Bài tập hình ôn thi vào 10 phần 5

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI QUẢNG GIÁO VIÊN CÙ MINH O Câu 81 Cho đường trịn   có hai đường kính AB MN vng góc với Trên tia đối tia MA lấy điểm C khác điểm M Kẻ MH vng góc với BC ( H thuộc BC ) a) Chứng minh BOMH tứ giác nội tiếp b) MB cắt OH E Chứng minh HO tia phân giác góc MHB c) Chứng minh: ME.MH BE.HC O d) Gọi giao điểm đường tròn   với đường tròn ngoại tiếp MHC K Chứng minh ba điểm C;K;E thẳng hàng Lời giải C M H K E A O B N a) Chứng minh BOMH tứ giác nội tiếp     Ta có AB  CD O nên MOA MOB NOA NOB 90   Ta có MH  BC H nên MHC MHB 90   Xét tứ giác BOMH có: MHB  MOB 90  90 180 Mà hai góc vị trí đối nên tứ giác BOMH nội tiếp (dấu hiệu nhận biết) b) MB cắt OH E Chứng minh HO tia phân giác góc MHB  Xét MOB có OM OB R , MOB 90 nên MOB vuông cân O nên    1 OBM OMB ;   Xét đường trịn ngoại tiếp tứ giác BOMH có: OBM OHM ( góc nội tiếp     chắn OM ) OMB OHB ( góc nội tiếp chắn OB ); TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN  2 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI QUẢNG  1 GIÁO VIÊN CÙ MINH  2   có: OHM OHB   HO tia phân giác MHB c) Chứng minh: ME.MH BE.HC Từ TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI QUẢNG GIÁO VIÊN CÙ MINH  Xét MHB có HO phân giác MHB ; HO cắt MB E nên ta có: ME MH   3 BE HB Áp dụng hệ thức lượng BMC vng M có MH đường cao, ta có: HM HC.HB  HM HC  HB HM  4 ME HC  Từ     suy BE HM    ME.HM BE.HC O d) Gọi giao điểm đường tròn   với đường tròn ngoại tiếp MHC K Chứng minh ba điểm C;K;E thẳng hàng  Vì MHC 90 (chứng minh trên) nên đường trịn ngoại tiếp MHC có đường kính MC   MKC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  MN đường kính đường trịn  O  nên MKN 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)    MKN  MKC 180  Ba điểm C , K , N thẳng hàng  *   Có BMC kề bù với AMB   Mà AMB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  BMC 90 Xét MHC BMC có:  MCB chung   BMC MHC 90    MHC BMC (g.g) HC MC  HM BM mà MB BN (do MBN cân B ) HC MC ME HC MC ME        HM BN , kết hợp BE HM (theo ) BN BE   Mà EBN EMC 90  MCE BNE (c.g.c)      MEC BEN (hai góc tương ứng) mà MEC  BEC 180 (do ba điểm M , E , B thẳng hàng)    BEC  BEN 180   Ba điểm C , E , N thẳng hàng  ** Từ  *  ** suy bốn điểm C , K , E , N thẳng hàng TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI QUẢNG GIÁO VIÊN CÙ MINH  Ba điểm C , K , E thẳng hàng (điều phải chứng minh) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI QUẢNG GIÁO VIÊN CÙ MINH Câu 82 Cho tam giác ABC vuông cân A Đường trịn đường kính AB cắt BC D ( D khác B ) Lấy điểm M AD Kẻ MH , MI vuông góc với AB , AC  H  AB, I  AC  1) Chứng minh tứ giác MDCI tứ giác nội tiếp   2) Chứng minh MID MBC K  ID  3) Kẻ HK  ID  Chứng minh K , M , B thẳng hàng đường thẳng HK qua điểm cố định M di động AD Lời giải C D K I A M H O B E  O 1) Xét   có ADB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  AD  BC   MDC 90  Lại có MIC 90 (vì MI  AC )   Xét tứ giác MDCI có MDI  MIC 180  MDIC tứ giác nội tiếp 2) ABC vuông cân A có AD đường cao suy AD đồng thời đường trung trực    1  MB MC  MBC cân M  MBC MCB    Vì MDIC tứ giác nội tiếp  MID MCD   (hai góc nội tiếp chắn MD ) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI QUẢNG Từ GIÁO VIÊN CÙ MINH    1   suy MID MBC TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI QUẢNG GIÁO VIÊN CÙ MINH    3) Tứ giác AIMH có AIM AHM IAH 90  AIMH hình vng   IMH 90    Ta có IAH IKH IMH 90  năm điểm A , I , K , M , H thuộc đường trịn đường kính IH  AIKM tứ giác nội tiếp    AIK  AMK 180  3     Ta có AIK AIM  MID 90  MID     AMB ADB  MBC 90  MBC (góc ngồi MBD )     Mà MID MBC  AIK AMB      Từ      AMB  AMK 180  BMK 180  K , M , B thẳng hàng   Vì AIKM tứ giác nội tiếp  AIM AKM 90    K   O Vì K , M , B thẳng hàng  AKM AKB 90 Gọi E giao điểm KH (O)  Vì AIMH hình vng  AIH 45    mà AIKH tứ giác nội tiếp AIH AKH ( hai góc nội tiếp chắn AH )   90  E  AKE 45  sđ AE cố định Do HK ln qua điểm E cố định M di động AD O O Câu 83 Cho đường tròn   điểm A nằm ngồi đường trịn   Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn  O  ( B C tiếp điểm) a) Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn O b)Đường thẳng CO cắt đường tròn   điểm thứ hai D ; đường thẳng AD cắt O đường tròn   điểm thứ hai E ; đường thẳng BE cắt AO F ; H giao điểm AO BC Chứng minh: AE.AD AH.AO AB HE vng góc với BF HC2 DE  1 2 AE AF  EF c) Chứng minh: TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI QUẢNG GIÁO VIÊN CÙ MINH D B E O H F A C TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI QUẢNG GIÁO VIÊN CÙ MINH a) Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp đường trịn  O Ta có: AOB90 (Vì AB tiếp tuyến B   )  AOC 90 (Vì AC tiếp tuyến C  O  )   Suy ra: AOB  AOC 90  90 180   Lại có: AOB AOC hai góc đối tứ giác ABOC nên tứ giác ABOC nội tiếp đường trịn đường kính AO b)    ABO 90 AOB +) Xét tam giác có: BH  AO (2 tiếp tuyến AB, AC cắt A )  AB2 AH.AO  1 +) Xét AEB ABD có:  BAE : góc chung     BDA ABE ( BDA góc nội tiếp ABE góc tạo tia tiếp tuyến dây cung, hai góc chắn cung BE ) AEB # ABD  g  g  Suy AE AB    AB2 AE.AD   AB AD  1  2 suy AE.AD AH.AO AB AE AH AE.AD AH.AO   AO AD +) Ta có : Xét AEH AOD có: Từ  EAH : góc chung AE AH  AO AD   AEH # AOD  c  g  c   AEH AOD Suy ( hai góc tương ứng )   Mà AEH  DEH 180 ( kề bù )      3 AOD  AOC 180 ( kề bù ) Suy DEH HOC   +) Ta có: BED DCB (hai góc nội tiếp chắn cung BD )   +) Lại có: OB OC; AB AC   OA đường trung trực BC  OH  BC  HOC  HCO 90 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN  5 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI QUẢNG Từ    3 ,   ,  5 suy DHE  BED 90  HE  BF TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN GIÁO VIÊN CÙ MINH (ở viết nhầm góc DHE mà góc DEH) 10 PHONE: 0983.265.289