ACT 2
TRUONG DAL HOC SU PHAM THANH PHO HO CHI MINH
Trang 2LOI NOI BAU
Trong các biểu thức sơ cấp, đa thức có một vai trò đặc biệt quan trọng Tập các đa thức một ắn trên một trường số ' (ở đây kí hiệu
là trường số , hoặc }) với phép toán cộng và nhân đa thức là một
vành Euclide Do đó vành đa thức cũng có những khái niệm, tính
chất tương tự như đổi với vành số nguyên Dĩ nhiên các khải niệm
trên vành đa thức thì tông quát hơn và có những ứng dụng đặc thủ của chúng
Khóa luận nảy của chúng tôi khảo sát một số tính chất số học của vành đa thức, bao gồm lí thuyết chia hết trong vành đa thức và đa thức bất khả quy Ngoài ra, khóa luận cũng chú ý đến việc vận dụng các lí thuyết đưa ra đẻ giải toán
Khỏa luận có ba chương:
Chương I: Vành đa thức một ân
Chương II: Lí thuyết chia hết trong vành đa thức Chuong III: Da thức bắt khả quy
Do thời gian có hạn và kiến thức còn hạn chế nên khóa luận này không trảnh khỏi những thiếu sót, rắt mong được ý kiến nhận xét,
đóng góp của quý thầy cô và các bạn
Trong quá trình làm khỏa luận, tôi có tham khảo một số tài liệu, xin chân thành cảm ơn các tác giả Tôi xin chân thành cảm ơn Phó
Giáo sư Tiền sĩ Đậu Thế Cấp đã tận tình hướng dẫn, xin chân thành
cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa đã tạo điều kiện cho tôi thực hiện và
hoan thành khóa luận nảy
Sinh viên thực hiện
Trang 3Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thé Cap
Chuong |
VANH DA THUC MOT AN
Ll DA THUC
Đa thức một ân x là biểu thức toán học lập nên từ ấn số x và các số (thuộc trường _) trong đỏ chí có các phép cộng và nhân
Phép nâng lên lũy thừa nguyên dương được xem như trường hợp
đặc biệt của phép nhân: phép chia cho một số khác không của
được xem như phép nhân với số nghịch đảo của nó
Từ định nghĩa ta có tổng vả tích của các đa thức cũng là đa thức
Tập các đa thức của ẳn x trẻn trường số 'ˆ kí hiệu là '{x] Ví dụ Các biểu thức c1, : — 5(—1}`-3(@x-—1)+8 là những đa thức một an trên trường số thực 7 Các biểu thức — sin(lgx) + cos(lgx)
không phải là đa thức
Hai đa thức f{x) và g(x) được gọi là hãng đẳng (bằng nhau) nếu giả trị của chúng tại mọi x € ˆ bảng nhau, kí hiéu f(x) = g(x)
Đa thức f{x) gọi là đa thức không nếu với mọi e € 'ˆ, f{c) = 0, kí hiệu f{x) = 0
I2 DẠNG CHÍNH TÁC CUA DA THUC
Trang 4Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thé Cap
goi la dang chinh tắc lùi của đa thức trone đó các SỐ 8ạ, 8Ị, a, €
gọi là các hệ số (hay hệ tử) của f{x), riéng ag trong (1) va a, trong (2) còn được gọi là số hạng tự do (hệ số tự do)
Nếu quy ước xŸ = I thi ta có thẻ viết (L) và (2) gọn lai la
f(x) = Y a,x" > f{x)= Nay
to
Nếu tất cả các hệ số ao, a) , a, © ~ thì đa thức
f(x) = ay + ayX + +a,Xx"
gọi là đa thức hệ số nguyên, kí hiệu f(x) € ~{x]
Định lí 1 Nếu một đa thức viết dưới dạng chính tắc (tiến hoặc lùi) bằng không với mọi giá trị của ân số lẫy trên trường số 'ˆ thì tất cả các hệ số của nó đều phải bằng không
Chirng minh
Ở đây ta chứng mỉnh đa thức dưới dạng chính tắc tiến, đa thức dưới dạng chính tắc lùi làm tương tự Cho đa thức f(x) =a + ayx + + a,x" Ta phai chimg minh rang néu da thite f(x) bing khéng véi moi x € | thi a =a; = =a, =0 That vay, gia sir n = 0 thi f(x) = ay Voix=0 = a= f(0)=0 Vậy định lí là đúng khi n = 0 Giả sử định lí là đúng đổi với n = k — 1 Ta sẽ chứng minh rằng khi đó định lí sẽ đúng với n = k Thật vậy, vì f{x) = Ú với mọi x € ˆ, ta suy ra Í(Xạ) = 8ạ # ñXụ + + 8y.pXụ”” + ayXg” = Ô
f{2xo) = aạ + ai(2xọ) + + au.i(2xo)*” + a(2xe)* = ao + 2X + + 2 lay xo’! + 2 ⁄ay xo = 0
Trang 5
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thé Cap
va ta có
2*f(xe) — f2xe) = (2` — lao + (2ˆ — 2)apXo + +
(2* | 22a, „x2 “+ (2 i 2a xạ] =0 Vi Xp thy y nên đa thức
g(x) = (2 — 1)ay + (2* = 2)ayx + + (2*— 2°" yay ax”
+ (2*— 2 Yas xt!
