(Luận văn) một số tính chất số học của hệ số nhị thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ THỦY lu an MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC va n CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC p ie gh tn to nl w d oa LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ THỦY lu an MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA HỆ SỐ NHỊ va n THỨC p ie gh tn to d oa nl w an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 nf va Chuyên ngành: z at nh oi lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z @ TS NGUYỄN DUY TÂN m co l gm an Lu Thái Nguyên - 2016 n va ac th si i Mục lục 1 Định lý Kummer Định lý Lucas 1.1 Định lý Kummer 1.1.1 Hệ 1.2 Định lý Lucas 1.2.1 Hệ lu Lời nói đầu an n va tn to Hệ số nhị thức modulo lũy thừa nguyên tố 15 ie gh Mở rộng định lý Wilson p 2.1 15 Một mở rộng định lý Lucas Hệ số nhị thức modulo lũy thừa nguyên tố 2.4 Ví dụ ứng dụng 18 21 oa nl w 2.2 2.3 d 24 an lu 27 27 nf va Định lý Wolstenholme 3.1 Định lý Wolstenholme Mở rộng Định lý Wolstenholme 31 Kết luận z at nh oi lm ul 3.2 38 Tài liệu tham khảo 39 z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời nói đầu Đồng dư số học chủ đề cổ điển ẩn chứa nhiều kết đẹp đẽ sâu sắc, thu hút nghiên cứu nhà tốn học Tính chất đồng dư hệ số nhị thức số Khởi đầu từ phát biểu nhà toỏn ă hc ngi c Ernst Kummer bi bỏo "Uber die Ergăanzungssăatze zu lu den allgemeinen Reciprocităatsgesetzen" cụng b năm 1852, người ta bắt an n va đầu quan tâm đến đồng dư theo modulo nguyên tố hệ số nhị thức, ý nghĩa theo biểu diễn số nguyên tố Nếu phát biểu tn to Kummer nghe tương đối mơ hồ đến năm 1878, nhà tốn học p ie gh Pháp Édouard Lucas serie báo đăng American Journal of Mathematics, Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques, oa nl w phát biểu cách tường minh cho mối liên hệ đồng dư theo modulo nguyên tố hệ số nhị thức với tích hệ số nhị thức tạo thành từ chữ d số biểu diễn thành phần hệ số nhị thức theo số số nguyên tố an lu nf va Không dừng lại việc phát biểu tường minh, kết Lucas làm tiền đề tạo cảm hứng cho mở rộng lm ul z at nh oi Anton (1969), Stickelberger (1890) Hensel (1902) Vẫn dựa biểu diễn thành phần hệ số nhị thức theo số nguyên tố, họ xem xét tính chất đồng dư theo số nguyên tố hệ số nhị thức sau chia z cho lũy thừa bậc cao số nguyên tố chia hết Đây kết đặc sắc, suốt 112 năm từ sau Định lý Lucas, khơng có @ co l gm thêm mở rộng nữa, Granville nâng modulo từ số nguyên tố thành lũy thừa m Một hướng mở rộng khác Định lý Lucas loại bỏ biểu diễn theo số nguyên tố mà liên kết trực tiếp số nguyên tố, số thành phần an Lu hệ số nhị thức bậc lũy thừa cao chia hết hệ số nhị thức n va ac th si số nguyên tố Bắt đầu từ kết Charles Babbage (1819) - mở rộng lên lũy thừa bậc hai cho hệ đặc biệt Định lý Lucas - sau Joseph Wolstenholme mở rộng kết lên bậc ba Được gợi ý từ kết này, Ljunggren (1949) chứng minh kết kiểu Lucas, hệ số nhị thức hai bội số nguyên tố đồng dư với hệ số nhị thức gồm hai thành phần thu sau chia bội cho số nguyên tố kia, theo modulo lũy thừa bậc ba số nguyên tố Kết cuối E Jacobsthal mở rộng kết Ljunggren lên lũy thừa bậc cao lu Luận văn có cấu trúc sau: Mở đầu, ba chương, Kết luận Tài liệu tham khảo an Chương 1: Định lý Kummer Định lý Lucas Chương phát biểu chứng minh hai định lý trên, kèm theo hệ n va gh tn to quả, chứng minh chúng số tập ứng dụng Chương 2: Hệ số nhị thức modulo lũy thừa nguyên tố p ie Chương trình bày hai mở rộng Định lý Wilson, mở rộng nl w Định lý Lucas cuối kết Granville hệ số nhị thức modulo lũy thừa nguyên tố d oa Chương 3: Định lý Wolstenholme Trình bày kết đồng dư hệ số nhị thức với thành phần lu nf va an nguyên tố modulo lũy thừa nguyên tố, từ kết Charles Babbage, tới Định lý Wolstenholme mở rộng Định lý Ljunggren lm ul z at nh oi Luận văn thực hoàn thành vào tháng năm 2016 trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Duy Tân, người tận tình hướng dẫn z suốt q trình làm việc để hồn thành luận văn Tác giả xin gửi @ l gm lời cảm ơn chân thành đến Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện để giúp tác giả học tập hồn thành m co luận văn chương trình thạc sĩ.Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học YB, khóa 06/2014 - 06/2016 động viên giúp đỡ tác an Lu giả q trình học tập hồn thành luận văn này.Đồng thời tác giả n va ac th si xin gửi lời cảm ơn tới Sở GD-ĐT tỉnh Yên Bái, Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Sơn Thịnh tạo điều kiện cho tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả Bùi Thị Thủy lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Định lý Kummer Định lý Lucas Trong chương giới thiệu Định lý Kummer Định lý Lucas, lu an phép chứng minh với ví dụ minh họa số tập ứng dụng hai định lý n va Định lý Kummer gh tn to 1.1 p ie ă Nm 1852, nh toỏn hc c Ernst Kummer bi bỏo "Uber die Ergăanzungssăatze zu den allgemeinen Reciprocităatsgesetzen" ó ch rng w oa nl Định lý 1.1.1 (Kummer) Cho p số nguyên tố, m ≤ n hai số tự d nhiên Khi đó, số tự nhiên k lớn cho pk ước hệ số nhị thức n
m số lần nhớ cộng m n − m theo số p nf va an lu Gọi bxc phần nguyên số thực x z at nh oi lm ul Cho p số nguyên tố Ta ký hiệu v p (n) cho số mũ lũy thừa cao p chia hết n, σ p (n) tổng chữ số n viết theo số p Bổ đề 1.1.2 (Legendre) Cho n ≥ số tự nhiên p số nguyên tố Khi z n − σ p (n) n v p (n!) = ∑ b i c = p p − i≥1 gm @ m co l Chứng minh Vì n! tích tất số tự nhiên từ đến n nên với bội n p số từ đến n ta thừa số p có b c p n Tương tự, từ bội p , ta có thêm b c thừa số p Do lũy thừa p n cao p chia hết n! ∑i≥1 b i c p an Lu n va ac th si Giả sử n = n0 + n1 p + + nt pt biểu diễn n theo số p Khi ta có   t n v p (n!) = ∑ b i c = ∑ (nt pt−i + · · · + ni+1 p + ni ) p i=1 i≥1 t t t = ∑ ∑ njp = j−i i=1 j=i t pj −1 ∑ nj p−1 = = j=1 = p−1 j ∑ ∑ n j p j−i j=1 i=1 t pj −1 ∑ nj p−1 j=0 t ∑ (n j p j − n j ) = j=0 n − σ p (n) p−1 lu an Chứng minh Định lý Kummer Giả sử n = m+r Ta viết ba số theo n va nhớ Dễ thấy n0 = m0 + r0 − pε0 n j = m j + r j + ε j−1 − pε j với gh tn to số p: n = n0 + n1 p + · · · + nt pt , tương tự cho m r Đặt ε j = cộng m r theo số p có nhớ chữ số thứ j, ε j = khơng có p ie j ≥ Khi đó, theo cơng thức ta có d oa nl w   n vp = v p (n!) − v p (m!) − v p (r!) m n − σ p (n) m − σ p (m) r − σ p (r) = − − p−1 p−1 p−1 t mj +rj −nj σ p (m) + σ p (r) − σ p (n) = =∑ p−1 p−1 j=0 nf va an lu lm ul z at nh oi = pε0 + ∑tj=1 pε j − ε j−1 p−1 t = ∑ ε j j=0 z số phép nhớ cộng m n − m theo số p Chứng minh gm @ hoàn tất n va Dễ thấy phép cộng 335 + 245 có hai lần nhớ an Lu 32 = 1125 , 18 = 335 , 14 = 245 m co l Ví dụ 1.1.3 Lấy n = 32, m = 18 Biểu diễn theo số p = ta có ac th si Mặt khác 32
18 = 471435600 = 18877424, v p   32
18 = 2, số lần nhớ 1.1.1 Hệ Dưới số hệ Định lý Kummer
Hệ 1.1.4 Với n số nguyên dương, nk ≡ ( mod n) với ước nguyên tố p ước nguyên tố n mà v p (n) = a, phép trừ n − k theo số p cần a phép mượn
Chứng minh Chú ý nk ≡ ( mod n) n
k ≡0 ( mod pa ),
với ước nguyên tố p n với v p (n) = a Theo Định lý Kummer, nk ≡ lu 0( mod pa ) phép trừ n cho k số p cần a phép mượn an n va gh tn to Hệ 1.1.5 Nếu m, n, k số nguyên dương thỏa mãn gcd(n, k) =
mn k ≡ ( mod n) Chứng minh Giả sử p ước nguyên tố n với v p (n) = a Ta ie p viết k = k0 + k1 p + + kt pt số p Vì gcd(n, k) = nên k0 6= Chú d oa nl w ý mn = mn0 pa với số nguyên n0 Do phép trừ mn cho k theo
số p phải có a phép nhớ Theo Định lý Kummer ta có mn k ≡
mn ( mod pa ) Vì p ước nguyên tố n nên k ≡ ( mod n) an lu Định lý Lucas nf va 1.2 lm ul n
m ( mod p) Định lý z at nh oi Năm 1878, Lucas đưa phương pháp để tính Lucas phát biểu sau z Định lý 1.2.1 Cho m, n hai số tự nhiên, p số nguyên tố Giả sử m, n có biểu diễn theo số p dạng @ an Lu n va   s   n ni ≡∏ ( mod p) m i=0 mi m với ≤ mi , ni ≤ p − 1, co l gm m = m0 + m1 p + · · · + ms ps , n = n0 + n1 p + · · · + ns ps ac th si Ta chứng minh định lý Trước tiên ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.2.2 Cho đa thức f (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ Z[X] Ta viết f (X) ≡ 0( mod p) ≡ 0( mod p) với i = 1, , n Với hai đa thức f (X) g(X) Z[X], ta viết f (X) ≡ g(X)( mod p) f (X) − g(X) ≡ 0( mod p) i i Bổ đề 1.2.3 Với i ≥ 0, ta có (1 + X) p ≡ + X p ( mod p) Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo i Với i = khẳng định hiển nhiên Giả sử khẳng định với i ≥ Ta có (1 + X) pi+1 lu an va  p pi ≡ 1+X ( mod p) p−1   i+1 p pi k ≡ 1+ ∑ X + X p ( mod p) k=1 k n ≡ 1+Xp tn to p
k ( mod p), với k = 1, , p − p ie gh ta có p | i+1 n w Chứng minh Định lý Lucas Ta có d oa nl   n s  n m n pi i X = (1 + X) = (1 + X) ∑ ∏ i=0 m=0 m ! ni   s s i i n i ≡ ∏(1 + X p )ni = ∏ ∑ X mi p ( mod p) i=0 mi =0 mi i=0 ! p−1   s i ni =∏ ∑ X mi p i=0 mi =0 mi ! n s   ni = ∑ ∏ X m ( mod p) m=0 i=0 mi nf va an lu z at nh oi lm ul z n
ni
s ≡ ∏ i=0 mi m ( mod p) gm @ Đồng hệ số hai vế ta m co l Ví dụ 1.2.4 Với n = 57, m = 32, p = 5, ta có n = 57 = 2125 , m = 32 = 1125
2
1
2
Dễ thấy 57 = 9929472283517787 ≡ ( mod 5), 32 1 =2≡ 57
2
1
2
( mod 5), 32 ≡ 1 ( mod 5) an Lu n va ac th si 25
TH1: n0 < m0 Khi mn00 = Ta có phép cộng M R số p cấn phép nhớ (phép nhớ vị trí hàng đơn vị hàng chục) Do theo Định lý Kummer ta có      N n n0 ≡0= ( mod p2 ) M m m0 TH 2: n0 ≥ m0 Khi a có r1 = biểu diễn số p r := n − m r = rs rs−1 · · · r2 Gọi k số phép nhớ cộng r với m số p Khi k số lu phép nhớ cộng cộng M với R số p Nếu k ≥ 2, theo Định lý Kummer ta có an va n      N n n0 ≡0≡ ( mod p2 ) M m m0 gh tn to Nếu k = 1, theo Định lý 2.2.1 (áp dụng cho hai cặp (N, M) (n, m)), ie p ta có         0! n2 ! ns ! N n0 ! ··· ( mod p2 ) ≡ (−1)p m !r ! 0!0! m !r ! m !r ! M  0   2  s s n0 ! n2 ! ns ! ≡ (−1)p ··· ( mod p2 ) m !r0 ! m2 !r2 ! ms !rs !  0  n0 n ≡ ( mod p2 ) m0 m d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi Nếu k = 0, Định lý 2.3.3 (áp dụng hai lần), ta có z   (0ns !) p (ns ns−1 !) p (n3 n2 !) p N ≡ ··· M (0ms !) p (0rs !) p (ms ms−1 !) p (rs rs−1 !) p (m3 m2 !) p (r3 r2 !) p (n2 0!) p (0n0 !) p ( mod p2 ) (m 0!) (r 0!) (0m0 !) p (0r0 !) p  2 p p   (pn2 !) p n n0 ≡ ( mod p2 ) m (pm2 !) p (pr2 !) p m0 m co l gm @ an Lu n va ac th si 26 ((pn2 )!) p ≡ 1(mod p2 ) Ta có ((pm2 )!) p ((pr2 )!) p n (pn2 )! = ((pn2 )!) p p n2 ! Ta có đẳng thức tương tự cho m2 r2 Chú ý rẳng n2 = m2 + r2 k = Do Như ta cần chứng minh     ((pn2 )!) p n2 pn2 = ((pm2 )!) p ((pr2 )!) p m2 pm2 Từ Bài tập (Chương 1), ta có  0≡       ((pn2 )!) p pn2 n2 n2 − = −1 ( mod p2 ) pm2 m2 ((pm2 )!) p ((pr2 )!) p m2 lu
Rõ ràng mn22 p nguyên tố (vì ≤ m2 ≤ n2 ≤ p − 1) Do ((pn2 )!) p ≡ 1( mod p2 ), điều phải chứng minh ((pm2 )!) p ((pr2 )!) p an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 27 Chương Định lý Wolstenholme Trong chương chúng tơi trình bày Định lý Babbage, Định lý Wol- lu an stenholme Định lý Jacobsthal Các định lý phát biểu sau mở rộng định lý phát biểu trước Tuy nhiên chúng tơi khơng trình bày n va tn to chứng minh cho định lý tổng quát (Định lý Jacobsthal), mà trình bày chứng minh chứng minh tất định lý Có hai lý ie gh cho việc Thứ nghĩ bạn đọc quan tâm đến p định lý cụ thể định lý trên, đọc trực tiếp chứng minh định lý mà không cần quan tâm đến định lý sau Thứ hai, w d oa nl chứng minh định lý sau việc làm mịn kỹ thuật chứng minh định lý dễ trước Chúng tơi hy vọng việc trình bày chứng minh lu nf va an định lý yếu làm cho việc đọc hiểu chứng minh định lý tổng quát (chẳng hạn Định lý Jacobsthal) cách dễ dàng lm ul 3.1 Định lý Wolstenholme z at nh oi z Với số nguyên dương n = n0 + n1 p + · · · + nd pd , ≤ ni ≤ p − 1, theo
2p
Định lý Lucas ta có np ≡ n ≡ n( mod p) Nói riêng, ta có p ≡ 1( mod p
p) Năm 1819, Babbage 2p p ≡ 2( mod p ) với số nguyên tố p ≥ l gm @ an Lu   2p ≡ 2( mod p2 ) p m co Định lý 3.1.1 (Babbage) Cho p ≥ số nguyên tố Khi n va ac th si 28 Ta chứng minh định lý Định nghĩa 3.1.2 Cho hai số hữu tỷ a b Ta nói a ≡ b( mod ps ) số a−b hữu tỷ s dạng thu gọn có tử số khơng chia hết cho p p 1 Với n ≥ 1, đặt H(n) = + + · · · + n Bổ đề 3.1.3 Cho p ≥ số nguyên tố Khi 1 H(p − 1) = + + · · · + ≡ 0( mod p) p−1 Chứng minh Ta có lu p−1  an  1 2H(p − 1) = ∑ + i p−i i=1  p−1  p =∑ i=1 i(p − i) n va gh tn to p−1 ie i=1 i(p − i) A =p , (p − 1)! p =p∑ d oa nl w nf va an lu M A số tự nhiên Ta viết H(p − 1) = dạng tối giản Khi N pAN = 2(p − 1)!M Do p chia hêt 2(p − 1)!M, (p, 2(p − 1)!) = Suy M ≡ 0( mod p), điều phải chứng minh lm ul z at nh oi Chứng minh Định lý Babbage Điều cần phải chứng minh tương đương với khẳng định   2p − ≡ 1( mod p2 ) p−1 z m co l gm @ an Lu n va ac th si 29 Ta chứng minh khẳng định Ta có   2p − (p + 1)(p + 2) · · · (2p − 1) = p−1 · · · · (p − 1) p + p + 2p − = ··· p−1     p p ··· 1+ = (1 + p) + p−1 p−1 = + p ∑ ( mod p2 ) i=1 i p−1 Theo Bổ đề 3.1.3, ta có H(p − 1) = ∑ i=1 i ≡ 0( mod p) Do lu an n va   2p − ≡ 1( mod p2 ), p−1 gh tn to điều phải chứng minh p ie Năm 1862, Wolstenholme đưa kết sau nl w Định lý 3.1.4 (Wolstenholme) Cho p ≥ số nguyên tố Khi d oa   2p ≡ 2( mod p3 ) p an lu nf va Ta chứng minh Định lý Ta cần số bổ đề sau lm ul Bổ đề 3.1.5 Cho p ≥ số nguyên tố Khi z at nh oi 1+ 1 + +···+ ≡ 0( mod p) 2 (p − 1)2 z Chứng minh Vì p 6= 2, nên hai tập sau trùng gm @ co l {số dư 2i cho p | i = 1, 2, , p − 1} = {1, 2, , p − 1} m Chú ý với i = 1, 2, , p − 1, r số dư 2i chia cho p, an Lu n va ac th si 30 ta có 1 ≡ ( mod p) Do (2i) r p−1 ∑ i=1 Suy p−1 1 p−1 ≡∑ = ∑ ( mod p) i2 i=1 (2i)2 i=1 i p−1 ∑ ≡ 0( mod p) Vì p 6= 2, 3, nên ta có i=1 i2 p−1 ∑ i2 ≡ 0( mod p), i=1 điều phải chứng minh lu an Bổ đề 3.1.6 Cho p ≥ số nguyên tố Khi va n 1 1+ + +···+ ≡ 0( mod p2 ) p−1 gh tn to p ie Chứng minh Như chứng minh Bổ đề 3.1.3, ta có 2H(p − 1) = p ∑ nl w p−1 d oa i=1 p−1 1 ≡ p ∑ − ( mod p2 ), i(p − i) i=1 i lu Bổ đề 3.1.5, ta suy nf va an với i = 1, 2, , p − 1, ta có 