1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian metric suy rộng

97 6 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 97
Dung lượng 450,77 KB

Nội dung

Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.Về sự tồn tại toán tử Picard trong một số lớp không gian suy nghĩ hệ mét.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐOÀN TRỌNG HIẾU VỀ SỰ TỒN TẠI TOÁN TỬ PICARD TRONG MỘT SỐ LỚP KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2023 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐOÀN TRỌNG HIẾU VỀ SỰ TỒN TẠI TOÁN TỬ PICARD TRONG MỘT SỐ LỚP KHƠNG GIAN METRIC SUY RỘNG Ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Hà Trần Phương TS Bùi Thế Hùng Thái Nguyên - 2023 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hướng dẫn PGS TS Hà Trần Phương TS Bùi Thế Hùng Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án chưa công bố cơng trình khoa học khác Thái Nguyên, ngày 25 tháng 08 năm 2023 Tác giả Đoàn Trọng Hiếu Lời cảm ơn Luận án thực hồn thành hướng dẫn tận tình PGS TS Hà Trần Phương TS Bùi Thế Hùng Tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến hai thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Phòng Đào tạo, Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo, bạn bè seminar Bộ mơn Giải tích Toán ứng dụng, Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên trao đổi, động viên tác giả nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Khoa học bản, Ban Giám hiệu Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ tác giả mặt trình học tập hoàn thành luận án Tác giả Đoàn Trọng Hiếu ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Một số ký hiệu viết tắt v Mở đầu Chương Tốn tử Picard yếu khơng gian metric đầy đủ 16 1.1 Toán tử Picard yếu đơn trị 16 1.2 Toán tử Picard yếu đa trị 23 1.3 Kết luận chương 30 Chương Toán tử Picard Picard yếu không gian b−metric mạnh 31 2.1 Toán tử Picard đơn trị 31 2.1.1 Toán tử Picard cho số lớp ánh xạ kiểu Kannan hàm điều khiển 32 2.1.2 Toán tử Picard cho ánh xạ Kannan-Suzuki 37 2.1.3 Toán tử Picard cho ánh xạ kiểu Kannan-Suzuki 45 2.2 Toán tử Picard yếu cho ánh xạ Kannan-Suzuki đa trị 52 iii 2.3 Kết luận chương 57 Chương Toán tử Picard bổ sung đủ khơng gian b-TVS metric nón mạnh 58 3.1 Tính chất lân cận nón 58 3.2 Khơng gian b-TVS metric nón mạnh 62 3.3 Tốn tử Picard khơng gian b-TVS metric nón mạnh 67 3.4 Bổ sung đủ khơng gian b-TVS metric nón mạnh 72 3.5 Kết luận chương 80 Kết luận chung 81 Danh mục cơng trình cơng bố 82 Tài liệu tham khảo 83 iv Một số ký hiệu viết tắt N tập số tự nhiên R tập số thực R+ tập số thực không âm (X, ρ) không gian metric {an } dãy phần tử X {T n a} dãy lặp ánh xạ T a CB(X) tập tất tập khác rỗng, đóng bị chặn X H(A, B) khoảng cách Hausdorff A := B A định nghĩa B d(a, A) khoảng cách từ điểm a đến tập A (X, D, K) không gian b−metric mạnh (X, E, C, K, ρ) khơng gian b-TVS metric nón mạnh TV S không gian vectơ tôpô E không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff thực θ vectơ gốc không gian E C nón khơng gian E v int C phần nón C  quan hệ thứ tự phận E T : A → 2B ánh xạ đa trị T A⊂B A tập B ∩ phép giao B tích Descartes hai tập hợp A B A¯ bao đóng A C[0,1] không gian hàm liên tục [0,1] C[0,1] không gian hàm khả vi liên tục cấp [0,1] IE ánh xạ đồng E kf k∞ := sup |f (t)| chuẩn supremum hàm f C[0,1] t∈[0,1] kết thúc chứng minh vi Mở đầu Lịch sử nghiên cứu lý chọn đề tài Năm 1922, S Banach chứng minh định lý tiếng mà ngày ta thường gọi "Nguyên lý ánh xạ co Banach" Định lý [3] Cho (X, ρ) không gian metric đầy đủ T : X → X ánh xạ Giả sử tồn r ∈ [0, 1) cho ρ(T a, T b) rρ(a, b) với a, b ∈ X (0.1) Khi đó, T có điểm bất động a ¯ ∈ X với a ∈ X , dãy lặp {T n a} hội tụ đến a ¯ Cơng trình S Banach đánh giá quan trọng, mở hướng nghiên cứu việc phát triển lý thuyết điểm bất động, lý thuyết điểm bất động metric Trong thập kỷ gần đây, lý thuyết điểm bất động metric đánh giá thành tựu toán học Lý thuyết điểm bất động thu hút quan tâm nhiều tác giả nước thu nhiều kết quan trọng có ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Toán học nghiên cứu tồn nghiệm phương trình vi phân, hệ phương trình tuyến tính, phương trình tích phân, Ngun lý ánh xạ co Banach cho điều kiện đủ để ánh xạ từ không gian metric đầy đủ X vào có điểm bất động Có nhiều tác giả tìm cách phát triển Nguyên lý ánh xạ co Banach với điều kiện co khác lớp không gian khác Chẳng hạn M Edelstein [11] năm 1962, E Rakotch [35, 36] ´ c [6] năm 1974, năm 1962, A Meir E Keeler [28] năm 1969, Lj B Ciri´ A C M Ran cộng [34] năm 2004, M Berinde V Berinde [5] năm 2007, G L Huang X Zhang [21] năm 2007, T Suzuki [56] năm 2007, Sh Rezapour R Hamlbarani [41] năm 2008, T Suzuki [57] năm 2009, W S Du [9] năm 2010, D Wardowski [60] năm 2012, R Pant [33] năm 2016, S.-i Ri [40] năm 2016 nhiều tác giả khác Khi nghiên cứu điểm bất động ánh xạ, năm 1983, I A Rus [42] giới thiệu khái niệm toán tử Picard toán tử Picard yếu khơng gian metric (có thể xem thêm [43], [44], [45], [46]) Khái quát khái niệm cho lớp khơng gian tơpơ ta có định nghĩa sau: Định nghĩa Cho X không gian tôpô Một ánh xạ T : X → X gọi tốn tử Picard yếu T có điểm bất động với a ∈ X, dãy {T n a} hội tụ đến điểm bất động T Nếu T tốn tử Picard yếu có điểm bất động T gọi tốn tử Picard Từ định nghĩa ta thấy, toán tử Picard toán tử Picard yếu liên quan chặt chẽ đến điểm bất động ánh xạ, chẳng hạn ánh xạ co Banach tốn tử Picard khơng gian metric đầy đủ Trong cơng trình [42], [43], [44], [45], [48] I A Rus, [5] M Berinde V Berinde số cơng trình khác, tác giả nghiên cứu số tính chất toán tử Picard toán tử Picard yếu liên quan đến tập điểm bất động ánh xạ đơn đa trị Trong luận án này, tập trung nghiên cứu tồn toán tử Picard gắn với điều kiện co Các kết nghiên cứu theo hướng thời gian gần chia thành ba vấn đề chủ yếu: Xây dựng điều kiện đủ để ánh xạ toán tử Picard hay toán tử Picard yếu lớp không gian metric liên quan đến điều kiện co Với {an }, {bn } ∈ S, ta nói {an } ∼ {bn } lim ρ(an , bn ) = θ Dễ n→∞ dàng kiểm tra quan hệ ∼ quan hệ tương đương S Gọi X ∗ = {a∗ = [{an }] : {an } ∈ S}, a∗ = [{an }] lớp tương đương {an } quan hệ tương đương ∼ định nghĩa hàm ρ∗ : X ∗ × X ∗ → E ρ∗ (a∗ , b∗ ) = lim ρ(an , bn ) n→∞ Trước tiên, ta lim ρ(an , bn ) tồn Thật vậy, với n, m ta n→∞ có ρ(an , bn )  Kρ(an , am ) + ρ(am , bn )  Kρ(an , am ) + ρ(am , bm ) + Kρ(bm , bn ) Điều chứng tỏ ρ(an , bn ) − ρ(am , bm )  Kρ(an , am ) + Kρ(bm , bn ) với n, m Tương tự, ta có ρ(am , bm ) − ρ(an , bn )  Kρ(an , am ) + Kρ(bm , bn ) với n, m Vì   −K ρ(an , am )+ρ(bm , bn )  ρ(an , bn )−ρ(am , bm )  K ρ(an , am )+ρ(bm , bn ) , với n, m Hơn nữa,   lim −K ρ(an , am ) + ρ(bm , bn ) = lim K ρ(an , am ) + ρ(bm , bn ) = θ, n,m→∞ n,m→∞ nên từ Bổ đề 3.1.12, ta có lim n,m→∞  ρ(an , bn ) − ρ(am , bm ) = θ 75 Do đó, {ρ(an , bn )} dãy Cauchy E Vì E đầy đủ nên lim ρ(an , bn ) tồn Tiếp theo, ta ρ∗ xác định Thật vậy, n→∞ {an } ∼ {cn } {bn } ∼ {vn } lim ρ(an , cn ) = lim ρ(bn , ) = θ n→∞ n→∞ Từ quan hệ ρ(an , bn )  Kρ(an , cn ) + ρ(cn , ) + Kρ(vn , bn ) quan hệ ρ(cn , )  Kρ(cn , an ) + ρ(an , bn ) + Kρ(bn , ), xảy với n > 1, nên ta có   −K ρ(an , cn )+ρ(vn , bn )  ρ(an , bn )−ρ(cn , )  K ρ(an , cn )+ρ(vn , bn ) , với n > Từ Bổ đề 3.1.12, ta có lim ρ(an , bn ) = lim ρ(cn , ) n→∞ n→∞ Vậy hàm ρ∗ xác định Ta chứng minh ρ∗ b-TVS metric nón mạnh X ∗ Từ tính đóng C θ  ρ(an , bn ) với n, suy θ  lim ρ(an , bn ) = ρ∗ (a∗ , b∗ ) n→∞ Nếu ρ∗ (a∗ , b∗ ) = θ lim ρ(an , bn ) = θ Điều tương đương với n→∞ ∗ ∗ {an } ∼ {bn } a = b Vì ρ(an , bn ) = ρ(bn , an ) với n nên ta có ρ∗ (a∗ , b∗ ) = ρ∗ (b∗ , a∗ ) Cuối ρ∗ (a∗ , b∗ ) = lim ρ(an , bn ) n→∞  lim ρ(an , cn ) + K lim ρ(cn , bn ) n→∞ ∗ ∗ ∗ ∗ n→∞ ∗ ∗ = ρ (a , c ) + Kρ (c , b ), 76 {an } ∈ a∗ , {bn } ∈ b∗ {cn } ∈ c∗ Vì vậy, ρ∗ b-TVS metric nón mạnh X ∗ Với a ∈ X, ta đặt f (a) = [{a, a, }] ∈ X ∗ Từ ρ∗ (f (a), f (b)) = lim ρ(a, b) = ρ(a, b) với a, b ∈ X, n→∞ nên ta có f phép đẳng cự từ (X, E, C, K, ρ) vào (X ∗ , E, C, K, ρ∗ ) Tiếp theo, ta chứng minh f (X) trù mật X ∗ Thật vậy, với e ∈ int C a∗ = [{an }] ∈ X ∗ ta có lim ρ(an , am ) = θ n,m→∞ Theo Mệnh đề 3.2.4, với i > 1, tồn ni0 cho ρ(an , am )  e i với n, m > ni0 Từ suy θ  ρ∗ (f (ani0 ), a∗ ) = lim ρ(ani0 , an )  n→∞ e với i > i Do lim ρ∗ (f (ani0 ), a∗ ) = θ suy lim f (ani0 ) = a∗ Điều chứng tỏ i→∞ i→∞ f (X) trù mật X ∗ Bây giờ, ta chứng minh không gian (X ∗ , E, C, K, ρ∗ ) đầy đủ Giả sử {an } dãy Cauchy X ∗ , a∗n = [{ani }i ] với {ani }i ∈ S Ta có lim ρ∗ (a∗n , a∗m ) = θ n,m→∞ Vì f (X) trù mật X ∗ nên với n, tồn bn ∈ X cho ρ∗ (f (bn ), a∗n )  e Kn Điều kéo theo θ  ρ(bn , bm ) = ρ∗ (f (bn ), f (bm ))  Kρ∗ (f (bn ), a∗n ) + ρ∗ (a∗n , f (bm ))  Kρ∗ (f (bn ), a∗n ) + ρ∗ (a∗n , a∗m ) + Kρ∗ (a∗m , f (bm )) 77 e e + + ρ∗ (a∗n , a∗m ) với n, m ≥ n m  e e ∗ ∗ ∗ + + ρ (a , a ) = θ nên ta có limn,m→∞ ρ(bn , bm ) = θ n m n m  Do limn,m→∞ Điều chứng tỏ {bn } dãy Cauchy (X, E, C, K, ρ) Đặt b∗ = [{bn }] ∈ X ∗ Khi ta có θ  ρ∗ (a∗n , b∗ )  Kρ∗ (a∗n , f (bn )) + ρ∗ (f (bn ), b∗ ) e + lim ρ(bn , bm ) với n ≥  n m→∞ Cho n → ∞, ta thu lim ρ∗ (a∗n , b∗ ) = θ, n→∞ điều chứng tỏ lim a∗n = b∗ n→∞ Vậy (X ∗ , E, C, K, ρ∗ ) đầy đủ (ii) Ta chứng minh tính bổ sung đủ Giả sử (X1∗ , E, C, K1 , ρ∗1 ) (X2∗ , E, C, K2 , ρ∗2 ) hai bổ sung đủ (X, E, C, K, ρ), f1 : X → X1∗ f2 : X → X2∗ đẳng cự Với a∗1 ∈ X1∗ , tồn {an } ⊂ X cho lim f1 (an ) = a∗1 Điều chứng tỏ {f1 (an )} dãy Cauchy n→∞ X1∗ Vì f1 đẳng cự nên {an } dãy Cauchy X Bởi f2 đẳng cự, {f2 (an )} dãy Cauchy X2∗ Do vậy, tồn a∗2 ∈ X2∗ cho lim f2 (an ) = a∗2 Bây giờ, ta định nghĩa φ : X1∗ → X2∗ n→∞ ∗ φ(a1 ) = a∗2 Ta chứng minh φ song ánh Thật vậy, lấy phần tử b∗2 ∈ X2∗ Khi tồn {bn } ⊂ X cho lim f2 (bn ) = b∗2 Vì f2 đẳng cự, {bn } dãy n→∞ Cauchy X Vì f1 đẳng cự, {f1 (bn )} dãy Cauchy X1∗ Điều chứng tỏ tồn b∗1 ∈ X1∗ cho lim f1 (bn ) = b∗1 Vậy φ(b1 ) = b2 n→∞ ∗ ∗ Suy φ song ánh Mặt khác, với a , b ∈ X1∗ với lim f1 (an ) = a∗ n→∞ ∗ lim f1 (bn ) = b , Mệnh đề 3.2.4, ta có n→∞ ρ∗1 (a∗ , b∗ ) = lim ρ∗1 (f1 (an ), f1 (bn )) n→∞ 78 = lim ρ∗ (an , bn ) n→∞ = lim ρ∗2 (f1 (an ), f1 (bn )) = n→∞ ρ∗2 (φ(a∗ ), φ(b∗ )) Điều chứng tỏ φ song ánh đẳng cự đồng X  Ví dụ 3.4.8 Giả sử X = Q, E = R2 , C = {(t, 0) ∈ E : t > 0}, K > ρ : X × X → E ρ(a, b) = (|a − b|, 0) với a, b ∈ X Vì (X, E, C, K, ρ) khơng khơng gian b-metric mạnh Do Định lý không áp dụng Dễ dàng kiểm tra (X, E, C, K, ρ) không gian b-TVS metric nón mạnh Vì C có sở lồi đóng B = {(1, 0)} nên C thỏa mãn tính chất lân cận Do đó, tất giả thiết Định lý 3.4.7 thỏa mãn Hơn nữa, ta có (X ∗ = R, E = R2 , C, K, ρ∗ ) bổ sung đủ (X, E, C, K, ρ), ρ∗ (a∗ , b∗ ) = (|a∗ − b∗ |, 0) với a∗ , b∗ ∈ X ∗ 79 3.5 Kết luận chương Trong chương này, thu kết sau: • Giới thiệu khơng gian b-TVS metric nón mạnh Chứng minh số tính chất khơng gian • Thiết lập Định lý 3.3.1 Định lý 3.3.3 điều kiện đủ để ánh xạ tốn tử Picard khơng gian b-TVS metric nón mạnh đầy đủ • Thiết lập Nguyên lý bổ sung đủ khơng gian b-TVS metric nón mạnh 80 KẾT LUẬN CHUNG Luận án nghiên cứu tồn số lớp toán Picard yếu toán tử Picard không gian metric metric suy rộng Các kết luận án bao gồm: Thiết lập số điều kiện đủ để ánh xạ toán tử Picard yếu đơn trị toán tử Picard yếu đa trị không gian metric đầy đủ Thiết lập số điều kiện đủ để ánh xạ toán tử Picard toán tử Picard yếu đa trị không gian b−metric mạnh Giới thiệu không gian b-TVS metric nón mạnh thiết lập số điều kiện đủ để ánh xạ toán tử Picard không gian Thiết lập Nguyên lý bổ sung đủ khơng gian b-TVS metric nón mạnh Chúng tơi đề xuất số hướng nghiên cứu cho kết luận án sau: Nghiên cứu toán tử Picard toán tử Picard yếu cho không gian metric suy rộng không đầy đủ Nghiên cứu số ứng dụng toán tử Picard Picard yếu vào toán tồn nghiệm phương trình vi phân, hệ phương trình tuyến tính, phương trình tích phân Nghiên cứu tốn cân khơng cộng tác trị chơi khơng gian metric suy rộng 81 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [A1] Hieu Doan (2021), “A new type of Kannan’s fixed point theorem in strong b-metric spaces”, AIMS Mathematics , 6(7), 7895–7908 (SCIE) [A2] Doan Trong Hieu and Bui The Hung (2022), “Some fixed point theorems for weakly Picard operators in complete metric spaces and applications”, Commun Korean Math Soc Vol 37, No 1, 75–89 (ESCI, Scopus) [A3] Doan Trong Hieu, Bui The Hung, Muhammad Sirajo Abdullahi, Poom Kumam (2022), “On Answer to Kirk-Shahzad’s Question for Strong b-TVS cone metric spaces”, Science and Technology Asia, Vol 27, No 1, 20–30 (Scopus) [A4] Ha Tran Phuong, Bui The Hung and Doan Trong Hieu (2023), “Fixed point theorems of Kannan type contractive mappings in strong b-metric spaces”, submitted to Miskolc Mathematical Notes (SCIE) [A5] Bui The Hung and Doan Trong Hieu (2023), “Picard operators in strong b-TVS cone metric spaces”, submitted to East-West Journal of Mathematics 82 Tài liệu tham khảo [1] Alimohammady M., Balooee J., Radojevíc S., Rakocevíc V., Roohi M (2011), “Conditions of regularity in cone metric space”, Appl Math comput., 217, 6359–6363 [2] An T V., Dung N V (2016), “Answers to Kirk-Shahzad’s questions on strong b-metric spaces”, Taiwanese J Math., 20(5), 1175–1184 [3] Banach S (1922), “Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales”, Fund Math., 3, 133–181 [4] Berstovanská E (2003), “Qualitative behavior of an integral equation related to some epidemic model”, Demonstratio Math XXXVI (3), 603–609 [5] Berinde M., Berinde V (2007), “On a general class of multi-valued weakly Picard mappings”, J Math Anal Appl., 326, 772 –782 ´ c Lj B (1974), “A generalization of Banach’s contraction princi[6] Ciri´ ple”, Proc Amer Math Soc., 45, 267–273 [7] Connell E H (1959), “Properties of fixed point spaces”, Proc Amer Math Soc., 10, 974–979 [8] Czerwik S (1993), “Contraction mappings in b-metric spaces”, Acta Math Inform Univ Ostraviensis., 1, 5–11 83 [9] Du W S (2010), “A note on cone metric fixed point theory and its equivalence”, Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., 72, 2259–2261 [10] Dube L S., Singh S P (1970), “On multivalued contractions mappings”, Bull Math de la Soc Sci Math de la R S Roumanie, 14, 307–310 [11] Edelstein M (1962), “On fixed and periodic points under contractive mappings”, J London Math Soc., 37, 74–79 [12] Farshid K., Mujahid A., Simona C (2014), “Two new types of fixed point theorems in complete metric spaces”, Abs Appl Anal., Vol 2014, Article ID 325840, 1–5 [13] Felhi A (2016), “On multi-valued weakly picard operators in Hausdorff metric-like spaces”, International Journal of Analysis and Applications, 11(2), 168–182 [14] Gaba Y U (2017), “Fixed point theorems in G- metric