bảng không V x €
Vi g(x) con =k - 1 nên theo giả thiết quy nạp ta có
(2*— 1)ag = (2* — 2)ay = = (2" — 2 Jay = (2 - 2" "Jay =0
nhung 2" - 2'>0 véil=0, 1, ., k—1, cho nén
ay = a) = = 2 = a = 0
Khi đó đa thức f{x) trở thành f(x) = ayx*
Cho x = 1 thi (1) =a.1* =a, =0
Trang 6Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thé Cap
Hệ quả 2 Mọi đa thức đêu chỉ có một dạng chính tắc tiến và một dang chính tắc lùi duy nhất
Nhờ hệ quả này, từ nay về sau ta sẽ chỉ xét đa thức đưới dạng chính tắc của nó I3 PHÉP TOÁN CỦA ĐA THỨC ĐƯỚI DẠNG CHÍNH TÁC 1 Phép cộng vả phép trừ Cho hai đa thức thuộc | [x] f(x) = ap + ayX + + a,x" g(X) = bọ + bịx + + bạx” trong đỏ a„ b„ có thể bảng không Khi đó tổng và hiệu của f{x) vả e(x) lần lượt là f(x) + g(x) = (ap + by) + (ay + bị) + +(a, + bạ)X” fx) — g(X) = (ao — bọ) + (ai — bị)X + †(4ạ — bạ)X” 2 Phép nhân Cho hai đa thức thuộc [x| f(x) = ap + ax + + ax” g(x) = bụ + bịx + + b„x”
Trang 7Khóa luận tốt nghiện GVHD: PGS TS Dau Thé Cap
3 Vanh đa thức
Từ định nghĩa phép toán của đa thức, ta thấy rằng ''[x] với phép
toán cộng và nhân đa thức là một vành, gọi là vành đa thức của an x trên trường L4 BAC CUA DA THUC Cho da thite f(x) = ao + ayX + + ayx” Nếu a„ # 0 thì a, goi la hé số cao nhất của f{x) và ta gọi f{x) là đa thức bậc n, kí hiệu degl{x) = n Nói riêng, f{x) = ao £ 0 là da thức bậc không Như vậy đa thức bậc không là các hằng số a thuộc a # 0 Trường hợp f{x) = 0, ta định nghĩa deg0 = - œ với quy ước — œ <ïn, và — œ +n=~ œ với mọi n €!', Từ định nghĩa các phép toán, ta có
Định lí 2 Cho các đa thức f{x), g(x) € ' [x] Khi đó
1) deg(f{x)g(x)) = degf{x) + deegg(x)
2) deg(f{x) + g(x)) < max (degf(x) degg(x))
Nếu degf{x) # degg(x) thì dep(f{x) + g(x)) = max(degf{x),degg(x))
Nhân xét: Tir dinh li 2 suy ra: voi moi f(x), g(x) € 'ˆ[x] f(x)g(x) = 0 <> fix) = 0 hoặc g(x) = 0
Do đó theo ngôn ngữ của cấu trúc đại số '“{x] là một miền nguyên
1.5 UNG DUNG CỦA DẠNG CHÍNH TÁC
Nhờ tính duy nhất của dạng chỉnh tắc, chúng ta có phương pháp
Trang 8Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thể Cấp
Ta cần viết đa thức P(x) = (x— l)(x + 1)(x + 2) dưới dạng chính tắc
Vì P là đa thức bậc 3 với hệ số của lũy thừa bậc cao nhất bằng l
va sé hang tu do băng - 2 cho nên ở đạng chính tắc nó có dang P(x) = xỶ + ax” + bụ — 2 Ta phải xác định a, b sao cho (x~ l)(x + l)(x + 2) = xỶ + ax’ + bx —2 Cho x= l ta có Ú = Ì +a +b— 2 x=~-l tacó 0 =-l +a-b-—2 Chải ra ta được: a = 2; b = - | Vậy (x - l)(x + lÁx+2)= x` + 3xÌ—x—2 Ví dụ 2 Tìm a và b để đa thức: f(x) = xỶ + 2x” + ax” + 2x + b là bình phương của một đa thức.Tìm đa thức đó Giải Vi degf(x) = 4 cho nên đa thức phải tìm sẽ có bậc hai: mx’ + px + q, trong đó hệ số m chỉ có thể bằng 1 hoặc -] Giả sử m = 1 Khi đó ta có x* + 2x) + ax? + 2x + b=(xỶ + px +q)Ÿ =x" + 2px’ + (p? + 2p)x” + 2pqx + q” Đồng nhất các hệ số của lũy thừa cùng bậc ở hai về ta được: 2p=2 p`+2p=a 2pq = 2 q”=b
Giải ra ta được p = l;:q = 1,a=3;b=1
Trang 9Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thế Cắp -2n=2 =~—Ì EK Aen ss P'-2q=u ` g=-l 2 nạ = 2 a=3 q =b b=]
Trang 10Khỏa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thé Cap °= il 3a = => 4— 3a + 2b = (Ì a~=b+c=0 U > i = lí Dim wml wie Vay f(x) = XI =a “x +d, dtiy ý: - b) Theo a) taco 1? = f{1) - (0) 2? = f(2) - f(1) n’ = f(n) ~ f(n— 1) Cộng các đăng thức này, ta được I+2?+ +nỶ = ftn) - f{0) = vn t =n + Tạ _ n(n +1)(2n +1) 6 Vị dụ 5 a) Tìm đa thức bậc bổn f{x) sao cho fx) - Ñ x~— 1) =xŸ b) Tính tổng 1” + 2Ì + + nỶ Giải a) Giả sử f{x) = ax” + bxỶ + cx” + dx + e Khi đó f{x - l) = a(x - 1)'+ b(x — iy + e(xT— LH} + đ(x— 1)+e Ta có f(x) -f(x- l)=xÌ
œ 4ax” + (— 6a + 3b)x” + (đa — 3b + 2e)x— a+b—c + d=xŸ
Trang 11Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thé Cap 1 4a = Ì 4 ~ 6a + 3b = tì bux = => 2 4a -—3b+2c=0 ; ~a+b-c+d =0 TH d=0 i = 1-4 >4: 24:3 gvườ Vay fix) TP ty 2 +e,e thy y b) Theo a) taco 1° = f(1) ~ f(0) 2° = f(2) — f(1) nỶ = fn) - f(n - 1)
Cộng các đăng thức này, ta được
Trang 12Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thé Cap Chương HH Li THUYET CHIA HET TRONG VANH DA THUC 11.1 DINH LI PHEP CHIA CO DU’ 1 Định lí cơ bản
Định lí 1 Cho f{x) a(x) € [x] g(x) # 0 khi đỏ tồn tại duy nhất
cap da thite q(x), (x) € [x] sao cho
f(x) = g(x)q(x) + r0x), degr(x) < degg(x)
Chứng minh
SỰ TON TAI
Néu degf{x) < dege(x) thi chon q(x) = 0, r(x) = f(x)
Nếu degffx) > degeg(x) thì f(x) = ag + a,x + + a,x", a, #0 g(X) = bạ + bịx + + b„x”, bạ £ Ú với n> m Xét đa thức q¡(x) = ¬ x" Vì g(x)q¡(x) có số hạng cao nhất là a — x" | bx” = a,x" b do đó đa thức ft(x) = f{x) - ø(x)q¡(x) có bậc nhỏ hơn n Nếu degf,(x) < degg(x) thì dừng lại
Nếu degf,(x) > degg(x) thi tuong ty ta tim duge g(x) sao cho
f(x) = F(x) = g(x)qn(x) 06 bặc nhỏ hon bae f(x)
Tiếp tục quá trình nảy, ta được day các đa thức f(x), f(x),
[›(x) có bậc giàm nghiêm ngặt, do vậy sẽ có f¿(x) sao cho degfi(x)
< degg(x) Ta có
Trang 13
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thé Cap
f(x) = g(x)q,(X) + l;(x)
fi(x) = g(x)ga(x) + BCX)
f\.¡(X) = 2CX)qu(X) * AX)
Cộng với các đăng thức này vẻ với vẻ rồi ước lược, ta được
f(x) = g(xXqi(X) + qa(X) = *qu(X)) + OX)
Khi đó ta chọn q(x) = q;(X) * q›(x) + + qu(X)
r(x) = f(x)
Nhu vay ta da chi ra duoc su ton tại của cặp đa thức q(x), r(x)
Bây giờ ta chứng mính tính duy nhất của chúng
TINH DUY NHAT
Gia str q’(x), r(x) € [x] cing c6 tính chất trên, tức là f(x) = g(x)q’(x) +(x), degr’(x) < degg(x) Khi đó: g(x)q(x) + r(x) = ø(x)q`(x) + r{x) => g(xXq(X) - q'(X)) = r'(X) - r(x) Néu r°(x) — r(x) # 0 thi q(x) — qˆ(x) £ 0 Theo định lí 2, chương |: degg(x)>deg(r`(x) - r(x))=deggí(x) + deg(q(x) - q'(x))>degg(x) (mâu thuẫn) Vậy r`(x) - r(x) = Ú, từ đỏ ta có ngay q(x) — q`(x) =0, tức là q(X) = q`(X) r(Xx) = r`(X)
Tính duy nhất của q(x) vả r(x) được chứng minh
2 Định nghĩa phép chia có dư và chia hết
Trang 14Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thé Cap
Néu r(x) = 0 thi f(x) = e(x)q(a) Trong trong hợp này ta nói
phép chia là phép chia hết, huy nói cách khác
f{x) chia hết cho a(x), fix) 1a boi cua g(x), ki higu f(x) : g(x) hay g(x) chia hét f(x) g(x) la ude cua fix), ki hiéu g(x) | f(x)
Nhân xét Ì: Cho f{x) € [x] voi moia € ,a# 0, tacod
f{x) = a(a `f{x))
va f(x) = (aftx))a `
Do đó a | Ñx) và af{x) | f{x) Các ước loại này gọi là ước tầm thường của f{x) Ước không tâm thường của f(x) gọi là ước thực sự
Như vậy
g(x) la ước thực sự của flx)
e J#@œ/œ)
0 < deg g(x) < dep /(x)
3 Các tính chất cơ bản của chia hết
Với mọi f{x), g(x), h(x) © '[] ta có các tính chất sau
(1) Nếu f(x) : e(x) thì thương q(x} là duy nhất
(2) Nếu f{x) : g(x) thì hoặc f{x) = 0 hoặc degf{x) > degg(x)
Trang 15Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thé Cap 3) Từ (6) suy ra: Néu g(x) | fix) va g(x) | (f(x) + h{x)) [hode g(x) | (ftx) - h(x))] thi g(x) | h(x) 4 Dinh li Bezout
Định lí 2 Cho f{x) € ' [x| và c € Khi đó dư của phép chia f{x)
Trang 16Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS, Dau Thé Cap
Từ đó ta để đảng tỉnh được hé so cua q(x) va r theo cac hé số của