1 ≡ ( mod p) Kết hợp với i(p − i) i(−i) lm ul p−1 ≡ 0( mod p2 ) i2 z at nh oi 2H(p − 1) ≡ −p ∑ i=1 Suy H(p − 1) ≡ 0( mod p2 ), điều phải chứng minh z @ m co ≡ 0( mod p) 1≤i< j≤p−1 i j ∑ l gm Bổ đề 3.1.7 Cho p ≥ số nguyên tố Khi an Lu n va ac th si 31 Chứng minh Ta có ∑ ij = 1≤i< j≤p−1 p−1 ∑ i=1 i !2 p−1 ∑ i2 ≡ 0( mod p), − i=1 theo Bổ đề 3.1.3 Bổ đề 3.1.5 Từ suy điều phải chứng minh Chứng minh Định lý Wolstenholme Như chứng minh Định lý Babbage, ta có      2p − p p = (1 + p) + ··· 1+ p−1 p−1 p−1 lu ≡ 1+ p ∑ an i=1 1 + p2 ( mod p3 ) ≡ 1( mod p3 ), ∑ i 1≤i< j≤p−1 i j va n theo Bổ đề 3.1.6 Bổ đề 3.1.7 Do 2p
p ≡ 2( mod p ) gh tn to 3.2 Mở rộng Định lý Wolstenholme p ie oa nl w Trong mục ta giả sử p số nguyên tố p ≥ Năm 1952 Ljunggren đưa mở rộng Định lý Wolstenholme d Định lý 3.2.1 (Ljunggren) Cho n > k > số nguyên Khi nf va an lu     np n ≡ ( mod p3 ) kp k lm ul z at nh oi Ta chứng minh Định lý Ljunggren Trước tiên ta có bổ đề sau, chứng minh bổ đề tương tự chứng minh Định lý Wolstenholme Bổ đề 3.2.2 Cho p ≥ số nguyên tố, n số tự nhiên Khi z @ m co l gm   np − ≡ 1( mod p3 ) p−1 an Lu n va ac th si 32 Chứng minh   np − ((n − 1)p + 1)((n − 1)p + 2) · · · ((n − 1)p + p − 1) = p−1 · · · · (p − 1)     (n − 1)p (n − 1)p = (1 + (n − 1)p) + ··· 1+ p−1 p−1 ≡ + (n − 1)p ∑ i=1 1 + (n − 1)2 p2 ( mod p3 ) ∑ i 1≤i< j≤p−1 i j ≡ 1( mod p3 ), theo Bổ đề 3.1.6 Bổ đề 3.1.7 Chứng minh Định lý Ljunggren Ta có lu an n va   np ((n − k)p + 1)((n − k)p + 2) · · · (np) = · · · · (kp) kp k−1 to ((n − k + i)p + 1) · · · ((n − k + i)p + p − 1)((n − k + i)p + p) (ip + 1) · · · (ip + p − 1)(ip + p) i=0 gh tn =∏ p ie k−1 d oa nl w ((n − k + i)p + 1) · · · ((n − k + i)p + p − 1) k−1 n − k + i + =∏ ∏ i+1 (ip + 1) · · · (ip + p − 1) i=0 i=0   k−1 n ((n − k + i)p + 1) · · · ((n − k + i)p + p − 1) = ∏ k i=0 (ip + 1) · · · (ip + p − 1) lu ta có nf va an Để chứng minh Định lý, ta cần chứng với i = 0, , k − 1, lm ul z at nh oi ((n − k + i)p + 1) · · · ((n − k + i)p + p − 1) ≡ 1( mod p3 ) (ip + 1) · · · (ip + p − 1) Nhưng điều theo Bổ đề 3.2.2, ta có z m co l gm @   (n − k + i + 1)p − ((n − k + i)p + 1) · · · ((n − k + i)p + p − 1) = p−1 · · · (p − 1)   (i + 1)p − ≡1≡ p−1 (ip + 1) · · · (ip + p − 1) = ( mod p3 ) · · · (p − 1) an Lu n va ac th si 33 Ta kết thúc chứng minh Hơn Jacobsthal chứng minh kết mạnh sau Định lý 3.2.3 (Jacobsthal) Cho n > k > số nguyên Khi     np n ≡ ( mod pe ), kp k e = + v p (n) + v p (k) + v p (n − k) + v p ( n
k ) Ta chứng minh Định lý Jacobsthal Để cho tiện, ta đặt α = v p (n),
