng góc với BE M điểm đường thẳng d a) Chứng minh MB + MC  EC b) Tìm vị trí điểm M đường thẳng d cho MB + MC đạt giá trị nhỏ cho biết giá trị 23 Cho tam giác ABC Tìm điểm E thuộc đường phân giác góc ngồi đỉnh A cho tam giác EBC có chu nhỏ 24*  Cho điểm A nằm góc nhọn xOy a) Tìm hai điểm M, N thuộc Ox Oy cho AM + AN nhỏ b) Tìm hai điểm B, C thuộc Ox Oy cho  ABC có chu vi nhỏ HƯỚNG DẪN 1A Do A, B nằm đường trung trực đoạn thẳng MN nên AM = AN, BM = BN Suy  MAB =  NAB (c.c.c) 1B Tương tự 1A 2A AB đường trung trực AC => BD = BC =>  DBC cân B 6.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199   => BDA C 30 2B Tương tự 2A   Tính được: ACB 40 ; BAC 100 3A Do DE < DF nên M thuộc cạnh DF a) Có M thuộc đường trung trực EF nên ME = MF => DM + ME = DM + MF = DF b) Vì P thuộc đường trung trực EF nên PE = PF =>DP + PE = DP + PF Xét  DEF: DP + PF > DF Vậy DE + PE > DF c) Từ ý a) ý b) suy DP + PE > DM + ME Vậy chu vi tam giác DEP lớn chu vi tam giác DEM 3B   Do B  C nên AC > AB K thuộc cạnh AC a) K thuộc đường trung trực BC => KB = KC   =>  BKC cân K => KBC KCB b) Ta có: ABK  ABC  KBC   30  ABC  C c) Ta có: AK + BK = AK + KC = AC = 5cm => AB + AK + BK= + = cm Vậy chu vi tam giác ABK cm 4A a) Từ giả thiết suy AB > AC M nằm B N Ta có MA = MB, NA = NC 7.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199   A 30  B    C  A2 45 Nên AN  BC  Xét  ABC: A = 105°    Vậy MAN 90  ABN  BAM 30          b) Có: MAN  A  ( A1  A2 )  A  ( B  C )  A  (180  A)   Vậy MAN 2 A  180 4B Tương tự 4A Có   DAE 40 DFE 70 5A a) Gọi M1,M2 giao điểm trung trực đoạn OA,OB với AB   M1A = M1O nên A O1   M2O = M2B nên B O2      => O1  O2  A  B 90  M 1OM 0  M M M Vậy A, B, M thẳng hàng b) Từ kết ý a) MA = MB nên M trung điểm AB 5B   a) Từ giả thiết suy DC = DA => C  A1  A2  A1 90   A2 B     B  C 90   b) A2 B => DA = DB Mà DC = DA => DC = DB => ĐPCM 8.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 6A a) Từ giả thiết suy AD = AE Suy điểm A thuộc đường trung trực DE b) Tương tự ý a), ta có điểm điểm B thuộc đường trung trực DE Vậy AB đường trung trực DE c) Ta có AD2 + DB2 = 42 + 32 = 25 Mà AB2 = 25 Vậy  ABD vuông D 6B Tương tự 6A 7A  DE DF  a) Ta có:  KE KF nên K, D thuộc trung trực EF  DEK =  DFK (c.c.c)   => D1 D2 => DK đường phân  giác góc DEF =>  DPK =  DQK => KP = KQ DP = DQ Từ suy K, D thuộc trung trực PQ b) Từ ý a) ta có DK đường trung trực PQ DK đường trung trực EF Suy DK  PQ, DK  EF Vậy PQ // EF 7B a)  OAM =  OEM (ch-gn) OA OB   MA MB => O thuộc trung trực AB b) Từ ý a) ta có OM trung trực 9.Đường gắn khơng không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 AB  OBD =  OAC (cgv-gn) Tương tự 7A, ta có OM trung trực DC 8A Vì điểm M cách hai điểm A B nên M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB Vậy điểm M giao điểm đường thẳng d với đường trung trực AB Chú ý: Nếu A, B nằm cho AB  d khơng tồn điểm cần tìm 8B Tương tự 8A 9A Lấy D điểm đối xứng, với A qua d Theo tính chất đường trung trực: CA = CD Do CA + CB = CD + CB Gọi M giao điểm BD d Nếu C không trùng với M xét  BCD, ta có: CB + CD > BD hay CA + CB > BD (1) Nếu C trùng với M thì: CA + CB = MA + MB = MD + MB = BD (2) So sánh (1) (2) ta thấy điểm C trùng M hay C giao điểm BD d giá trị tổng CA + CB nhỏ Chú ý: Điểm C tìm vị trí M điểm Thật vậy, lấy E đối xứng với B qua d AE cắt d M vị trí mà BD cắt d 10.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 9B Tương tự 9A 10 a) Từ giả thiết suy OB đường trung trực AC => OA = OC, BA = BC =>  OAB =  OCB (c c c) b) Từ ý a) suy ra: AOB BOC  35  AOC 70 11 a) Có AB đường trung trực CD nên BD = BC  =>  BCD cân có C = 60° =>  BCD b)  BCD  CA  => CD = BC = CD  Xét  ABC vng A, ta có: AB = BC  AC = 12  ABD =  AED (c.g.c) => DB = DE (1) b) Theo giả thiết: AB = AE (2) Từ (1) (2) , suy AD đường trung trực BE 13 a) Từ giả thiết suy AB = AC MB = MC 11.