f(x) vac
Dây các đăng thức truy hỏi đó dược mô tả dưới dạng sơ đỗ dưới đây, gọi là sơ đồ Horner
Sơ đỗ Horner giúp ta thực hiện nhanh phép chia đa thức f(x) cho đa thức x - c vả giả trị f{c) trong trường hợp đa thức f{x) có bậc lớn 11.2 UGC CHUNG LON NHAT
1 Định nghĩa ước chung lón nhất
Cho f{x) g(x) € [x] Ta gọi h(x) € ˆˆ[x] là ước chung của f(x)
vả g(x) nếu h(x) | f{x) và h(x) | g(x)
Đa thức d(x) gọi là ước chung lớn nhất (ƯCLN) của f{x) và g(x), kí hiệu đ(x) = ƯCLN(ffx).g(x)) nêu
L) d(x) là ước chung của [{x) và g(x)
2) d(x) chia hết cho mọi ước chung của f{x) và g(x)
Nếu dạ(x) và d;(x) đều là ƯCLN của f(x) va g(x) thi dy(x) | dạ(x) va do(x) | d(x), đo đó tôn tại a 6 a ¢ 0 sao cho d,(x) = ad;(x), ta
nói đ;(x) và d;(x) sai khác nhau một nhân tu bac khéng hay d)(x) va
dz(x) liên kết với nhau UCLN của 1x) và g(x) có hệ số cao nhất
bảng đơn vị là duy nhất, kí hiệu là (11x).g(x))
Hai đa thức f{x), e(x) gọi là ngu+ ca tổ cùng nhau nếu
(f(x).g(x)) = |
Trang 17Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thé Cap
nghia la f{x) va g(x) không c6 ude chung nao khác ngoài các hang so
khác không
2 Các tính chất đơn giản của ƯCLN
(l1) Tập các ước chung của Í{x) vỏ œ(x) trùng với tập các ước của UCLN(f(x), 204) (2) Néu d(x) = (fx).g(x)) thi ad(x! với mọi a € ˆ, a # 0 cũng là ỨCLN(fx),g(x)) (3) Nếu d(x) d’(x) déu la UCLN(i(x),2(x)) thi 3a € |, a # 0 sao cho d(x) = ad’(x)
(4) Néu g(x) | f(x) thi UCLN(fix).2(x)) = g(x)
($) Nếu f{x) = g(x)q(x) + r(x) với l{x), (x), q(x) va r(x) © IC[x]
Khi đó mỗi ước chung của fíx) và ø(x) cũng là ước chung của
#(x) và r(x) và ngược lại
Các tính chất này được suy ra từ định nghĩa ước chung và UCLN
Nhân xét 3:
l) Từ (4) suy ra: Với mọi f{x) # 0 UCLN(ffx).0) = x)
2) Từ (5) suy ra: Nếu f{x) = g(x) q(x) + r(x) thi
(f{x).g(x)) = (a(x).r(X))
3 Cách tìm ƯCLN bằng thuật toán Euclide
Cho hai đa thức f{x) và ø(x) Thu¿t toán Euelide đưới đây cho ta
su ton tại ciing nhu cach tim UCLN ciia f(x) va g(x)
Giả sử g(x) # 0 Thực hiện liên tiếp các phép chia
f(x) cho ø(x) được thương o;(x) và đư rạ(X) g(x) cho rg(x) được thương ‹J¡(x) và dư r¡(X) rạ(x) cho ry(x) được thương qo{x) và dư ra(x)
Vi degg(x) > degro{x) > degr;(x) - nên sẽ có một chỉ số k để
r(x) # 0 còn rụ;¡(x) = 0, tức là ta có dãy các đăng thức
Trang 18
Khỏa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thế Cắp f(x) = g(X)qu(X) + ru(X) E(X) = ro(X)Qi(X) * F(X) Fạ¿(X) = ri(X)Q3(X) + ra(X) r,.3(X) = F i(X)đ¿(X) + HCN) T j(X) = Fu(X)M¿: I(XÌ
Đi từ dưới lên, trong các đăng thức trén, ta thay n(x) là ước chung của f{x) va g(x), đi từ trên xuông, trong các đăng thức trên, ta
thấy mọi ước chung của f{x) và g(x) đèu là ước của r„(x)
Thật vậy, theo tính chất (5) và (4) ta có
(f{x).g(x)) = (g(x).ru(X)) = = (r ¡(X),n.(X)) = r(x) Vậy ƯCLN(x).g(x)) = n(X)
Như vậy UCLN(fx).e(x)) là số dư cuỗi cùng khác khơng trong
thuật tốn Euclide
4 Các tính chất cơ bản của ƯCLN
Định li 3 Cho f(x), g(x) € | [x] Khi dé
1) Néu UCLN(f(x),g(x)) = d(x) thi ton tai u(x), v(x) € fx] sao
cho
f(x) u(x) + g(x) v(x) = dix) (*)
2) Néu tén tai u(x), v(x) € |! [x] thỏa mãn (*) và d(x) là một ước
chung cua f(x) va g(x) thi d(x) 1a UCI N cua f(x) va g(x) Chirng minh
1) Néu mét trong hai da thtre chia hét cho đa thức kia, chẳng hạn
f(x) : g(x) thi d(x) = g(x) Khi đó d(x) = l{x)u(x) + g(x)v(x) với u(x) = 0, v(x) = 1
Nếu không có số nào trong hai đo thức chía hết cho đa thức kia,
Trang 19Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS, Dau Thé Cap
Từ đó thế dân tử dưới lẻn ta được
