Bài giảng giải tích 3

Trong số các môn toán đại cương dành cho sinh viên các trường Đại học kĩ thuật, Giải tích III là môn học có nội dung kiến thức phong phú nhất và có nhiều ứng dụng thú vị nhất. Để tạo điều kiện cho sinh viên học tốt trong quá trình học theo học chế tín chỉ, bài giảng Giải tích 3 được viết trên cơ sở đề cương Giải tích 3 của Bộ môn Toán cơ bản cho sinh viên Đại học Bách Khoa Hà Nội. Bài giảng chứa đựng đầy đủ các kiến thức cơ bản, các dạng toán quan trọng và có minh hoạ bằng các đề thi cuối kỳ. Các dạng toán thực hành đều có đáp số kèm theo, tạo điều kiện thuận lợi cho các em sinh viên tự học, góp phần nâng cao hiệu quả bài giảng trên lớp. Bài giảng cũng cho nhiều ứng dụng thú vị của Toán học trong cuộc sống. Bài giảng được in trên một mặt, mặt còn lại dành cho sinh viên ghi chép những điều cần thiết ở bài giảng trên lớp. Đây là tài liệu có ích cho các em sinh viên muốn đạt kết quả tốt môn học này

PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO BÀI GIẢNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH III GIẢI TÍCH III Hà Nội - 2020 Hà Nội - 2020 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  “Non sơng Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay khơng  “Non sơng Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay không  Dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay không  Dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay khơng  Chính nhờ phần lớn cơng học tập em ”  Chính nhờ phần lớn công học tập em ” 1945 Hồ Chí Minh 1945 Hồ Chí Minh PGS TS Nguyễn Xuân Thảo PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn thao.nguyenxuan@hust.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU LỜI NÓI ĐẦU Trong số mơn tốn đại cương dành cho sinh viên trường Đại học kĩ thuật, Giải tích III mơn học có nội dung kiến thức phong phú có nhiều ứng dụng thú vị Trong số mơn tốn đại cương dành cho sinh viên trường Đại học kĩ thuật, Giải tích III mơn học có nội dung kiến thức phong phú có nhiều ứng dụng thú vị Để tạo điều kiện cho sinh viên học tốt trình học theo học chế tín chỉ, giảng Giải tích viết sở đề cương Giải tích Bộ mơn Tốn cho sinh viên Đại học Bách Khoa Hà Nội Bài giảng chứa đựng đầy đủ kiến thức bản, dạng tốn quan trọng có minh hoạ đề thi cuối kỳ Để tạo điều kiện cho sinh viên học tốt q trình học theo học chế tín chỉ, giảng Giải tích viết sở đề cương Giải tích Bộ mơn Tốn cho sinh viên Đại học Bách Khoa Hà Nội Bài giảng chứa đựng đầy đủ kiến thức bản, dạng tốn quan trọng có minh hoạ đề thi cuối kỳ Các dạng toán thực hành có đáp số kèm theo, tạo điều kiện thuận lợi cho em sinh viên tự học, góp phần nâng cao hiệu giảng lớp Bài giảng cho nhiều ứng dụng thú vị Toán học sống Bài giảng in mặt, mặt lại dành cho sinh viên ghi chép điều cần thiết giảng lớp Đây tài liệu có ích cho em sinh viên muốn đạt kết tốt môn học Các dạng tốn thực hành có đáp số kèm theo, tạo điều kiện thuận lợi cho em sinh viên tự học, góp phần nâng cao hiệu giảng lớp Bài giảng cho nhiều ứng dụng thú vị Toán học sống Bài giảng in mặt, mặt lại dành cho sinh viên ghi chép điều cần thiết