(Luận văn thạc sĩ) tính chất tiệm cận của lũy thừa các ideal

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ lu an n va Lê Minh Thuận p ie gh tn to d oa nl w TÍNH CHẤT TIỆM CẬN CỦA LŨY THỪA CÁC IDEAL an lu oi lm ul nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu n va Hà Nội – 2023 ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ lu an n va Lê Minh Thuận to p ie gh tn TÍNH CHẤT TIỆM CẬN CỦA LŨY THỪA CÁC IDEAL oa nl w d Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số lu nf va an Mã số: 8460104 oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: z m co l gm @ TS Nguyễn Đăng Hợp an Lu n va Hà Nội - 2023 ac th si i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Đăng Hợp Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa cơng bố phương tiện lu Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan an n va Hà Nội, tháng năm 2023 p ie gh tn to Học viên d oa nl w Lê Minh Thuận oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Đăng Hợp, người trực tiếp hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy thời gian dài Thầy quan tâm, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu lu an Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cơ, anh chị, bạn bè Viện Tốn học va giúp đỡ, góp ý tạo điều kiện trình học tập, nghiên cứu để n gh tn to thực tốt luận văn p ie Tơi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học oa nl w Cơng nghệ Việt Nam q trình thực luận văn d Đặc biệt, xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè ln sát cánh, lu ul nf va an động viên khích lệ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu oi lm Hà Nội, tháng năm 2023 Học viên z at nh z m co l gm @ Lê Minh Thuận an Lu n va ac th si iii Mục lục lu an Lời cam đoan i n va Lời cảm ơn ii tn to ie gh Mở đầu p Kiến thức chuẩn bị Iđêan nguyên tố liên kết nl w 1.1 Dãy quy 1.3 Hàm độ sâu 1.4 Chiều Krull 1.5 Vành Cohen-Macaulay 12 1.6 Bổ đề Artin-Rees d oa 1.2 ul nf va an lu oi lm 14 z at nh Tính chất tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết hàm độ sâu lũy thừa iđêan z 2.1 Sự ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết 2.2 Sự ổn định tiệm cận hàm độ sâu 2.3 Ví dụ gm 23 l 25 m co 29 an Lu Hàm độ sâu tổng iđêan 3.1 19 @ 19 Tổng iđêan 29 n va ac th si iv 3.2 Hàm độ sâu tổng iđêan 30 3.3 Ví dụ 45 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Nghiên cứu lũy thừa iđêan vấn đề quan trọng Đại số giao hốn, có mối liên hệ chặt chẽ với Hình học Đại số, Lý thuyết kì dị Đại số tổ hợp Vấn đề bắt đầu nghiên cứu Hilbert Samuel Ở chúng tơi nghiên cứu tính ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết lu hàm độ sâu lũy thừa iđêan an Cho R vành đa thức phân bậc chuẩn trường k , I iđêan n va vành R, M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Luận văn tập trung to gh tn vào tính chất R–môđun R/I n M/I n M với n số nguyên dương đủ lớn