Giải Tích 3 Vô Hạn Và Vi Phân.pdf

Cuốn sách này dành cho sinh viên các ngành kĩ thuật và những bạn đọc cần đến kiến thức về phương trình vi phân và chuỗi vô hạn để áp dụng trong các chuyên ngành của mình. Cuốn sách bao gồm kỹ thuật giải và ứng dụng cảu phương trình vi phân và chuỗi vô hạn

Hội tụ tuyệt đối,bánhộitụ

Chuỗi hàm số hội tụđều

Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụđều

Định lý 2.8 (Tính liên tục) Nếu các giả thiết sau là đúng i) un(x) liên tục trên X tới trọi 0, ii) Chuỗi hầm số re Un(x) hoi tu déu vé S(x) trén X, n=1 thi S(x) lién tuc trén X, nghia la,

Bay 3 an = Fi z fa ee, ose + Res £ 1 x

Ví dụ 2.9 Xét tính liên tục của chuỗi hàm sô h 52 arctan vm

[Gợi ý] Dùng tiêu chuẩn Weierstrass, chuỗi hàm số đã cho hội tụ đều trên IR, do đó liên tục Định lý 2.10 (Tính khả tích) Nếu các giả thiết sau là đúng i) u„(x) liên tục trên [a,b] vdi moi n, ii) Chuỗi hàm số y Un(x) hội tụ đều oÈ S(x) trên [a,b], n=1 thi S(x) kha tich trén [a,b] va

0 (v2)" n+1 Xét chuỗi hàm số }ˆ (w + 1)" =: ƒ(x) Nhận xét: n=0

Ví dụ 2.11 Tính tổng của chuỗi số h sằ Chuỗi hàm số này khụng tớnh được một cỏch trực tiếp, â tuy nhiộn f(n + 1)x"dx = x"*1 + C và chuỗi hàm số ằ x"+1 thỡ tớnh được và bằng r; (là cấp số nhân với công bội bằng x) n=0

Do đó, chúng ta tích phân từng thành phần của chuỗi hàm số ƒ(x) = }› (m + 1)x" co trong khoảng (0, x]: n=0 Ẩ

J?0#t= [( Ltn ner)ae =F fry "dx

32 Chuỗi hàm sô Đạo hàm 2 về phương trỡnh nay ta dugc, f(x) -(ơ) = et ,

Tổng của chuỗi số đã cho bằng n+1

Chú ý 2.12 Việc còn lại là đi tìm miễn hội tụ của chuỗi hàm số đã cho và kiểm tra điều kiện về tính hội tụ đều trong Dinh ly 2.10 Bằng tiêu chuẩn DAlembert có thể kiểm tra chuỗi hàm số đã cho hội tụ nếu —1 < x < 1, hơn nữa chuỗi hàm số này hội tụ đều trên đoạn [—e,e] với mỗi € (0,1) (theo tiêu chuẩn Weierstrass)

Vi du 2.13 Ching minh rang ° " n a) arctanx = (tiêm =x- 2 + ca — -+(_—1 HT + -,xz€[-L1]

Chứng minh Thật vậy, ta biết rằng

1+z? n=0 n=0 vì đây là tổng của một cấp số nhân với công bội bằng —z? Lấy tích phân hai về ta được

Chuỗi bên phải hội tụ tại x = +1 (theo tiêu chuẩn Leibniz), đặc biệt nó hội tụ đều trên [—1, 1] Ta có công thức sau: arctan 1 = — = 1 T C1)” 4 fp2ntl - "

Dinh lý 2.14 (Tính khả vi) Nếu câc giả thiết sau lă ếng i) un(x) kha oi liên tục trên (a,b) uới moin, ii) Chuỗi hàm số } u„(x) hội tụ oề S(x) trên (a, b), œ n=1 iii) Chuỗi hầm số }` u},(x) hội tụ đều trên (a, b), n=1 thi S(x) kha vi trén (a,b) va

1 Khái niệm cơ bản uê chuỗi hầm sô, sự hội tụ, hội tụ đều g ơ gts aur PH S4 cảng 11 33

Vớ dụ 2.15 Tớnh tổng của chuỗi hàm số S(x) = }) ơx trờn [-š;3l n=1

Nhận xét: s Chuỗi hàm số này không tính tổng được một cách trực tiếp, a 7 x Á = = a a x È s tuy nhiên, () = x"*1 và chuỗi hàm số }- x"! tinh dugc tong va bang 4

(vì là chuỗi hình học với công bội bằng x) n=1

Dé thay chudi ban dau héi tu trén [—4,4] (theo D’Alembert), và chuỗi các đạo

2 Hy hàm } x"”! là hội tụ đều trên [—3,3] (tiêu chuẩn Weierstrass, so sánh với chuỗi n=1

3,4]) Do đó, ta có thể đạo hàm 2 về của biểu thức S(x) = r = n=1 n=1 để nhận được

Gợi ý: Để "loại bỏ" số hạng 3 + 1 ở dưới mẫu số, ta xét chuỗi hàm v` (CỔ ant

LUẬN TT và đi tính S'(x) = Ie 1)"x?* = s (—*?)" = rậw (tổng vô hạn của một cấp số nhân với công bội bằng —+) Do đó n=0

(= * dx 1 7 yor Sith) c= lầm In24+ n=0 xoi-Jo 143° 3 V3

34 Chuỗi hàm số §2 CHUỖI LŨY THỪA

Trong tiết này chúng ta xét trường hợp đặc biệt của chuỗi hàm số đó là chuỗi lũy thừa Đối với chuỗi lũy thừa thì các điều kiện về hội tụ, hội tụ đều, liên tục, khả vi, khả tích, v.v., trở nên thuận tiện và đễ sử dụng hơn so với chuỗi hàm số tổng quát

2.2.1 Các khái niệm cơ bản về chuỗi lũy thừa Định nghĩa 2.17 Chuỗi lũy thừa (theo biến x) là chuỗi hàm số có dạng ag + 8x + 82x? + ©-: = 3) anx”"; (quy ước: x9 = 1 V3) n=0 vGi a9, 41,42,++- , la cdc hing sé thuc

Ta ky hiệu chuỗi lũy thừa là }` a„x" so n = nn x

Vi du 2.18 > ©, Y =* la cdc chuỗi lũy thừa n=1 n=0 ˆ

Dinh ly 2.19 (Abel) Xé chuỗi lũy thừa }anx"

1 Nếu })anx" hội tụ tại x = xụ # 0, thì nó hội tụ tuuệt đối tại bắt kỳ điểm x thỏa mãn lx| < lol

2 Nếu })aux" phân kỳ tại điển x = xị, thì nó phân kỳ tại bắt kỳ điểm x thỏa mãn

Chứng tỉnh (1) Ta có );a„xj hội tụ Cô định bat ky x € IR mà |x| < |xo|, ta tính

Do} ;2n+g hội tụ, nên jim, Anxg = 0 Vay, day số {an} là bị chặn Tức là,

3M > 0, sao cho |anx§| < M Vn Do d6,0 < |anx"| < M x Xo n Vn

Lại có |x| < |xo|, cho nên chuỗi } M | it [ hội tụ

Theo tiêu chuẩn so sánh 1, ta có chuỗi }-|a„x”| hội tụ Tức là chuỗi };a„+” hội tụ tuyệt đối

Bán kính hội tụ và khoảng hội tụ

Định nghĩa 2.20 Số 0 < R < œ được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi },anx" khi uà chỉ ue E anx" hội tụ tuyệt đối V|x| < R

Khi đó, khoảng (—R, R) gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa Ở đây có hai trường hợp đặc biệt, chúng ta sẽ giải thích kỹ hơn:

1 R=0}a„x" chỉ hội tụ tại một điểm duy nhất là x = 0

2 R=œ});a„x" hội tụ tại mọi x € IR

Vidu2.21 1 Xétchuỗi lũy thừa ie -: Chuỗi lũy thừa luôn hội tụ tại x = 0 Tại x #0, ta tinh lim #a+1C9 | — lim || = lim bln = |x| ttl n n—0o = noo

Do đó, theo tiêu chuẩn DAlembert

(a) Nếu |x| < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối

(b) Nếu |x| > 1 thì chuỗi phân kỳ

Vay, chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ R = 1 bởi vì nó hội tụ tuyệt đối V|x| < 1, và phân kỳ V|x| > 1 Khoảng hội tụ là (—1, 1) œ "

2 }; š¡ có bán kính hội tụ R = œ vì nó hội tụ tại mọi Vx € IR (D’Alembert) n=0 —

3; E (n!)x" c6 bán kính hội tụ R = 0 vì nó chỉ hội tụ tai duy nhat diém x = 0 va n=0 phan ky tai moi x 4 0 (D’Alembert)

Việc tính bán kính hội tụ có thể thực hiện một cách đơn giản hơn nhờ định lý sau Định lý 2.22 (Cụng thức tớnh bỏn kớnh hội tụ) Xột }›ứ„x” uới p :5 néu0 R) thì ta đã biết là chuỗi lãy thừa phân kỳ

Lưu ý này có thể áp dụng cho chuỗi dạng )ˆz„(ƒ(x))” bằng cách đặt X = ƒ(x) để đưa về chuỗi lũy thừa }`a„X"

Ví dụ 2.24 1 Xét chuỗi lũy thừa }- *” Theo trên ta có bán kính hội tụ là R = 1, nên khoảng hội tụ là (—1, 1) Bên ngoài khoảng này (tức |x| > 1) thì chuỗi phân kỳ Vậy xét thêm hai đầu mút:

+) Tại x = 1, chuỗi trở thành }› +, là chuỗi điều hòa phân kỳ

+) Tai x = —1, chuỗi thành }- =Đ", ly Leibniz, nên nó hội tụ

Tóm lại, miền hội tụ của chuỗi là [—1, 1)

2 Để tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số wae 2" x+1\" a 24=3)

32+3, chudi trở thành chuỗi lũy thừa bị nửa X" Ta CÓ: đụ = „+, ta đặt X = vậy bán kính hội tụ R = — = khoảng hội tụ (— 1,1)

Tại X = 1, chuỗi thành 2 xơ cùng tính chất với 5 1 (phân kỳ) a

Tại X = —1, chuỗi thành Ls = a là chuỗi đan dấu, dễ thay dinh ly Leibniz được thỏa mãn, nên nó hội = Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là

~1< X 0 như thế gọi là chu kỳ tối thiểu của ƒ(x)

Vi du 2.37 Hàm lượng giác sin x, cos x là tuan hoan chu ky T = 271, con ham cos 4*

Z2) — va sin 4 1a tuan hoan chu ky 2L Chang han cos ““7=) = cos(4® + 27) = cos 3% Hàm tuần hoàn với chu kỳ T được gọi là hàm T— tuần hoàn.