đ(Xx) = ari((X) = a(f,.3{X) — r,.((X)q,(š))
= f(x)u(x) + e(x)v(x)
2) Do (*) mọi ước chung của l(x! và ø#(x) đều là ước của d(x), vì
đ(x) là ước chung nén d(x) la UCLN Hệ quả l1
Hai đa thức f{x) vả g(x) nguyên tò củng nhau khi và chỉ khi tồn
tại hai đa thức u{x) va v(x) sao cho f{x)u(Xx) + e(x)v(x) = Ì Chứng minh Néu f(x) va g(x) nguyên tô cùng nlxau thì (f{x),g(x)) = 1, nên theo định lí 3 có u(x) v(x) dé l = Ñx)u(X) + #(X)v(N)
Ngược lại, giả sử có u(x) v(x) đc đăng thức trên xảy ra Khi đỏ nếu d(x) là ước chung tùy ý của l{x) và g(x) thì d(x) là ước của
fx)u(x) + g(x)v(x) nên d(x) là ước của 1 Vậy (f{x),g(x)) = l
Trang 20Khỏa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thé Cap
11.3 NGHIEM CUA DA THUC
1 Dinh nghia
Nghiệm của đa thức f(x) € |N] li số c € sao cho f{c) = 0 Như
vậy nghiệm của đa thức f{x) là nghiện: của phương trình f{x) = 0
Định lí 4 Mỗi đa thức f{x) bậc n - | trên trường '“ đều có không
quá n nghiệm phân biệt thuộc
Chứng minh
Gia sur trai lại, f{x) có n + Ì nghiệu phản biệt cụ, C, , Cạ.ị Theo hệ quả của định lí Bezout
f{x) : (X— C¡)(X - Cạ) (N - C„u+q}
Do d6 f(x) = (x = ¢))(X = €¿) (N - cạ-¡) q(x), với q(x) £ 0 Theo định lí 2 (xem I.4), ta cé
đeg f(x) >n + I là một điều máu thuần
Vay f{x) có không quả n nghiệm
2 Nghiệm bội và tính chất của nghiệm
Số c € — gọi là nghiệm bội k > 2 của đa thức f(x) € 7“{x] nếu
f{x) = (x- c)*g(x), gic) = 0
Nghiệm bội 2 thường gọi là nghiệm kép Để nhắn mạnh, nếu c là
nghiệm nhưng không là nghiệm bói thì c được gọi là nghiệm đơn
(trong trường hợp này k = l)
Trang 21Khóa luận tốt nghiệp _ GVHD: PGS, TS, Dau Thé Cap a CF 4+¢,+ 0.4¢, =-= a a, ec, + +C.C, *+€;C, t % ce, ao ay a, GOjO nls FO CC, Tie He, Cy 4, = —— đụ „8 €,€; £„ = (~=Ì)" — ay Chirng minh Ta có f(x) = âg(X — €¡XX — €›) (X — Ca) = ag[x" = (c¡+€y+ +€n)X” + (CyCy† +CCa#CaCa+ +, ¡c„)x”P +,.,+ (<l)” cạca ạ] So sánh hệ số hai về theo lũy thừa của x, ta có các đẳng thức cân chứng minh Định lí 7 Cho f{x), g(x) € [x], degg(x) = m và g(x) có đúng m
nghiệm trong ˆ Khi đó f(x) : g(x) khi và chỉ khi hoặc f{x) = 0 hoặc
mọi nghiệm của g(x) đều là nghiệm của f{x) và mọi nghiệm bội k
của g(x) là nghiệm bội k" của f{x) với &` > k Chứng minh Giả sử f{x) : g(x) khi đỏ f{x) = g(x)h(x) Néu g(x) = (x = e}*q(x) thi f(x) = (x —¢)*q(x)h(x) Đo đỏ, c là nghiệm (bội k) của s( x) thì c là nghiệm (bội k`' > k) của f{X)
Ngược lại, nếu tất cả các nghiệu: của g(x) là cy, cạ , cạ (bội k)
được liệt kê k lân Khi đó
8(X) = a(X - CqÌ(X ~= €ạ} (X - Cm}
NHHVIN `
Trang 22Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thé Cap
a là hệ số cao nhất của g(x) Theo giả thiết, ta cũng có
f(x) = a(x = €¡)(X — cạ) (X = Cp h(x)
Tir do f{x) = g(x)
3 Nghiệm nguyên và nghiệm hữu ti
Với mọi f{x) € - [x] luôn tìm được số nguyên m £ 0 để g(x) = mf{x) € [x] m là mẫu số chung các hệ số của f{x) Hiển nhiên l{c) =0 © gíc) = 0 Do đó, để xét nghiệm của đa thức trên ˆ ta chỉ cần xét nghiệm của đa thức trẻn _
Định lí 8 Cho đa thức hệ số nguyên
fx) = agx" + ax"! + + dy, do # 0
Khi đó nếu phân số tối giản là nghiệm của f{x) thì p là ước của q t„ q là ước của aạ Chứng mình Vi : là nghiệm của f{x) nên “ »-t ay Peta, P+ +a,=0 q => app” + ayp"'q + + aq” =0 Tir d6 suy ra
a,p* =-q(a,p"" +a,p*"q+ +a,q"")
Trang 23Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thé Cap
Hé qua
1) Mọi nghiệm nguyên của một đa thức với hệ số nguyên là ước của số hạng tự do,
2) Mọi nghiệm hữu tỉ của một đa thức với hệ số nguyên có hệ số cao nhất bảng l đều lả nghiệm nguyên