Chúng trình bày lại kết kinh điển Brodmann [1, 2] ổn ie p định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết hàm độ sâu M/I n M d oa sau nl w (tương tự với R/I n ) Một vấn đề hàm độ sâu lũy thừa iđêan an lu Cho A B vành đa thức phân bậc chuẩn trường k , I, J va iđêan khác 0, vành A, B Đặt R = A ⊗k B I + J biểu ul nf thị IR + JR, iđêan vành R Vấn đề đặt ước lượng bất oi lm biến I + J theo bất biến tương ứng I J Chúng xin giới thiệu cơng trình gần Hà Huy Tài, Ngô Việt Trung, Trần Nam Trung [3] z at nh hàm độ sâu lũy thừa I + J Nói riêng, cơng trình cho phép xác định z giá trị giới hạn depth(R/(I + J)n ) với n đủ lớn Các kết luận l Cấu trúc luận văn gồm chương gm @ văn kèm với số ví dụ minh họa m co Trong chương 1, nhắc lại số kiến thức iđêan nguyên tố an Lu liên kết Tiếp theo chương nhắc lại định nghĩa số kết thơng dụng dãy quy hàm độ sâu Ngồi chương trình bày n va ac th si số kết chiều Krull, vành Cohen-Macaulay Bổ đề Artin-Rees Trong chương 2, chứng minh ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết Ass(M/I n ) với n đủ lớn, từ ổn định hàm độ sâu depth(M/I n M ) Một số ví dụ đưa để minh họa cho kết Trong chương 3, chúng tơi trình bày lại chứng minh số kết giá trị giới hạn depth(R/(I + J)n ) với n đủ lớn Kết thúc chương ví dụ minh họa cho kết lu Cơng cụ chứng minh luận văn đại số Rees an va n Rees(I) = R ⊕ It ⊕ I t2 ⊕ , tn to gh cụ thể tính Noether tính phân bậc chuẩn p ie Ngồi ra, chúng tơi khai thác bổ đề độ sâu (Depth lemma) cho biết tính w chất hàm độ sâu dãy khớp ngắn Cuối cùng, sử dụng d oa nl tính khớp tích tenxơ trường oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu an n va to Trong chương này, chúng tơi nhắc lại số khái niệm, tính chất gh tn iđêan nguyên tố liên kết, dãy quy hàm độ sâu mơđun p ie Ngồi chúng tơi nhắc lại số kiến thức sở chiều Krull vành Cohen-Macaulay Bổ đề Artin-Rees trình bày phần oa nl w Tài liệu tham khảo phần Bruns-Herzog [4] Matsumura [5] d an lu Iđêan nguyên tố liên kết ul nf va 1.1 oi lm Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành giao hoán, M R-môđun Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M z at nh tồn phần tử a ∈ M , a ̸= cho z gm @ p = (0 :R a) = annR (a) m co l Tập iđêan nguyên tố liên kết R-mơđun M kí hiệu AssR M Ví dụ 1.1.2 a) Xét Z/60Z Z-môđun Dễ thấy an Lu n va AssZ Z/60Z = {2Z, 3Z, 5Z} ac th si b) Xét R = R[x], M = R Khi AssR M = {0} Hệ sau suy trực tiếp từ định nghĩa Hệ 1.1.3 Nếu N R-môđun M AssR N ⊆ AssR M Với M R-môđun, ta định nghĩa lu an va Ann M = {x ∈ R : xm = ∀m ∈ M }, n Supp M = {p ∈ Spec R : Mp ̸= 0} tn to p ie gh Bổ đề 1.1.4 Ass M ⊆ Supp M oa nl w Chứng minh Với p ∈ Ass M , ta có p = annR (x) với x ∈ M \ {0} Khi x Mp ̸= phần tử ̸= 0, p ∈ Supp M d Định lý 1.1.5 ([6, Chương 4, Mệnh đề 2.23]) Cho M R-môđun Khi lu va an oi lm ul nf a) Nếu M = AssR M = ∅ b) Nếu M ̸= R vành Noether AssR M ̸= ∅ z at