42 Chuỗi hàm sô fe) fe)

Tiếp theo, ta nhắc lại khái niệm hàm liên tục từng khúc: Hàm ƒ(x) được gọi là liên tục từng khúc trên (a,b) néu (z,b) có thể phân chia thành một số hữu hạn các khoang a = x9 < x1 < +++ < x, =D sao cho trên mỗi khoảng (x;,x;„) hàm số là lién tuc Vj = 0, n —1 va tai mdi dau mút x; thì giới hạn phải và giới hạn trái là tồn tại

Ta ký hiệu: giới hạn phải xoài nhu := ƒ(z; +0) và giới hạn trái ST tay) VÌ = f (x; —0)

Lưu ý là tại cỏc đầu mỳt ngoài cựng ứ va b, thi chi tớnh giới hạn một phớa (giới hạn phải tại a, và giới hạn trái tại b) Định nghĩa 2.38 (Chuỗi lượng giác) Chuỗi hàm só a = TA _ TL

CPU an + bysin =) gọi là chuỗi lượng giác, trong đó a„, n = 0,1,2, - - - ; bạ, n = 1,2, - - - ; là các hằng số thực

Tổng của chuỗi (nếu tồn tại) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2L Đặc biệt, khi L = 7r, chuỗi lượng giác trở thành chuỗi hàm số

+ ¥ (an cosnx + by sinnx) Ta có định lý sau đây về điều kiện đủ cho sự hội đều co n=1 Định lý 2.39 Nếu }ˆ(|an| + |ba|) hội tụ, thì chuỗi lượng siác ở trên hội tụ déu trén RR Chứng mình |a„ cos“ + by sin "| < |an| + |bn| Vx € IR; Vn, va FI +E((lan| +

|b„|) hội tụ Do đó, theo tiêu chuan Weierstrass, chuỗi lượng giác hội tụ đều trên IR.m

3 Chuỗi Luong gidc va Chudi Fourier 43

2.3.2 Khai triển hàm thành chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier

Tương tự như trường hợp khai triển thành chuỗi lũy thừa, ở đây ta cũng xét bài toán biểu điễn một hàm số thành chuỗi lượng giác Việc biểu diễn này cho phép ta xấp xỉ hàm thành các hàm sin và cos, để nhằm tính toán dễ dàng theo các phép toán trên các hàm sin va cos, hơn nữa việc khai triển này cho phép phân rã hàm thành các hệ số (hay phổ) Fourier vốn có ứng dụng trong lý thuyết xử lý tín hiệu, bài toán truyền nhiệt, truyền sóng và các bài toán phương trình đạo hàm riêng khác Cụ thể ta xét bài toán:

Bài toán Cho hàm ƒ xác định trên IR, tuần hoàn chu kỳ 2L, và liên tục từng khúc trén (—L,L)

1 Liệu có tổn tại chuỗi lượng giác > + x (an cos “= + by sin “) sao cho f(x) = HT (a„ cos “7% TY L,L)? n=1

2 Gia sử chuỗi lượng giác như trên đã tổn tại, liệu nó có duy nhất?

Giải: Tương tự như trường hợp chuỗi lũy thừa, đầu tiên ta trả lời câu hỏi thứ hai:

(2) Giả sử đã tồn tại chuỗi lượng giác sao cho f(x) = HN xa L + by sin TT —) vx € (-L,L)

Cé dinh bat ky s6 m € IN Nhân hai về fểng thức trên với cos “7 va lấy tích phân hai về từ —L đến L ta nhận được: | ƒ(x)cos "#2dx = ƒ 5 cos dx + L

+2 | f ancos™™ cos "dx+ f by cos “7 sin 42 dx nủ=1 (TL =i

Với m =0: [ˆ¡ ƒ(x)dx= ƒ Bax = Lao, do dba) = ¢ f f(x)dx

Với m > 0: sử dụng các kết quả tính toán

L 4£ Ỷ sin —— sin ——dx MTX _ H71X 0 néumAn Ÿ

J sin —T— c0s a = 0 với mọi sô nguyên duong m,n

44 Chuỗi hàm số f(x) cos ™™dx V m = 1,2, - Két

Lease ta có J fe )cos ™™%dx = Lam Do đó, đụ = † L hợp với trường hợp mm = 0, tacé am = ¢ f f(x) cos “dx Vm = 0,1,2, - L

Nhận xét: Ta nhận được công thức xác định tất cả các a„ với mọi m € IN ké ca khi m = 0 Để có được điều đó ta đã sử dụng cách viết chuỗi lượng giác với số hang bắt đầu là ?? mà lúc đầu ta thấy là có vẻ hơi kỳ cục Cuối cùng, cách viết đó cho ta một công thức thống nhất cho toan b6 am Vm € N

Tương tu, tacd by, = ¢ f f(x) sin “dx Vm = 1,2, - L

Do đó, nếu một chuỗi lượng giác như vậy tồn tại, thì nó là duy nhất (vì tất cả a„, ~L b„ được xác định duy nhất bởi ƒ) Ta đặt tên cho chuỗi và các hệ số đó trong định nghĩa sau Định nghĩa 2.40 Xét ƒ(x) xác định trên TR, tuần hoàn oới chu kỳ 2L oà liên tục từng khúc trên (—L,L) Khi đó, chuỗi lượng giác

> o 4 x (an cos“ L ~ + by sin 7) trong đó

1ƒ L _ H71X b„= T1 / f(x) sin ax Vn được gọi là Chuỗi Fourier của ƒ Các số a„,b„ được xác định như trên gọi là Hệ số Fourier của ƒ Để trả lời cho câu hỏi thứ hai ta có định lý Dirichlet sau đây: Định lý 2.41 (Dirichlet) Xét hàm ƒ xác định trên IR, tuần hoàn uới chu kỳ 2L uà liên tục từng khúc trên (—L,L) Giả sử ƒ'(x) tồn ‘a va liên tục từng khúc trên (—L,L) Khi đó, chuỗi Fourier cua ƒ hội tụ uới mọi x € IR va a + y (an cos 4 + by sin "*) = me

_ JƒŒ) nếu ƒ liên tục tại x,

— l‡(œx+0)+ƒ(x—0)) nếu ƒ không liên tục tại x, ở đâu an 0à bạ là Hệ số Fourier của ƒ xác định như trên

Trước khi đưa ra một số ví dụ tính toán hệ số và chuỗi Fourier, chúng ta có một số nhận xét sau đây để việc tính toán thuận tiện đễ dàng hơn.

3 Chuỗi Lượng gidc va Chudi Fourier 45

1 Néu f 1a ham chan, thi f(x) cos “7# cũng là hàm chan, con f(x) sin“ 1a ham le, do 46, an = 2 fy f(x) cos "2 dx Vn = 0,1,2,- ++; by =OVn =1,2, °

2 Nếu ƒ là hàm lẻ, thì f(x) cos “72 là hàm lẻ, và ƒ(x) sin "7* là hàm chẵn, vậy, a„ =0 Vn = 0,1,2, - bụ = 2 fr F(x) sin #7*dx Vn = 1,2,:

3 Với hàm tuần hoàn ứ chu kỳ 2L ta cú

J g(x)dx = | g(x)dx vGi moi hang sé c

Do 46, an = } fo?" f(x) cos "dx Vn = 0,1,2, + by = } fot?" f(x) sin 22 dx Vn = 1,2, ằ Whang sộ-c

Vidu2.42 1 Khai triển hàm Ƒ)= x2, 0 < x < 2z, tuần hoàn chu kỳ 27t, xác định trên IR, thành chuỗi Fourier

Chon c = 0, ta cúứ„ = }ƒ '”“ƒ(x)cos"ffax = 1 x cosnxdx =

J, Gop (eens ote am "_ )W = ‡ với n #0;

Với n = 0, gene 1 đệ” x2 cos nxảx = BC

Lại có, bụ = ¢ panel f(x) sin 4 dx vn đi sinnzfy = 2 1x2) — @x)(=s8) +2(ssm)} " = =#

Dang thức đúng với 0 £ x < 27 Theo dinh ly Dirichlet, tai x = 0 va x = 27 chuỗi Fourier hội tụ đến trung bình của giới hạn phải (0) và giới hạn trái (4z, xem hình), vậy nó hội tụ đến 3 (0 + 472) = 277

Me Tiếp theo, ta sử dụng kết quả trên để chứng minh # n=1 rỶ

Thật vậy, tại x = 0, chuỗi trở thành aie + Ln = Như trên đã nói, theo định lý n=

Dirichlet, chuỗi đó hội tụ đến 3(0 4 47) = 272 Vậy #” + Lá = 27, do ws et n2 n=1 đó Tụ ='.

2 Cho hàm số ƒ xác định trên IR, tuần hoàn chu kỳ 10, và

-15 -10 “2 5s 10 15 a) Khai triển ƒ thành chuỗi Fourier b) Hỏi phải cho hàm ƒ nhận giá trị nào tai x = —5, x = 0, và x = 5 để chuỗi Fourier của nó hội tụ vé f(x) voi moi —5 < x x+y? = C voi mọi hang s6 C Ta cé thể giải tường minh 1 như là hàm của x, nhưng để làm điều đó thì phải xét các toởng hợp để có thể lấy căn bậc hai thực và việc giải sẽ cho ta hai hàm y = +VC — x2 Do đó, ta sẽ để nghiệm tổng quát dang an x? + y= = C, dang nay cho phép nhận thấy ngay đồ thị của nghiệm là các đường tròn đồng tâm tại (0,0) Hơn nữa, đôi khi ta có thể tham số hóa đồ thị (đường tích phân) của nghiệm dạng ÿ =xứ,€), y =y(t,C)

Chẳng hạn đồ thị nghiệm của phương trình nói trên có thể viết dạng tham số là x= VCcost

2 Phương trình ơi phân cấp một 57 Đây là một cách viết khác của nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Chúng ta gọi nghiệm tổng quát viết đưới dạng này là dạng tham số của nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

Tóm lại: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một có thể viết đưới một trong ba dạng sau:

Các phương trình vi phân khuyết

A Phương trình vi phân khuyết /: F(x, y') = 0 Tức là trong phương trình không có 1 Vậy ta có 03 trường hợp:

Trường hợp 1 Có thể giải ra được 1 = f(x) Khi đó, ta lay nguyên hàm, va nghiệm tổng quát là = ƒ ƒ(x)ảx + C

Trường hợp 2 Giải ra được x = ƒ(/') Khi đó, đặt ' = t, có: x = f(t) va dx = f'(t)dt; dy = y'dx = tf'(t)dt Vay duoc dang tham số của nghiệm ữ = f(t) y= ftf'(tdt+C

Trường hợp 3 Có tham số hóa x = ƒ(f); y' = g(f) Khi đó, dự = y/dx =

#Œ)ƒ'Œ)át, lấy nguyên hàm ta được / = ƒ g(f)ƒ'(Đ)đdt + C kết hợp với x = ƒ() ta được nghiệm tổng quát đưới dạng tham số

Ví dụ 3.10 Giải phương trình x = 32 + 2y! + 1 Đặt / = t, ta nhận được: x = 3/2+2f + 1, nên dx = (6f +2)dt, và dụ = y'dx = t(6t + 2)dt Vay y = 2 + ? + C, do đó nghiệm tổng quát dạng tham số là f =3+2£+1

B Phuong trinh vi phan khuyét x: F(y, y’) = 0

Trường hợp 1 Giải ra được 1“ = ƒ(y) Ta viết thành =ƒ(w)® a = dx (néu fy) #9)

[7G —*—C =0(c6 thé để dạng ẩn của nghiệm (x,y,C) = 0.)

Trường hợp 2 Giải ra được = ƒ() Tham số hóa 1/' = t rồi tiền hành tương tự như trường hợp 2 ở mục A

Trường hợp 3 Cú thể tham số húa y = f(t); ' = ứ(Ê) Tớnh toỏn tương tự như trên.

58 Dẫn nhập oề phương trình ơi phân, phương trình oi phân cắp một

Ví dụ 3.11 Giải phương trình yˆ + 2 = 1

Giải Ta thực hiện tham số hóa 1/ = sin f; ' = cosf Lai cé dy = y/dx = cos tdx Tuc 1a cos tdt = cos tdx Vậy xảy ra hai trường hợp:

Nếu cos £ # 0 thì có đf = dx vay t = x + C, và do đó nghiệm tổng quát là

Nếu cosớ = 0 ô Ê = (2k+1)Đ khi đú ' = 0, và ý = sin ##‡Đ# = +1, Đõy là hai nghiệm kỳ dị không nằm trong lớp nghiệm tổng quát.

Phương trình vi phân biến số phânly

Phương trình vi phân thuần nhất (đẳng cấp)

Định nghĩa 3.15 Phương trình ui phân

2 Phuong trinh vi phân cấp một 59 gọi là thuần nhất (đẳng cấp) khi oà chỉ khi f (tx, ty) = f(x,y) Vt 4 0

Voi x # 0 ta có ƒ(x,w) = ƒ(x-1,x- š) = ƒ(1,š) := 9(4) Tức là về phải có thể viết thành hàm ứ chỉ phụ thuộc vào ty sộ 4

Cách giải: Ta chuyển về phương trình vi phân biến số phân ly bằng cách đặt:

Levey = x0; tinh dao ham: wu =u+ xi, Thay vào phương trình ta có, o+xf? = s(ứ0) â Her = = Ê vội g(v) # ứ, đú là phương trỡnh vi phõn biến số phân ly, ta chỉ việc lấy nguyên hàm hai về để nhận được nghiệm tổng quát

Với g(ứ) = 0, phương trỡnh trở thành #" = 0 â ứ = k (hằng số) Do đú, ta cú nghiệm y = kx véi hang số k nào đó

Ví dụ 3.16 Giai #¢ = “34; dk: xy £0

Ta cé ham vé phai f(x,y) = Ea a thỏa mãn f (tx, ty) = aoe = f(x,y) Vt if 0, vậy day là phương trình thuan nhat (dang cAp) Ta dat 4 = 0 y = x, vậy Ÿ a o+x m Thay vào phương kinh vi phân ta có

0+x§t = be = c©x#' = =- có hai trường hợp:

Trường hợp i KV # 0, khi đó phương trình vi phân tương duong voi 2% = 4, đó là phương trình vi phan biến số phân ly Tây nguyên hàm hai về ta được nghiệm tổng quỏt là |x|#|x2 — 5w?| = C với x # 0;5y? — x2 # 0 (vỡ 1 — 5ứ2 # 0)

Trường hợp 2: 1 — 5ứ2 = 0 â ứ = + vó: thỡ phương trỡnh vi phõn ban đầu "ng đương với #” = 0 < ứ = k (hằng số), trường hợp này hằng số chớnh là k = +, như trên Vậy phương trình có thêm cặp nghiệm 1 = tt.

Phương trình vi phân tuyến tính

Định nghĩa 3.17 Phương trình ơi phân tuyến tính cấp một có dạng y! + p(x)y = q(x) G8)

Truong hop q(x) = 0 Vx, thi ta goi là phương trình tuyén tính thuần nhất;

Nếu q(x) # 0, ta nói phương trình (3.8) là phương trình không thuần nhát

Cách giải: Ta xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

Rõ ràng = 0 là nghiệm của phương trình Ta đi tìm nghiệm 1/ # 0

Chia cho ự ta có phương trình vi phân © Ỷ = —-p(x)dx © ƑŸ = — [p(x)dx +In|C| e In |y| = ~ ƒp(s)4x + n|C| + [yl = [Cle Sem,

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: ự= C¿- [rŒœ)4x,

60 Dain nhép vé phuong trinh vi phan, phuong trinh vi phan cap mét

Bây gid, xem C = C(x) 1a hàm của x, thay y = C(x)e~ J P)4* vao phương trình không thuần nhất ở trên, ta có:

Do 46, C'(x) = ef P@4q(x), ttre la C(x) = ƒ eÍPŒ)4*4(x)dx + K Vậy nghiệm tổng quát của (3.8) là ụ=e Jra)t ( Í od PMG (x) + x) (3.9)

Phương pháp trên đây gọi là phương pháp biến thiên hằng số

Ví dụ 3.18 Giải phương trình vi phân ' + $y = +

Ta co p(x) = 4 va q(x) = xÝ, thay vào công thức (3.9) ta được nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là = J®# (fel “xtdx + K) = a + Ã V hằng số K

Ví dụ 3.19 Giải phương trình vi phân xy’ — 3y(x) = —4x4 sin 4x

Dé ap dung công thức nghiệm tổng quát ở trên thì ta phải đưa phương trình về dạng chính tắc (3.8) Tức là ta xét x # 0 và chia hai về phương trình cho z (lưu ý rằng theo định nghĩa của nghiệm thì nghiệm xác định trên khoảng mở của biến số để có thể tính được đạo hàm, nên giá trị của biến z tại một vài điểm rời rạc có thể bỏ qua) ta nhận được: 1“ — Š(x) = —4xsin4+x, vay p(x) = —3 va q(x) = —4x3 sin(4x) Lắp p, vào công thức (3.9) ở trên ta có nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là: y= el (- [eI Pav sinsax +x) = x3(cos4x + K)

3.2.6 Phuong trình vi phân Bernoulli

Dinh nghia 3.20 Phuong trinh vi phan Bernoulli cé dang y' + p(x)y = 4q(x)y* uới & là số thực (x # 0;& # 1)

Cỏch giải: Nếu ô > 0, thi = 0 là một nghiệm Cũn nếu ứ < 0, thi dk dộ pt cú nghĩa lay # 0 Ta tìm nghiệm y # 0 Chia hai vé cho y* ta duge y~“y’ + p(x)y1~* = q(3)

Thay z = y!~* (vậy,z” = (1— a)y-*y') ta được Phương trình vi phan tuyến tính z'+(1—)p()z = (1 —a)q(x)

Ví dụ 3.21 Giải y/ + xy = xy’ Day 1a Phuong trinh vi phan Bernoulli véi p(x) q(x) = x, vaa = 2 Dau tiên, y = 0 1a nghiém Dé tim nghiém y # 0, ta chia hai vé cho y? ta duoc y~2y’ + xy~! = x Thay z = y7! & y = 1/z, viz! = —y~7y! vao phương trình vi phân ta c6: z/—xz = —x (phương trình vi phân tuyến tinh) œz=e-J(x)t (fell “*)dx(_x)dx +K) =1 + KeŠ Do đó, ý = _—>+ ý

2 Phuong trinh vi phan cap mot 61

3.2.7 Phương trình vi phân toàn phan Định nghĩa 3.22 Phương trình ui phân toàn phần là Phương trình 0i phân dạng

M(x, y)dx + N(x,y)dy =0 (3.10) trong đó M,N là các hàm liên tục va có đạo hầm riêng liên tục trong một miền đơn liên ằ 9M(x„ ON (x,y)

Oc RY, oa Mw) — Ne) v(x, y) € 0

Cách giải: Điều kiện ở trên dẫn đến tổn tại ham U(x,y) xac dinh trén Q sao cho dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy Vậy (3.10) © dU(x,y) = 0 do do, nghiém téng quat cla (3.10) 1a U(x, y) = C (với hằng số C tùy ý)

Công thức tính LI: Chọn (xo,/o) € O, ta có thể tính LI bằng một trong hai cách sau:

Uu(x,y) = iL, M(t, yo)dt + " ” N(x, t)dt

U(x,y) = [ M(t,y)dt-+ [” N(xo,t)dt xo Yo

Sau khi tinh U, ta viét nghiém t6ng quat ctia phuong trình vi phân toàn phần là:

Ví dụ 3.23 Giải 2đx — +4 = 0 Ở đây M = 4;N = —1;0 =R?\ ({0} x R)

Ta có aM = 4 = ®, vay day la phương trình vi phân toàn phan

Chon (xo,yo) = (1,0) € O; U(x,y) = J M(t,0) dat + Jo N( x,t)dt = fy Odt —

Jš ‡4t = —} Vậy, nghiệm tổng quát là # = C với mọi hằng số C

Vi dụ 3.24 Giải phương trỡnh vi phõn (2xy3 — sả ax + (312/2 + cí—ơ)dy tan(x) = 0

Ta có M = 2xy? a N= 37 + cản: O = R?\ ({ka |k € Z} x R) va = 6xy? — me = = 8’ Day là phương trình vi phân toàn phần or hại (xo, Yo) = (L 0) € O; ta cd U(x,y) = fF M(t,0)dt + fi N(x,t)dt =

Jy Odt + fi (3x22 + jdt = yx? + 2y? cot(x) Vậy nghiệm tổng quát là:

Ta xét khi phương trình vi phân (3.10) không là phương trình vi phân toàn phần Định nghĩa 3.25 Hàm số I(x,y) 4 0 được gọi là thừa số tích phân đối uới (3.10) khi va chỉ khi

1(x,y)|MŒ, uae ne y)ay| = =0 (3.11) la phuong trinh vi phan toan phan.

62 Dẫn nhập uÈ phương trình ơi phân, phương trình ơi phân cấp một

Khi đó ta giải (3.11) từ đó nhận được nghiệm của (3.10) (vì hai phương trình đó tương đương trên miền mà I(x,y) # 0) Để tìm I(x,) ta giải

2(1Œ,)MGs9)) _ 310,v)NGx)) oy 3x Bin Điều này có thể tiền hành trong một số trường hợp, cụ thể:

Trường hợp 1 Thừa số tích phân I(x,y) = 1(x) chỉ phụ thuộc x: Ta sẽ tìm điều kiện áp đặt lên M, N (và các đạo hàm riêng) để tồn tại thừa số tich phan I(x,y) 1{x) chỉ phụ thuộc x Đầu tiên, ta thay I(x,y) = I(x) vao phuong trình (3.12), thì nhận được:

Vậy để tổn tại I chỉ phụ thuộc vao x thì đại lượng “NT phải là hàm chỉ phụ thuộc vào x (không phụ thuộc vào ) Khi đó, lầy nguyên hàm hai về và cho hằng số bằng 0 (vì ta chỉ cần ít nhất một thừa số tích phân), ta nhận được

I(x) = e! News (tự In lá aM(xy) _ aN(xy)

; i Maa) la ham chi phụ thuộc vào (không phụ thuộc vào +) thì tồn tại thừa số tích phan I(x, y) = I(y) chỉ phụ thuộc # với

Trường hợp 2 Tương tự như trên ta có: khi đại lượng

Ta tổng kết hai trường hợp này trong bang sau:

Néu —| ——-— |= e nan av = g(x) chỉ phụ thuộc x oy 6c x Nấu vị oy éu —| —-— |= |Etoai phụ thuộc y| Ay) chi ô

Vi dụ 3.26 Giải ydx — xả = 0 (dé thây phương trình vi phân này không là phương trình vi phân toàn phân) Kiểm tra ‡ (age _ ae) = —2 chi phụ thuộc x;

Thừa số t/p I(x) = e~ J 24 = $ Vậy phương trình vi phân ©® 3đx — +dự = 0 là Phương trình vi phân toàn phần Nghiệm tổng quát là 4 = C

Ví dụ 3.27 Giải (2x2 — mae + (3x2 + gậy)dự = 0

Ta có = = “ỹ chỉ phụ thuộc Vậy, thừa số tích phân I(/) = ef vty — y Nhan hai vé véi y ta dugc phuong trinh vi phân toàn phần và đó chính là phương trình trong ví dụ 3.24 ở trên, nghiệm tổng quát là:

2 Phương trình ơi phân cấp một 63

3.2.9 Phần đọc thêm: Ứng dụng vào mô hình thú — mỗi

Chúng ta trở lại mô hình thú — mỗi được giới thiệu trong phần dẫn nhập Ta lay cỏc hệ số cụ thể ứ = 1;& = 0.5;c = 0.75; = 0.25 Khi đú hệ phương trỡnh (3.1) trở thành: du = tr — 0.5U0, ie dé = —0.750 + 0.25uv T (3-13)

Chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, ta có đu _ —0.75v+0.25uv (1—0.50)do _ (—0.75 +0.25u)du dus u—0.5uv ứ u Đõy là phương trỡnh biến số phan ly Lầy nguyờn hàm hai về (lưu ý là w,ứ đều dương) ta được nghiệm tổng quát:

0.75ln + Inv — 0.50 — 0.25u = C Để mô tả ý nghĩa của nghiệm, ta có thể vẽ đô thị của hàm ẩn (chẳng hạn bằng phần mềm Maple với dòng lệnh:

> implicitplot(0.75*In(u) + In(v) — 0.5*v — 0.25*u = —0:5, u = 0.15 16, v = 0.15 28)) để nhận được đỗ thị:

Vòng đời của Thú - Môi

Chúng ta cũng có thể giải bằng phương pháp xấp xỉ cho hệ phương trình này, và được nghiệm mô tả trong hình sau:

64 Dẫn nhập nề phương trình oi phân, phương trình ui phân cấp một uy

Hình ảnh này mô tả quá trình tăng trưởng và suy thoái theo chu trình của quần thể thỳ ứ và mụi Khi quần thể thỳ cũn ớt, thỡ số lượng con mỗi tăng trưởng trở thành nguồn thức an déi dào cho thú, nhờ đó, quan thể thú cũng phát triển theo Nhưng khi quân thể thú quá lớn đến độ nhất định thì việc săn mỗi quá nhiều làm cho số lượng môi bắt đầu giảm, và khi số lượng môi giảm đến độ không đủ nguồn thức ăn cho thú phát triển thì số lượng thú cũng giảm theo Đến lúc số lượng thú không còn đủ để cản trở sự phát triển của mỗi thì số lượng môi bắt đầu tăng và một chu kỳ mới lại được bắt đầu

Các biến thiên dân số quần thể theo chu kỳ của động vật ăn thịt và con mỗi theo dự đoán của hệ (3.1) đã được quan sát thấy trong tự nhiên Một ví dụ nổi bật được mô tả bởi Odum: Dựa trên hồ sơ của Công ty Vịnh Hudson của Canada, các dân số quan thể linh miêu và thỏ rừng saowshoe được biểu thị bằng số lượng cá thể được quan sát trong giai đoạn 1845 — 1935 cho thấy sự thay đổi định kỳ rõ rệt với khoảng thời gian từ 9 đến 10 năm Các đỉnh điểm của sự phát triển quần thể thỏ được tiếp theo sau bởi sự suy giảm rất nhanh, và các đỉnh của sự phát triển của linh miêu và thỏ rừng bị lệch pha, với tỷ lệ của thỏ rừng có số lượng quần thể lên đỉnh trước linh miêu một năm hoặc hơn §3 BÀI TẬP CHƯƠNG 3

Bài tập 3.1 Giải các phương trình vi phân: dy _ dy _ y'cosx

Bai tập 3.2 Giải phương trình: yay _ x2+3) bị _ ˆ +33v + Vˆ

Bài tập 3.3 Giải các phương trình

1 ee es Pog ah a) y’ —ytanx cox b) xự' — 3ÿ = x* cosx

Bài tap 3.4 Choy = (x) là nghiệm bài toán Cauchy xự' + (x +1) = 2xe~*; y(1) ủ, với x > 0, và a là tham số Tỡm giỏ trị của a để lim y(x) =0 x—n

Bài tập 3.5 Tìm giá trị của ọ để nghiệm / của bài toán Cauchy ' — = 1+ 3sinx;

(0) = go, luôn bị chặn (tức là không tiến đến +œ) khi x — œo

Bài tập 3.6 Giải các phương trình vi phân a) xự' +ˆ+2 =0 by + Ly = tê

Bai tap 3.7 Giai phuong trinh vi phan a) (e¥ + 1)dx + (xe¥+1)dy=0 b) (3xy+3siny)dx + (x3 + 3xcosy)dy

Bài tập 3.8 Tìm thừa số tích phân của phương trình vi phân sau, sau đó giải phương trình: a) (3xy + 4cos(y))dx + (x? — 2x sin(y))dy = 0 b) (y* — 2y sin(x))dx + (3xy + 4cos(x))dy = 0

Bai tap 3.9 Cho mach RL biét điện trở R, hệ số tự cam L, nguén E = E(t)

Tính cường độ dòng điện J = I(t) trong các trường hợp sau: a) Nguồn điện là hằng E(£) = Eọ với moi t > 0 b) Nguồn điện là tuần hoàn, chẳng han E(t) = Ep sinwt.

Phương trình vi phân cấp hai

Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày về phương trình vi phân cấp hai và hệ phương trình vi phân cấp một Các khái niệm chung và phương pháp giải cho một số dạng phương trình cũng như cho hệ phương trình sẽ được để cập một cách chi tiết §1 DAI CUONG VE PHUONG TRINH VI PHAN CAP HAI

Vi du 4.1 (Mô hình dao động khối lượng — lò xo) Chúng ta xét mô hình dao động, trong Vật lý như sau: Xét sự chuyển động của một vật có khối lượng z gắn vào một lò xo như hình vẽ bên dưới Gọi là sự thay đổi vị trí của vật so với vị trí cân bằng Như chúng ta đã biết, theo Định luật hai của Newton (xem phần phương trình vi phân cấp một) ta có: Tượng = mẩ, trong đó gia tốc đ = /” và tổng lực Fring = —yy' —ky+ a(t) với số hạng +! thể hiện cho lực giảm xóc (y > 0 là hằng số giảm), số hạng ky dién tả

1 Đại cương vé phương trình vi phan cap hai 67 lực đàn hồi (k > 0 là hằng số co dan của lò xo) và g(£) là ngoại lực tác động vào vật Như vậy, ta có thể viết lại phương trình mô tả cho hệ khối lượng — lò xo như sau: my" + yy! +ky = g(t) Đó là một phương trình vi phân cấp hai bởi vì cấp cao nhất của đạo hàm của hàm cần tìm trong phương trình là cấp hai Định nghĩa 4.2 Phương trình ơi phân cấp hai là phương trình có dạng

F(Œ,w,„°)=0_ hoặc y”= ƒ(x,w,y) Định nghĩa 4.3 Bài toán Cauchụ (hay bài toán giá trị ban đầu) đối uới PTVP cấp 2 có dạng w"=ƒ(x,w,w) thỏa mãn y(xo) = yo va y'(xo) = yp Điều kiện (xạ) = yo va y' (xo) = tụ được gọi là điều kiện ban đầu Định lý 4.4 (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm) Cho PTVP cấp 2 sau:

Nếu các giả thiết sau thỏa mãn: a À ° f(x,yy'), oF te ana va EF fog ol liên tục trên miền D C TRồ oy oy! © (xo, YoYo) € 7

Phương trình khuyết y và ': F(x,y”)=0

Phương trình khuyếtx: F(w,y,y”)=0

Thay vào phương trình đã cho ta có PTVP cấp 1: F (y, u, ue) =0 e Giả sử phương trình trên có nghiệm tong quat: u = f(y,C) se Giải PTVP cấp 1: ' = ƒ(y,C)

Ví dụ 4.9 Giải phương trình vi phân sau: yy” = 1/2 — 3.

70 Phương trình oi phân cấp hai

Giải: Dat u = y’, tacd y” = sấy: thay vào phương trình đã cho ta có: trấn =w—w (*)

Ta thấy: w = 0, tức là = C¡ là 1 nghiệm của phương trình (+) Với w Z 0, ta có:

Efofig HÌHHIỆO 49 yap == Ure TRE” với 1 # 1

Tích phân hai về ta có:

=In| |=InI+lGl # |“—|= teyi et Sage y_ u y ~@

Khi dé: y! = —Y— 6 2 dy = dx —~€ ụ y-G3 y , ex= [(I~ )4w=y~Ginly| +

Ta thấy: = 1, tức là y = x + C là nghiệm của phương trình đã cho

Kết luận: Nghiệm là = Cì, ý = x + C và x = 1 — Ca In |y| + Ca §3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CAP HAI

Phương trìnhthuầnnhất

Phương trình không thuầnnhất

Định nghĩa 4.21 PTVP tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng

V“ +p(x)W' + 4(x)y = ƒ(), (43) trong đó p(),q(x) va ƒ(x) là các hầm sô cho trước Định lý 4.22 Nghiệm tổng quát của phương trình (4.3) luôn có dạng = ÿ + Y, trong đó ÿ là nghiệm tổng quát của phương trình (4.2) oà Y là 1 nghiệm riêng của phương trình (4.3)

Chú ý 4.23 Nghiệm ÿ đã được xác định ở phần trước, nên để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (4.3) ta chỉ cần tìm 1 nghiệm riêng Y của phương trình (4.3) là đủ

Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange: Để tìm 1 nghiệm riêng Y của phương trình (4.3) ta làm như sau: s Bước 1: Xác định nghiệm tổng quát của phương trình (4.2) có dang 7 = Cry; +

C2 e Bước 2: Coi Cị = C¡(x) và Cạ = Ca(x) là các hàm số để tìm 1 nghiệm riêng Y của phương trình (4.3) có dạng Y = C¡(x)\ + Ca(x)a Ta có:

Ta chon Cj (x) va C(x) sao cho

Khi đó: Y' = Cq(+) + Ca()12 và Yf =Cj(x)/ị +C2(3)› +C¡(x)} + Ca(x)2

Thay vào phương trình (4.3) ta có:

+C¡(x)w + C(*)2 = f(x) ®CŒi(x)y + Cạ(x)›= ƒ(x) — (2) do y1,y2 1a 2 nghiệm của phương trình (4.2) nên

Tóm lại: Từ (1) và (2), ta tìm C¡() và Cạ(x) bằng cách xét hệ phương trình sau: loge +Œ2(x)/a =0

@ Buc 3: Giai hé phuong trinh trén tim C} (x) va C5(x) = Cy (x) va C2(x).

74 Phương trình ơi phân cấp hai

Ví dụ 4.24 Giải PTVP sau: x2“ + xự! — = 3

Giải: Phương trình @ 1” + sự - oY = 1 Xét phương trình thuần nhất

Theo Vi dụ 4.20, ta đã tìm được nghiệm tổng quát của phương trình (1) là ÿ = Cịx +

= Ta tìm 1 nghiệm riêng Y của phương trình đã cho có dạng Y = Cị (x)y1 + Co(x)y2 bang cach xét hé phuong trinh sau:

Kết luận: Y = 3° Nghiệm tổng quát là = 3 +Cix+ x Định lý 4.25 (Nguyên lý chồng nghiệm) Nếu Y là một nghiệm riêng của phương trình

0à Ya là một nghiệm riêng của phương trình

+ p(x)W +4(x)y = b(), thì Y\ + Ya là một nghiệm riêng của phương trình w"+p()w +q()y = filx) + 2) §4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI CÓ

Phương trìnhthuầnnhất

Định nghĩa 4.26 Phương trình ơi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có hệ số hằng là phương trình có dạng y" + pự +qy =0, (44) trong đó p 0à q là các hằng số

Chú ý 4.27 Muốn tìm nghiệm tổng quát của phương trình (4.4), ta chỉ cần xác định được hai nghiệm độc lập tuyến tính của nó Để làm điều đó, ta sẽ tìm nghiệm riêng dưới dạng = e**, trong đó À là một hằng số cần tìm Ta có 1“ = Ae}* và /” = A2e\*,

Thay vào phương trình (4.4) ta được:

Phương trình này được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (4.4).

4 Phuong trinh vi phan tuyén tinh cap hai c6 hé s6 hing 75

Tóm lại, ta xét phương trình đặc trưng sau:

A?+pÀ+aq=0 (4.5) e Trường hợp 1: Nếu phương trình (4.5) có 2 nghiệm thực phân biệt À¡ # Aa, thì nghiệm tổng quát của phương trình (4.4) là

GF = Cye™* + Coe2*, e Trường hợp 2: Nếu phương trình (4.5) có nghiệm kép Àj¡ = À¿ = Ao, thì nghiệm tổng quát của phương trình (4.4) là

F = Cye*0* + Coxe”, s Trường hợp 3: Nếu phương trỡnh (4.5) cú 2 nghiệm phức Àt¿ = ứ + bi, thỡ nghiệm tổng quát của phương trình (4.4) la ¥ = e* (Cy cos bx + Cp sin bx)

Ví dụ 4.28 Giải các PTVP sau: a)“+3'+2y=0 b)4/“+4y/'+y=0 c)“+w' +3 =0

Giải: a) Xét phương trình đặc trưng A2 + 3A + 2 = 0 Vì phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phan biét A; = —1 va Ay = —2, nên nghiệm tổng quát của phương trình là ỹ =Cịe *+ Coen: b) Xét phương trình đặc trưng 4A? + 4A + 1 = 0 Vì phương trình đặc trưng có nghiệm kép À¡ = À¿ = —3„ nên nghiệm tổng quát của phương trình là i= Creo? + Coxe 2*, c) Xét phuong trinh dac trung A? + A + 3 = 0 Vì phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phức Ai = —1 + v⁄/11/, nên nghiệm tổng quát của phương trình là ÿj=z (G cos V11x + Cp sin Vilx) z

Phương trình không thuầnnhất

Phương pháp khử giải hệ phương trình vi phân cấp một

Cách giải: Từ (n — 1) phương trình của hệ, ta rút ( — 1) hàm số theo 1 hàm số và thay vào phương trình còn lại của hệ Giải phương trình thu được, từ đó xác định được nghiệm tổng quát của hệ phương trình ty =2x+y

Vi du 4.41 Gidi hé phuong trinh vi phan sau: { 4! ay _ at 3x + 4y x'=2x+y (1)

Từ phương trình (1) ta có: = x' — 2x, thay vào phương trình (2) ta được:

Giải: Hệ phương trình đã cho = {

Phương trình đặc trưng của phương trinh (*) la A? — 6A +5 = 0 Vì phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phân biệt À+ = 1 và Àz = 5, nên nghiệm tổng quát của phương trình (+) là x = C¡ết + Coe

Khi đó: y =x! — 2x = Cyet + 5Cpe* — 2Cyet — 2Cae* = —Cye! + 3Cye™ x = Cyet + Cye#

Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là f = _ Cá + 3C pe,

6 Bai tap chuong 4 81 §6 BAI TAP CHUONG 4

Bài tập 4.1 Giải các PTVP sau:

6) xự" —ự' +4xŸụ = 0, biết nghiệm riêng 1 = sin(x?)

11) xự”+2W' + xụ =x bằng cách đặt = <

Bài tập 4.5 Giải các hệ PTVP sau: ae _ fig

1) y= By —z 2) y Sy + 4z z'=—z z =4 +52 dx dx ã.”2x+w gp em 8Yy

4) 5) dy _ ap Ott đụ _ Pin

Phương trình vi phan cap hai

Phương pháp toán tử Laplace

Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày về phương pháp toán tử Laplace bao gồm phép biến đổi Laplace và phép biến đổi Laplace ngược Day là một trong những phương pháp hiệu quả để giải các phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân cấp cao (đặc biệt là cấp 2 trở lên) Phương pháp này thường được sử dụng để giải nhiều bài toán kỹ thuật thực hành điển hình liên quan đến hệ cơ học và hệ thống điện Sự áp dụng của phương pháp toán tử Laplace cùng với các kỹ thuật biến đổi được trình bày trong chương này sẽ là quan trọng giúp sinh viên hiểu và giải các bài tập kèm theo sau mỗi phần §1 PHEP BIEN DOI LAPLACE VA BIEN DOI NGUOC 5.11 Phép biến đổi Laplace

1 Định nghĩa 5.1 Cho ƒ là hầm xác định trên [0,e) := Rx, oà liên tục từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn Nếu tích phân su rộng f e-* f(Hdt vis ED CR co hội tụ thi ta dat

0 va goi hàm F là biến đổi Laplace của hàm ƒ Ký hiệu: F = £(ƒ)

Một số tên gọi và ký hiệu: Với F = £(ƒ), ta gọi ƒ là hàm gốc Các chữ cái thường ƒ,g, được dùng để ký hiệu cho các hàm gốc, còn các chữ cái in hoa tương ứng F, G, , thì được dùng để ký hiệu cho biến đổi Laplace tương ứng của ƒ,g, Ngoài ra ta còn viết F(s) = £{ƒ(£)}(s) Bên ngành Vật lý, ta còn ding ky hiéu f(t) + F(s) dé chi hàm gốc ƒ(f) và biến đổi Laplace của nó

84 Phương pháp toán ti Laplace

Ví dụ 5.2 Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau đây: a)ƒŒ) =1 b) f(t) =e",aER ©ƒ()=,a> —1 d) f(t) = ¢" e) f(t) = coskt f) f(t) =sinkt,a>—-1

—st est a) F6) = [ e ths tôn tại F(s) khi s < 0 bia o = sự — lim eat) = - nếu s Ao 1 s s > 0 Không e~(S—8)F is 1 :

Không tổn tại F(s) khis < a 0 sa c) F(s) = I e~*ttát Đặt z = st = t = : => dt = sát, Xét s > 0, ta có: CO

F(s) =, fe *tdz 6) = mm J e ”z4z = ST (a +1 = TT: (a+1), trong đó T(a) := I e~Zz*~14z được gọi là hàm Gamma d) Thay a = ứ trong cõu c) ta cú:

F(s) = mmrT(n +1), 1 trong đú TÍn + 1) := | e~?z"dz Thuc hiện tớch phõn từng phần ứ lần

0 cho hàm Gamma, ta duge I'(n +1) = n! > F(s) = eat e) F(s) = I e~* cos ktdt Thuc hién tích phân từng phần 2 lần ta có:

FG) = 5 BPO) > (1453) = 59 FO = aye f) F(s) = f e~* sin ktdt Thực hiện tích phân từng phan 2 lần ta có: kk k2 k k

2 Tinh chat tuyén tinh: Cho 2 ham sé f(t) va g(t) Néu tén tai £{f(t)} va Z{e(Ê)}, thỡ với moi hang s6 ô, 6 € IR ta luụn cú:

1 Phép bién déi Laplace va bién d6i nguoc 85

Chứng mình ©(aƒ() + Belt) Hs) = fe (aft) + Bg(1))4t

Vi L{f(E}(s) = [#0 và £{s(f)}(s) = IN tôn tại, nên tồn

A A ik —st t ^ 5 ƒ —st ido: tai jim Í e “f(t)dt và jim 5 g(t)dt Khi do

= aL{f(t)}(s) + BL{g(t)}(s) > diéu phải chứng minh m

—*!ƒ(Đ)ảt + 8 li I ~*fe(t)dt p © SUedt+B jim je a(t)

Ví dụ 5.3 Tìm các biến đổi Laplace sau đây: a) £{3e” + 2 sin? 3¢} b) £{cosh kt}

Chú ý 5.4 Hai hàm số hyperbolic duge xác định bởi công thức t 1 okt t „—kt cosh kt = —— và sinhkt = ES,

Giải: Ta có: a) L{3e + 2sin? 34} = 3/6{e2!} + £{1} — £{eos6t} = ` + : = ze bì ô[£osh}— sete} + £{e#}) = (5 a a) a § s—k s+k

3 Sự tổn tại của phép biến đổi Laplace Định nghĩa 5.5 Hàm ƒ(†) được gọi là bị chặn mũ trên |U,eo) nếu tồn tại các hằng số khụng õm M, ô sao cho |f (t)| < Me*! uới tợi t > 0 Định lý 5.6 Nếu hàm số ƒ (t) thỏa mãn

1) liên tục từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn của |0, ©), ii) bị chặn mii trén (0,0), thỡ luụn tồn tai L{ f (t)}(s) voi s > w, trong đú ô la hing sộ trong định nghĩa trờn Chứng mình Vi f(t) la ham bi chan mii trén |0,e) nên tồn tại các hằng số không âm M, œ sao cho |ƒ(£)| < Me*† với mọi £ > 0 Ta có:

LÍ £*⁄0a|< [ˆle*/(9lw= [ˆ*ly@)la

< ƒ et Me"dt = M ƒ ea) gt

86 Phương pháp toán tử Laplace

Khi đó: F(s) luôn tồn tại với mọi s > œ => điều phải chứng minh m

Hệ quả 5.7 Nếu hàm số ƒ(£) thỏa mãn giả thiết của Định lý 5.6, thi lim F(s) =

4 Bảng các phép biến đổi Laplace f(t) re) S

†#(acC€IR,a > —1) mm s>0 et s=a A s>a k — — cos kt 2 i E s>0 in kt sin 2 + P2 s>0 cosh kt zB s > |k| sinh kt Zk s > |k|

Chu y 5.8 Ham Gamma I'(ô) =Í x#~1¿~*4+> thỏa món tớnh chất sau:

1 Định nghĩa 5.9 Nếu F là biến đổi Laplace của ƒ (tức là P = £(ƒ), hay F(s) = £{ƒ())s)), thì ta gọi hàm sốc ƒ là biến đổi Laplace ngược của hàm số F, ký hiệu f =£71(E), hon nita ta ciing viet f(t) = £~'{F(s)}(t)

2 Tính chất tuyến tính: Với mọi hằng số a, 8 € R ta luôn có £~!{&F(s) + 8G(s)} = aL *{F(s)} + 82~!{G(s)}.

2 Phép biến đổi của bài toán tới giá trị ban đầu 8

Ví dụ 5.11 Tìm các biến đổi Laplace ngược sau đây:

3 Sự duy nhất của biến đổi Laplace ngược Định lý 5.12 Giả sử 2 hàm số ƒ(t) uà g(!) thỏn mãn các giả thiết của Định lý 5.6 để ton tai F(s) = L{ f(t) }(s) va G(s) = £{g()}(s) Nếu F(s) = G(s) vdi mois > a, trong dé w la hing sé trong Dinh ly 5.6, thi f(t) = g(t) tai những gid tri cua t ma cả

Ví dụ 5.13 Tìm các biến đổi Laplace và Laplace ngược sau đây:

TH =.— 18 ơ{ 1 ơ b) 46 s HT Sts cos §2 PHEP BIEN DOI CUA BAI TOAN VOI GIA TRI BAN DAU

Biến đổi Laplacecủađạohàm

Định nghĩa 5.14 Hàm ƒ(t) được gọi là trơn từng khúc trên [a, b] nếu nó khả oi trên |a, b] (trừ ra một số hữu hạn điểm) tà ƒ'() liên tục từng khúc trên [a, bỊ

Dinh lý 5.15 (Đạo hàm cấp 1) Nếu hàm ƒ(t) thỏa mãn giả thiết

1) liên tục oà trơn từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn của [0, eo),

88 Phương pháp toán tử Laplace ii) bị chặn mi trén (0,00), thì luôn tồn tại L{f'(t)}(s) vdis > a va

Lif (t)}(s) = sL£{f(A}(s) — FO) có co

Chứng mỡnh Ta cú: â{ƒ' ()}(s) =ẽ e~5ƒ'(Đỏt = [ e “df (t) bo „10

Theo giả thiết ii), tồn tại các hằng số không 4m M,a sao cho |f(#)| < Me Vt > 0

Vi jim e~ (s-a)t — 0 với s > œ => lim e #/0) =0>e*/0 ` = —ƒ(0) với s > a Theo định lý 5.6 = tổn tại ©{ƒ(f)}(s) với s > œ, tức co là

Fg) = I ” o-tF(t)dt = VP(x) = sF(s) — ƒ(0) => điều phải chứng minh

Hệ quả 5.16 (Đạo hàm cấp cao) Nếu các hàm ƒ(f), ƒ(f), - ,ƒ(—?)(t) thỏa mãn giả thiết ù) liờn tục và trơn từng khỳc trờn mỗi đoạn hữu hạn của [0, eo), ii) bi chan mi trén (0,09), thì luôn tồn tại £{f) (£)}(s) vois > ava £Ự09(9)(s) =s"£(ƒ)N) =s""1/(0) —#""2//(0) — :— f0).