giảng lớp Đây tài liệu có ích cho em sinh viên muốn đạt kết tốt môn học Mùa xuân năm 2020 Mùa xuân năm 2020 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo PGS TS Nguyễn Xuân Thảo PGS TS Nguyễn Xuân Thảo PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn MỤC LỤC thao.nguyenxuan@hust.edu.vn MỤC LỤC CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUỖI CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUỖI Bài Chuỗi số, chuỗi số dương Bài Chuỗi số, chuỗi số dương Bài Chuỗi với số hạng có dấu 12 Bài Chuỗi với số hạng có dấu 12 Bài Chuỗi hàm số .17 Bài Chuỗi hàm số .17 Bài Chuỗi luỹ thừa 22 Bài Chuỗi luỹ thừa 22 Bài Chuỗi luỹ thừa, chuỗi Fourier 31 Bài Chuỗi luỹ thừa, chuỗi Fourier 31 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài Chuỗi Fourier, phương trình vi phân cấp .38 Bài Chuỗi Fourier, phương trình vi phân cấp .38 Bài Phương trình vi phân cấp 49 Bài Phương trình vi phân cấp 49 Bài Phương trình vi phân cấp hai khuyết 61 Bài Phương trình vi phân cấp hai khuyết 61 Bài Phương trình vi phân cấp hai với hệ số biến đổi 68 Bài Phương trình vi phân cấp hai với hệ số biến đổi 68 Bài 10 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số số 72 Bài 10 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số số 72 Bài 11 Phương trình Euler, hệ phương trình vi phân 77 Bài 11 Phương trình Euler, hệ phương trình vi phân 77 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE Bài 12 Phép biến đổi Laplace phép biến đổi ngược 83 Bài 12 Phép biến đổi Laplace phép biến đổi ngược 83 Bài 13 Phép biến đổi toán giá trị ban đầu 90 Bài 13 Phép biến đổi toán giá trị ban đầu 90 Bài 14 Phép tịnh tiến phân thức đơn giản .97 Bài 14 Phép tịnh tiến phân thức đơn giản .97 Bài 15 Đạo hàm, tích phân tích phép biến đổi 103 Bài 15 Đạo hàm, tích phân tích phép biến đổi 103 Tài liệu tham khảo 113 Tài liệu tham khảo 113 Đề thi kỳ cuối kỳ 2017 – 2018 - 2019…………… 114 Đề thi kỳ cuối kỳ 2017 – 2018 - 2019…………… 114 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CHUỖI § Đại cương chuỗi số Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CHUỖI § Đại cương chuỗi số  Định nghĩa  Điều kiện cần để chuỗi hội tụ  Định nghĩa  Điều kiện cần để chuỗi hội tụ  Các tính chất 1 1 Đặt vấn đề:       n    2  Có phải cộng số hạng vế trái thành vế phải?  + (– 1)+1 + (– 1) + = ? Chuỗi số: Định nghĩa: Với số tự nhiên n, cho tương ứng với số thực an, ta có dãy số kí hiệu an  Định nghĩa:  Các tính chất 1 1 Đặt vấn đề:       n    2  Có phải cộng số hạng vế trái thành vế phải?  + (– 1)+1 + (– 1) + = ? Chuỗi số: Định nghĩa: Với số tự nhiên n, cho tương ứng với số thực an, ta có dãy số kí hiệu an  Định nghĩa:  Cho dãy số {an}, ta gọi tổng vô hạn a1  a2  a3   chuỗi số, ký hiệu   an , Cho dãy số {an}, ta gọi tổng vô hạn a1  a2  a3   chuỗi số, ký hiệu n 1 n 1 an số hạng tổng quát Sn = a1 + a2 + a3 + + an tổng riêng thứ n Nếu lim Sn  S ta bảo chuỗi an số hạng tổng quát Sn = a1 + a2 + a3 + + an tổng riêng thứ n Nếu lim Sn  S ta bảo chuỗi n  n   hội tụ, có tổng S viết:   an  S hội tụ, có tổng S viết: n 1  an  S n 1  Khi dãy {Sn} phân kỳ ta bảo