nh c) Nếu p iđêan nguyên tố vành R AssR R/p = {p} l gm @ b) Xét tập hợp z Chứng minh a) Hiển nhiên m co Σ = {annR (x) : x ∈ M \ {0}} an Lu họ iđêan R Do R vành Noether, Σ tồn phần tử cực đại I = annR (x0 ) Hiển nhiên I ̸= R Ta chứng minh I iđêan nguyên tố n va ac th si 33 Chú ý R/Q0 = R/I n , ta có depth R/Q0 = depth A/I n + s ≥ depth A/I n + depth B/J Theo Bổ đề 3.2.2, Qi /Qi−1 ∼ = I n−i J i /I n−i+1 J i Ta có dãy khớp → Qi /Qi−1 → R/I n−i+1 J i → R/I n−i J i → lu Do an n va depth Qi /Qi−1 ≥ min{depth R/I n−i J i + 1, depth R/I n−i+1 J i } to p ie gh tn Với i = 1, 2, , n − 1, áp dụng Bổ đề 3.2.3, ta suy depth Qi /Qi−1 − ≥ min{depth A/I n−i + depth B/J i + 1, oa nl w depth A/I n−i+1 + depth B/J i } d Với i = n, ý an lu oi lm Suy ul nf va depth R/J n = r +depth B/J n ≥ depth A/I +depth B/J n +1 = depth R/IJ n z at nh depth Qn /Qn−1 − ≥ depth R/IJ n − = depth A/I + depth B/J n z gm @ Vậy ta có điều phải chứng minh Tiếp theo đến với kết cần thiết tích tenxơ hai môđun m co l trường an Lu Bổ đề 3.2.7 Cho A, B hai vành đa thức trường k , đặt R = A ⊗k B n va ac th si 34 Cho M, N hai môđun phân bậc hữu hạn sinh A, B Khi depth(M ⊗k N ) = depth M + depth N Chứng minh Gọi m, n tương ứng iđêan phân bậc cực đại A, B Ta chứng minh cách quy nạp theo depth M + depth N Trước tiên, giả sử depth M = depth N = 0, ta depth(M ⊗k N ) = Do depth M = 0, m ∈ Ass M , tức tồn a ∈ M \{0} cho a = annA a lu an Tương tự ta có n = annB b với phần tử b ∈ N \ {0} Khi va n mT + nT ⊆ annT (a ⊗k b) tn to ie gh Vì k trường, a, b ̸= nên suy a ⊗k b ̸= ∈ M ⊗k N Như depth(M ⊗k p N ) = nl w Giả sử kết luận với depth M + depth N ≤ s − 1, với s ≥ oa Xét trường hợp depth M + depth N = s Ta giả sử depth M ≥ 1, d tồn phần tử x ∈ m, cho x phần tử M -chính quy va an lu Ta có dãy khớp ·x oi lm ul nf 0→M − → M → M/xM → Dựa vào tính phẳng A ⊗k N A, ta thu dãy khớp z at nh → M ⊗k N → M ⊗k N → M/xM ⊗k N → z m co l gm @ Như x phần tử M ⊗k N -chính quy Bên cạnh ta có (M ⊗k N )/x(M ⊗k N ) ∼ = (M/xM ) ⊗k N Lại có depth(M/xM ) + depth N = depth M + depth N − = s − an Lu n va ac th si 35 Theo giả thiết quy nạp, ta có depth((M/xM ) ⊗k N ) = s − depth(M ⊗k N )/x(M ⊗k N ) = depth((M/xM ) ⊗k N ), depth(M ⊗k N ) − = s − 1, depth(M ⊗k N ) = s = depth M + depth N Vậy depth(M ⊗k N ) = depth M + depth N lu Trong phần tiếp theo, trình bày mối liên hệ hàm độ sâu an n va (I + J)n /(I + J)n+1 với hàm độ sâu hạng tử I, J Các kết đóng vai trị quan trọng việc giá trị tới hạn hàm độ sâu R/(I + J)n tn to ie gh Bổ đề 3.2.8 I i /I i+1 ⊗k J j /J j+1 ∼ = I i J j /(I i+1 J j + I i J j+1 ) p Trước chứng minh Bổ đề 3.2.8, đến với bổ đề sau w P ∼ M ⊗k P = N M ⊗k N d oa nl Bổ đề 3.2.9 Cho M, P, N k -môđun, N ⊆ P , ta có M ⊗k va an lu Chứng minh Xét dãy khớp P → N oi lm ul nf 0→N →P → Do M k -mơđun tự do, ta có dãy khớp z at nh → M ⊗k N → M ⊗k P → M ⊗k m co l gm @ P ∼ M ⊗k P = N M ⊗k N z Từ ta có M ⊗k P → N an Lu n va ac th si 36 Chứng minh Bổ đề 3.2.8 Áp dụng Bổ đề 3.2.9, ta có i I /I i+1 j ⊗k J /J j+1 I i /I i+1 ⊗k J j ∼ (I i ⊗k J j )/(I i+1 ⊗k J j ) ∼ = i i+1 = i I /I ⊗k J j+1 (I ⊗k J j+1 )/(I i+1 ⊗k J j+1 ) (I i J j )/(I i+1 J j ) ∼ = i j+1 (I J )/(I i+1 J j+1 ) Mặt khác ta có lu (I i J j+1 )/(I i+1 J j+1 ) = (I i J j+1 )/(I i J j+1 ∩ I i+1 J j ) an n va ∼ = (I i J j+1 + I i+1 J j )/(I i+1 J j ) to gh tn Do ie i p I /I i+1 j ⊗k J /J j+1 ∼ = w I iJ j (I i J j )/(I i+1 J j ) ∼ = (I i J j+1 + I i+1 J j )/(I i+1 J j ) I i J j+1 + I i+1 J j d oa nl Vậy chứng minh kết thúc n n+1 lu Mệnh đề 3.2.10 (I + J) /(I + J) ∼ = M (I i /I i+1 ⊗k J j /J j+1 ) nf va an i+j=n n ul Chứng minh Ta có (I + J) = n X I i J n−i Ta với ≤ i ≤ n \ X 0≤j≤n,j̸=i
I j J n−j + (I + J)n+1 ⊆ (I + J)n+1 (3.1) z at nh I i J n−i oi lm i=0 z m co l gm @ Chú ý (I + J)n+1 ⊆ I i+1 + J n−i+1 Hơn J n−j ⊆ J n−i+1 , I t ⊆ I i+1 an Lu n va ac th si 37 j < i < t, i n−i IJ \ X I j J n−j + (I + J)n+1
0≤j≤n,j̸=i =I i J n−i \   X X  I j J n−j + I j J n−j + (I + J)n+1  ji (I i+1 + J n−i+1 ) (3.2) lu an Chú ý với ba iđêan I1 , I2 , I3 vành R va n I1 ∩ (I2 + I3 ) ⊆ (I2 ∩ (I1 + I3 )) + (I3 ∩ (I1 + I2 )) tn to p ie gh Với I1 = I i J n−i , I2 = I i+1 , I3 = J n−i+1 , dễ thấy Như d oa nl w I1 + I3 ⊆ J n−i , I1 + I2 ⊆ I i lu \ (I i+1 + J n−i+1 ) ⊆ I i+1 ∩ J n−i + J n−i+1 ∩ I i va an I i J n−i nf = I i+1 J n−i + I i J n−i+1 Chú ý oi lm ul (3.3) z at nh I i J n−i ∩ (I + J)n+1 = I i+1 J n−i + I i J n−i+1 (3.4) z m co l gm @ an Lu n va ac th si 38 Kết hợp (3.2), (3.3) (3.4), ta chứng minh (3.1) Do n n+1 (I + J) /(I + J) M I i J n−i + (I + J)n+1 M I i J n−i ∼ = = n+1 (I + J) I i J n−i ∩ (I + J)n+1 i+j=n i+j=n M I i J n−i ∼ = (I i /I i+1 ⊗k J j /J j+1 ) = i+1 j i i+1 I J +I J i+j=n i+j=n M lu an Bổ đề 3.2.11 Cho (R, m) vành Noether địa phương, M1 , , Mn n va R-môđun hữu hạn sinh Ta có to gh tn depth n M Mi = min{depth Mi : ≤ i ≤ n} i=1 ie p Chứng minh Ta cần chứng minh bổ đề với n = 2, tức depth(M1 ⊕ M2 ) = nl w min{depth M1 , depth M2 } Khơng tính tổng qt, ta giả sử depth M1 ≤ d oa depth M2 Xét dãy khớp oi lm ul Từ dãy khớp ta có nf va an lu → M1 → M1 ⊕ M2 → M2 → z at nh depth(M1 ⊕ M2 ) ≥ min{depth M1 , depth M2 } = depth M1 depth(M1 ) ≥ min{depth(M1 ⊕ M2 ), depth M2 + 1} z @ l gm Nếu depth(M1 ⊕ M2 ) ≥ depth M2 + 1, ta suy m co depth M1 ≥ depth M2 + > depth M2 , an Lu n va ac th si 39 trái với giả sử depth M1 ≤ depth M2 Do min{depth(M1 ⊕ M2 ), depth M2 + 1} = depth(M1 ⊕ M2 ), hay depth M1 ≥ depth(M1 ⊕ M2 ) Từ suy depth(M1 ⊕ M2 ) = depth M1 Định lý 3.2.12 Với n ≥ 1, ta có lu depth(I + J)n /(I + J)n+1 = {depth I i /I i+1 + depth J j /J j+1 } an i+j=n n va Chứng minh Theo Mệnh đề 3.2.10, ta có n+1 depth(I + J) /(I + J) = depth ie gh tn to n M (I i /I i+1 ⊗k J j /J j+1 ) i+j=n p = {depth(I i /I i+1 ⊗k J j /J j+1 )} nl w i+j=n oa = {depth I