Tích phân on thi dai hoc cao dang pot

Tích phân xác định A – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I – Tính tích phân bằng phương pháp phân tích: ∫ + 2 0 2 )2(x xdx ∫ + 2 0 2 3 2x dxx ∫ 6 0 3 sin π xdx ∫ + 4 0 cossin sin π xx xdx ∫ π 0 3sin xdxx dxe x ex ∫ + 1 0 ∫ + 2 1 2 )2(xx dx ∫ + 1 0 5 )1( dxxx ∫ + ++ 1 0 3 1 1 dx x xx ∫ + 2 0 sin1cos π dxxx dx xxx ∫ 2 0 532 ∫ + 4 1 2 3 ) 1 ( dx x x ∫ e dx x x 1 5 ln ∫ 2 0 3cos2sincos π xdxxx ∫ 2 0 22 cos π x xdx ∫ 2 0 5 π xdxtg ∫ + 2 1 3 xx dx ∫ + 3 6 sin21 cos π π dx x x ∫ + − 4 0 5cos21 7cos8cos π dx x xx II – Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến: a) Phương pháp đổi biến dạng 1: • ∫ − 1 0 2 1 dxx ∫ − 2 0 2 4 dxx ∫ + 1 0 2 1 1 dx x ∫ +− 1 0 2 1 1 dx xx ∫ ++ 1 0 2 1 1 dx xx ∫ − 2 0 22 4 dxxx dx xa x a ∫ + 0 2 3 22 3 )( ∫ − 2ln 0 1dxe x ∫ − 2 0 22 1 a dx xa b) Phương pháp đổi biến số dạng 2: I = ∫ b a dxxf )( +) Đặt t = U(x), U(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] +) Tính dt = U’(x)dx, biểu thị f(x)dx = g(t)dt Đổi cận: x a b t = U(x) U(a) U(b) +) Xác định nguyên hàm G(t) của g(t) +) I = ∫ b a dxxf )( = ∫ )( )( )( bU aU dttg = G(U(b))- G(U(a)). Các ví dụ áp dụng: ∫ + + 3 0 2 1 1 dx x x ∫ + + 3 7 0 3 13 1 dx x x ∫ − 1 0 235 )1( dxxx ∫ + +− + 2 15 1 24 2 1 1 dx xx x ∫ + 2 1 4 2 1 dx x x ∫ + + 3 0 1 1 dtte t ∫ + + 2 0 1cos3 sin2sin π dx x xx ∫ + e dx xx x 1 ln1 ln ∫ + 15 0 3 2 3 1 dx x x III – Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần: +) Có d(uv) = (uv)’dx = vdu + udv, từ đó ∫∫∫ += b a b a b a udvvduuvd )( nên: ∫∫ −= b a b a vdu a b uvudv (1) • Các ví dụ áp dụng: 1 ∫ −= ∫ b a vdu a b uv b a udv ∫ 2 0 cos π dxxe x ∫ + 1 0 2 )1ln( dxxx ∫ π 0 2 .cos dxex x ∫ π e dxx 1 )cos(ln ∫ 1 0 2 cos dx x x ∫ − + 3 2 1 1 ln dx x x x dxxx ∫ ++ 3 0 2 )1ln( ∫ + + 2 0 cos1 sin π dx x xx ∫ 2 0 sin π dxx ∫ π 0 3 .sin4 dxex x B - MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I – Tích phân hàm số hữu tỉ: Chú ý:+) 321)3)(2)(1( )( − + − + − = −−− x C x B x A xxx xP +) 2 )1( 1 )2()1( )( 22 − + − + − = −− x C x B x A xx xP +) cbxax D cbxax baxC x B x A cbxaxxx xP ++ + ++ + + − + − = ++−− 222 )2( 21 ))(2)(1( )( ( 0 2 =++ cbxax vô nghiệm) Để tìm A, B, C, D có thể sử dụng hai phương pháp: Đồng nhát thức và hằng số biến thiên. ∫ +− − 5 