β = v p (k), γ = v p (n − k) δ = v p ( nk ) lu Bổ đề 3.2.4 Ta ln có γ ≥ min{α, β } Hơn α 6= β γ = min{α, β } an n va Chứng minh Ta viết n = pα a k = pβ b, (p, a) = (p, b) = Khi tn to n − k = pα a − pβ b chia hết cho pmin{α,β } Do γ ≥ min{α, β } Bây ta giả sử α 6= β Ta giả sử α > β (Trường hợp α < β p ie gh lập luận tương tự.) Khi n − k = pβ (pα−β a − b) chia hết cho pβ không chia hết cho pβ +1 Do γ = β = min{α, β } d oa nl w Gọi tập S tập số nguyên từ đến kp mà không chia hết cho p, tức S = {1, 2, , kp} \ {p, 2p, , kp} ∑ i2 ≡ 0( mod pβ +1) i∈S nf va an lu Bổ đề 3.2.5 Ta có z at nh oi lm ul Chứng minh Ta viết k = pβ m với (p, m) = Ta gọi S0 tập số nguyên từ đến pβ +1 mà khơng chia hết cho p Khi S hợp rời tập z j + S0 = {pβ +1 j + s | s ∈ S0 }, với j = 0, 1, , m − 1 Ta đặt A = ∑ A0 = ∑ Khi i∈S i i∈S0 i @ m−1 A ≡ ∑ ∑ ≡ ∑ ∑ = mA0 ( mod pβ +1 ) j=0 i∈ j+S0 i j=0 i∈S0 i Vì p 6= nên ta có tập sau trùng an Lu n va {số dư 2i cho pβ +1 | i ∈ S0 } = S0 m co l gm m−1 ac th si 34 (Xét ánh xạ từ S0 đến S0 đưa phần từ i thành số dư 2i cho pβ +1 Dễ thấy ánh xạ đơn ánh, song ánh.) Do 1 = A0 ( mod pβ +1 ) i∈S (2i) A0 ≡ ∑ Suy 3A0 /4 ≡ 0( mod pβ +1 ) Vì p 6= 3, nên ta có A0 ≡ 0( mod pβ +1 ) Do A ≡ 0( mod pβ +1 ) Bổ đề 3.2.6 Ta có ∑ i ≡ 0( mod p2β +2) i∈S Chứng minh Ta có lu an   1 1 + = kp ∑ 2∑ = ∑ kp − i i∈S i i∈S i(kp − i) i∈S i n va p ie gh tn to 1 1 Vì + = kp ≡ 0( mod pβ +1 ), nên ≡ − ( mod pβ +1 ) i kp − i i(kp − i) i kp − i Kết hợp với Bổ đề trên, ta suy ≡ 0( mod pβ +1 ) d oa nl w 1 ≡ − ∑ i2 ( mod pβ +1) ∑ i(kp − i) i∈S i∈S nf va an lu Do i∈S i∈S z at nh oi Bổ đề 3.2.7 Ta có lm ul ∑ i = kp ∑ i(kp − i) ≡ 0( mod p2β +2) ≡ 0( mod pβ +1 ) , j∈S;i< j i j ∑ z !2 ≡ 0( mod pβ +1 ), i∈S i m co −∑ l ∑i i∈S gm ∑ ≡ 0( mod pβ +1 ) = , j∈S;i< j i j @ Chứng minh Ta có an Lu theo hai Bổ đề n va ac th si 35 Chứng minh Định lý Jacobsthal Ta đặt r = n − k xét đa thức kp−k x F(x) = ∏(1 + ) = + ∑ Fj x j i i∈S j=1 Khi theo Bổ đề ta có F1 ≡ 0( mod p2β +2 ) F2 ≡ 0( mod pβ +1 ) Theo Bổ đề, xảy ba trường hợp: (TH1) γ ≥ α = β ; (TH2) β > α = γ; (TH3) α > β = γ Trường hợp 1: γ ≥ α = β Ta có   np (rp + 1)(rp + 2) · · · (rp + kp) = , kp · · · · (kp) lu an n va   n (r + 1) · · · (r + k) (rp + p)(rp + 2p) · · · (rp + kp) = = k 1···k p · 2p · · · kp tn to p ie gh Do d oa nl w       np n rp + i n = = F(rp) ∏ kp k i∈S i k   n ≡ (1 + F1 rp + F2 r2 p2 )( mod p3γ+3+δ ) k an lu Ta có F1 rp chia hết cho p2β +3+γ = p3+α+β +γ F2 r2 p2 chia hết cho p3+β +2γ = pγ−α p3+α+β +γ Do nf va z at nh oi lm ul     np n = ( mod p3+α+β +γ+δ ) kp k Trường hợp 2: β > α = γ Như Trường hợp 1, ta có z     np n ≡ (1 + F1 rp + F2 r2 p2 )( mod p3γ+3+δ ) kp k gm @ m co l Ta có F1 rp chia hết cho p2β +3+γ = pβ −α p3+α+β +γ F2 r2 p2 chia hết cho p3+β +2γ = p3+α+β +γ Do an Lu n va     np n = ( mod p3+α+β +γ+δ ) kp k ac th si 36 Trường hợp 3: α > β = γ Ta có   np (np)(np − 1) · · · (np − kp + 1) = , kp · · · · (kp)   n n(n − 1) · · · (n − k + 1) (np)(np − p) · · · (np − kp + p) = = k 1···k p · 2p · · · kp Do         np n np − i n n np = = (−1)kp−k ∏(1 − ) = F(−np) ∏ kp k i∈S i k i k i∈S lu an Ta có n va F(−np) ≡ − F1 np + F2 n2 p2 ( mod p3α+3 ), tn to F1 np chia hết cho p3+α+2β = p3+α+β +γ F2 n2 p2 chia hết cho p3+2α+β = ie gh pα−γ pα+β +γ Do p     np n = ( mod p3+α+β +γ+δ ) kp k oa nl w d Hệ 3.2.8 Ta có  ps+1 ≡ ps ( mod p2s+3 ) p nf va an lu  p( mod p5 ) z at nh oi p2
p ≡ lm ul Nói riêng, Chứng minh Ta áp dụng Định lý Jacobsthal với n = ps k = Khi  s p e = + v p (p ) + v p (1) + v p (p − 1) + v p ( ) s z s m co Và khẳng định suy từ Định lý Jacobsthal l gm @ = + s + + + s = 2s + an Lu n va ac th si 37 Hệ 3.2.9 Cho s ≥ Ta có    s  ps+1 p ≡ ( mod p3s+2 ) s s−1 p p p3
p2
≡ p ( mod p ) p2 Nói riêng Chứng minh Ta áp dụng Định lý Jacobsthal với n = ps k = ps−1 Chú ý theo Định lý Ljunggren, ta có  ps lu Do v p ( ps−1   s−1  ps p ≡ ≡ · · · ≡ p( mod p3 ) s−1 p ps−2
) = Do an n va  s  p e = + v p (ps ) + v p (ps−1 ) + v p (ps − ps−1 ) + v p ( s−1 ) p tn to = + s + s − + s − + = 3s + ie gh p Và khẳng định suy từ Định lý Jacobsthal d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 38 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau - Phát biểu chứng minh Định lý Kummer, Định lý Lucas đồng dư hệ số nhị thức modulo nguyên tố, đưa tập ứng dụng lu an - Trình bày kết tổng quát Định lý Wilson, Định lý Lucas cho đồng dư hệ số nhị thức modulo lũy thừa nguyên tố n va lý Babbage, Định lý Wolstenholme, Định lý Jacobsthal p ie gh tn to - Phát biểu chứng minh kết đồng dư hệ số nhị thức với hệ số nguyên tố modulo nguyên tố lũy thừa nguyên tố Định d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 39 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] D F Bailey (1990), “Two p3 variations of Lucas’ theorem”, J Number Theory 35, pp 2008-2015 lu an [2] K.S Davis and W.A Webb (1990), “Lucas’s theorem for prime n va powers”, Europ J Combinatorics 11, pp 229-233 tn to [3] I M Gessel (1983), “Some congruence for generalized Euler num- ie gh ber”, Can J Math Vol XXXV, no 4, pp 687-709 p [4] A Granwille (1995), “Arithmetic properties of binomial coefficients I Binomial coefficient modulo prime powers”, in Or- w oa nl ganic mathematics (Burnaby, BC), pp 253-276, CMS Conf Proc., d 20, Amer Math Soc., Providence, RI Download tài liệu tại: http://www.dms.umontreal.ca/ andrew/Binomial/ nf va an lu [5] K Kokhas, A Mogileva (2012), “Amazing properties of binomial z at nh oi lm ul coefficients.” The project is proposed by K Kokhas, A Mogileva, at 24th summer conference International mathematical Tournament of towns, Teberda, Karachai-Cherkess Download tài liệu http://www.turgor.ru/lktg/2012/1/1-1en.pdf z m co l gm @ an Lu n va ac th si