Mệnh đề đảo của Định lý 1.1 là không đúng. Chẳng hạn như chuỗi điều hòa sau đây ∞ Pn =1 1n có lim n→+∞ 1n → 0 khi n → ∞, nhưng chuỗi này là phân kỳ (Xem Ví dụ 2.1 dưới đây). 2. Định lý 1.1 cho chúng ta một điều kiện đủ để kiểm tra một chuỗi là phân kỳ. Cụ thể, nếu lim n→+∞ an không tồn tại hoặc lim n→+∞ an 6= 0 thì chuỗi đã cho là phân kỳ. Chẳng hạn như chuỗi số sau đây ∞ Pn =1 n 2n+1 có lim n→+∞ n 2n+1 = 12 nên chuỗi đã cho là phân kỳ. Tuy nhiên lưu ý rằng nếu lim n→+∞ an = 0 thì chúng ta chưa có kết luận gì về tính hội tụ của chuỗi ∞ Pn =1 an
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC TS BÙI XUÂN DIỆU TS BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng Bài Giảng GIẢI TÍCH III GIẢI TÍCH III (lưu hành nội bộ) (lưu hành nội bộ) CHUỖI - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ L APLACE CHUỖI - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ L APLACE Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập lời giải Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập lời giải Hà Nội - 2017 (bản cập nhật Ngày 28 tháng năm 2017) Hà Nội - 2017 (bản cập nhật Ngày 28 tháng năm 2017) Tập Bài giảng q trình hồn thiện chứa lỗi đánh máy, lỗi kí hiệu chỗ sai chưa kiểm tra hết Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến để tập Bài giảng hoàn thiện Mọi ý kiến đóng góp xin gửi địa “dieu.buixuan@hust.edu.vn” Hà Nội, Ngày 28 tháng năm 2017 Tập Bài giảng q trình hồn thiện chứa lỗi đánh máy, lỗi kí hiệu chỗ sai chưa kiểm tra hết Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến để tập Bài giảng hồn thiện Mọi ý kiến đóng góp xin gửi địa “dieu.buixuan@hust.edu.vn” Hà Nội, Ngày 28 tháng năm 2017 MỤC Mục lục MỤC LỤC LỤC Mục lục Chương Chuỗi (11LT+11BT) Chương Chuỗi (11LT+11BT) 5 Đại cương chuỗi số Chuỗi số dương 2.1 Tiêu chuẩn tích phân 2.2 Các tiêu chuẩn so sánh 2.3 Tiêu chuẩn d’Alambert 2.4 Tiêu chuẩn Cauchy 2.5 Tiêu chuẩn d’Alambert vs Tiêu chuẩn Cauchy 2.6 Bài tập ôn tập Chuỗi số với số hạng có dấu 3.1 Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ 3.2 Chuỗi đan dấu 3.3 Hội tụ tuyệt đối vs Bán hội tụ 3.4 Phép nhân chuỗi 3.5 Khi dùng tiêu chuẩn nào? 3.6 Ví dụ chuỗi bán hội tụ chuỗi đan dấu 3.7 Bài tập ôn tập Chuỗi hàm số 4.1 Chuỗi hàm số hội tụ 4.2 Chuỗi hàm số hội tụ 4.3 Các tính chất chuỗi hàm số hội tụ 4.4 Một số ý chuỗi hàm 4.5 Bài tập ôn tập Chuỗi lũy thừa 5.1 Các tính chất chuỗi lũy thừa 5.2 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa 9 11 17 19 21 23 26 26 28 29 31 33 35 37 43 43 44 46 51 51 53 56 58 Đại cương chuỗi số Chuỗi số dương 2.1 Tiêu chuẩn tích phân 2.2 Các tiêu chuẩn so sánh 2.3 Tiêu chuẩn d’Alambert 2.4 Tiêu chuẩn Cauchy 2.5 Tiêu chuẩn d’Alambert vs Tiêu chuẩn Cauchy 2.6 Bài tập ôn tập Chuỗi số với số hạng có dấu 3.1 Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ 3.2 Chuỗi đan dấu 3.3 Hội tụ tuyệt đối vs Bán hội tụ 3.4 Phép nhân chuỗi 3.5 Khi dùng tiêu chuẩn nào? 3.6 Ví dụ chuỗi bán hội tụ chuỗi đan dấu 3.7 Bài tập ôn tập Chuỗi hàm số 4.1 Chuỗi hàm số hội tụ 4.2 Chuỗi hàm số hội tụ 4.3 Các tính chất chuỗi hàm số hội tụ 4.4 Một số ý chuỗi hàm 4.5 Bài tập ôn tập Chuỗi lũy thừa 5.1 Các tính chất chuỗi lũy thừa 5.2 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa 9 11 17 19 21 23 26 26 28 29 31 33 35 37 43 43 44 46 51 51 53 56 58 5.3 Khai triển Maclaurin số hàm số sơ cấp 5.4 Ứng dụng chuỗi lũy thừa 5.5 Bài tập ôn tập Chuỗi Fourier 6.1 Chuỗi lượng giác & chuỗi Fourier 6.2 Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier 6.3 Khai triển hàm số chẵn, hàm số lẻ 6.4 Khai triển hàm số tuần hoàn với chu kỳ 6.5 Khai triển chuỗi Fourier hàm số đoạn [a, b] 6.6 Bài tập ơn tập Chương Phương trình vi phân (11 LT + 12 BT) 5.3 Khai triển Maclaurin số hàm số sơ cấp 5.4 Ứng dụng chuỗi lũy thừa 5.5 Bài tập ôn tập Chuỗi Fourier 6.1 Chuỗi lượng giác & chuỗi Fourier 6.2 Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier 6.3 Khai triển hàm số chẵn, hàm số lẻ 6.4 Khai triển hàm số tuần hoàn với chu kỳ 6.5 Khai triển chuỗi Fourier hàm số đoạn [a, b] 6.6 Bài tập ôn tập Chương Phương trình vi phân (11 LT + 12 BT) 60 65 65 70 70 71 75 78 80 82 85 Các khái niệm mở đầu Phương trình vi phân cấp 2.1 Đại cương phương trình vi phân cấp 2.2 Các phương trình khuyết 2.3 Phương trình vi phân với biến số phân ly 2.4 Phương trình vi phân đẳng cấp 2.5 Phương trình đưa phương trình đẳng cấp 2.6 Phương trình vi phân tuyến tính 2.7 Phương trình Bernoulli 2.8 Phương trình vi phân tồn phần 2.9 Thừa số tích phân 2.10 Bài tập ôn tập Phương trình vi phân cấp hai 3.1 Đại cương phương trình vi phân cấp hai 3.2 Các phương trình khuyết 3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số số 3.5 PTVP tuyến tính đưa PTVP tuyến tính với hệ số 3.6 Phương trình Euler 3.7 Phương trình Chebysev 3.8 Đọc thêm: Phương pháp đặc trưng giải PTVP tuyến tính cấp n với hệ số 3.9 Bài tập ôn tập Đại cương hệ phương trình vi phân cấp 4.1 Các loại nghiệm hệ PTVP 4.2 Mối liên hệ PTVP cấp n hệ n PTVP cấp Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 87 88 88 89 90 91 91 92 94 95 96 98 99 99 99 101 108 112 113 114 MỤC LỤC 114 115 117 117 119 120 MỤC LỤC 60 65 65 70 70 71 75 78 80 82 85 Các khái niệm mở đầu Phương trình vi phân cấp 2.1 Đại cương phương trình vi phân cấp 2.2 Các phương trình khuyết 2.3 Phương trình vi phân với biến số phân ly 2.4 Phương trình vi phân đẳng cấp 2.5 Phương trình đưa phương trình đẳng cấp 2.6 Phương trình vi phân tuyến tính 2.7 Phương trình Bernoulli 2.8 Phương trình vi phân toàn phần 2.9 Thừa số tích phân 2.10 Bài tập ôn tập Phương trình vi phân cấp hai 3.1 Đại cương phương trình vi phân cấp hai 3.2 Các phương trình khuyết 3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số số 3.5 PTVP tuyến tính đưa PTVP tuyến tính với hệ số 3.6 Phương trình Euler 3.7 Phương trình Chebysev 3.8 Đọc thêm: Phương pháp đặc trưng giải PTVP tuyến tính cấp n với hệ số 3.9 Bài tập ôn tập Đại cương hệ phương trình vi phân cấp 4.1 Các loại nghiệm hệ PTVP 4.2 Mối liên hệ PTVP cấp n hệ n PTVP cấp Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 87 88 88 89 90 91 91 92 94 95 96 98 99 99 99 101 108 112 113 114 114 115 117 117 119 120 MỤC LỤC 5.1 Hệ PTVP TT cấp 5.2 Hệ PTVP TT cấp không 5.3 PP biến thiên số giải hệ PTVP TT cấp Hệ PTVP TT với hệ số số 6.1 Phương pháp đặc trưng 6.2 Phương pháp khử 6.3 Bài tập ôn tập Chương Phương pháp toán tử Laplace (8 LT + BT) 120 122 123 125 125 127 129 131 Phép biến đổi Laplace phép biến đổi ngược 1.1 Phép biến đổi Laplace 1.2 Phép biến đổi Laplace nghịch đảo Phép biến đổi toán với giá trị ban đầu 2.1 Phép biến đổi đạo hàm, nghiệm toán giá trị ban đầu 2.2 Phép biến đổi Laplace hàm số f (t) có dạng f (t) = tg(t) 2.3 Phép biến đổi Laplace tích phân Phép tịnh tiến phân thức đơn giản 3.1 Phép tịnh tiến 3.2 Phép biến đổi Laplace ngược hàm phân thức Đạo hàm, tích phân tích phép biến đổi 4.1 Tích chập - Phép biến đổi Laplace tích chập 4.2 Vi phân phép biến đổi 4.3 Tích phân phép biến đổi 4.4 Phép biến đổi Laplace hàm Heaviside tịnh tiến trục 4.5 Bài toán giá trị ban đầu PTVP có hệ số hàm số 131 132 135 137 137 139 140 141 141 142 146 146 148 149 150 152 Phụ lục 155 MỤC LỤC 5.1 Hệ PTVP TT cấp 5.2 Hệ PTVP TT cấp không 5.3 PP biến thiên số giải hệ PTVP TT cấp Hệ PTVP TT với hệ số số 6.1 Phương pháp đặc trưng 6.2 Phương pháp khử 6.3 Bài tập ôn tập Chương Phương pháp toán tử Laplace (8 LT + BT) 120 122 123 125 125 127 129 131 Phép biến đổi Laplace phép biến đổi ngược 1.1 Phép biến đổi Laplace 1.2 Phép biến đổi Laplace nghịch đảo Phép biến đổi toán với giá trị ban đầu 2.1 Phép biến đổi đạo hàm, nghiệm toán giá trị ban đầu 2.2 Phép biến đổi Laplace hàm số f (t) có dạng f (t) = tg(t) 2.3 Phép biến đổi Laplace tích phân Phép tịnh tiến phân thức đơn giản 3.1 Phép tịnh tiến 3.2 Phép biến đổi Laplace ngược hàm phân thức Đạo hàm, tích phân tích phép biến đổi 4.1 Tích chập - Phép biến đổi Laplace tích chập 4.2 Vi phân phép biến đổi 4.3 Tích phân phép biến đổi 4.4 Phép biến đổi Laplace hàm Heaviside tịnh tiến trục 4.5 Bài toán giá trị ban đầu PTVP có hệ số hàm số 131 132 135 137 137 139 140 141 141 142 146 146 148 149 150 152 Phụ lục 155 Chương A Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số 155 Chương A Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số 155 Chương B Một số tiêu chuẩn hội tụ hay - độc đáo - dễ chứng minh 163 Chương B Một số tiêu chuẩn hội tụ hay - độc đáo - dễ chứng minh 163 Chương C Một số tiêu chuẩn hội tụ mạnh d’Alembert Cauchy 167 Chương C Một số tiêu chuẩn hội tụ mạnh d’Alembert Cauchy 167 = tiêu chuẩn mạnh tiêu chuẩn d’Alembert 167 an = tiêu chuẩn mạnh tiêu chuẩn Cauchy 170 lim an+1 n→+∞ an lim n→+∞ √ n lim an+1 n→+∞ an lim n→+∞ √ n = tiêu chuẩn mạnh tiêu chuẩn d’Alembert 167 an = tiêu chuẩn mạnh tiêu chuẩn Cauchy 170 MỤC LỤC 4 MỤC LỤC CHƯƠNG CHƯƠNG CHUỖI (11LT+11BT) §1 ĐẠI CHUỖI (11LT+11BT) §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ CHUỖI SỐ Định nghĩa 1.1 Cho {an }∞ n=1 dãy số Tổng vô hạn gọi chuỗi số kí hiệu a1 + a2 + · · · + an + · · · an , an gọi số hạng tổng quát n=1 n→∞ có tổng S viết ∞ X gọi chuỗi số kí hiệu ∞ P an , an gọi số hạng tổng quát Sn = a1 + a2 + · · · + an gọi tổng riêng thứ n ∞ P an hội tụ n=1 i) Nếu dãy số {Sn } hội tụ lim Sn = S tồn tại, ta nói chuỗi số n→∞ có tổng S viết ∞ X an = S n=1 ii) Ngược lại, ta nói chuỗi số ∞ P n=1 Sn = a1 + a2 + · · · + an gọi tổng riêng thứ n i) Nếu dãy số {Sn } hội tụ lim Sn = S tồn tại, ta nói chuỗi số CƯƠNG VỀ CHUỖI SỐ Định nghĩa 1.1 Cho {an }∞ n=1 dãy số Tổng vô hạn a1 + a2 + · · · + an + · · · ∞ P an phân kỳ ∞ P an hội tụ n=1 an = S n=1 ii) Ngược lại, ta nói chuỗi số n=1 ∞ P an phân kỳ n=1 Ví dụ 1.1 Hãy xét ví dụ trực quan chuỗi số sau Chúng ta bắt đầu với khoảng [0, 1] Chia đơi khoảng ta hai khoảng [0, 1/2] (1/2, 1], khoảng có độ dài 1/2 Sau ta lại tiếp tục chia