3 2 23 12 dx xx x ∫ ++ b a dx bxax ))(( 1 ∫ + ++ 1 0 3 1 1 dx x xx dx x xx ∫ + ++ 1 0 2 3 1 1 ∫ + 1 0 3 2 )13( dx x x ∫ ++ 1 0 22 )3()2( 1 dx xx ∫ + − 2 1 2008 2008 )1( 1 dx xx x ∫ − +− ++− 0 1 2 23 23 9962 dx xx xxx ∫ − 3 2 22 4 )1( dx x x ∫ + − 1 0 2 32 )1( dx x x n n ∫ ++ − 2 1 24 2 )23( 3 dx xxx x ∫ + 2 1 4 )1( 1 dx xx ∫ + 2 0 2 4 1 dx x ∫ − 1 0 42 )1( dxxx ∫ + 1 0 4 1 dx x x dx xx ∫ +− 2 0 2 22 1 ∫ + 1 0 32 )1( dx x x ∫ +− 4 2 23 2 1 dx xxx ∫ + 2 1 3 )12ln( dx x x ∫ +− ++ 3 2 3 2 23 333 dx xx xx ∫ + − 2 1 4 2 1 1 dx x x ∫ + 1 0 3 1 1 dx x ∫ + +++ 1 0 6 456 1 2 dx x xxx ∫ + − 1 0 2 4 1 2 dx x x ∫ + + 1 0 6 4 1 1 dx x x ∫ += 1 0 32 )1( dxxxI n , (n ≥ 1), Tìm I n n n 2 lim +∞→ II – Tích phân hàm số lượng giác: Chú ý: Dạng 1: ∫ b a mn xdxx cos.sin +) Nếu m và n cùng chẵn dương dùng công thức hạ bậc +) Nếu m và n cùng chẵn âm đặt t = tgx hay t = cotgx +) Nếu m lẻ và dương đặt t = sinx +) Nếu n lẻ và dương đặt t = cosx Dạng 2: ∫ b a dxxxR )cos,(sin ( R là hàm hữu tỉ) +) Nếu )cos,(sin xxR Bậc lẻ đối với sinx, chẵn đối với cosx đặt t = cosx +) Nếu )cos,(sin xxR Bậc lẻ đối với cosx, chẵn đối với sinx đặt t = sinx +) Nếu )cos,(sin xxR Có bậc sinx, cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ đặt t = tgx Dạng 3: ∫ ++ β α dx cxbxa 'cos'sin' 1 , ∫ + + β α dx xbxa xbxa cos'sin' cossin , ∫ ++ ++ β α dx cxbxa cxbxa 'cos'sin' cossin , +) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng: 'cos'sin' 1 cxbxa ++ 2 Đặt t = tg 2 x , lúc đó sinx = 2 1 2 t t − , cosx = 2 2 1 1 t t + − +) Phân tích : xbxa xbxa cos'sin' cossin + + = xbxa xbxaB A cos'sin' )sin'cos'( + − + +) 'cos'sin' cossin cxbxa cxbxa ++ ++ = 'cos'sin''cos'sin' )sin'cos'( cxbxa C cxbxa xbxaB A ++ + ++ − + +) xcxxbxa 22 coscossinsin 1 ++ Chia cả tử và mẫu cho cos 2 x, Đặt t = tgx. Các bài tập áp dụng: xdxx 4 2 0 2 cossin ∫ π ∫ 2 0 32 cossin π xdxx dxxx ∫ 2 0 54 cossin π ∫ + 2 0 33 )cos(sin π dxx ∫ + 2 0 44 )cos(sin2cos π dxxxx ∫ −− 2 0 22 )coscossinsin2( π dxxxxx ∫ −+ 2 0 441010 )sincoscos(sin π dxxxxx ∫ 2 3 sin 1 π π dx x ∫ + 2 0 sin2 1 π dx x ∫ − 2 0 cos2 π x dx ∫ + 2 0 2 3 cos1 sin π dx x x ∫ 3 6 4 cos.sin π π xx dx ∫ −+ 4 0 22 coscossin2sin π xxxx dx ∫ + 2 0 cos1 cos π dx x x ∫ − 2 0 cos2 cos π dx x x ∫ + 2 0 sin2 sin π dx x x ∫ + 2 0 3 cos1 cos π dx x x ∫ ++ 2 0 1cossin 1 π dx xx ∫ − 2 3 2 )cos1( cos π π x xdx ∫ − ++ +− 2 2 3cos2sin 1cossin π π dx xx xx ∫ 4 0 3 π xdxtg dxxg ∫ 4 6 3 cot π π ∫ 3 4 4 π π xdxtg ∫ + 4 0 1 1 π dx tgx ∫ + 4 0 ) 4 cos(cos π π xx dx ∫ ++ ++ 2 0 5cos5sin4 6cos7sin π dx xx xx ∫ + π 2 0 sin1 dxx ∫ ++ 4 0 13cos3sin2 π xx dx ∫ + 4 0 4 3 cos1 sin4 π dx x x ∫ + ++ 2 0 cossin 2sin2cos1 π dx xx xx ∫ + 2 0 cos1 3sin π dx x x ∫ − 2 4 sin2sin π π xx dx ∫ 4 0 2 3 cos sin π dx x x ∫ + 2 0 32 )sin1(2sin π dxxx ∫ π 0 sincos dxxx ∫ − 3 4 3 3 3 sin sinsin π π dx xtgx xx ∫ ++ 2 0 cossin1 π xx dx ∫ + 4 0 222 cossin 2sin π xbxa xdx ∫ + 2 0 1sin2 π x dx ∫ + 2 0 2 cos1 cos π x xdx ∫ + + 4 0 2sin3 cossin π dx x xx ∫ 2 4 53 sincos π π xdxx ∫ + 4 0 2 cos1 4sin π x xdx ∫ + 2 0 3sin5 π x dx ∫ 6 6 4 cossin π π xx dx ∫ + 3 6 ) 6 sin(sin π π π xx dx ∫ + 3 4 ) 4 cos(sin π π π xx dx ∫ 3 4 6 2 cos sin π π x xdx dxxtgxtg ) 6 ( 3 6 π π π ∫ + ∫ + 3 0 3 )cos(sin sin4 π xx xdx 3 ∫ − + 0 2 2 )sin2( 2sin π x x ∫ 2 0 3 sin π dxx ∫ 2 0 2 cos π xdxx ∫ + 2 0 12 .2sin π dxex x dxe x x x ∫ + + 2 0 cos1 sin1 π ∫ + 4 6 2cot 4sin3sin π π dx xgtgx xx ∫ +− 2 0 2 6sin5sin 2sin π xx xdx ∫ 2 1 )cos(ln dxx ∫ 3 6 2 cos )ln(sin π π dx x x dxxx ∫ − 2 0 2 cos)12( π ∫ π 0 2 cossin xdxxx ∫ 4 0 2 π xdxxtg ∫ π 0 22 sin xdxe x ∫ 2 0 3sin cossin 2 π xdxxe x ∫ + 4 0 )1ln( π dxtgx ∫ + 4 0 2 )cos2(sin π xx dx ∫ −+ − 2 0 2 )cos2)(sin1( cos)sin1( π dx xx xx III – Tích phân hàm số chứa căn thức: ∫ b a dxxfxR ))(,( Trong đó R(x, f(x)) có các dạng: +) R(x, xa xa + − ) Đặt x = a cos2t, t ] 2 ;0[ π ∈ +) R(x, 22 xa − ) Đặt x = ta sin hoặc x = ta cos +) R(x, n dcx bax + + ) Đặt t = n dcx bax + + +) R(x, f(x)) = γβα +++ xxbax 2 )( 1 Với ( γβα ++ xx 2 )’ = k(ax+b) Khi đó đặt t = γβα ++ xx 2 , hoặc đặt t = bax + 1 +) R(x, 22 xa + ) Đặt x = tgta , t ] 2 ; 2 [ ππ −∈ +) R(x, 22 ax − ) Đặt x = x a cos , t } 2 {\];0[ π π ∈ Các bài tập áp dụng: ∫ + 32 5 2 4xx dx ∫ − 2 3 2 2 1xx dx ∫ − +++ 2 1 2 1 2 5124)32( xxx dx ∫ + 2 1 3 1xx dx ∫ + 2 1 2 2008dxx ∫ + 2 1 2 2008x dx ∫ + 1 0 22 1 dxxx ∫ − 1 0 32 )1( dxx ∫ + + 3 1 22 2 1 1 dx xx x ∫ − + 2 2 0 1 1 dx x x ∫ + 1 0 32 )1( x dx ∫ − 2 2 0 32 )1( x dx ∫ + 1 0 2 1 dxx ∫ − 2 2 0 2 2 1 x dxx ∫ + 2 0 2cos7 cos π x xdx ∫ − 2 0 2 coscossin π dxxxx ∫ + 2 0 2 cos2 cos π x xdx ∫ + + 2 0 cos31 sin2sin π dx x xx ∫ + 7 0 3 2 3 1 x dxx ∫ − 3 0 23 10 dxxx ∫ + 1 0 12x xdx ∫ ++ 1 0 2 3 1xx dxx ∫ ++ 7 2 112x dx dxxx ∫ + 1 0 815 31 ∫ − 2 0 5 6 3 cossincos1 π xdxxx 4 ∫ + 3ln 0 1 x e dx ∫ − +++ 1 1 2 11 xx dx ∫ + 2ln 0 2 1 x x e dxe ∫ −− 1 4 5 2 8412 dxxx ∫ + e dx x xx 1 lnln31 ∫ + + 3 0 2 35 1 dx x xx dxxxx ∫ +− 4 0 23 2 ∫ − ++ 0 1 3 2 )1( dxxex x ∫ + 3ln 2ln 2 1ln ln dx xx x ∫ + 3 0 2 2 cos 32 cos 2cos π dx x tgx x x ∫ + 2ln 0 3 )1( x x e dxe ∫ + 3 0 2cos2 cos π x xdx ∫ + 2 0 2 cos1 cos π x xdx dx x x ∫ + + 7 0 3 3 2 ∫ + a dxax 2 0 22 IV – Tích phân hàm số chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: ∫ b a dxxf )( Chú ý: +) Xét dấu hàm số f(x) trên [a, b], dụa vào bảng xét dấu ⇒ dấu của f(x) +) Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên [a, b] thì ∫ b a dxxf )( = ∫ b a dxxf )( +) Nếu f(x) = 0 c0s các nghiệm x 1 , x 2 trên [a, b] (x 1 , x 2 ) thì: ∫ b a dxxf )( = ∫ 1 )( x a dxxf + ∫ 2 1 )( x x dxxf + ∫ b x dxxf 2 )( = ∫ 1 )( x a dxxf + ∫ 2 1 )( x x dxxf + ∫ b x dxxf 2 )( Các bài tập áp dụng: ∫ − − 3 3 2 1dxx ∫ +− 2 0 2 34 dxxx ∫ − 2 0 2 dxxx ∫ − 1 0 dxmxx ∫ − 2 2 sin π π dxx ∫ − − π π dxxsin1 ∫ −+ 3 6 22 2cot π π dxxgxtg ∫ 4 3 4 2sin π π dxx ∫ + π 2 0 cos1 dxx ∫ − −−+ 5 2 )22( dxxx ∫ − 3 0 42 dx x ∫ − − 3 2 3 coscoscos π π dxxxx V - Một số tích phân đặc biệt - Đẳng thức tích phân: Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: ∫∫ −+= − aa a dxxfxfdxxf 0 )]()([)( Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [- 2 3 ; 2 3 ππ ] thỏa mãn f(x) + f(-x) = x2cos22 − , Tính: ∫ − 2 3 2 3 )( π π dxxf +) Tính ∫ − + + 1 1 2 4 1 sin dx x xx Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: ∫ − a a dxxf )( = 0. Ví dụ: Tính: ∫ − ++ 1 1 2 )1ln( dxxx ∫ − ++ 2 2 2 )1ln(cos π π dxxxx 5 Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: ∫ − a a dxxf )( = 2 ∫ a dxxf 0 )( Ví dụ: Tính ∫ − +− 1 1 24 1xx dxx Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó: ∫∫ = + − aa a x dxxfdx b xf 0 )( 1 )( (1 ≠ b>0, ∀ a) Ví dụ: Tính: ∫ − + + 3 3 2 21 1 dx x x ∫ − + 2 2 1 5cos3sinsin π π dx e xxx x Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0; 2 π ], thì ∫∫ = 2 0 2 0 )(cos)(sin ππ dxxfxf Ví dụ: Tính ∫ + 2 0 20092009 2009 cossin sin π dx xx x ∫ + 2 0 cossin sin π dx xx x Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: ∫∫ = ππ π 00 )(sin 2 )(sin dxxfdxxxf Ví dụ: Tính ∫ + π 0 sin1 dx x x ∫ + π 0 cos2 sin dx x xx Bài toán 6: ∫∫ =−+ b a b a dxxfdxxbaf )()( ⇒ ∫∫ =− bb dxxfdxxbf 00 )()( Ví dụ: Tính ∫ + π 0 2 cos1 sin dx x xx ∫ + 4 0 )1ln(4sin π dxtgxx Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì: ∫∫ = + TTa a dxxfdxxf 0 )()( ⇒ ∫∫ = TnT dxxfndxxf 00 )()( Ví dụ: Tính ∫ − π 2008 0 2cos1 dxx Các bài tập áp dụng: ∫ − + − 1 1 2 21 1 dx x x ∫ − +−+− 4 4 4 357 cos 1 π π dx x xxxx ∫ − ++ 1 1 2 )1)(1( xe dx x ∫ − − + 2 2 2 sin4 cos π π dx x xx ∫ − + − 2 1 2 1 ) 1 1 ln(2cos dx x x x dxnx)xsin(sin 2 0 ∫ + π ∫ − + 2 2 5 cos1 sin π π dx x x 1 )1(1 cot 1 2 1 2 = + + + ∫∫ ga e tga e xx dx x xdx (tga>0) VI – Bất đẳng thức tích phân: Một số chú ý: +) Nếu f(x) ≥ g(x) ∀ x ];[ ba∈ thì ∫∫ ≥ b a b a dxxgdxxf )()( +) dxxfdxxf b a b a ∫∫ ≤ )()( 6 +) Nếu ≤m f(x) ≤ M thì )()()( abMdxxfabm b a −≤≤− ∫ +) Để tìm miền giá trị của f(x) có thể sử dụng các BĐT hay phương pháp hàm số. Các bài tập áp dụng: 8 2 1 0 2 π < ++ ∫ xx dx ∫ < −− < 2 1 0 32 8 2 4 6 ππ xx dx ∫ − << 2 1 421 3 dx x ∫ ∈≥< − < 2 1 0 2 ),1( 6 1 2 1 Nnn x dx n π ∫ << 3 6 2 1sin 4 3 π π dx x x 4 4 1 0 1 1 2 π + ≥ ∫ + dxe x 27 4 )1(0 1 0 2 ≤−≤ ∫ dxxx ∫ ≤≤ 3 4 3 1cot 12 3 π π dx x gx ∫ − ≤−−+≤ 11 7 108)117(254 dxxx ∫ ≤≤ 1 0 4 9 4 sin 53 62 xdxx ∫ ≤ + ≤ 2 0 2 10 cos35 6 π ππ x dx ∫ ≤ − ≤ 2 1 0 2008 6 1 2 1 π x dx ∫∫ ≤ 2 1 2 1 2 lnln xdxxdx ∫ < ++ < π ππ 0 2 3 32 1coscos 3 3 x dx ∫ ≤ π π π 200 100 200 1cos dx x x 7 . Tích phân xác định A – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I – Tính tích phân bằng phương pháp phân tích: ∫ + 2 0 2 )2(x xdx ∫ + 2 0 2 3 2x dxx ∫ 6 0 3 sin π xdx ∫ + 4 0 cossin sin π xx xdx ∫ π 0 3sin. dtte t ∫ + + 2 0 1cos3 sin2sin π dx x xx ∫ + e dx xx x 1 ln1 ln ∫ + 15 0 3 2 3 1 dx x x III – Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần: +) Có d(uv) = (uv)’dx = vdu + udv, từ đó ∫∫∫ += b a b a b a udvvduuvd. dx x x x dxxx ∫ ++ 3 0 2 )1ln( ∫ + + 2 0 cos1 sin π dx x xx ∫ 2 0 sin π dxx ∫ π 0 3 .sin4 dxex x B - MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I – Tích phân hàm số hữu tỉ: Chú ý:+) 321)3)(2)(1( )( − + − + − = −−− x C x B x A xxx xP +) 2 )1( 1 )2()1( )( 22 − + − + − = −− x C x B x A xx xP +)