Nhận xét 4: Cho phương trình đa thức hệ số nguyên
ayx" + ax”! + 0 +a, = 0(*)
Bằng cách nhân hai vé véi ap”! va dat y = apx ta duge phuong
Trang 25Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thế Cấp Cac gid tri 0, -1,-4 déu là nghiệm của đa thức (x + 1)? — x?" — (2x + 1) nên theo định lí 7 ta có đpcm 4 Tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức Vị dụ Tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức: fix) =x‘ + 2x° ~ 4x? ~ 5x -6 Giai Nghiệm hữu tỉ của f{x) nêu có, phải lả nghiệm nguyên và là ước của 6, tức là ‡ |, +2, +3, +6, ‘gin f(-l)=-6
Với œ = +2, +3, +6 ta thấy chỉ có œ = +2, œ = - 3 là thỏa
nên + l không là nghiệm /0) va LCV) đều là số nguyên l-a l+ø Sir dung so 46 Horner, ta thay: l 2 -4 -5 -6 2 | | 4 4 3 0 => f(2)=0 = 2 la mot nghiém Từ đó ta có: f{x) = (x - 2)(xÌ + 4xỶ + 4x + 3) Sử dụng sơ đồ Horner cho đa thức xÌ + 4x” + 4x + 3 L1 4 4 3 af | | | 0 Ta có -3 cũng là một nghiệm vả f{x) = (x— 2)(x + 3x2 +x+1)
Vì đa thức xỶ + x + ! không có nghiệm thực nên đa thức f{x) chi
có hai nghiệm hữu tí là 2 vả - 3
Trang 26
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thế Cắp Chương III ĐA THỨC BÁT KHẢ QUY III.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TINH CHAT 1 Định nghĩa
Cho p(x) thuộc - [x] là một đa thức có bậc lớn hơn không Ta nói
p(x) bắt khả quy trên ˆ nếu không thế phân tích được thành tích của
hai đa thức có bậc lớn hơn không vả nhỏ hơn bậc của p(x)
Một cách tương ứng, ta có thể nói p(x) là bất khả quy nếu p(x) không có ước thực sự (xem nhận xét 1, chương l])
Một đa thức không bắt khả quy trên ˆˆ gọi là khả quy trên 'ˆ hay
phân tích được trên
Đa thức bắt khả quy trong vành đa thức -ˆ[x] có một vị trí tương
tự như số nguyên t6 trong vành số nguyên — Ví dụ Đa thức xỶ — 2 là bat khả quy trên ˆ nhưng khả quy trên 7 vì x`-2=(x+*+ ⁄2)(x- v2) Đa thức x” + l bất khả quy trên “ và 7 nhưng khả quy trên © vi x`+l=(x*ïx—j) 2 Tính chất
Đa thức bất khả quy có các tinh chat sau
I) Mọi đa thức bậc nhất đều bất khả quy trên -”
Trang 27Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau The Cap
111.2 PHAN TICH DA THUC THANH NHAN TU BAT
KHA QUY
`
Định lí 1 Mọi đa thức f{x) bậc lớn hơn không trên trường đêu
phân tích được thành tích của các đa thức bắt khả quy Sự phân tích
đó là duy nhất nếu không kế đến thứ tự các nhân tử và các nhân tử
bậc không Ching minh
SU TON TẠI
Nếu f{x) bất khả quy ta có ngay kết quả phân tích Nếu f{x) khả
quy thì ta có f(x) = fi(x)b(x), f(x) và ›(x) có bậc lớn hơn không, nhỏ hơn bậc của f{x) Nếu f,(x), P(x) bắt khả quy thì ta có kết quả
phân tích Nếu f;(x) hoặc f;{x) khả quy thì lại tiếp tục quá trình trên Sau một số hữu hạn bước, quả trình trên phải dừng vì bậc của f{x)
hữu hạn Vậy ta cỏ sự phân tích f{x) thành tỉch các đa thức bat kha quy f(x) = ft(x).b(x) fƯ(x) TÍNH DUY NHÁT Giả sử f{x) có hai sự phân tích thành tích các đa thức bắt khả quy f{x) = fi(x)fs(x) f(X) f{x) = pu(x)pz(X) P„(X) Ta có thể giả sử n < m Xét đẳng thức f(x) 60x) £08) © pi(Xx)p;(x) Pp„(x)
Vì p¡(x) là ước của về phải nên p;(x) la ude cua vé trai Do p;(x) bat khả quy nên tổn tại f(x) : pạ(x) Đổi lại thứ tự, ta có f\(x) : pạ(x) Lại đo f,(x) bất khả quy nên tôn tại c¡ € ˆ, c¡ £ 0 để f,(x) = cyp)(x)
Tương tự ta có f(x) = cppo{x), , f(x) = Cypa(x) Tar do néu m > n thi
€¡P¡(X)€2P2z(X) €CsPa(X) = PI(X)P¿(X) .Pa(X)Pa«i(X) Pm(X)
= CỊC) Cn = Da+i(X) Pm(X)
Trang 28
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thẻ Cắp
Ta gặp mâu thuẫn vì về trái bậc 0, về phải bậc lớn hơn | Vậy