i /I i+1 + depth J j /J j+1 } i+j=n d lu va an Đẳng thức cuối suy từ Bổ đề 3.2.7 oi lm ul nf Chúng xin trình bày kết then chốt Herzog Hibi Bổ đề 3.2.13 ([9, Định lý 1.2]) Cho I iđêan R, z at nh depth I k /I k+1 , depth I k , depth R/I k số với k đủ lớn lim depth R/I k = lim depth I k − = lim depth I i−1 /I i i→∞ z k→∞ k→∞ gm @ Trước chứng minh Bổ đề 3.2.13, đến với bổ đề sau ? l f′ / / VO ? l IV g g′ / / WO ? l IW n va IU f an Lu UO m co l Bổ đề 3.2.14 Cho ac th si 40 biểu đồ giao hốn phức R-mơđun, I(Ker g/ Im f ) = 0, với l nguyên dương, f ′ , g ′ ánh xạ tự nhiên cảm sinh f, g Khi với l đủ lớn, ta có Ker g ′ ⊆ I Ker g Nói riêng, ánh xạ Ker g ′ / Im f ′ → Ker g/ Im f ánh xạ không với l đủ lớn Chứng minh Chọn M = V, N = Ker g Theo Bổ đề Artin-Rees (Mệnh đề 1.6.8), tồn số nguyên dương k cho với n ≥ k lu I n V ∩ Ker g ⊆ I n−k (I k V ∩ Ker g) an n va Với l = n ≥ k + 1, ta có tn to p ie gh Ker g ′ ⊆ I k+1 V ∩ Ker g ⊆ I(I k V ∩ Ker g) ⊆ I Ker g w Vậy Ker g ′ ⊆ I Ker g với l ≥ k + oa nl Chứng minh Bổ đề 3.2.13 Giới hạn dãy depth(R/I k ) tồn theo kết d tương tự Hệ 2.2.2 cho vành phân bậc chuẩn trường Kết hợp lu va an với Bổ đề 3.2.4, suy giới hạn dãy depth(I k ) tồn oi lm thể thu kết sau: ul nf Chứng minh tương tự Định lý 2.2.1, sử dụng Mệnh đề 2.1.2, ta có Cho S = Rees(I) đại số Rees I , E môđun phân bậc hữu z at nh hạn sinh S Khi giới hạn limk→∞ depth Ek tồn i i+1 Áp dụng kết cho trường hợp đặc biệt E = S/IS = ⊕∞ , suy i=0 I /I z gm @ giới hạn limi→∞ depth I i /I i+1 tồn Tiếp theo ta chứng minh lim depth I k −1 = lim depth I k /I k+1 Đặt g(k) = k→∞ m co depth I g = lim g(k) Xét dãy khớp k→∞ l k→∞ k an Lu → I k+1 → I k → I k /I k+1 → n va ac th si 41 Với k ≥ k0 , c ≥ min{g(k + 1) − 1, g(k)} Lấy giới hạn hai vế ta thu c ≥ g − Giả sử c > g − 1, n số phần tử sinh tối thiểu tập sinh m Chú ý H(x; M ) đồng điều Koszul môđun M tương ứng với dãy x = x1 , x2 , , xn (xem [4, Mục 1.6] để biết chi tiết đồng điều Koszul) Khi tồn số nguyên dương k0 thỏa mãn Hn−g (x; I k ) ̸= Hn−g+1 (x; I k /I k+1 ) = với k ≥ k0 [4, Định lý 1.6.17] Từ dãy khớp ta suy dãy khớp lu an → Hn−g+1 (x; I k+1 ) → Hn−g+1 (x; I k ) → Hn−g+1 (x; I k /I k+1 ) va n → Hn−g (x; I k+1 ) → Hn−g (x; I k ) → Hn−g (x; I k /I k+1 ) → , tn to gh Ta suy ánh xạ Hn−g (x; I k+1 ) → Hn−g (x; I k ) đơn ánh với k ≥ k0 p ie Lập luận tương tự ta suy ánh xạ Hn−g (x; I l ) → Hn−g (x; I k ) đơn ánh với w k ≥ k0 , l > k d cho oa nl Từ định nghĩa phức Koszul K(x; M ), tồn R-môđun tự F, G, H an lu nf va Hn−g (x; M ) = Hn−g (K(x; M )) = H(F ⊗R M → G ⊗R M → H ⊗R M ) → H ⊗R I l M ) oi lm ul Hn−g (x; I l M ) = Hn−g (K(x; I l M )) = H(F ⊗R I l M → G ⊗R I l M z at nh =H(I l (F ⊗R M ) → I l (G ⊗R M ) → I l (H ⊗R M )) z @ Theo Bổ đề 3.2.14 việc đồng điều Koszul Hi (x; M ) bị triệt tiêu iđêan gm (x1 , , xn ) = m (xem [4, Mệnh đề 1.6.5]), ánh xạ Hn−g (x; I l M ) → Hn−g (x; M ) lớn, mâu thuẫn Vậy c = g − an Lu Vậy bổ đề chứng minh m co l ánh xạ không với l đủ lớn Với M = I k , ta suy Hn−g (x; I l ) = với l đủ n va ac th si 42 Đặt s(I) số ổn định hàm độ sâu depth I i−1 /I i , tức s(I) số nguyên m nhỏ thỏa mãn depth I i−1 /I i = depth I i /I i+1 với i ≥ m Dễ thấy depth I i−1 /I i = depth I i−1 /I i i≥1 i≤s(I) Ta có cơng thức sau cho depth(I + J)n−1 /(I + J)n n đủ lớn Mệnh đề 3.2.15 (Hà-N.V Trung-T.N Trung [3, Mệnh đề 4.2]) Với n ≥ lu s(I) + s(J) − 1, ta có an va n depth(I + J)n−1 /(I + J)n = to tn min{ lim depth I i−1 /I i + depth J j−1 /J j , i→∞ j≤s(J) gh ie depth I i−1 /I I + lim depth J j−1 /J j } j→∞ p i≤s(I) w d oa nl Chứng minh Áp dụng Định lý 3.2.12, ta có lu depth(I + J)n−1 /(I + J)n = {depth I i−1 /I i + depth J j−1 /J j } va an i+j=n+1 oi lm ul nf Theo định nghĩa s(I), s(J), ta thấy depth I i−1 /I i = lim depth I n−1 /I n , depth J j−1 /I j = lim depth J n−1 /J n n→∞ n→∞ z at nh với i ≥ s(I), j ≥ s(J) Xét n ≥ s(I) + s(J) − i + j = n + Nếu j ≤ s(J) z i ≥ s(I) gm @ = m co l depth I i−1 /I i + depth J j−1 /J j    lim depth I t−1 /I t + depth J j−1 /J j j ≤ s(J) t→∞ t→∞ an Lu  depth I i−1 /I i + lim depth J t−1 /J t j ≥ s(J) n va ac th si 43 Chú ý i ≤ n − s(J) + j ≥ s(J) depth I i−1 /I i = depth I i−1 /I i i≤n−s(J)+1 i≤s(I) n − s(J) + ≥ s(I) Do {depth I i−1 /I i + depth J j−1 /J j } = i+j=n+1 min{ lim depth I i−1 /I i + depth J j−1 /J j , lu i→∞ j≤s(J) an va depth I i−1 /I I + lim depth J j−1 /J j } j→∞ i≤s(I) n gh tn to p ie Hệ 3.2.16 s(I + J) ≤ s(I) + s(J) − nl w Bổ đề 3.2.17 mini≥1 depth A/I i = mini≥1 depth I i−1 /I i d oa Chứng minh Gọi m số nguyên dương nhỏ thỏa mãn lu an depth(I m−1 /I m ) = depth I i−1 /I i oi lm Với i ≥ xét dãy khớp ul nf va i≥1 z at nh → I i−1 /I i → A/I i → A/I i−1 → z Ta có depth(A/I i ) ≥ min{depth(I i−1 /I i ), depth(A/I i−1 )} Lập luận tương tự @ với i − 1, , 2, 1, ta có l gm j≤i m co depth(A/I i ) ≥ min{depth(I j−1 /I j )} ≥ depth(I m−1 /I m ) an Lu Nói riêng ta có depth(A/I m−1 ) ≥ depth(I m−1 /I m ) n va ac th si 44 depth(A/I m ) ≥ depth(I m−1 /I m ) Từ dãy khớp → I m−1 /I m → A/I m → A/I m−1 → ta có depth(I m−1 /I m ) ≥ min{depth(A/I m ), depth(A/I m−1 ) + 1}, suy depth(I m−1 /I m ) ≥ depth(A/I m ) Vậy mini≥1 depth A/I n = mini≥1 depth I i−1 /I i lu Nhận xét 3.2.18 Nhìn chung ta khơng có đẳng thức an va depth A/I i = lim depth A/I i n i≥1 i→∞ tn to Ta thấy mệnh đề không ta xét A = k[x, y, z], I = gh p ie (x4 , x3 y, xy , y , x2 y z) (Ví dụ 2.3.5) oa nl w Kết luận văn Định lý 3.2.19 (Hà-N.V Trung-T.N Trung [3, Định lý 4.6]) d lu an lim depth R/(I + J)n = va n→∞ ul nf min{ lim depth A/I i + depth B/J j , depth A/I i + lim depth B/J j } i→∞ j≥1 i≥1 j→∞ oi lm Chứng minh Theo Bổ đề 3.2.13 Mệnh đề 3.2.15, ta có z at nh lim depth R/(I + J)n = lim depth(I + J)n−1 /(I + J)n = n→∞ z n→∞ j≤s(J) gm i→∞ @ min{ lim depth I i−1 /I i + depth J j−1 /J j , j→∞ m co i≤s(I) l depth I i−1 /I I + lim depth J j−1 /J j } A/I i , B/J j , ta có điều phải chứng minh an Lu Tiếp tục áp dụng Bổ đề 3.2.13 Bổ đề 3.2.17, thay I i−1 /I i , J j−1 /J j n va ac th si 45 3.3 Ví dụ Ví dụ 3.3.1 Xét vành đa thức A = k[x1 , x2 ], B = k[y1 , y2 , y3 ] Lần lượt A, B , xét iđêan I = (x21 , x1 x2 ), J = (y14 , y13 y2 , y1 y23 , y24 , y12 y22 y3 ) Ta có A ⊗k B ∼ = k[x1 , x2 , y1 , y2 , y3 ] lu Iđêan I + J = (x21 , x1 x2 , y14 , y13 y2 , y1 y23 , y24 , y12 y22 y3 ) an va Việc tính giới hạn lim depth R/(I + J)n tính tốn giống mục 2.3 n→∞ n tn to tình thời gian Mặt khác theo mục 2.3 ta có gh lim depth A/I i = depth A/I i = p ie i→∞ i≥1 lim depth B/J j = 1, depth B/J j = j→∞ j≥1 nl w oa Áp dụng Định lý 3.2.19, ta có lim depth R/(I + J)n = min{0 + 0, + 1} = d n→∞ oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 46 Kết luận Trong luận văn này, trình bày số vấn đề sau lu an va Giới thiệu số khái niệm, tính chất liên quan đến iđêan nguyên n tố liên kết, tập AssR M , dãy quy hàm độ sâu môđun gh tn to hữu hạn sinh Bên cạnh đó, trình bày số kết quan trọng chiều p ie Krull, vành Cohen-Macaulay Bổ đề Artin-Rees w Trình bày hai định lý Brodmann (Định lý 2.1.3 Định lý 2.2.1) oa nl ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết hàm độ d sâu môđun thương M/I n M (R, m) vành Noether địa lu va an phương, M R-môđun hữu hạn sinh, I ⊆ m Chú ý định lý áp dụng R đại số phân bậc chuẩn nf hữu hạn sinh oi lm ul trường k , I iđêan R, M R-môđun phân bậc z at nh Giới thiệu tổng hai iđêan, trình bày chặn cho hàm độ sâu z R/(I + J)n theo A/I n , B/J n (Định lý 3.2.6 Hà-N.V.Trung-T.N.Trung @ gm tìm ra) Ngồi chúng tơi trình bày kết khác Hà- m co J)n với giá trị n đủ lớn l N.V.Trung-T.N Trung (Định lý 3.2.19) giá trị tới hạn depth R/(I + an Lu n va ac th si 47 Tài liệu tham khảo [1] M Brodmann, The asymptotic nature of the analytic spread, Math Proc lu an Cambridge Philos Soc 86 (1979), no 1, 35-39 va n [2] M Brodmann, Asymptotic Stability of Ass(M/I n M ), Proc Amer Math gh tn to Soc Volume 74, Number I (1979), 16-18 p ie [3] H.T Hà, N.V Trung, T.N Trung, Depth and regularity of powers of sums nl w of ideals, Mathematische Zeitschrift 282 (3), 819-838, 2016 an lu 1993 d oa [4] W Bruns, J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, oi lm ul 1986 nf va [5] H Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, [6] D.Q Việt, Cơ sở lý thuyết môđun, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2013 z at nh [7] M.F Atiyah, I.G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, z Addison-Wesley Publishing Company, 1969 gm @ [8] L.T Hoa, N.D Tam, On some invariants of a mixed product of ideal, Archiv m co l der Mathematik Volume 94 (2010), 327-337 Volume 291, Issue (2005), 534-550 an Lu [9] J Herzog, T Hibi, The depth of powers of an ideal, Journal of Algebra n va ac th si