spaces”, J Math Anal Appl., 455, 528–537 [15] Gahler S (1963), “2-Metrische Raume und ihre topologische struktur”, Math Nachr., 26, 115–148 [16] Górnicki J (2017), “Fixed point theorems for Kannan type mappings”, J Fixed Point Theory Appl., 19, 2145–2152 [17] Górnicki J (2018), “Various extensions of Kannan’s fixed point theorem”, Fixed Point Theory, 18, 569–578 [18] Gordij M E., De La Sen M., Cho Y J (2017), “On orthogonal sets and Banach fiexd point theorem”, J Fixed Point Theory Appl., 21, 1–11 84 [19] Hardy G E., Rogers T D (1973), “A generalization of a fixed point theorem of Reich”, Canad Math Bull., 16, 201–206 [20] Hiranmoy G., Lakshmi K D., Tanusri S (2018), “On Kannantype contractive mappings”, Num Func Anal Optimization., DOI 10.1080/01630563.2018.1485157 [21] Huang L G., Zhang X (2007), “Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings”, J Math Anal Appl., 332, 1468– 1476 [22] Kannan R (1968), “Some results on fixed points”, Bull Calcutta Math Soc., 60, 71–76 [23] Kannan R (1969), “Some results on fixed points–II”, Amer Math Monthly, 76(4), 405–408 [24] Kirk A., Shahzad N (2014), “Fixed Point Theory in Distance Spaces”, Springer, Cham [25] Luc D T (1989), “Theory of Vector Optimization”, Lectures Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer Verlag, Berlin, Germany, Vol 319 [26] Matthews G S (1992), “Partial metric topology”, Reseach Report 212, Department of Computer Science University of Warwick [27] Mathews G S (1994), “Partial metric topology”, Ann New York Acad Sci., 728, 183–197 [28] Meir A., Keeler E (1969), “A theorem on contraction mappings”, J Math Anal Appl., 28, 326–329 85 [29] Muresan V (2003), “Volterra integral equations with interations of linear modification of the argument”, Novi Sad J Math., 33, 1–10 [30] Muresan V (2004), “Existence, uniqueness and data dependence for the solutions of some integro-differential equations of mixed type in Banach space”, J Anal Appl., 23, 205–216 [31] Olaru I M (2010), “An integral equation via weakly Picard operators”, Fixed Point Theory, 11(1), 97–106 [32] Olaru I M (2010), “Generalizations of an integral equation related to some epidemic models”, Carpathian J Math., 26, 92–96 [33] Pant R (2016), “Fixed point theorems for generalized semi-quasi contractions”, J Fixed Point Theory Appl., 19, 1581–1590 [34] Ran A C M., Reuring M C B (2004), “A fixed point theorem in partially ordered sets and some applicationts to matrix equations”, Proc Amer Math Soc., 132, 1435–1443 [35] Rakotch E (1962), “A note on contractive mappings”, Proc Amer Math Soc., 13, 459–465 [36] Rakotch E (1962), “A note on locally contractive mappings”, Bull Res Council Israel Sect, 10, 188–191 [37] Reich S (1971), “Kannan’s fixed point theorem”, Boll Un Mat Ital., 4(4), 1–11 [38] Reich S (1971), “Some remarks concerning contraction mappings”, Can Math Bull., 14, 121–124 [39] Reich S (1972), “Fixed points of contractive functions”, Boll Un Mat Ital., 5(4), 26–42 86 [40] Ri S-i (2016), “A new fixed point theorem in the fractal space”, Indagationes Mathematicae, 27, 85–93 [41] Rezapour Sh., Hamlbarani R (2008), Some notes on the paper “Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings”, J Math Anal., 345, 719–724 [42] Rus I A (1983), “Generalized contractions”, Univ Cluj-Napoca, Preprint (3), 1–30 [43] Rus I A (1984), “Bessaga mappings”, Proc Colloq Approx Optimization, Cluj-Napoca, 165–175 [44] Rus I A (1987), “Picard mappings: results and problems”, Univ ClujNapoca, Preprint 6, 55–64 [45] Rus I A (1988), “Picard mappings I.”, Studia Univ Babes-Bolyai 33, 70–73 [46] Rus I A (1989), “Basic problems of the metric fixed point theory revisited”, Studia Univ Babes-Bolyai, 34, 61–69 [47] Rus I A (1991), “Basic problems of the metric fixed point theory revisited (II)”, Stud Univ Babes-Bolyai, 36, 81–91 [48] Rus I A (1993), “Weakly Picard mappings”, Comment Math Univ Carolin, 34(4), 769–733 [49] Rus I A., Petrusel A., Sintamarian A (2001) “Data dependence of the fixed points set of multi-valued weakly Picard operators”, Stud Univ Babes-Bolyai, Math., 46, 111–121 [50] Rus I A., Petrusel A., Sintamarian A (2003) “Data dependence of the fixed points set of multi-valued weakly Picard operators”, Nonlinear Anal., 52, 1947–1959 87 [51] Rus I A (2003), “Picard operators and applications”, Sci Math Japan, 58(1), 191–219 [52] Rus I A., Muresan A S., and Muresan V (2005), “Weakly Picard operators on a set with two metrics”, Fixed Point Theory, 6(2), 323– 331 [53] Rus I A., Petrusel A., Serban M A (2006), “Weakly Picard operators: Equivalent definitions applications and open problems”, Fixed Point Theory, 7, 3–22 [54] Sawangsup K., Sintunavarat W., Cho Y J (2020), “Fixed point theorems for orthogonal F −contraction mappings on O−complete metric spaces”, J Fixed Point Theory Appl., https://doi.org/10.1007/s11784019-0737-4 [55] Subrahmanyam P V (1975), “Completeness and fixed points”, Monatsh Math., 80, 325–330 [56] Suzuki T (2007), “A generalized Banach contraction principle that characterizes metric completeness”, Proc Amer Math Soc., (136), 1861–1869 [57] Suzuki T (2009), “A new type of fixed point theorem in metric spaces”, Nonlinear Anal., 71 , 5313–5317 [58] Wang J., Xiang X., Wei W (2010), “A class of nonlocal impulsive problems for integrodifferential equation in Banach spaces”, Results Math., 58, 379–397 [59] Wang J., Zhou Y., Medved M (2012), “Picard and weakly Picard operators technique for nonlinear differential equations in Banach spaces”, J Math Anal Appl., 389, 261–274 88 [60] Wardowski D (2012) “Fixed point of a new type of contractive mappings in complete metric spaces”, Fixed Point Theory Appl., doi:10.1186/1687-1812-2012-94, pages 89

Ngày đăng: 07/09/2023, 17:13

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w