Áp dụng giải bài toán với giá trịbanđầu

Cách giải: e Bước 1: Đặt F(s) = 2{ƒ()}(s) Biến đổi Laplace 2 về của phương trình (hoặc hệ phương trình) và sử dụng điều kiện ban đầu để tính F(s) © Bước 2: Sử dụng biến đổi Laplace ngugc dé tim ra nghiém f(t)

Vi du 5.17 Giải các phương trình và hệ phương trình với giá trị ban đầu sau đây: a) x“+4x =sin3t, x(0) =x'(0) =0 x'+2y+x=0, x(0)=0

2 Pháp biến đổi của bài toán tới giá trị ban đầu 89

Giải: a) Đặt X(s) = £{x(#)}(s), biến đổi Laplace 2 về ta có:

2 - ® sˆX(s) — sz(0) — x'(0) +4X(s) = Zi ® X6) = 22225) 3 yy 3/1 1) 3 2 1 3 đã đi S HỤ = Ra z+5) s2+2 5st 432 8.1 2 + Ipas 3 3 NT

=> x(t) = 102 {z=} 5~ ao ma sin2t — 5 sin3t 10 b) Dat X(s) = L{x(t)}(s) va Y(s) = L{y(t)}(s), biến đổi Laplace 2 về ta có:

L{x'(t)}(s) — £{w))s) + Z{y(Ð}(s) =0 kết — x(0) +2(sY(s) — y(0)) + X(s) =0 sX(s) — x(0) — (sY(s) — " +Y(s)=0 (s+ ee +2sY(s) = sX(s) — (s —1)Y(s) Cần nhớ: Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn aX+bY=c xe a 0, tu ° D với D

Y= b c ob trong đú D = a b} Dằ=|6 pL m= (6

5.2.3 Biến đổi Laplace cua tích phân

Dinh ly 5.18 Néu ham f(t) théa man gid thiét

1) liên tục từng khúc trên mmỗi đoạn hữu hạn của [0, 00), ii) bi chin mil trén (0,00), thi of ['seer} 6) = Leo} ==2 wis >a cA {FO} y= [ginar= [oe @}nar

Chứng minh Dat g(t) 6 = Lipa Vỡ giả thiết Ă) nờn ứ(Ê) cũng là liờn tục từng khỳc 8 5 tức là trên mỗi đoạn hữu hạn iu |0,eo) Theo giả thiết ii), tồn tại các hằng số không âm M,asaocho_ |ƒ()| < Me*!- với mọi t > 0 Ta có:

|eŒ)| < [ lf (r|dr < m [ ear = Meet — 1) với mọi £ > 0

=> g() cũng là bị chặn mũ trên [0,eo) Khi đó:

& LEF(t)}( piamnl gel (s) et { [ soar} lj= tof f(t)}(s) > didu phai ching minh í dụ 5.19 Tìm biến đổi sa {amt 1

Vi du 5 ìm biên đổi Laplace ngược £ (5 — 2021)

Giải: Ta có: 2 (eco — 35) =£ : =i £ s—201 (r)dr

Khi do: tem 1 pL lemma) 04

3 Pháp tịnh tiến uà phân thức đơn giản 91 §3 PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÂN THỨC ĐƠN GIẢN

5.3.1 Phép tịnh tiến theo biến s

Dinh ly 5.20 Néu hàm F(s) = L{f(t)}(s) ton tai vdi s > a, thi tin tai L{e f(t)}(s) tồn lại vdis > w+ava

Chứng minh Ta cú: F(s) = L{f (t)}(s) = ir e “fF (t)\dt vộis>ô

Ví dụ 5.21 Ta có: a) ỉ{e“!"}(s) = East VỚI Đ > 4 ni k } :

—1 — pat ae b) £@ lg-ze €“! sin kt với s > a

5.3.2 Biến đổi phân thức đơn giản Pa)

1 Quy tắc 1 (Phõn thức đơn giản bậc một): Nếu O(s) cú chứa (s — ứ)”, thỡ ta phõn tích ae chứa các số hạng sau S6) =

2 Quy tắc 2 (Phân thức đơn giản bậc hai): Nếu Q(s) có chứa ((s — a)? +.B)", thì

P(s) ta phan tich ỉ6) chứa cỏc sụ hạng sau

Ais+ Bị Ags + Bo su Ans + Bn

Ví dụ 5.22 Tìm biến đổi Laplace ngược sau đây: £ {zs 352 = 8s }

& s?+1= A(s—4)(s +2) + Bs(s + 2) + Cs(s — 4) Cách 1: PP đồng nhất hệ số hoặc Cách 2: Thay s = 0, s = 4, s = —2 vào 2 vê

Eh ea Eo ip et {4 tet + pe taal

5.3.3 Áp dụng giải phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với hệ số hằng

Cách giải: e Bước 1: Đặt F(s) = ©{ƒ(£)}(s) Biến đổi Laplace 2 về và sử dụng điều kiện ban đầu để tính F(s) e Bước 2: Sử dụng quy tắc biến đổi phân thức đơn giản và phép tịnh tiền để tìm

Laplace ngược, tức là tìm ra nghiệm ƒ()

Ví dụ 5.23 Giải phương trình vi phân với giá trị ban đầu sau đây: x3) +x”—6x'=0, x(0) =0,x/(0) =z”(0) =1

Giải: Đặt X(s) = £{x(t)}(s), bién déi Laplace 2 về ta có:

“+10 6 se+3)e=5 Đặt X(s) = 4 +5 của sạc = 2 Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số ta có:

Khi đó: x(£) = 3° P 15° +3 + 5h 522 ee ee ee, rag 15° + een ĐỀN

3 Phép tinh tiến uà phân thức don giản 93

5.3.4 Phép tịnh tiến theo biến / Định nghĩa 5.24 Hàm bậc thang (Heaviside) tai t = a duoc ký hiệu là uq(t) 0à được xác định bởi ua(t) = { 0 néuta’ hoặc ta viét ug(t) = u(t — a)

Dinh ly 5.25 Néu F(s) = £{ f(t)}(s) tén tai vdi moi s > œ, thi £{u(t — a) f(t —a)}(s) tồn tại vdi mois > a +a va

Chứng minh Ta có VT = e~**F(s) = e~%9 I * eA F(A)AA = I “a~s(A+2) Ƒ(A)đ Đặt t = À +a => VT = [etre -aae š 0 néut f(t) = £-1{F(s)} = 2(1 —c0s3t)

_1 g(t — cos 3t) — im — m)(1+cos3t) §4 DAO HAM, TiCH PHAN VA TICH CHAP

5.41 Tích chập của hai hàm số Định nghĩa 5.28 Tích chập của hai hàm số ƒ (t) oà g(1) cho trước được ký hiệu là (f *g)(t) hoặc ƒ (t) * g(†) uà được xác định bởi công thức ƒ0)+*g(Ð)= [ f(r)g(t—r)ảr, vdit > 0 t

Chú ý 5.29 Tích chập có tính chất giao hoan f(t) * g(t) = g(t) * f(t)

Ví dụ 5.30 Tính tích chap sau: sin £ * cos Í t t

Giải: Ta có: sỉn f x cost = I sinrcos(t —r)dr = ; I (sint + sin(2r — t))dr

=5 (cine, W6 cos(2r — 9|) = z/sin t Định lý 5.31 (Biến đổi Laplace của tích chập) Nếu các hàm ƒ(†) va g(t) thỏa mãn giả thiết

1) liên tục từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn của [0, e), ii) bị chặn mii trén (0,0),

4 Đạo hàm, tích phan va tich chập 95 thì £{Œ) *s(Đ}(s) = £{ƒŒ))(s).£{eŒ)}s) = F(s).G(s), tức là £1 {F(s).G(s)} = f(t) * g(t)

Ví dụ 5.32 Tìm biến đổi Laplace ngugc sau: £71 { E-TŒaal

Giải: Ta có: °"tg-fesa) 7+ =rzza) ment} ee" aạn) 2 2 1

: sogl weinde =£ xsin2t = Set s° 5 cos2t — _ sin2t g ent

5.4.2 Đạo hàm, tích phân của biến đổi Laplace

1 Định lý 5.33 (Đạo hàm của biến đổi Laplace) Nếu hàm ƒ (t) thỏa mãn giả thiết

`1) liên tục từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn của |Ũ, s), ii) bj chặn tmũ trên [Ũ, co), thì F'(s) =~2{1/()J(s), tức là ƒ(t) = —}£Ƒ')) tà tổng quát

Chứng minh Ta có F(s) = i ef (t)dt

Ví dụ 5.34 Tìm biến déi Laplace sau: £ {t? cos 2t}

2 Một số bài toán áp dụng

Ví dụ 5.35 (Giải PTVP tuyến tính thuần nhất cấp 2 với hệ số là hàm số) Giải PTVP sau đây: tx” + (3f-1)x’+3x=0, x(0) =0

Giải: Biến đổi Laplace hai về ta có: £{tz”())s) +32{()}(s) — #{x'(Đ}(s) +32{x)}(s) =0 ()

Thay vào phương trình (+) ta có:

Phương trình trên là một Phương trình biến số phân ly, ta tính được

Khi do: x(t) = ee ie +3) = Ke"*, K#0 Ị

Vi du 5.36 Tìm biến đổi Laplace ngược sau: £ ~1 ịn 5 + i} s2+1 st+4

Giai: Dat F(s) = In = In(s? +1) — In(s* + 4), ta có:

3 Định lý 5.37 (Tích phân của biến đổi Laplace) Néu ham f(t) théa man gid thiét i), liên tục từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn của |0, co) à tồn tại Jim, 4 f to i1) bị chặn mũ trên (0,00),

4 Đạo hàm, tích phan va tích chập 97 £ {£9} (s) = [Fea thi tức là ƒŒ)=t#~1 t F(A)4A} too vis > ô va F(s) = L{f(t)}(s)

Chứng minh Ta có 7 = [ ” F(AJđÄ= / 7 ( I ment slot) đÀ s Ss Đổi thứ tự tích phân ta có:

Ví dụ 5.38 Tìm biến đổi Laplace và Laplace ngược sau: £ { h +}

Giải: Ta có F(s) = £{sinht}(s) = c ST Khi đó:

5.4.3 Bảng tóm tắt các tính chất của phép biến đổi Laplace

F(s) = ©()Ms) = Í_ #""ƒ()4iết F = £(/)) Định nghĩa ƒ0) = £={F(e)}() (viết ƒ = c1)

Tính chất tuyến tính nu nh s)} = aL l{F(s)} + BL 1{G(s)}

Bién déi Laplace L{FM(t)}(s )=#+Ư0)} (s) — s”—~ 0 ) — s*-2 (0) cua dao ham vee = f@-1) (0)

Biến đổi Laplace £ { [ f( wah (s) = các ae của tích phân £2 {FO} Wy = [sear

Phép tinh tién theo s £7"{F(s —a)}(t) =e f(t) att (ứ— afer 4) }(8) = = ere Phép tịnh tiến theo £ * u(t a) f(t 4) £=1{e-°F(s)}()

Biến đối Laplace L{ f(t) * EOHOEE F(s).G(s) của tích chập £-'{F(s) Tu t) = f(t) * g(t)

Dao ham của Fữ)(s) = (—1)"£{t" F(t) }(s) biến đổi Laplace f= DAF OW

Tích phân của £ {0 7 H (s) = f F(A)dA biến đổi Laplace fÐ =z*1{ [” F444} (9

5.4.4 Phần đọc thêm: Các kỹ thuật biến đổi Laplace bổ sung

Ví dụ 5.39 Chứng minh các công thức biến đổi Laplace sau đây với a € IR và k € R: a) 2{†e“}(s) = G az TQ: L{t"e}(s) = ead vn EN b) £{tsinkt}(s) = ram c) L{tcoskt}(s) = oe _Ƒ2

2 2 d) £{tsinhkt}(s) = my e) £{t cosh kt}(s) = tong

4 Dao ham, tich phan va tich chập 99

Cách giải: e Bước 1: Đặt hàm số cần biến đổi la f(t) va tính đạo hàm cấp cao đến khi xuất hiện lai ham sé ban dau f(t) đó e Bước 2: Áp dụng biến đổi Laplace 2 về và Hệ quả 5.16 để tinh F(s)

Sau đây chúng ta sẽ minh họa cách chứng minh cho câu a) và câu d), còn các câu còn lại là bài tập tương tự

Chứng minh a) Dat f(t) = te” ƒ!(t) = et + ate = e% + aƒ(t) Biến đổi Laplace 2 về ta có:

++zF@}— #0) = = +aF(s) ® (s— a)F(s) = = (//tdj=-sÃ.vúrl 2 Để chứng minh công thức tổng quát, ta sử dụng phương pháp quy nạp

* Dễ thấy cụng thức đỳng cho zứĂ = 0 sả

* Ta chứng minh cụng thức cũng đỳng cho ứ = k + 1, tức là cần chứng minh

* Giả sử công thức đúng đến ¡ = k, tức là ©{fÈe"!}(s) = k2 + 1)I ®{f”'z”}(s) = Goahe

Thật vay: Dat f(t) = ttle = f'(t) = (k + 1) tke + atk+1ert

Biến đổi Laplace 2 về ta có:

& (s-a)F(s) = fee + f(0) + F(s) = os a ‘ elt — e-kt\' d) Ta thay: (sinh kt)! = “oF | = kcosh kt eft 4 en kt

> ƒ7'() = kcoshkt + k(cosh kt + kt sinh kt)

= 2kcosh kf + kt sinh kt

Chú ý 5.40 Để chứng minh các công thức biến đổi Laplace trong Ví dụ 5.39, ta có thể áp dụng Định lý 5.33 như đã được trình bày trong Ví dụ 5.34

Ví dụ 5.41 Chứng minh các công thức biến đổi Laplace ngược sau đây với k € R, k £0:

1 s = has a) & lave} = agi sin kt

-1 1 = (sinkt — b) & lanes = 38 (sin kt — kt cos kt)

Chứng minh Theo Ví dụ 5.39, ta đã chứng mỉnh được

3x A2 s 1 a) Điễu phải chứng minh © GIEE“ £{g in] 6 (s)

= =x {tsinkt}(s) (luén dung) i 48 8 1 b) Điều phải chứng minh © aR = cfs (sin kt — kt cost) } (s)

5 Bai tập chương 5 101 §5 BÀI TẬP CHƯƠNG 5

Bài tập 5.1 Tìm các biến đổi Laplace và Laplace ngược sau đây:

Bài tập 5.2 Giải các bài toán với giá trị ban đầu sau đây: a) x” —5x'+6x=3, x(0) =z/(0) =0 b) x'+3y'+x=0, x(0)=0 vy +y=0, y(0) =2 © x“+2x+4y=0, x(0) =y(0)=0

Bài tập 5.3 Tìm các biến đổi Laplace va Laplace ngugc sau đây:

Bài tap 5.4 Giải các PTVP với giá trị ban đầu sau đây: a) x" + 6x’ +34x = 30sin2t, x(0) = x’(0) =0 b) x8) — x" x’ +x =e, x(0) =x/(0) = x“(0) =0 ©) x8) +x" —12x'=0, x(0) =0,x/(0) = x"(0) =1.

102 Phương pháp toán tử Laplace d) x®—x=0, z(0)=1,x(0) =x”(0)=0= x)(0) = e) x4) 42x" 4x=e, x(0) =x'(0) =z”(0) = x8)(0) =0 £) x4) + 13x" +36x =0, x(0) =0,x/(0) = 2,x"(0) = 0,x (0) = — g) x 48x" 9x =0, x(0) = x'(0) =0,x"(0) = x)(0) =1 h) x@) 44x =0, (0) = x'(0) =0,x"(0) =1,x) (0) =0 i) x6) + 4x(®) — x”— 4x = sinh2t, _x#)(0) = 0 với k = 0,5

4) L{te* sin? t} 9) £71 iL ais} tan (sz)

Bài tập 5.6 Giải các PTVP với giá trị ban đầu sau đây: a) tx” +(t-2)x'+x=0, z(0) =0 b) tz”+2(†—1)x'—2x=0, x(0)= c) fxz”+ (4t—3)x'+4x=0, zx(0) =0

Một số dé thi tham khảo 103

MỘT SỐ ĐỀ THỊ THAM KHẢO ĐỀ1 VIEN TOAN UNG DUNG VA TIN HOC

DE THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 3 - Học kỳ 20173

Mã HP: MI1131, Nhóm ngành 1, Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu uà giám thị phải ký xác nhận số đề uào bai thi

Câu 1 (4đ) Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số a) re vn+2 2 ea 9> (8) 2 /3n41\™

Câu 2 (1đ) Tìm miễn hội tụ của chuỗi hàm số ÿ Z””, n=1

Câu 3 (1đ) Giải các phương trình vi phân a) y= (2x+y), b) ý + 5 = 2x24, y) =1 c) ydx — (8x2y + x)dy =0,y(1) =1

Câu 4 (1đ) Khai triển ham sé f(x) = x1In(2 + x) thanh chudi Maclaurin â a Ã: 15v thìya OS (—1) "x20

Câu 5 (1đ) Tính tổng của chuỗi lũy thừa b aoe.

104 Một số đề thi tham khảo

DE2 VIEN TOAN UNG DUNG VA TIN HOC

DE THI GIUA KY MON GIAI TICH 3 - Hoc ky 20173

Mã HP: MI1131, Nhóm ngành 1, Thời gian: 60 phút Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu oà giám thị phải kú xác nhận sô đề nào bài thi

Câu 1 (4đ) Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số a x vans 2 L tw n=1 n=1 bị } CỬ)" wo n+l’ do ott „=2 (2+2) In(n+3)`

Câu 2 (1đ) Tìm miễn hội tụ của chuỗi hàm số }} sc n=1 co

Câu 3 (1đ) Giải các phương trình vi phân a) ÿ'= (+32), b) y'— ' = 9z°VỶ, q) =1, c) (8y2x — y)dx + xảy = 0,y(1) = 1

Câu 4 (1đ) Khai triển ham sé f(x) = x2 ln(3 — z) thành chuỗi Maclaurin i "„2n—1 â An + Kean we (-1)

Câu 5 (1đ) Tính tổng của chuỗi lũy thừa h Gna

Một số đề thi tham khảo 105 ĐỀ3 VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

DE THI GIUA KY MON GIẢI TÍCH 3 - Học kỳ 20172

Nhóm ngành: 1, Khóa: 62, Thời gian: 60 phút

Chi ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu oà giám thị phải ký xác nhận só đề uào bài thị

Câu 1 (2 điểm) Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số co co a) 2 van b) x n+l In (#42)

Câu 2 (1 điểm) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số

Câu 3 (1 điểm) Khai trién f(x) = 51, thanh chuéi Maclaurin

Câu 4 (1 điểm) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số }` ae T-

“Câu 5 (1 điểm) Xét sự hội tụ của chuỗi số x +00 ăn () ˆ sa Z As > Ke ` shogI 2 a

Câu 6 (1 điểm) Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm số bị Pa trén R

Câu 7 (1 điểm) Khai triển f(x) = ;z*g thành chuỗi lũy thừa của x — 2

Câu 8 (1 điểm) Cho f(x) = nirể"* với x > 0

Câu 9 (1 điểm) Tính tổng của chuỗi hàm số }) (—1)”~1#?x" với —1 < x < 1 +00 n=1

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu nà giám thị phải ký xác nhận số đề oào bai thi

Câu 1 (2 điểm) Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số

SE BE: I uy œ ả3n2+1 ằ Ễ b ime So " = in (He)

Câu 2 (1 điểm) Tìm miễn hội tụ của chuỗi hàm số fm 123"(x +3)" eco

Câu 3 (1 điểm) Khai trién f(x) = 345 thanh chuéi Maclaurin

Câu 4 (1 điểm) Tìm miễn hội tụ của chuỗi hàm số h at 3m: a sẻ < fe + Re ok +œ 1 nn

Câu 5 (1 điểm) Xét sự hội tụ của chuỗi số x yếm] c0s (%) a sia Z x a ee ae 6

Câu 6 (1 điểm) Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm sô b aaa trén R

Câu 7 (1 diém) Khai trién f(x) = —} (x—1)(x+3) thành chuỗi lũy thừa của z + 2 y

Câu 8 (1 điểm) Cho ƒ(x) = © ne™ voix £ too ae

Câu 9 (1 điểm) Tinh tong cla chudi ham s6 Yo (-1)""1n?x" véi -1 4 eo

Câu 9 Tìm miễn hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm số }) Trœ=1)z]1zm) ; n=1

Cau 10 Chttng minh rang phuong trinh y' + 2017y = Pyo17(x), trong d6 P2917(x) 1a đa thức bậc 2017 của x„ có duy nhất một nghiệm riêng là đa thức

Thang điểm: Mỗi câu 1 điểm.