đơi khoảng [0, 1/2], ta hai khoảng, khoảng có độ dài 1/4 Tiếp tục kéo dài trình ta chuỗi số sau: 1 1 = + + ··· + n + ··· Ví dụ 1.1 Hãy xét ví dụ trực quan chuỗi số sau Chúng ta bắt đầu với khoảng [0, 1] Chia đơi khoảng ta hai khoảng [0, 1/2] (1/2, 1], khoảng có độ dài 1/2 Sau ta lại tiếp tục chia đơi khoảng [0, 1/2], ta hai khoảng, khoảng có độ dài 1/4 Tiếp tục kéo dài trình ta chuỗi số sau: 1 1 = + + ··· + n + ··· Ví dụ 1.2 Xét chuỗi số sau: Ví dụ 1.2 Xét chuỗi số sau: + + ··· + n + ··· + + ··· + n + ··· 5 Chương Chuỗi (11LT+11BT) Chuỗi số có tổng riêng thứ n n(n + 1)/2 nên tiến vô n tiến vô Nói cách khác, chuỗi số phân kỳ Ví dụ 1.3 Xét hội tụ tính tổng (nếu có) chuỗi cấp số nhân aq n = a + aq + n=0 aq + · · · Ta có Do Sn = a ∞ P S (q 6= 1) 1−q n 1−q n qSn = a + aq + · · · + aq lim Sn = n→∞ Do Sn = a |q| < phân kỳ 17 103 1− 102 = − ∞ P n(n+1) |q| < a 1−q ∞ |q| > Kết luận: chuỗi cấp số nhân cho hội tụ có tổng |q| ≥ q = 102 Do Trước hết ta phân tích 17 17 17 + + + ··· 103 105 107 17 103 1− 102 = n(n+1) = n − n+1 ∞ P n=1 Ta có 17 103 n(n+1) 1 + + ··· + 1·2 2·3 n(n + 1) 1 1 1 − − − + + ··· = 2 n n+1 =1− n+1 Sn = n→+∞ q = 102 Do 1147 495 Ví dụ 1.5 Chứng minh chuỗi số sau hội tụ tính Do lim Sn = |q| < phân kỳ Sau số hạng chuỗi cho cấp số nhân với a = 1 + + ··· + 1·2 2·3 n(n + 1) 1 1 1 − − − + + ··· = 2 n n+1 =1− n+1 n→+∞ a 1−q Ví dụ 1.4 Viết số thực sau 2.317 = 2.3171717 dạng phân số Sn = Do lim Sn = = aq + aq + · · · + aq n 2.317 = n=1 Ta có qSn = a + aq + · · · + aq n−1 2.317 = 2.3 + 17 103 aq n = a + aq + • Trường hợp q = dễ thấy chuỗi số cho phân kỳ có tổng riêng thứ n an 0, n chẵn, • Trường hợp q = −1 ta có Sn = nên không tồn lim Sn n→+∞ a, n lẻ 1147 495 Ví dụ 1.5 Chứng minh chuỗi số sau hội tụ tính = 1−q 17 17 17 + + + ··· 103 105 107 Sau số hạng chuỗi cho cấp số nhân với a = n+1 (q 6= 1) 1−q n n n→∞ Ví dụ 1.4 Viết số thực sau 2.317 = 2.3171717 dạng phân số n S lim Sn = a 1−q ∞ P n=0 |q| > Kết luận: chuỗi cấp số nhân cho hội tụ có tổng |q| ≥ 1 n(n+1) Ví dụ 1.3 Xét hội tụ tính tổng (nếu có) chuỗi cấp số nhân n−1 • Trường hợp q = dễ thấy chuỗi số cho phân kỳ có tổng riêng thứ n an 0, n chẵn, • Trường hợp q = −1 ta có Sn = nên không tồn lim Sn n→+∞ a, n lẻ 2.317 = Chuỗi số có tổng riêng thứ n n(n + 1)/2 nên tiến vơ n tiến vơ Nói cách khác, chuỗi số phân kỳ |q| < a 1−q ∞ 2.317 = 2.3 + Chương Chuỗi (11LT+11BT) aq + · · · Ta có = aq + aq + · · · + aq n Trước hết ta phân tích Đại cương chuỗi số Định lý 1.1 (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) ∞ P an hội tụ, lim an = Nếu chuỗi số n→+∞ n=1 ∞ P an hội tụ nên dãy số n=1 hội tụ Đặt lim Sn = S Vì n − → ∞ n → ∞ nên lim Sn−1 = S Do n→+∞ Định lý 1.1 (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) ∞ P an hội tụ, lim an = Nếu chuỗi số n→+∞ n→+∞ n→+∞ Chứng minh Đặt Sn = a1 + a2 + · · · + an , ta có an = Sn − Sn−1 Vì {Sn }∞ n=1 n→+∞ ∞ P an hội tụ nên dãy số n=1 hội tụ Đặt lim Sn = S Vì n − → ∞ n → ∞ nên lim Sn−1 = S Do n→+∞ lim an = lim (Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = n→+∞ n=1 Chứng minh Đặt Sn = a1 + a2 + · · · + an , ta có an = Sn − Sn−1 Vì {Sn }∞ n=1 Đại cương chuỗi số n→+∞ lim an = lim (Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = n→+∞ n→+∞ Chú ý 1.1 n→+∞ n→+∞ n→+∞ Chú ý 1.1 Mệnh đề đảo Định lý 1.1 khơng Chẳng hạn chuỗi điều hịa sau ∞ P có lim n1 → n → ∞, chuỗi phân kỳ (Xem Ví dụ 2.1 n Mệnh đề đảo Định lý 1.1 không Chẳng hạn chuỗi điều hịa sau ∞ P có lim n1 → n → ∞, chuỗi phân kỳ (Xem Ví dụ 2.1 n Định lý 1.1 cho điều kiện đủ để kiểm tra chuỗi phân kỳ Cụ thể, lim an khơng tồn lim an 6= chuỗi cho phân kỳ Chẳng n→+∞ n→+∞ ∞ P n n = 21 nên chuỗi cho phân kỳ Tuy hạn chuỗi số sau có lim 2n+1 2n+1 Định lý 1.1 cho điều kiện đủ để kiểm tra chuỗi phân kỳ Cụ thể, lim an không tồn lim an 6= chuỗi cho phân kỳ Chẳng n→+∞ n→+∞ ∞ P n n = 21 nên chuỗi cho phân kỳ Tuy hạn chuỗi số sau có lim 2n+1 2n+1 n=1 đây) n→+∞ n=1 n→+∞ nhiên lưu ý lim an = chưa có kết luận tính hội tụ n→+∞ ∞ P an chuỗi n=1 đây) n=1 n=1 có tính chất hội tụ phân kỳ +∞ P 1 Ví dụ 1.1 Chuỗi n ln + phân kì n → ∞ n n=1 1 un = n ln + →1 n n=2016 Ví dụ 1.2 (Giữa kì, K61) Xét hội tụ chuỗi số a) ∞ P (−1)n−1 cos n1 b) n=1 ∞ P (−1)n−1 cos n2 hội tụ, chuỗi số ∞ P ∞ P an n=1 (αan + βbn ) chuỗi số hội tụ n=1 n=1 Thay đổi số số hạng chuỗi khơng làm ảnh hưởng đến tính ∞ ∞ P P an an hội tụ hay phân kì chuỗi số Chẳng hạn hai chuỗi số a) ∞ P (−1)n−1 cos n1 b) n=1 (αan + βbn ) = α n=1 ∞ X n=1 an + β ∞ X n=1 bn n=2016 ∞ P bn chuỗi số ∞ P (−1)n−1 cos n2 n=1 Định lý 1.2 (Các phép toán chuỗi số hội tụ) Nếu n=1 hội tụ, chuỗi số ∞ P ∞ P an n=1 (αan + βbn ) chuỗi số hội tụ n=1 ∞ X n=1 có tính chất hội tụ phân kỳ +∞ P 1 Ví dụ 1.1 Chuỗi n ln + phân kì n → ∞ n n=1 1 un = n ln + →1 n Ví dụ 1.2 (Giữa kì, K61) Xét hội tụ chuỗi số n=1 Định lý 1.2 (Các phép toán chuỗi số hội tụ) Nếu n→+∞ nhiên lưu ý lim an = chưa có kết luận tính hội tụ n→+∞ ∞ P an chuỗi n=1 Thay đổi số số hạng chuỗi khơng làm ảnh hưởng đến tính ∞ ∞ P P an an hội tụ hay phân kì chuỗi số Chẳng hạn hai chuỗi số n→+∞ ∞ X (αan + βbn ) = α n=1 ∞ X n=1 an + β ∞ X n=1 bn ∞ P n=1 bn chuỗi số Chương Chuỗi (11LT+11BT) Chương Chuỗi (11LT+11BT) Bài tập 1.1 Chứng minh chuỗi số sau hội tụ tính ∞ P Bài tập 1.1 Chứng minh chuỗi số sau hội tụ tính ∞ P n=1 2016 n(n+1) + 2017 2n n=1 Bài tập 1.2 Xác định xem chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ Nếu hội tụ, tính tổng chúng (a) (b) P∞ n=2 n2 −1 ∞ P n=1 (c) n=1 (d) n ln n+1 n2 −1 ∞ P = n−1 − (e) en n3 ln n=1 [Gợi ý] (a) Tách ∞ P ∞ P n=1 n2 +1 2n2 +3 (f) ∞ P n=2 (b) n3 −n ∞ P (c) n2 −1 ∞ P n=1 (d) n ln n+1 (a) Tách ex n→∞ x Chuỗi cho phân kì ∞ P ln n=1 = n−1 − (e) en n3 = ∞) n2 +1 2n2 +3 (c) Chứng minh lim = (n−1)n − n(n+1) i 1.2.3 + (c) 225 + 2.3.4 n (2n−1)2 (2n+1)2 + ··· n3 −n = (n−1)n(n+1) = h (n−1)n − n(n+1) i (b) 1.2.3 + (c) 225 + 2.3.4 + ··· + ··· + n (2n−1)2 (2n+1)2 + ··· [Gợi ý] (a) Viết chuỗi số cho thành tổng hai chuỗi cấp số nhân (hội tụ) ∞ P n=1 (c) Tách = ∞) Bài tập 1.3 Xét hội tụ tính tổng (nếu có) chuỗi sau (a) 21 + 13 + 212 + 312 + · · · + 21n + 31n + · · · [Gợi ý] (b) Tách n3 −n Chuỗi cho phân kì (f) Tách + ··· + ··· + n=2 n→∞ Bài tập 1.3 Xét hội tụ tính tổng (nếu có) chuỗi sau (a) 21 + 13 + 212 + 312 + · · · + 21n + 31n + · · · (b) ∞ P ex n→∞ x (e) Chứng minh lim an = Chuỗi cho phân kì (n−1)n(n+1) (f) n 1+( 32 ) n→∞ n→∞ = = ∞ (bằng cách chuyển qua giới hạn hàm số lim en n→∞ n (e) Chứng minh lim an = Chuỗi cho phân kì n3 −n n+1 (d) Chứng minh lim an = ln 21 Chuỗi cho phân kì n→∞ (f) Tách ∞ P n=1 (d) Chứng minh lim an = ln 21 Chuỗi cho phân kì h 2017 2n n (b) Tách ln n+1 = ln n − ln(n + 1) = ∞ (bằng cách chuyển qua giới hạn hàm số lim en n→∞ n n=2 n2 −1 [Gợi ý] n (b) Tách ln n+1 = ln n − ln(n + 1) (c) Chứng minh lim P∞ n=1 n+1 + Bài tập 1.2 Xác định xem chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ Nếu hội tụ, tính tổng chúng (a) n 1+( 32 ) 2016 n(n+1) n(n+1)(n+2) = n (2n−1)2 (2n+1)2 = h n(n+1) h − (2n−1)2 (n+1)(n+2) − (2n+1)2 i i 2n + ∞ P n=1 3n (a) Viết chuỗi số cho thành tổng hai chuỗi cấp số nhân (hội tụ) ∞ P n=1 (b) Tách (c) Tách n(n+1)(n+2) = n (2n−1)2 (2n+1)2 = h n(n+1) h − (2n−1)2 (n+1)(n+2) − (2n+1)2 i i 2n + ∞ P n=1 3n np ≤ np ∞ ∞ P P sin n sinpn phân hội tụ theo tiêu chuẩn Dirichlet Chuỗi Trường hợp p < 1, chuỗi np n n=1 n=1 kì sử dụng tiêu chuẩn so sánh với sin n sin n