chuỗi   an phân kỳ Khi dãy {Sn} phân kỳ ta bảo chuỗi n 1   qn Ví dụ Xét hội tụ tính n 0  n 0 qn  , 1 q  q n 1 Sn   q  q    q n  , q 1 1 q lim Sn  , q 1 n  1 q Phân kỳ q    qn  1 q , q  q  n 0  Ví dụ Xét hội tụ tính  qn n 0  q n 1 Sn   q  q    q n  , q 1 1 q lim Sn  , q 1 n  1 q Phân kỳ q    an phân kỳ n 1  Ví dụ Xét hội tụ tính  an ,   n  n  1 Ví dụ Xét hội tụ tính n 1  n  n  1 n 1 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo 1 1  1 1  1 1 Sn             1 n  1.2 2.3 n n  n  n  1         lim Sn  lim   1 n  n   n    Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 1  1 1  1 1 Sn             1 n  1.2 2.3 n n  n  n  1         lim Sn  lim   1 n  n   n     n  n  1  1  n  n  1  n 1 n 1  Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ 1   n (Chuỗi điều hoà) Sn       n Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ n 1 1 1  n (Chuỗi điều hoà) Sn       n n 1 Lấy n  2m 1 có 1 1  1  1    Sn       m 1                   m    m 1  2 3 4 5 8 2   1  1 1 m       m 1   m  1 2 Lấy n  2m 1 có 1 1  1  1    Sn       m 1                   m    m 1  2 3 4 5 8 2   1  1 1 m       m 1   m  1 2 Do Sn lớn tuỳ ý, nên có lim Sn   Do Sn lớn tuỳ ý, nên có lim Sn   Chuỗi cho phân kỳ Chuỗi cho phân kỳ n   Ví dụ Chuỗi nghịch đảo bình phương: n    n2 Ví dụ Chuỗi nghịch đảo bình phương: n 1 1 n 1 1 1 1 Sn            1   2.2 3.3 n.n 1.2 2.3  n  1 n n 1 1 1  1  1    1                   2  n 1       n 1 n  Sn tăng dương  lim Sn  S 1 1 1 1 Sn            1   2.2 3.3 n.n 1.2 2.3  n  1 n n 1 1 1  1  1    1                   2  n 1       n 1 n  Sn tăng dương  lim Sn  S n   1 n    n2  S n 1  n2  S Nhận xét: Nhận xét: n 1    n2  an  (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)  an hội tụ nlim   n 1 Chứng minh: Có an  Sn  Sn 1 ; n 1 lim an  lim  Sn  Sn 1   n   Nếu lim an  khơng tồn chuỗi n  an  (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)  an hội tụ nlim  Chứng minh: n    an phân kỳ Có an  Sn  Sn 1 ; lim an  lim  Sn  Sn 1   n   Nếu lim an  khơng tồn chuỗi n  n 1 n    an phân kỳ n 1  Thay đổi số hữu hạn số hạng đầu khơng làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi  Thay đổi số hữu hạn số hạng đầu không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi 2 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo  Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo  n n 1 Ví dụ n 1 n 1 n lim  1 n  n   n phân kỳ n 1 n 1     1 n      1    1   Ví dụ n 1 n =2k,k   n n =2k,k   n =2k+1 n n     1 phân kỳ n 1 n phân kỳ n 1 Ví dụ Tìm tổng (nếu có) chuỗi số sau 2n     2 36 n n  1 (ĐS: Ví dụ Tìm tổng (nếu có) chuỗi số sau 1) 2n     2 36 n n  1 (ĐS: 1)  Ví dụ a (K50)  n  1    n  1 n 1 n   (PK) b (K60)  Tính chất Giả sử  n    n 3 n 1  n  (PK) Ví dụ a (K50)  n 1 n 1   n 1  Các định lí so sánh  an , n 1 (PK) n 1 n 1  n 1 n 1 §2 Chuỗi số dương  Các tiêu chuẩn hội tụ  Định nghĩa  Các định lí so sánh  an  Định nghĩa:  an , an  n 1   n  ( an   bn )    an    bn   S1   S2 n 1 Nhận xét n   n    n 1    Định nghĩa:  (PK) b (K60)  an  S1,  bn  S2, §2 Chuỗi số dương  Định nghĩa n  Tính chất Giả sử  ( an   bn )    an    bn   S1   