phải có n = m va A(x) = cypy(x), k = 1, 2, , 0
111.3 TIEU CHUAN BAT KHA QUY
1 Tiêu chuẩn đa thức bắt khả quy trên - và :
Định lí 2
1) Đa thức f{x) trên trường số phức - bất khả quy khi vả chỉ khi
f{x) có bậc nhất
2) Đa thức f{x) trên trường số thực ˆ bất khả quy khi và chỉ khi
f{x) bậc nhất hoặc f{x) là đa thức bậc hai với biệt thức A < 0 Chirng minh
1) Mọi đa thức bậc nhất đều bất khả quy Ta còn phải chứng
minh néu f(x) bat kha quy thì f(x) phải có bậc nhất
Thật vậy, nêu f{x) có bậc n > l thì theo định lí 5, chương II, f{x) có một nghiệm x = c Từ đó f{x) = (x - c)g(x) với degg(x) > 1 Ta
gặp mâu thuẫn vì f{x) bất khả quy
2) Mọi đa thức bậc nhất và bậc hai có A < 0 đều là bất khả quy Ta còn phải chứng minh mọi đa thức f{x) bất khả quy trên 7 chỉ có
một trong hai dạng trên
Thật vậy, nêu degffx) < 2 thì f{x) chỉ có 2 dạng trên Bây giờ giả sử degf{x) > 2 Nếu f{x) có một nghiệm thực thì f{x) khả quy, do đó mọi nghiệm của f{x) đều là nghiệm phức Nếu f{ø ) = 0 với # = a+bi
thì với œ = a-bi ta cũng có f{ø ) = fœ) = 0 = 0, tức là số phức liên hợp œ lả nghiệm Vì vậy trên 7, f{x) phân tích được thành các thừa
số dạng:
(x- #)(x- #)= XỶ - 2ax + (aŸ +b’)
Do degf{x) > 2 nên f{x) có ít nhất hai thừa số dạng này, mâu thẫu
với f{x) bất khả quy Vậy chỉ có degf{x) < 2
Trang 29
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thẻ Cấp
Hệ quả
1) Mọi đa thức có bậc lớn hơn không trên - đều phân tích được thành tích các đa thức bậc nhất
2) Mọi đa thức bậc lớn hơn không trên đều phân tích được
thành tích các đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc hai với A < 0 2 Tiêu chuẩn đa thức bắt khả quy trên
Để chỉ ra một đa thức trên có bất khả quy hay không là một
van dé nan giải Tiêu chuẩn Eisenstaine đưới đây chỉ là một điều
kiện đú Đề chứng minh tiêu chuẩn đó cần một vải chuẩn bị
Đa thức f{x) thuộc _ [x] bậc lớn hơn không gọi là đa thức nguyên
bán nêu ước chung lớn nhất của tất cả các hệ số của nó bằng 1 Bồ đề Gauss Tích của hai đa thức nguyên bản là một đa thức nguyên bản Chứng mình Cho các đa thức nguyên bản f(x) = ag + ayx + + ax" g(X) = bạ + bịx + + bạx” Ta cần chứng minh Í X)g(X) Cạ + C¡X + + Cu.mX là đa thức nguyên bản
Giá sử trái lại f{x)g(x) không nguyên bản Khi đó tồn tại số nguyên tố p là ước chung của cọ, €ạ, €„‹„ Do f{x), g(x) nguyên
bản nên có các hệ số không chia hết cho p Giả sử a, và b, là các hệ
số đầu tiên của f{x) và g(x) không chia hết cho p Xét hệ số cạ„, của f[x)g(x)
Cụ‹; = 8oÐy¿¡ + + ab) + + ay.,bọ
Vi œ.,: p nên về phải chia hết cho p Trong các số hạng ở về phải trừ ayb, đều chia hết cho p nên suy ra ayb, : p Từ đó ay, hoặc b,
Trang 30
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thể Cap
chia hét cho p Ta gặp mâu thuẫn Vậy f{x)g(x) là đa thức nguyên
ban
Định lí 3 (Tiêu chuẩn Eisenstaine) Đa thức hệ số nguyên bậc lớn hơn không bắt khả quy trên - nếu tồn tại số nguyên tố p sao cho p không là ước của hệ số cao nhất nhưng là ước của tất cả các hệ số còn lại và p” không là ước của hệ số tự do
Chirng minh Gia sur da thire
f(x) = ap + ayX) + + 8X”
thỏa mãn các điều kiện của định lí nhưng không bắt khả quy trên khi đó tồn tại ø (x) h (x) thuộc _ [x] bậc lớn hơn không sao cho f[x) = g (x)h () Bằng cách quy đồng mẫu số và đưa thừa số chung của tử số ra ngoài, ta có ® ” `” 3 a £ g*(x) 5 BX) » h(x) 7 Mx) trong đó a, b, c, d € —, g(x) va h(x) 1a da thie nguyén ban va ta có = ác 1 - f(x) pg BOI) p 6(x)h(x), (A,B) = 1 Theo bé dé Gauss, g(x)h(x) la nguyén ban nén B = +1 (do f(x) có hệ số nguyên) Từ đó ta có Í(X) = ao † aX + + AaX”
= (by + byx + + bx" (cp + )x + 4 ox’) trong k, / > 1 va các hệ số đều nguyên
Vi ag = bạc; : p nên ta có thé giả thiết bạ : p Vi ap khong chia hét
cho pỶ nên khi đó cạ không chia hết cho p
Vi a, = bye, không chia hết cho p nên bự không chia hết cho p Giả
sử b, là số dau tiên trong dãy bạ, bị b, không chia hết cho p Xét
hệ thức
Trang 31
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thé Cap
a, = boc, + + boc) + Ð,cạ
Vi a,, by , b,., chia hét cho p nên suy ra b,cy : p, tir dé b, hoặc cụ
chia hét cho p, Diéu này mâu thuần với gia thiết về b, va co Vay f(x)
bat kha quy
Vi du
Pa thire x* + | 1a bat khả quy nhưng không thỏa mãn tiêu chuẩn
Eisenstaine
Với mọi n > 2 đa thức x” + 2x — 6 là bất khả quy ( theo tiêu chuân Eisestaine với p = 2)
Như vậy trên - tồn tại đa thức bắt khả quy có bậc lớn tùy ý
111.4 UNG DUNG
1 Phân tích đa thức thành nhân tử bất khả quy Không có phương pháp tống quát để phân tích đa thức thành
nhân tử Ta sẽ trình bảy một số phương pháp thông dụng sau đây thông qua các ví dụ
a Phương pháp thực hiện phép chia
Nếu a là nghiệm của đa thức f{x) trên trường số 'ˆ thì f(x) = (x-a)g(x)
Nhờ đó, băng cách tìm nghiệm ta phân tích được đa thức thành
tích bằng phép chia đa thức
Vị dụ 1
Phân tích đa thức f{x) = 2xỶ - 5xÌ + 6x” — x — 14 thành tích (trên ï )
Trang 32Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Dau Thé Cap
Vi x = 2 la nghiém cia 2x° - 7x” + 13x - 14 cho nên chia nỏ cho
Trang 33Khóa luận tốt nghiệp GVHD; PGS TS Dau Thé Cap Đặt t= xỶ + Ñx + 7, ta có f{x) = tít + 8) + 15 =tf+8t+ l5 = (t+ 3)(t + 5) Vay f(x) = (x? + 8x + 10)( x? + 8x + 12) =(x + #x + 10X x+ 2)(x + 6)
c Phương pháp sử dung hằng đăng thức
Trong nhiều trường hợp, sử dụng các hằng đăng thức đáng nhớ ta
biến đôi dễ dàng một tông thành một tích Ví dụ Phân tích đa thức x” + 4 thành tích trên ' và - Trên ':xÌ+4=xÌ!+4x'+4—- 4x = (x? + 2)? ~ (2x)? = (x? + 2x + 2)(x" — 2x + 2) Trén x°+2x+2=x7+2x+1-7 =(x+l}- =(x+l+iXx+l-!) x? -2x+2=x?-2x+1-i? “(X— tỷ ot =(x-1+iXx-1-i) Vay x +4=(x+1+i)(x+1-ilx-1+i(x-1-i 2 Giải các bài toán về tính chắt của số Vị dụ
Cho a = kp, p là số nguyên tố, k nguyên dương không chia hết cho p Chứng minh răng với mọi n 2 2, Va là số vô tỉ
Giải
Trang 34
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: PGS TS Đậu Thế Cắp
Đặt f{x) = x” — a Ta chứng minh đa thức f{x) bất khả quy trên
hay nói cách khác f{x) không có nghiệm trong
Trang 35we
oe
TAI LIEU THAM KHAO
DAU THE CAP, Sé hoc, NXB Giáo dục, 2003
DAU THÊ CÁP Cấu trúc đại số, NXB Giáo dục, 2003 PAU THE CAP, Dai s6 so cap, NXB Giáo dục, 2004
VŨ TUẦN, Đại số sơ cấp, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội I,
Hà Nội, 1995,
Trang 36MUC LUC
Trang
Lời nói đầu
Chương l VÀNH ĐA THỨC MOT AN
TỦ de nộ ì yên 210 0D v2-07210299.0000/7-\0120†)0009Y01V919ƒ.0)200221/)07290 347: I
[.2 Dạng chính tắc của đa thite -scsceceeseseeeresteeeeessersessee l
[.3 Phép toán của đa thức đưới dạng chính tắc 4
Lá, Bắc ca đN e1 d b6 dáqt0 z2 páascuadg 5 L5; DHG De tcaix0s6 546 0i6406005918092916)600A6404gyx6 5
Chương Il Li THUYET CHIA HET TRONG VANH DA THUC
TA) BOA FERRE di CORE, eeeiieeiiaaeieses-ee= 10
II.2 Ước chung lớn nhất - - 5 552 s£scsecvz<š 14
H3, NGi§ệni Ga đề TÔ G ceeesseseeesnsreesenenoeeneseseee 18
In 22
Chương lll ĐA THỨC BÁT KHẢ QUY
III.! Định nghĩa và tính chắt 6 55c se ccccscczcs 24 III.2 Phân tích đa thức thành nhân tử bất khả quy 25 III.3 Tiêu chuẩn đa thức bắt khả quy .-.- - 26
IILA: Ứng ụNG:ác.s— 2022 0022225 G260020020002100086 620366 29