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 => AM trung trực của BC   b)  ABC cân A nên B C  BEM =  CFM ( ch-gn) => ME = MF  BEM =  CFM (ch-gn) => BE = CF Mà AB = AC =>AE = AF Mặt khác, ME = MF Do AM trung trực EF c) Ta có: AM đương trung trực BC EF => AM  BC, AM  EF => EF // BC 14 a) Vì hai đường trung trực BD AC cắt E nên EA = EC, EB = ED =>  ABE =  CDE (c.c.c)   b)  ABE =  CDE => A1 C1     Mà EA = EC => A1 C1  A1  A2  => AE tia phân giác góc BAC => điểm E cách hai cạnh AB AC 15 a) Vì D thuộc đường trung trực AC nên DA = DC =>  ADC cân   b)  ADC cân => DAC DCA   Vì AB = AC nên ABC  ACD   => DAC  ABC 12.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 c) Ta có :     EAC  DAC DBA  ABC (180 )   Từ kết ý a), suy EAC  ADB Chứng minh  EAC =  DBA (c.g.c) => AD = CE d) Ta có: AD = CE, AD = CD nên CE = CD => CF đường trung trực DE 16 a) Từ giả thiết suy AP = AH AQ = AH nên AP = AQ b) Ta có:    PAQ PAH  HAQ   2( BAH  HAC )  2 BAC 120 c)  API =  AHI (c.c.c)  API  AHI (1)  AHK =  AQK ( c.c.c)   => AHK  AQK (2)   d) Có AP = AQ =>  PAQ cân A => API  AQK (3)   Từ (1),(2) (3) có: AHI  AHK  => HA tia phân giác IHK 17   Ta có MA = MO => O2  A     Mặt khác, A  B O2  O1 90   => O1 B => MO = MB Vậy M thuộc trung trực OB 18     a) Vì HE // AI nên E  A1 (đồng vị) F1  A2 (so le trong) 13.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199     Mà A1  A2 , E F1 => AE = AF => Đường trung trực EF qua đỉnh A tam giác ABC b) Vì EF//AI nên đường trung trực EF vng góc với AI Từ kết ý a), suy đường trung trực EF qua điểm A vng góc với AI cố định Vậy đường trung trực đoạn thẳng EF cố định 19 Ta có: AC = DA + DC Suy ra: DA + DB = AC  DA + DB = AD + DC  DB = DC  D thuộc đường trung trực BC Vậy D giao điểm AC với đường trung trực BC DA + DB = AC  Vì M cách hai cạnh góc xAy  nên M thuộc tia phân giác xAy 20 Vì M cách B C nên M thuộc đường trung trực BC Vậy M giao điểm tia phân giác  góc xAy đường trung trực BC Chú ý: Nếu B, C vị trí mà AB = AC tìm vơ số điểm M nằm trung trực BC 14.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 21 Chứng minh được:  BAC =  DCA (g.c.g) nên BC = AD;  BOC =  DOA (g.c.g) nên OC = AO   Do BC // AD nên MCO  NAO (so le trong)  MOC =  NO A => OM = ON, AC  MN trung điểm MN nên AC trung trực MN Suy AM = AN CM = CN, MN trung trực AC nên AM = MC Suy ĐPCM 22 a) Gọi F giao điểm đường thẳng d với AB nên AF  BE  AEF =  ABF (ch-cgv) => FE = FB => AF đường trung trực AB => ME = MB =>MB + MC = ME + MC Nếu điểm M không trùng điểm A, xét  MEC có ME + MC > EC nên MB + MC > EC (1) Nếu điểm M trùng điểm A, đó: MB + MC = AB + AC = AE + AC = EC (2) Từ (1) (2) suy MB + MC  EC b) Từ ý a) ta thấy điểm M trùng điểm A MB + MC đạt giá trị nhỏ Khi đó, ta có: MB + MC = EC = AB + AC = 23cm 23 Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua đường thẳng AE => AE đường trung trực CD =>ED = EC => EB + EC = EB + ED Tương tự 9A suy điểm E 15.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 trùng với điểm A giá trị tổng EB + EC nhỏ Khi đó, chu vi tam giác EBC nhỏ 24* Ox a) Từ A vẽ AM  Ox Đoạn AM nhỏ đoạn từ A đến điểm Tương tự AN  Oy Suy AM + AN tìm có giá trị nhỏ b) Lấy D đối xứng với A qua Ox, lấy E đối xứng với A qua Oy Đường DE cắt Ox, Oy B, C cần tìm Thật vậy, lấy điểm B',C' khác B,C ta ln có: BD + BC + CE < B' D + B'C' + C' E Mặt khác, ta có: AB + BC + CA = BD + BC + CE, AB' + B'C' + C'A + B'D + B'C' + C'E Vậy B, C hai điểm thỏa mãn yêu cầu đề 16.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên