Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian metric suy rộng

Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐOÀN TRỌNG HIẾU VỀ SỰ TỒN TẠI TOÁN TỬ PICARD TRONG MỘT SỐ LỚP KHƠNG GIAN METRIC SUY RỘNG Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 946 01 02 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2023 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Hà Trần Phương TS Bùi Thế Hùng Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường Họp tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Vào hồi ngày tháng năm 2023 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia; - Trung tâm số - Đại học Thái Nguyên; - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Mở đầu Lịch sử nghiên cứu lý chọn đề tài Năm 1922, S Banach chứng minh định lý tiếng mà ngày ta thường gọi "Nguyên lý ánh xạ co Banach" Định lý Cho (X, ρ) không gian metric đầy đủ T : X → X ánh xạ Giả sử tồn r ∈ [0, 1) cho ρ(T a, T b) rρ(a, b) với a, b ∈ X (0.1) Khi đó, T có điểm bất động a ¯ ∈ X với a ∈ X, dãy lặp {T n a} hội tụ đến a ¯ Cơng trình S Banach đánh giá quan trọng, mở hướng nghiên cứu việc phát triển lý thuyết điểm bất động, lý thuyết điểm bất động metric Trong thập kỷ gần đây, lý thuyết điểm bất động metric đánh giá thành tựu toán học Lý thuyết điểm bất động thu hút quan tâm nhiều tác giả nước thu nhiều kết quan trọng có ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Toán học nghiên cứu tồn nghiệm phương trình vi phân, hệ phương trình tuyến tính, phương trình tích phân, Nguyên lý ánh xạ co Banach cho điều kiện đủ để ánh xạ từ không gian metric đầy đủ X vào có điểm bất động Có nhiều tác giả tìm cách phát triển Nguyên lý ánh xạ co Banach với điều kiện co khác lớp không gian khác Chẳng hạn M Edelstein năm ´ c năm 1974, 1962, E Rakotch năm 1962, A Meir E Keeler năm 1969, Lj B Ciri´ A C M Ran cộng năm 2004, M Berinde V Berinde năm 2007, G L Huang X Zhang năm 2007, T Suzuki năm 2007, Sh Rezapour R Hamlbarani năm 2008, T Suzuki năm 2009, W S Du năm 2010, D Wardowski năm 2012, R Pant năm 2016, S.-i Ri năm 2016 nhiều tác giả khác Khi nghiên cứu điểm bất động ánh xạ, năm 1983, I A Rus giới thiệu khái niệm toán tử Picard toán tử Picard yếu khơng gian metric Khái qt khái niệm cho lớp khơng gian tơpơ ta có định nghĩa sau: Định nghĩa Cho X không gian tôpô Một ánh xạ T : X → X gọi tốn tử Picard yếu T có điểm bất động với a ∈ X, dãy {T n a} hội tụ đến điểm bất động T Nếu T tốn tử Picard yếu có điểm bất động T gọi tốn tử Picard Từ định nghĩa ta thấy, toán tử Picard toán tử Picard yếu liên quan chặt chẽ đến điểm bất động ánh xạ, chẳng hạn ánh xạ co Banach tốn tử Picard khơng gian metric đầy đủ Trong cơng trình I A Rus, M Berinde V Berinde số công trình khác, tác giả nghiên cứu số tính chất tốn tử Picard tốn tử Picard yếu liên quan đến tập điểm bất động ánh xạ đơn đa trị Trong luận án này, tập trung nghiên cứu tồn toán tử Picard gắn với điều kiện co Các kết nghiên cứu theo hướng thời gian gần chia thành ba vấn đề chủ yếu: Xây dựng điều kiện đủ để ánh xạ toán tử Picard hay toán tử Picard yếu lớp không gian metric liên quan đến điều kiện co Xây dựng số không gian có cấu trúc mở rộng từ lớp khơng gian metric (ta thường gọi không gian metric suy rộng) xây dựng điều kiện đủ liên quan đến điều kiện co, để ánh xạ toán tử Picard hay toán tử Picard yếu lớp không gian Nghiên cứu ứng dụng khác lớp toán tử Picard toán tử Picard yếu Theo hướng nghiên cứu thứ nhất, tác giả tập trung vào cải tiến điều kiện co Banach xây dựng điều kiện co để ánh xạ toán tử Picard hay toán tử Picard yếu Năm 1962, M Edelstein thiết lập điều kiện đủ để ánh xạ toán tử Picard cho không gian metric compact: Với (X, ρ) không gian metric compact ánh xạ T : X → X thỏa mãn ρ(T a, T b) < ρ(a, b) với a, b ∈ X, a 6= b, toán tử Picard Ở đây, điều kiện co M Edelstein nhẹ điều kiện co S Banach, nhiên điều kiện không gian lại nặng Tiếp theo cơng trình M Edelstein, có nhiều tác giả phát triển Nguyên lý ánh xạ co Banach không gian metric cách thay số r điều kiện (0.1) số, tham số hay hàm số khác giới hạn điều kiện (0.1) cần với số phần tử a, b ∈ X Chẳng hạn A Meir E Keeler thiết lập điều kiện đủ để ánh xạ toán tử Picard không gian đầy đủ (X, ρ) điều kiện: Với ε > 0, tồn δ > cho ε ρ(a, b) < ε + δ kéo theo ρ(T a, T b) < ε với a, b ∈ X; năm 2016, S.-i Ri thay số co hàm tham số thu được: Cho (X, ρ) không gian metric đầy đủ T : X → X ánh xạ Giả sử tồn hàm ϕ : (0, +∞) → (0, +∞) thỏa mãn ϕ(t) < t, lim sup ϕ(s) < t với t > ρ(T a, T b) ϕ(ρ(a, b)) với s→t+ a, b ∈ X Khi đó, T tốn tử Picard Năm 2007, cách sử dụng hàm tham số không tăng, T Suzuki thu kết sau Định lý Cho (X, ρ) không gian metric đầy đủ ánh xạ T từ X vào Hàm không tăng ϕ : [0, 1) → ( 12 , 1] định nghĩa √  5−1  r  , √ ϕ(r) = r 2− , (1 − r)r−2 5−1   (1 + r)r−1 2− r < Giả sử tồn r ∈ [0, 1) cho ϕ(r)ρ(a, T a) ρ(a, b) kéo theo ρ(T a, T b) rρ(a, b), với a, b ∈ X Khi đó, T toán tử Picard Việc xây dựng điều kiện co mới, khác với điều kiện co Banach thu hút nhiều tác giả Chẳng hạn J Górnicki, G E Hardy T D Rogers, S Reich Trong luận án quan tâm đến lớp ánh xạ co Kannan Cụ thể, năm 1968, R Kannan chứng minh Định lý Cho (X, ρ) không gian metric đầy đủ ánh xạ T từ X vào Giả sử tồn r ∈ [0, 12 ) cho
ρ(T a, T b) r ρ(a, T a) + ρ(b, T b) với a, b ∈ X (0.2) Khi đó, T tốn tử Picard Ánh xạ thỏa mãn giả thiết Định lý gọi ánh xạ Kannan Trong công trình R Kannan trường hợp cụ thể ánh xạ Kannan không liên tục, tính chất khác với ánh xạ co Banach Một ứng dụng quan trọng khác ánh xạ Kannan mơ tả tính đầy đủ khơng gian metric theo tính chất điểm bất động ánh xạ Điều P V Subramanyam chứng minh năm 1975, cụ thể là: “Không gian metric (X, ρ) đầy đủ ánh xạ Kannan có điểm bất động nhất” Chú ý lớp ánh xạ co Banach khơng có tính chất Vì thế, lớp ánh xạ Định lý thu hút quan tâm nhiều nhà toán học, chẳng hạn L S Dube S P Singh, J Górnicki, G Hiranmoy cộng nhiều tác giả khác Kí hiệu 1 S = {f : (0, ∞) → [0, ) : f (tn ) → kéo theo tn → n → ∞}, 2 1 H = {ϕ : (0, ∞) → [0, ) : ϕ(tn ) → kéo theo tn → n → ∞} 3 Bằng việc sử dụng hàm điều khiển trên, năm 2018, J Górnicki thu kết sau: Định lý Cho (X, ρ) không gian metric đầy đủ T : X → X ánh xạ Giả sử tồn hàm f ∈ S cho với a, b ∈ X, a 6= b, ta ln có
ρ(T a, T b) ≤ f (ρ(a, b)) ρ(a, T a) + ρ(b, T b) Khi đó, T tốn tử Picard Định lý Cho (X, ρ) không gian metric đầy đủ T : X → X ánh xạ Giả sử tồn hàm ϕ ∈ H cho với a, b ∈ X, a 6= b, ta ln có
ρ(T a, T b) ≤ ϕ(ρ(a, b)) ρ(a, T a) + ρ(b, T b) + ρ(a, b) Khi đó, T tốn tử Picard Có thể thấy kết J Górnicki mở rộng phát triển Định lý R Kannan Năm 2014, với ý tưởng kết hợp điều kiện co Banach Kannan, K Farshid cộng thiết lập điều kiện đủ để ánh xạ toán tử Picard yếu Định lý Cho (X, ρ) không gian metric đầy đủ ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện ρ(T a, T b) M (a, b)ρ(a, b) với a, b ∈ X, M (a, b) = ρ(a, T b) + ρ(b, T a) ρ(a, T a) + ρ(b, T b) + Khi (1) T tốn tử Picard yếu; (2) Nếu a ¯, ¯b ∈ X hai điểm bất động khác T ρ(¯ a, ¯b) > Năm 2017, Y U Gaba thiết lập kết tương tự K Farshid cộng không gian G−metric Cùng với việc nghiên cứu ánh xạ Kannan đơn trị, thời gian gần có số tác giả nghiên cứu ánh xạ Kannan đa trị Cho (X, D, K) không gian b−metric mạnh, kí hiệu CB(X) tập hợp tất tập khác rỗng, đóng bị chặn X Hàm H xác định H(A, B) := max{sup d(a, A), sup d(a, B)}, a∈B a∈A A, B ∈ CB(X) d(a, A) := inf b∈A ρ(a, b), gọi metric Hausdorff CB(X) cảm sinh b−metric mạnh D Tương tự trường hợp ánh xạ đơn trị, năm 1991, I A Rus giới thiệu toán tử Picard yếu đa trị Khái quát khái niệm cho lớp khơng gian b−metric mạnh ta có định nghĩa sau: Định nghĩa Cho (X, D, K) không gian b−metric mạnh Một ánh xạ đa trị T : X → CB(X) gọi toán tử Picard yếu đa trị T có điểm bất động (tức tồn phần tử a ¯ ∈ X cho a ¯ ∈ Ta ¯) với a ∈ X, với b ∈ T a, tồn dãy {an } thỏa mãn: (i) a0 = a, a1 = b; (ii) an+1 ∈ T an với n = 0, 1, ; (iii) dãy {an } hội tụ đến điểm bất động X Nếu T toán tử Picard yếu đa trị có điểm bất động T gọi toán tử Picard đa trị Năm 1970, L S Dube S P Singh chứng minh dạng Định lý cho trường hợp ánh xạ đa trị: Định lý Cho (X, ρ) không gian metric đầy đủ ánh xạ đa trị liên tục T : X → CB(X) Giả sử tồn s ∈ [0, 12 ) cho
H(T a, T b) ≤ s d(a, T a) + d(b, T b) với a, b ∈ X Khi đó, T tốn tử Picard yếu đa trị Ngồi cơng trình L S Dube S P Singh cịn có số cơng trình tác giả khác tồn toán tử Picard yếu đa trị Chẳng hạn M Berinde V Berinde, A Felhi, I A Rus cộng số công trình khác Theo hướng nghiên cứu thứ hai, tác giả tập trung vào việc xây dựng nghiên cứu tính chất số khơng gian có cấu trúc tương tự mở rộng từ không gian metric thiết lập điều kiện đủ để ánh xạ toán tử Picard hay toán tử Picard yếu khơng gian Một số ví dụ tiêu biểu không gian xây dựng không gian b−metric, không gian G−metric, không gian 2−metric, không gian b−metric mạnh, không gian metric riêng số không gian khác Đặc biệt, năm 2007, L G Huang X Zhang giới thiệu khơng gian metric nón cách thay tập số thực R định nghĩa metric thông thường nón định hướng khơng gian Banach Các tác giả thiết lập số điều kiện đủ để ánh xạ toán tử Picard giả thiết nón chuẩn tắc, kết mở rộng thực Định lý Định lý Năm 2008, Sh Rezapour R Hamlbarani chứng minh lại kết L G Huang X Zhang mà khơng cần tính chuẩn tắc nón Năm 2014, nghiên cứu định lý điểm bất động không gian b−metric mạnh, W Kirk N Shahzad đặt câu hỏi: “Liệu không gian b−metric mạnh X có trù mật khơng gian b−metric mạnh đầy đủ X hay không?” Các tác giả nhận xét rằng, câu trả lời có ánh xạ co T : X → X mở rộng thành ánh xạ co T : X → X mà T có điểm bất động không gian b−metric mạnh đầy đủ Câu hỏi trả lời T V An N V Dung năm 2016 Định lý Cho (X, D, K) khơng gian b−metric mạnh Khi (i) (X, D, K) có bổ sung đủ; (ii) Bổ sung đủ (X, D, K) theo nghĩa (X1∗ , D1∗ , K1 ), (X2∗ , D2∗ , K2 ) hai bổ sung đủ (X, D, K) tồn song ánh đẳng cự φ : X1∗ → X2∗ đồng X Theo hướng nghiên cứu ứng dụng toán tử Picard tốn tử Picard yếu Các tác giả tìm ứng dụng sâu sắc định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng khơng gian có cấu trúc kiểu khơng gian metric vào lĩnh vực khác Toán học Một số cơng trình kể đến E Berstovanská, V Muresan, I M Oluru, I A Rus, J Wang cộng Từ cho thấy, việc tiếp tục phát triển nghiên cứu không gian metric suy rộng, với tính chất tơpơ cho không gian cần thiết Sự lựa chọn đề tài luận án: “Về tồn toán tử Picard số lớp không gian metric suy rộng” nhằm làm phong phú kết nghiên cứu tính chất khơng gian metric, metric suy rộng điều kiện đủ cho ánh xạ toán tử Picard toán tử Picard yếu lớp khơng gian Mục đích đối tượng nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu Mục đích thứ nhất: Thiết lập số điều kiện đủ để ánh xạ toán tử Picard yếu khơng gian metric đầy đủ Mục đích thứ hai: Thiết lập số điều kiện đủ để ánh xạ tốn tử Picard tốn tử Picard yếu khơng gian b−metric mạnh Mục đích thứ ba: Xây dựng khơng gian b-TVS metric nón mạnh nghiên cứu số tính chất khơng gian này, đặc biệt thiết lập số điều kiện đủ để ánh xạ toán tử Picard chứng minh nguyên lý bổ sung đủ khơng gian • Đối tượng nghiên cứu Trong luận án tập trung nghiên cứu: Không gian metric, không gian b−metric mạnh, khơng gian b-TVS metric nón mạnh Tốn tử Picard toán tử Picard yếu Tổng quan luận án Với mục đích trên, luận án chúng tơi thu số kết sau: (1) Đối với mục đích thứ nhất: Dựa ý tưởng Định lý Định lý 6, thiết lập số kết điều kiện đủ để ánh xạ khơng gian metric đầy đủ tốn tử Picard yếu sau: Định lý 1.1.1 Cho (X, ρ) không gian metric đầy đủ T : X → X ánh xạ Giả sử tồn số α > cho ρ(a, T a) ρ(a, b) kéo theo ρ(T a, T b) M (a, b, α)ρ(a, b), với a, b ∈ X, M (a, b, α) = ρ(a, T b) + ρ(b, T a) + ρ(a, b) 2ρ(a, T a) + ρ(b, T b) + α Khi (1) T toán tử Picard yếu; (2) Nếu a ¯, ¯b ∈ X hai điểm bất động khác T α ρ(¯ a, ¯b) > Định lý 1.1.1 dạng định lý điểm bất động ánh xạ phát triển từ điều kiện co Banach kết hợp với co Kannan Ví dụ 1.1.2 luận án cho thấy, lớp ánh xạ co Định lý 1.1.1 lớp ánh xạ Định lý không trùng Bằng việc sử dụng khoảng cách Hausdorff, chứng minh dạng Định lý 1.1.1 cho trường hợp ánh xạ đa trị Định lý 1.2.4 Cho (X, ρ) không gian metric đầy đủ T : X → CB(X) ánh xạ đa trị Giả sử tồn α > cho d(a, T a) ρ(a, b) kéo theo H(T a, T b) P (a, b, α)ρ(a, b), với a, b ∈ X, d(a, T b) + d(b, T a) + ρ(a, b) P (a, b, α) = , δ(a, A) := sup ρ(a, b) 2δ(a, T a) + δ(b, T b) + α b∈A Khi (1) T tốn tử Picard yếu đa trị; (2) Nếu a ¯, ¯b ∈ X hai điểm bất động T α ρ2 (¯ a, ¯b) > H(T a ¯, T ¯b) (2) Đối với mục đích thứ hai: Bằng việc sử dụng hàm điều khiển, năm 2021, chúng tơi chứng minh dạng kết J Górnicki cho không gian b−metric mạnh Định lý 2.1.4 Cho (X, D, K) không gian b−metric mạnh đầy đủ ánh xạ T từ X vào Giả sử tồn hàm f ∈ S cho với a, b ∈ X, a 6= b, ta có
D(T a, T b) f (D(a, b)) D(a, T a) + D(b, T b) Khi đó, T toán tử Picard Định lý 2.1.6 Cho (X, D, K) không gian b−metric mạnh đầy đủ ánh xạ T từ X vào Giả sử tồn hàm ϕ ∈ H cho với a, b ∈ X, a 6= b, ta có
D(T a, T b) ϕ(D(a, b)) D(a, T a) + D(b, T b) + D(a, b) Khi đó, T tốn tử Picard Dễ thấy, K = Định lý 2.1.4 nhận lại Định lý Định lý 2.1.6 trở Định lý Hơn nữa, Ví dụ 2.1.5 Ví dụ 2.1.7 cho thấy lớp ánh xạ thỏa mãn định lý mở rộng thực lớp ánh xạ Định lý Định lý Tiếp theo, từ điều kiện co Định lý Định lý gợi ý cho đề xuất khái niệm Ánh xạ Kannan-Suzuki Định nghĩa thiết lập điều kiện đủ để ánh xạ toán tử Picard Định nghĩa Cho (X, D, K) khơng gian b−metric mạnh Ta nói T : X → X ánh xạ Kannan-Suzuki tồn s ∈ [0, 21 ) thỏa mãn
D(T a, T b) s D(a, T a) + D(b, T b) , Chương Toán tử Picard Picard yếu không gian b−metric mạnh Trong chương này, thiết lập số điều kiện đủ để ánh xạ toán tử Picard đơn trị toán tử Picard yếu đa trị lớp không gian b−metric mạnh Kết chương viết dựa báo [A1] báo [A4] danh mục cơng trình liên quan đến luận án 2.1 Tốn tử Picard đơn trị Trong mục này, mở rộng kết J Gócrnicki R Kannan cho không gian b−metric mạnh Trước tiên, nhắc lại số khái niệm không gian b−metric mạnh Định nghĩa 2.1.1 Cho X tập khác rỗng số thực K > Một ánh xạ D : X × X → [0; +∞) gọi b−metric mạnh X nếu: (D1) D(a, b) = a = b; (D2) D(a, b) = D(b, a) với a, b ∈ X; (D3) D(a, b) D(a, c) + KD(c, b) với a, b, c ∈ X Khi đó, ba (X, D, K) gọi không gian b−metric mạnh Định nghĩa 2.1.2 Cho (X, D, K) không gian b−metric mạnh, {an } dãy phần tử X a ∈ X Khi đó: (i) Dãy {an } gọi hội tụ đến x lim D(an , a) = Ta kí hiệu lim an = a n→∞ n→∞ an → a n → ∞ (ii) {an } gọi dãy Cauchy X lim D(an , am ) = n,m→∞ 15 16 (iii) Không gian b−metric mạnh (X, D, K) gọi không gian b−metric mạnh đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ (iv) Không gian b−metric mạnh (X, D, K) gọi không gian b−metric mạnh compact dãy X chứa dãy hội tụ Mệnh đề 2.1.3 Cho {an } dãy phần tử không gian b−metric mạnh (X, D, K) giả sử ∞ X D(ai , ai+1 ) < ∞ i=1 Khi {an } dãy Cauchy 2.1.1 Tốn tử Picard cho số lớp ánh xạ kiểu Kannan hàm điều khiển Định lý 2.1.4 Cho (X, D, K) không gian b−metric mạnh đầy đủ ánh xạ T từ X vào Giả sử tồn hàm f ∈ S cho với a, b ∈ X a 6= b, ta ln có
D(T a, T b) f (D(a, b)) D(a, T a) + D(b, T b) Khi đó, T tốn tử Picard Ví dụ 2.1.5 Lấy X = {0, 1, 2} D : X × X → [0, +∞) xác định D(0, 0) = D(1, 1) = D(2, 2) = 0, D(0, 1) = D(1, 0) = , D(0, 2) = D(2, 0) = 6, D(1, 2) = D(2, 1) = Xét ánh xạ T : X → X định nghĩa T = 0, T = 0, T = 1, hàm f ∈ S −t cho f (t) = 21 e , t > f (0) ∈ [0, 21 ) Khi (X, D, K = 2) khơng gian b−metric mạnh đầy đủ khơng khơng gian metric = D(2, 0) > D(2, 1) + D(1, 0) = 11 Do đó, Định lý khơng áp dụng Mặt khác, dễ thấy ánh xạ T thỏa mãn tất điều kiện Định lý 2.1.4 T toán tử Picard 17 Định lý 2.1.6 Cho (X, D, K) không gian b−metric mạnh đầy đủ ánh xạ T từ X vào Giả sử tồn hàm ϕ ∈ H cho với a, b ∈ X a 6= b, ta ln có
D(T a, T b) ϕ(D(a, b)) D(a, T a) + D(b, T b) + D(a, b) , Khi đó, T tốn tử Picard Ví dụ 2.1.7 Xét khơng gian b−metric mạnh đầy đủ (X, D, K) ánh xạ T Ví dụ 2.1.5 Hiển nhiên, Định lý khơng áp dụng −t Ta xây dựng hàm ϕ ∈ H ϕ(t) = 13 e , t > ϕ(0) ∈ [0, 31 ) Như vậy, ánh xạ T thỏa mãn tất điều kiện Định lý 2.1.6 Hiển nhiên, T toán tử Picard 2.1.2 Toán tử Picard cho ánh xạ Kannan-Suzuki Định lý 2.1.8 Cho (X, D, K) không gian b−metric mạnh đầy đủ T ánh xạ Kannan-Suzuki Khi đó, T toán tử Picard Hệ 2.1.9 Cho (X, ρ) không gian metric đầy đủ T : X → X ánh xạ Giả sử tồn s ∈ [0, 21 ) thỏa mãn
ρ(T a, T b) s ρ(a, T a) + ρ(b, T b) , với a, b ∈ X cho 12 ρ(a, T a) ρ(a, b) Khi đó, T toán tử Picard Định lý 2.1.10 Giả sử f : [0, 1] × X → R hàm thực liên tục thỏa mãn điều kiện sau đây: |f (t, a) − f (t, b)| k|a(t) − b(t)| (2.1) với (t, a), (t, b) ∈ [0, 1] × X |f (t, a)| k với (t, a) ∈ [0, 1] × X Khi đó, tốn phương trình vi phân Cauchy ( da dt = f (t, a) a(0) = a0 (2.2) (2.3) có nghiệm a ¯ X Lớp hàm điều khiển phụ thuộc tham số Fq xây dựng bởi: Fq = {ψ : (0, ∞) → [0, q) : ψ(tn ) → q kéo theo tn → n → ∞}, q ∈ (0, 12 ) Sử dụng hàm điều khiển phụ thuộc tham số cho ánh xạ KannanSuzuki, thu kết sau cho không gian b−metric mạnh 18 Định lý 2.1.11 Cho (X, D, K) không gian b−metric mạnh đầy đủ ánh xạ D : X → X Giả sử tồn hàm ψ ∈ Fq thỏa mãn D(a, T a) D(a, b) K +1 kéo theo
D(T a, T b) ψ(D(a, b)) D(a, T a) + D(b, T b) , với a, b ∈ X, a 6= b Khi đó, T tốn tử Picard Ví dụ 2.1.12 Cho X = {0, 1, 2} hàm D : X × X → [0, +∞) định nghĩa D(a, b) = (a − b)2 Khi (X, D, K = 3) không gian b−metric mạnh đầy đủ Xét ánh xạ T : X → X định nghĩa T = 1, T = 1, T = hàm ψ −t xác định ψ(t) = 31 e , t > 0, ψ(0) ∈ [0, 31 ) Khi ψ ∈ F 13 Dễ dàng kiểm tra T thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1.11 Hiển nhiên, T toán tử Picard 2.1.3 Toán tử Picard cho ánh xạ kiểu Kannan-Suzuki Định lý 2.1.13 Cho (X, D, K) không gian b−metric mạnh compact T ánh xạ kiểu Kannan-Suzuki Khi đó, T có điểm bất động a ¯ ∈ X Hơn thế, T liên tục T tốn tử Picard Ví dụ 2.1.14 Cho X = {0, 1, 2} hàm D : X × X → [0, +∞) định nghĩa D(0, 0) = D(1, 1) = D(2, 2) = 0, D(0, 1) = D(1, 0) = D(0, 2) = D(2, 0) = 6, D(1, 2) = D(2, 1) = Xét ánh xạ T : X → X định nghĩa T = 0, T = T = Dễ thấy (X, D, K = 2) không gian b−metric mạnh compact khơng metric compact = D(2, 0) > D(2, 1) + D(1, 0) = 11 Do đó, Định lý 2.2 Górnicki khơng áp dụng Tuy nhiên, ta dễ dàng kiểm tra T thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1.13 T có điểm bất động a ¯ = Hơn nữa, với a ∈ X n T a = với n > Do T tốn tử Picard Hệ 2.1.15 Cho (X, ρ) không gian metric compact T : X → X ánh xạ thỏa mãn
ρ(T a, T b) < ρ(a, T a) + ρ(b, T b) 19 với a, b ∈ X cho 21 ρ(a, T a) < ρ(a, b) Khi đó, T có điểm bất động a ¯ ∈ X Hơn nữa, T liên tục T tốn tử Picard Ví dụ 2.1.16 Cho X = [−4, −3] ∪ {0} ∪ [3, 4], hàm ρ : X × X → [0, +∞) định nghĩa ρ(a, b) = |a − b| với a, b ∈ X Ta dễ dàng thấy (X, ρ) không gian metric compact Xét ánh xạ T : X → X định nghĩa  4a +   , a ∈ [−4, −3),   a+2 Ta = 0, a ∈ {−3, 0, 3},     −4a + , a ∈ (3, 4], a−2 Bằng tính tốn trực tiếp ta thấy T thỏa mãn tất điều kiện Hệ 2.1.15 trừ tính liên tục ánh xạ T Dễ dàng thấy T có điểm bất động a ¯ = Hơn nữa, a ∈ / {−3, 0, 3} dãy {T n a} không hội tụ đến a ¯ = Do T khơng tốn tử Picard Chứng minh hoàn toàn tương tự chứng minh Định lý 2.1.13, ta thu kết Định lý 2.1.17 Cho (X, D, K) không gian b−metric mạnh compact ánh xạ T : X → X thỏa mãn
D(T a, T b) < D(a, T a) + D(b, T b) + D(a, b) với a, b ∈ X cho K+1 D(a, T a) < D(a, b) Khi đó, T có điểm bất động a ¯ ∈ X Hơn thế, T ánh xạ liên tục T tốn tử Picard 2.2 Toán tử Picard yếu cho ánh xạ Kannan-Suzuki đa trị Cho (X, D, K) không gian b−metric mạnh Kí hiệu CB(X) tập hợp tất tập khác rỗng, đóng bị chặn X Hàm H xác định H(A, B) := max{sup d(a, A); sup d(a, B)}, a∈B a∈A A, B ∈ CB(X) d(a, A) := inf b∈A D(a, b) gọi metric Hausdorff CB(X) cảm sinh D Chứng minh tương tự chứng minh Bổ đề 1.2.3, ta thu 20 Bổ đề 2.2.1 Giả sử (X, D, K) không gian b−metric mạnh A, B ∈ CB(X) Nếu H(A, B) > với h > a ∈ A tồn b ∈ B cho D(a, b) < h · H(A, B) Định lý 2.2.2 Cho (X, D, K) không gian b−metric mạnh đầy đủ, T : X → CB(X) ánh xạ Kannan-Suzuki đa trị Khi T tốn tử Picard yếu đa trị Ví dụ 2.2.3 Giả sử X = {1, 2, 3}, K = D : X × X → [0, ∞) định nghĩa D(1, 2) = 1, D(1, 3) = 4, D(2, 3) = D(1, 1) = D(2, 2) = D(3, 3) = Xét ánh xạ T : X → CB(X) xác định T = {2}, T = {2}, T = {1, 2} Khi (X, D, K) không gian b−metric mạnh đầy đủ không không gian metric D(1, 3) > D(1, 2) + D(2, 3) Do đó, Định lý khơng áp dụng Mặt khác, tính tốn trực tiếp ta thấy T thỏa mãn tất điều kiện Định lý 2.2.2 T toán tử Picard yếu đa trị Chương Toán tử Picard bổ sung đủ khơng gian b-TVS metric nón mạnh Trong chương này, giới thiệu không gian b-TVS metric nón mạnh Sau đó, chúng tơi mở rộng kết Sh Rezapour R Hamlbarani không gian Phần cuối chương, dành để thiết lập Nguyên lý bổ sung đủ khơng gian b-TVS metric nón mạnh Nội dung chương viết dựa báo [A3] [A5] danh mục cơng trình liên quan đến luận án 3.1 Tính chất lân cận nón Định nghĩa 3.1.1 Cho E khơng gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff thực, θ vectơ gốc E C ⊂ E Ta nói, tập C nón E nếu: (i) C tập đóng, khác rỗng, C 6= {θ}; (ii) ax + by ∈ C với x, y ∈ C, a, b số thực không âm; (iii) C ∩ (−C) = {θ} Định nghĩa 3.1.2 Cho E không gian vectơ tơpơ lồi địa phương Hausdorff thực nón C ⊂ E với phần khác rỗng Ta định nghĩa quan hệ thứ tự phận  E sinh nón C sau x, y ∈ E : x  y y − x ∈ C Nếu x  y x 6= y ta viết x ≺ y Nếu y − x ∈ int C ta viết x  y Trong phần tiếp theo, ta giả sử E không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff thực  quan hệ thứ tự phận E sinh nón có phần 21 22 khác rỗng Từ định nghĩa nón quan hệ thứ tự phận E, ta dễ dàng chứng minh số tính chất sau Mệnh đề 3.1.3 Cho C nón E Khi (i) C + C = C; (ii) int C + C = int C; (iii) int C + int C = int C; (iv) Với a ∈ int C β > βa ∈ int C Mệnh đề 3.1.4 Cho C nón E Khi (i) Nếu a  b c  d a + c  b + d với a, b, c, d ∈ E; (ii) Nếu a  b c  d a + c  b + d với a, b, c, d ∈ E; (iii) Nếu a  b c  d a + c  b + d với a, b, c, d ∈ E; (iv) Nếu a  λa, a ∈ C λ < a = θ Mệnh đề 3.1.5 Cho C nón E Khi (i) Nếu a  b b  c a  c với a, b, c ∈ E; (ii) Nếu a  b b  c a  c với a, b, c ∈ E; (iii) Nếu a  b b  c a  b với a, b, c ∈ E Mệnh đề 3.1.6 Giả sử e ∈ int C, θ  an lim an = θ Khi đó, tồn N ∈ N n→∞ cho an  e với n > N Định nghĩa 3.1.7 Cho C nón E Ta nói nón C thỏa mãn tính chất lân cận với lân cận U θ E có lân cận V θ E cho (V + C) ∩ (V − C) ⊂ U Định nghĩa 3.1.8 Cho C nón E Ta nói B ⊆ E tập sinh nón C viết C = cone(B)  C = tb : b ∈ B, t > Nếu B không chứa điểm gốc θ c ∈ C\{θ} tồn b ∈ B, t > cho c = tb B gọi sở nón C Nhận xét 3.1.9 Nếu nón C có sở lồi, đóng bị chặn nón C thỏa mãn tính chất lân cận Ví dụ 3.1.10 Cho E = R, C = R+ Khi C thỏa mãn tính chất lân cận 23 Mệnh đề 3.1.11 Giả sử nón C thỏa mãn tính chất lân cận Khi với lân cận U θ E, tồn phần tử e ∈ E, θ  e cho C ∩ (e − C) ⊂ U Bổ đề 3.1.12 Giả sử nón C thỏa mãn tính chất lân cận khơng gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff thực E Cho {un }, {vn }, {an } dãy E cho an  un  với n > lim = lim an = θ n→∞ n→∞ Khi lim un = θ n→∞ Ví dụ 3.1.13 Giả sử E = C[0,1] với chuẩn kf k = kf k∞ + kf k∞ , nón C = {f ∈ E : f (t) > 0, ∀t ∈ [0, 1]} Khi nón C khơng thỏa mãn tính chất n lân cận Thật vậy, xét fn (t) = tn gn (t) = n1 với t ∈ [0, 1] Khi θ  fn  gn với n lim gn = θ Mặt khác, ta có n→∞ tn kfn k = max + max tn−1 = + > với n > n t∈[0,1] n t∈[0,1] Do fn khơng hội tụ đến θ Theo Bổ đề 3.1.12, suy nón C khơng có tính chất lân cận 3.2 Khơng gian b-TVS metric nón mạnh Định nghĩa 3.2.1 Cho X tập khác rỗng K > Ánh xạ ρ : X × X → E gọi b-TVS metric nón mạnh X (d1) θ  ρ(a, b) với a, b ∈ X ρ(a, b) = θ a = b; (d2) ρ(a, b) = ρ(b, a) với a, b ∈ X; (d3) ρ(a, b)  ρ(a, c) + Kρ(c, b) với a, b, c ∈ X Khi (X, E, C, K, ρ) gọi khơng gian b-TVS metric nón mạnh Định nghĩa 3.2.2 Cho (X, E, C, K, ρ) khơng gian b-TVS metric nón mạnh {an } dãy phần tử X Ta nói 24 (i) a giới hạn dãy {an } với e ∈ E, θ  e, tồn số tự nhiên n0 cho ρ(an , a)  e với n > n0 Kí hiệu an → a lim an = a n→∞ (ii) {an } dãy Cauchy với e ∈ E, θ  e, tồn số tự nhiên n0 cho ρ(an , am )  e với n, m > n0 (iii) Nếu dãy Cauchy hội tụ X (X, E, C, K, ρ) gọi khơng gian b-TVS metric nón mạnh đầy đủ Bổ đề 3.2.3 Cho (X, E, C, K, ρ) khơng gian b-TVS metric nón mạnh {an } dãy phần tử X Khi đó, ta có: (i) Nếu {an } hội tụ đến a ∈ X {an } dãy Cauchy (ii) Nếu {an } hội tụ đến a ∈ X {an } hội tụ đến y ∈ X a = b Bổ đề 3.2.4 Cho (X, E, C, K, ρ) khơng gian b-TVS metric nón mạnh, nón C thỏa mãn tính chất lân cận {an }, {bn } hai dãy X Khi (i) lim an = a ∈ X lim ρ(an , a) = θ n→∞ n→∞ (ii) {an } dãy Cauchy lim ρ(an , am ) = θ n,m→∞ (iii) Nếu lim an = a ∈ X lim bn = b ∈ X n→∞ n→∞ lim ρ(an , bn ) = ρ(a, b) n→∞ Nhận xét 3.2.5 Chú ý cơng trình L G Huang X Zhang, Bổ đề 3.2.4 chứng minh điều kiện C nón chuẩn tắc khơng gian Banach, chúng tơi giả thiết C nón thỏa mãn tính chất lân cận không gian lồi địa phương Hausdorff thực Ví dụ sau cho thấy Bổ đề 3.2.4 khơng cịn nón C khơng có tính chất lân cận E Ví dụ 3.2.6 Giả sử E = C[0,1] với chuẩn kf k = kf k∞ + kf k∞ Xét nón C = {f ∈ E : f (t) > với t ∈ [0, 1]} Khi nón C khơng có tính chất lân cận (xem ví dụ 3.1.13) Giả sử X = {0, n1 : n > 1} ρ : X × X → E xác định    θ, a = b, ρ(a, b) = |fn − fm |, a 6= b ∈ { n1 , m1 },   f , a 6= b ∈ { , 0}, n n fn (t) = tn n với t ∈ [0, 1] n > 25 Dễ dàng kiểm tra ρ b-TVS metric nón mạnh X với K = (X, E, C, K = 1, ρ) khơng gian b-TVS metric nón mạnh Hơn nữa, ta có IE ρ( , 0) = fn  với n > 1, n n IE n→∞ n IE ∈ E IE (t) = t với t ∈ [0, 1] Từ lim = θ, theo Mệnh đề 3.1.6, với e ∈ E, θ  e, tồn số tự nhiên n0 cho IE  e với n > n0 n Vì vậy, ρ( n1 , 0)  e với n > n0 Do lim n→∞ n = Mặt khác, ta có tn kρ( , 0) − θk = kfn − θk = max + max tn−1 = + > với n > n n t∈[0,1] n t∈[0,1] Do ρ( n1 , 0) không hội tụ đến θ E Vậy Bổ đề 3.2.4(i) khơng cịn 3.3 Tốn tử Picard khơng gian b-TVS metric nón mạnh Định lý 3.3.1 Cho (X, E, C, K, ρ) không gian b-TVS metric nón mạnh đầy đủ ánh xạ T : X → X Giả sử tồn s ∈ [0, 1) thỏa mãn ρ(T a, T b)  sρ(a, b) với a, b ∈ X Khi đó, T tốn tử Picard Ví dụ 3.3.2 Cho X = {0, 1, 2}, E = R2 C = {(a, b) ∈ E : a > 0, b > 0} Hàm ρ : X × X → E định nghĩa ρ(a, a) = θ với a ∈ X, ρ(a, b) = ρ(b, a) với a, b ∈ X ρ(0, 1) = (4, 4), ρ(0, 2) = ρ(1, 2) = (1, 1) Xét ánh xạ T : X → X xác định T = T = T = Rõ ràng (X, E, C, K = 3, ρ) không gian b-TVS metric nón mạnh đầy đủ khơng khơng gian metric nón ρ(0, 2) + ρ(2, 1) = (2, 2)  (4, 4) = ρ(0, 1) 26 Do đó, kết Sh Rezapour R Hamlbarani khơng áp dụng Tuy nhiên, dễ dàng kiểm tra tất giả thiết Định lý 3.3.1 thỏa mãn T toán tử Picard Định lý 3.3.3 Cho (X, E, C, K, ρ) không gian b-TVS metric nón mạnh đầy đủ ánh xạ T : X → X Giả sử tồn s ∈ [0, 12 ) thỏa mãn
ρ(T a, T b)  s ρ(a, T a) + ρ(b, T b) với a, b ∈ X Khi đó, T tốn tử Picard Ví dụ 3.3.4 Cho X = {0, 2, 3}, E = R2 C = {(a, b) ∈ E : a > 0, b > 0} Hàm ρ : X × X → E định nghĩa ρ(a, a) = θ = (0, 0) với a ∈ X, ρ(3, 0) = ρ(0, 3) = (3, 3), ρ(2, 0) = ρ(0, 2) = ρ(2, 3) = ρ(3, 2) = (1, 1) Xét ánh xạ T : X → X xác định T = T = T = Rõ ràng (X, E, C, K = 2, ρ) khơng gian b-TVS metric nón mạnh đầy đủ khơng khơng gian metric nón Do đó, kết Sh Rezapour R Hamlbarani không áp dụng Tuy nhiên, dễ dàng kiểm tra tất giả thiết Định lý 3.3.3 thỏa mãn T toán tử Picard 3.4 Bổ sung đủ khơng gian b-TVS metric nón mạnh Định nghĩa 3.4.1 Cho (X, E, C, K, ρ) không gian b-TVS metric nón mạnh Với a0 ∈ X e ∈ E, θ  e, tập B(a0 , e) := {a ∈ X : ρ(a0 , a)  e} X gọi hình cầu mở tâm a0 bán kính e Ta nói rằng: (i) Một tập A ⊂ X mở với a ∈ A, tồn ea ∈ E, θ  ea cho B(a, ea ) ⊂ A Một tập B ⊂ X đóng phần bù tập mở ¯ Tập A (ii) Giao tất tập đóng chứa A bao đóng A, kí hiệu A gọi trù mật X A¯ = X Nhận xét 3.4.2 Nếu (X, E, C, K, ρ) khơng gian b-TVS metric nón mạnh Khi khẳng định sau đúng: (i) Tập ∅ không gian X tập mở tập đóng 27 ¯ , e) tập đóng, (ii) Hình cầu mở B(a0 , e) tập mở, hình cầu đóng B(a ¯ , e) := {a ∈ X : ρ(a0 , a)  e}, e ∈ E, θ  e, a0 ∈ X B(a (iii) Hợp tập mở mở, giao tập đóng đóng (iv) Giao số hữu hạn tập mở mở, hợp số hữu hạn tập đóng đóng Mệnh đề 3.4.3 Dãy phần tử {an } X hội tụ đến a (X, E, C, K, ρ) tập mở W chứa a, tồn số tự nhiên n0 cho an ∈ W với n > n0 Mệnh đề 3.4.4 Cho A tập khơng gian b-TVS metric nón mạnh (X, E, C, K, ρ) Khi đó, a ∈ A¯ tồn dãy {an } ⊂ A cho lim an = a n→∞ Mệnh đề 3.4.5 Cho A tập khơng gian b-TVS metric nón mạnh (X, E, C, K, ρ) Khi A tập trù mật X với a ∈ X e ∈ E, θ  e, tồn a ∈ A cho ρ(a, A)  e Định nghĩa 3.4.6 (i) Ánh xạ f : X → Y từ khơng gian b-TVS metric nón mạnh (X, E, C, K, ρ) đến không gian b-TVS metric nón mạnh (Y, E, C, K , ρ0 ) gọi phép đẳng cự ρ0 (f (a), f (b)) = ρ(a, b) với a, b ∈ X (ii) Một khơng gian b-TVS metric nón mạnh đầy đủ (X ∗ , E, C, K ∗ , ρ∗ ) gọi bổ sung đủ khơng gian b-TVS metric nón mạnh (X, E, C, K, ρ) tồn phép đẳng cự f : X → X ∗ cho f (X) = X ∗ Định lý 3.4.7 Cho (X, E, C, K, ρ) khơng gian b-TVS metric nón mạnh nón C thỏa tính chất lân cận khơng gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff thực E đầy đủ Khi (i) (X, E, C, K, ρ) có bổ sung đủ; (ii) Bổ sung đủ (X, E, C, K, ρ) theo nghĩa (X1∗ , E, C, K1 , ρ∗1 ) (X2∗ , E, C, K2 , ρ∗2 ) hai bổ sung đủ (X, E, C, K, ρ) tồn song ánh đẳng cự φ : X1∗ → X2∗ đồng X Ví dụ 3.4.8 Giả sử X = Q, E = R2 , C = {(t, 0) ∈ E : t > 0}, K > ρ : X × X → E ρ(a, b) = (|a − b|, 0) với a, b ∈ X Vì (X, E, C, K, ρ) khơng khơng gian b-metric mạnh Do Định lý khơng áp dụng Dễ dàng kiểm tra (X, E, C, K, ρ) khơng gian b-TVS metric nón mạnh tất giả thiết Định lý 3.4.7 thỏa mãn Hơn nữa, ta có (X ∗ = R, E = R2 , C, K, ρ∗ ) bổ sung đủ (X, E, C, K, ρ), ρ∗ (a∗ , b∗ ) = (|a∗ − b∗ |, 0) với a∗ , b∗ ∈ X ∗ 28 KẾT LUẬN CHUNG Luận án nghiên cứu tồn số lớp toán Picard yếu toán tử Picard không gian metric metric suy rộng Các kết luận án bao gồm: Thiết lập số điều kiện đủ để ánh xạ toán tử Picard yếu đơn trị toán tử Picard yếu đa trị không gian metric đầy đủ Thiết lập số điều kiện đủ để ánh xạ toán tử Picard toán tử Picard yếu đa trị không gian b−metric mạnh Giới thiệu khơng gian b-TVS metric nón mạnh thiết lập số điều kiện đủ để ánh xạ toán tử Picard không gian Thiết lập Nguyên lý bổ sung đủ khơng gian b-TVS metric nón mạnh Chúng đề xuất số hướng nghiên cứu cho kết luận án sau: Nghiên cứu toán tử Picard toán tử Picard yếu cho không gian metric suy rộng không đầy đủ Nghiên cứu số ứng dụng toán tử Picard Picard yếu vào toán tồn nghiệm phương trình vi phân, hệ phương trình tuyến tính, phương trình tích phân Nghiên cứu tốn cân khơng cộng tác trị chơi không gian metric suy rộng 29 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [A1] Hieu Doan (2021), “A new type of Kannan’s fixed point theorem in strong b-metric spaces”, AIMS Mathematics, (7), 7895–7908 (SCIE) [A2] Doan Trong Hieu and Bui The Hung (2022), “Some fixed point theorems for weakly Picard operators in complete metric spaces and applications”, Commun Korean Math Soc Vol 37, No 1, 75-89 (ESCI) [A3] Doan Trong Hieu, Bui The Hung, Muhammad Sirajo Abdullahi, Poom Kumam (2022), “On Answer to Kirk-Shahzad’s Question for Strong b-TVS cone metric spaces”, Science & TechnoloTy Asia, Vol 27, No 1, 20-30 (Scopus) [A4] Ha Tran Phuong, Bui The Hung and Doan Trong Hieu (2023), “Fixed point theorems of Kannan type contractive mappings in strong b-metric spaces”, submitted to Miskolc Mathematical Notes (SCIE) [A5] Bui The Hung and Doan Trong Hieu (2023), “Picard operators in strong b-TVS cone metric spaces”, submitted to East-West Journal of Mathematics