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VA TIN HỌC ĐỀ THỊ GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 3 - Học kỳ 20162

Nhóm ngành 3, Khóa: 61, Thời gian: 60 phút

Câu 1 Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số Le HH,

Câu 2 Giải phương trình vi phân 1/ = môn

Câu 3 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số a! (Gx— = ian n=1

Câu 4 Tìm ba số hạng đầu tiên khác 0 trong khai triển Maclaurin của hàm số ƒ(x) =

Câu 5 Giải phương trình vi phan sin ydx + (xcos y — 3y*)dy = 0

Câu 6 Sử dụng tiêu chuẩn tích phân xét sự hội tụ phân kỳ của chuỗi số }) 3 n=1

Câu 7 Xét sự hội tụ đều trên [0,+eo) của chuỗi hàm số eae a ni

Cõu 8 Xột sự hội tụ của chuỗi số }; tan(7ứ2 +3) n=1

Câu 9 Tìm miễn hội tụ va tính tổng của chuỗi hàm số } ‘au 9 lim mien hol tu va ong cua chuoi im SỐ h IEŒ-Tz]-nz)' x

Câu 10 Chứng minh rằng phương trình y’ — 2017y = Đao;(x), trong đó Pzoz(x) là đa thức bậc 2017 của +, có duy nhất một nghiệm riêng là đa thức

Một số đề thi tham khảo 125

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

DE THI CUOI KY MON GIẢI TÍCH 3 - Học kỳ 20162

Nhóm ngành / Lớp / Khóa: 61, Thời gian: 90 phút

Chú ý: Thí sinh không được sử đụng tài liệu oà giám thị phải kú xác nhận số đề uào bài thi ® © 2

Câu 1 Xét sự hội tụ của chuỗi số }` ay n=1

Câu 2 Tìm miễn hội tụ của chuỗi hàm bị COS (2x +1)"

Cau 3 Khai trién ham sé f(x) lé, tuan hoan voi chu ky 27, théa man f(x) = x,0 < x < 7r thành chuỗi Fourier

Câu 4 Giải phương trình vi phân 1 + xy = š:

Câu 5 Giải phương trình vi phân

Cõu 6 Giải hệ phương trỡnh vi phõn ữ ù

Câu 7 Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm số G(s) = mg:

Câu 8 Giải bài toán giá trị ban đầu bằng phương pháp sử dụng phép biến đổi

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ THỊ CUỐI KỲ MÔN GIẢI TÍCH 3 - Học kỳ 20162

Nhóm ngành / Lớp / Khóa: 61, Thời gian: 90 phút Chú ¥: Thi sinh không được sử dụng tài liệu oà giám thị phải ký xác nhận sô đề uào bài thi x z @ 2

Câu 1 Xét sự hội tụ của chuỗi sô } oe n=1 x 2% =:

Câu 2 Tìm miễn hội tụ của chuỗi hàm }` a (2x —1)"

Câu 3 Khai trién ham sé f(x) chan, tuần hoàn với chu ky 271, thoa man f(x) = x,0 < n=1 x < 7 thành chuỗi Eourier

Câu 4 Giải phương trinh vi phan y' — xy = j

(x2 + +3y) dx+ (ax+ 7 + 2) dy =0 yl =y-z-e, Câu 6 Giải hệ phương trình vi phân Ẹ Ni

Câu 7 Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm số F(s) = z` ng

Một số đề thi tham khảc© 127

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐỀ THỊ CUỒI KỲ MÔN GIẢI TÍCH 3 - Học kỳ 20162

Nhóm xtgành / Lớp / Khóa: 61, Thời gian: 90 phút

Chú : Thí sinh không đfzrợc sử dụng tài liệu oà giám thị phải ký xác nhận số đê uào bài thi na sx iOS

Câu 1 Xét sự hội tụ của chuỗi sô }> (cos aH — C05 1) L n=1

Câu 2 Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của chuỗi số yp ve) ie (a=1) gL

Câu 3 Khai triển hàm số ƒ(*) = zz-}—; thành chuỗi lũy thừa của x — 1

Câu 4 Giải phương trình vi phan 2w' + (#)Ÿ = —1

Câu 5 Giải phương trình vi phân xự” + 4' = 0

Câu 6 Giải phương, pH “i phan

Câu 7 Tìm biến đổi es cua f(t) = “h3,

Câu 8 Giải phương trình vỉ phân 2y/' = y2+x—1

Câu 9 Giải bài toán giá trị ban đầu 1 + 4y = : t, nêu >7, w(0) =0,y/(0) =0

Câu 10 Cho hàm số f(x) tuần hoàn với chu ky 27 théa man f(x) = —x,néu —17 3,Vn > 2, chudi da cho phan kỳ (g) Ding tiéu chuẩn so sánh, chứng minh W > Pˆ,Vn > 2, chuỗi đã cho phân kỳ

(h) Viết - In 7>] = Jan (1+ wa) ~ ew khi n > oo Ding tiêu chuẩn so sánh, chuỗi đã cho hội tu

@) Nhớ lại khai triển Maclaurin trong hoc phan Giải tích I, In(1 + x) = x - x + o(x?), do dé x —In(1+x) ~ = khix > 0 Vay }-In(1+2) ~ pr khi

: nŠ+vn 1 ntyn 1 n‡ vũ 1 thị

Gj) In Sf tan b= In (1+ 2) tanh ~ Hộp cỡ ^ ¡ý KHÍ > 00

(k) Dùng tiêu chuẩn D/Alembert, chuỗi đã cho hội tụ

(1) Dùng tiêu chuẩn D'Alembert, chuỗi đã cho phân kỳ.

Goi y va dap an cho bai tap 131

(a) Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi đã cho hội tu

(b) Sử dụng tiêu chuẩn DAlembert, chuỗi đã cho hội tụ

(c) Sử dụng tiêu chuẩn DAlembert, chuỗi đã cho hội tụ

(đ) Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi đã cho hội tụ

(e) Sử dụng tiêu chuẩn D“Alembert, chuỗi đã cho hội tụ

(f) Có thể sử dụng tiêu chuẩn D“Alembert hoặc Cauchy, chuỗi đã cho hội tụ Nếu sử dụng tiêu chuẩn Cauchy thì các bạn nên nhớ một giới hạn quan trọng sau v N2), — ” : An ô x # : 1⁄2 = lim nn =

Jim, Vn = 1 Chitng minh giới hạn này bằng cách Jim In Yn = dim lim !z=0 x—++00 *

(g) f= — Ta cú ènrt < vủ với mọi n > 4, nờn 7 < 4 Dùng tiêu chuẩn so sánh, chuỗi đã cho hội tụ Tại sao lại nghĩ đến bat dang n thức In? < với mọi + > 4? Chỳng ta biết rằng Inứr là vụ cựng lớn bậc thấp hơn +“ với mọi a > 0 Nói cách khác, tim "= tim 2% = lim 2, = lim + =0 noo n* x—+œ x x>œ @xã—l 1 x->o @x#

Chính vì vậy, với mọi > 0 thì "đến một lúc nào đó", hay là với r "đủ lớn", hoặc chính xác hơn, tồn tại N € % sao cho

Cụ thể, trong bài tập này chúng ta có thể chọn œ = 3 như gợi ý trên, hoặc có thể chọn a € (0,1) bat ki

(h) {Sn}, Sn = (2+ V3)" + (2 — V3)" thoa man S42 = 4Sn41 — Sn, Voimoin > 0 Bằng quy nạp, có thể chứng minh được rằng S„ là chia hết cho 4, do đó nó là s6 chan v6i moi n

Vì vậy, sin[(2 + V3)"] = —sin[72(2 — V3)"] ~ —7(2 — V3)" khin — oo

L Z(2— v3)" là hội tụ bởi vì 0 < (2 — V3) < 1, chuỗi đã cho hội tụ ao n=0

@) Dùng tiêu chuẩn tích phân, chuỗi đã cho hội tụ

() Dùng tiêu chuẩn DAlembert, chuỗi đã cho hội tụ

Bài tập 1.7 [Gợi ý] Trường hợp p = 1 da được chứng minh ở Ví dụ 1.52 Trường hợp p > 1 sử dụng tiêu chuẩn so sánh với

132 Gợi ý và đáp án cho bài tập sinn nP

Trường hợp p < 1,chuỗi } S5“ hội tụ theo tiêu chuẩn Dirichlet Chuỗi }_ n=1 n=1 là phân kỳ vì sử dụng tiêu chuẩn so sánh với sinn n sinn nP

(a) Dùng tiêu chuẩn so sánh, chuỗi đã cho hội tụ

(b) Nhận xét 2,41 = 0 véi mọi n Sau đó dùng tiêu chuẩn so sánh đối với chuỗi co aa„, chuỗi đã cho phân kỳ n=1

(c) Dùng tiêu chuẩn so sánh, chuỗi đã cho hội tụ

(d) sin(Vvn2 + a2) = (—1)"” sin(Vn2 + a2 — nơr) = (—1)” in n2+a2+n 2 ar an 'ở

0< ————— < rr,V, X2 + a2-+n khi n0 đủ lớn, 4 sin——————— ‡ là một dãy số { taal y đương hội tụ về 0, chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz

(e) Dùng tiêu chuẩn D/Alembert, chuỗi đã cho hội tụ

(9 Dùng tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi đã cho hội tu

(ứ) Dựng tiờu chuẩn Cauchy, chuỗi đó cho hội tụ

(h) Biện luận theo tham số ô, chia lam 3 trường hợp là ô > 1 (dựng tiờu chuẩn so sỏnh), ô < 1 (dựng tiờu chuẩn so sỏnh) và = 1 (dựng tiờu chuẩn tớch phõn)

(0) Dùng tiêu chuẩn so sánh kết hợp với tiêu chuẩn tích phân, chuỗi đã cho hội tụ

0) Dùng tiêu chuẩn Cauchy hoặc D/Alembert và biện luận theo tham s6 a

1 n+1 1 2 2 x ax " a) a a ee eee ty vi tán a a a Vnt+2n4+1+Vn*+an ra ả 2n?

Néua = 2, un ~ 2 chuỗi đã cho hội tụ 2n2

Néua # 2, Un ~ = chuỗi đã cho phân kỳ e) Với số ú đủ lơn: nÄe—'Ê < m chuỗi đã cho hội tụ.

Ggi y va dap an cho bai tap 133

„ đai ạ (n+1)P2?+5 3" 1 ae a d) a, = lim a wag = 3 < L, chuối đã cho hội tụ lên - 1 2 nt-1 — ylte

& S 2: an 2 oy, chuoi cho phan ky e) x>2:an < ;(0 e

8) jim, = iim, 28mm 'ðn-T)E =5 < 1, chuỗi đã cho hội tụ và Sổ, Â 1 1\"_ 1 etka - h) jim, Yam = s lm (L— „) = 5, < 1, chuỗi đã cho hội tụ i) Jim yam = jim Vủ(T—^ J = 7 < 1, chuỗi đó cho hội tụ 2 n~›o 4n — 3 16 ơ “

Nếu a > b thì e“~° > 1 chuỗi đã cho phân kỳ

Nếu a < b thì e“~ < 1 chuỗi đã cho hội tụ

Nếu z = b, a„ = 1 không thỏa mãn điều kiện cần để chuỗi hội tụ, do đó chuỗi đã cho phân kỳ

2 or lỦ néup #1 chuỗi đó cho hội tụ nếu ứ > 1, phõn kỳ nếu 0 < g < 1

Inx 1-—Inx f(z) = Si f'®) = S— 3 Chuỗi đã cho hội tu.

Chuỗi đã cho hội tụ co yee 5n+3 co (—1)" s (-1)" x: as a: re

€) bí 1) „an 2 ati +30 5 , chuỗi đã cho hội tụ bởi vì cả hai chuỗi ở về phải đều hội tụ

Bài tập 1.11 [Gợi ý] a) Chọn 0 < e£< ma < 1,0 —e > 1do đó chuối đã cho hội tụ b) Với1 > > 0bất k, ta có, với số n di lin: an ~,, chuéi da cho phan kj

8) x>1: inne Serer 1 z = ở đó0 0 t