S2 n 1 n 1   n  1 n 1  an  S1,  bn  S2, n 1       1    1   Không tồn lim  1 n  n n 1 n Có lim  1   n   1 n =2k+1 Không tồn lim  1    1 n 1 1 n Có lim  1   n   1   1 n n 1 Ví dụ n lim  1 n  n   n phân kỳ n 1 n 1 Ví dụ Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  an hội tụ Sn bị chặn Nhận xét n 1  an hội tụ S n bị chặn n 1 Trong ta giả thiết xét chuỗi số dương Các định lí so sánh Trong ta giả thiết xét chuỗi số dương Các định lí so sánh 3  Các tiêu chuẩn hội tụ PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Định lí Cho hai chuỗi số dương, an  bn , n tuỳ ý từ lúc trở   n 1   bn hội tụ   an hội tụ n 1 n 1    an phân kỳ   bn n 1    bn hội tụ   an hội tụ n 1   an phân kỳ   bn phân kỳ n 1 n 1 phân kỳ n 1 Chứng minh a1  a2    an  b1  b2    bn Chứng minh a1  a2    an  b1  b2    bn  Sn  Tn  Sn  Tn Rút khẳng định  Ví dụ Rút khẳng định    3n  3n    3n  Ví dụ 3n hội tụ n 1 1  Chuỗi cho hội tụ 0  3n     an   n  bn  Ví dụ 0 3n    ln n phân kỳ n 2 an k 0  n  bn n 1   2/ Nếu lim 1  n ln n  phân kỳ n n 2    an n 1 n 1   Nhận xét Đối với chuỗi số dương n 1 a 1/ Nếu lim n  n  bn  bn hội tụ   an hội tụ n 1  n 1  an   n  bn  bn phân kì   an phân kì n 1   bn : 2/ Nếu lim n 1  n2  2n3  Ví dụ n 1   n 1  n 1    bn phân kì   an phân kì n 1 n 1 n2  2n3  n 1 n 1 Chuỗi dương  bn :  bn hội tụ   an hội tụ n 1 Chuỗi dương an   an  bn hội tụ phân kì Nhận xét Đối với chuỗi số dương a 1/ Nếu lim n  n  bn n 2 Định lí Cho hai chuỗi số dương, lim phân kì  ln n Chuỗi dương ln n  n   an  bn hội tụ n 1  3n  hội tụ n 1 1  Chuỗi cho hội tụ phân kỳ ln n n 2 an k 0  n  bn   3n   Định lí Cho hai chuỗi số dương, lim Ví dụ Chuỗi dương 3n   n 1  n ln n  phân kỳ n n 2  n 1 Chuỗi dương ln n  n Chuỗi dương 3n   n   Ví dụ ln n n 2 n 1 Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Định lí Cho hai chuỗi số dương, an  bn , n tuỳ ý từ lúc trở n 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo 2 1 1 n2 n n n   2n  2n3  2n  2n 2n n2  lim  :  1 n   2n 2n    2n   n2  n2  2n3  hội tụ n 1 n 1   np , p0 Ví dụ n 1 n p  , n   1  n phân kỳ nên  n p 2m 1  2 p  n 1 m n 1  p  m 1 2  m 1 p  1 p 1  2  p 1   p  2 m   Sn  S p 2m 1 1   2  p 1  1 m 1  am 1  ,  a  p 1  1 a 1 a  Dãy Sn bị chặn   np   , n   1  n phân kỳ nên  n p n 1 m phân kỳ n 1 2 p   4 p  m 1 2  m 1 p  1 p 1  2  p 1  am 1  ,  a  p 1  1 a 1 a  hội tụ Dãy Sn bị chặn   np hội tụ n 1 KL: Chuỗi hội tụ với p > phân kì với < p  Ví dụ n p    1     1  p  p    p    p      m 1  4  2   n 1  Khi p  1, n tuỳ ý, chọn m cho n  , có   1     1  p  p    p    p      m 1  4  2   p0 Khi  p  có  n p  n  phân kỳ Khi p  1, n tuỳ ý, chọn m cho n  , có Sn  S  np , n 1 Khi  p  có  n p  n   1 hội tụ n 1  2n3  hội tụ Ví dụ  2n hội tụ n 1  Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2 1 1 n2 n n n   2n  2n3  2n  2n 2n n2  lim  :  1 n   2n 2n  KL: Chuỗi hội tụ với p > phân kì với < p   Ví dụ n 1 n  Chuỗi dương 1 an   ; bn  3/2 3 n 3/2 n 3 n 1 n an lim 1 n  bn  n 1 n  Chuỗi dương 1 an   ; bn  3/2 3 n 3/2 n 3 n 1 n an lim 1 n  bn 5 10   p  2  p 1 m 1 2 m   p 1   144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158